1、2020 年年葫芦岛葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试市普通高中高三第一次模拟考试 数数 学学（供（供文文科考生使用）科考生使用） 注意事项: 1.本试卷分第卷、第卷两部分，共 6 页满分 150 分；考试时间：120 分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上 3.用铅笔把第卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第卷的答案写在答题纸的相应位 置上 4.考试结束，将答题卡和答题纸一幵交回 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选顷中，只有一顷
2、是符 合题目要求的. 1在复平面内，复数 (1)(2)zii 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 2 2,3 ,30ABxN xx , 则AB U A 1,2,3 B 0,1,2, C0,2 3， D 0,1,2,3 3已知向量= ( 2,3),= (3,)mab，且a/b，则 m= A 2 B2 C 9 2 D 9 2 4某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有 120,150,180,150 名高三学生参加某次数学调研考试为 了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案：从这 600 名学生的试卷中抽取一个 容量为 200 的样本进行分析；方案：丙校参加调研考
3、试的学生中有 30 名数学培优生，从这些 培优生的试卷中抽取 10 份试卷进行分析完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是 A分层抽样法、系统抽样法 B分层抽样法、简单随机抽样法 C系统抽样法、分层抽样法 D简单随机抽样法、分层抽样法 5从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为 A0.3 B0.4 C0.5 D0.6 6执行如图所示的程序框图，则输出的a值为 A-3 B 1 3 C 2 1 D2 7我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤， 长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤”意思 是：“现有一根金锤，长度为 5 尺，头部的 1 尺，重
4、 4 斤； 尾部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成 等差数列”则下列说法正确的是 A. 该金锤中间一尺重 3.5 斤 B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3 倍 C. 该金锤的重量为 15 斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差的为 1.5 斤 8已知命题 p：,x R 2 10 xx ;命题 q：若 22 ab,则 ab.下列命题为真命题的是 Apq Bpq Cpq Dpq 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是 某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 A. 12 B. 6 C. 4 3 D. 3 10函数 2 1 sin 1 x f xx e 图象的大
5、致形状是 A B C D 11已知双曲线 C： 22 22 10,0 xy ab ab 的两个焦点为 1 F， 2 F，过 1 F且与 x 轴垂直的直线交 C 的 渐近线于 A，B 两点.若 2 ABF为直角三角形，则双曲线 C 的离心率为 A. 5 B. 3 C. 2 D. 5 2 12. 关于 x 的方程 0 11 4 tx xt xt 有四个不同的实数根， 且 x1x2x3x4， 则 4132 () ()xxxx 的 取值范围 A 2 6,4 3 B 2 6,42 2 9 题 5题 开始 a=2,i=1 i 2020? 是 结束 输出 a i=i+1 a= C 42 2,4 3 D2 6
6、,4 3 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分，共 20 分. 13函数 2 ( )ln(28)f xxx 的单调递增区间是 14. 设变量 x,y 满足约束条件 0 2 360 xy xy xy ，则 2zxy 的最小值为 15. 已知 ,a bR，且240ab ，则 1 3 9 a b 的最小值为 16已知mR，函数 2 2 230 ( ) 2()10 xxmx f x xxmx ， ， ， 若对任意 3,)x ，( )| 1f xx ，恒成 立，则 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演
7、算步骤. 17(本小题满分 12 分) 已知函数 1 sincos 64 f xxxxR . （1）求 6 f 的值和 f x的最小正周期； （2）设锐角ABC的三边 a，b，c 所对的角分别为 A,B,C，且 1 24 A f ，2a ，求 b+c 的取值 范围. 18(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 A A 平面ABC，,D E分别是线段 AB， 1 BB的中点. （1）证明： 1/ BC平面 1 ACD； （2）当三棱柱的各棱长均为 2 时，求三棱锥 1 CADE的体积. 19(本小题满分 12 分) 2020 年是具有里程碑意义的一年,我们将全面建
8、成小康社会，实现第一个百年奋斗目 标;2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年。(总书记二二年新年贺词) 截至 2018 年底，中国 农村贫困人口从 2012 年的 9899 万人减少至 1660 万人，贫困发生率由 2012 年的 10.2%下降 至 2018 年的 1.7%;连续 7 年每年减贫规模都在 1000 万人以上;确保到 2020 年农村贫困人口实 现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤。某贫困地区截至 2018 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现 从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户， 得到这
9、 50 户家庭 2018 年的家庭人均年纯收入的频率 分布直方图. （1）补全频率分布直方图，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用 该区间的中点值作代表） （精确到元） ； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家 庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如下表: 月份/2019（时间代码 x） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入（元） 275 365 415 450 470 485 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相关关系, 请求出回归直线方程；
10、由于 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展， 该家庭 2020 年第一季度（1,2,3 月份）每月的人均月纯收人均为预估值的1 3 ,从 4 月份开始，每月的人均月纯收人 频率/组距 0.04 2 5 6 7 3 0.30 0.32 0.10 0.06 4 8 家庭人均年纯收入（千元） 均为预估值的4 5 ，由此估计该家庭 2020 年能否达到小康标准，并说明理由； 可能用到的数据： 6 i=1xiyi=9310; 参考公式：线性回归方程y =bx+a中，b= 6 i=1xiyi-6x -y- 6 i=1xi 2-6x-2 ,a =y -b x -. 20(本小题满分
11、12 分) 已知 1 F， 2 F是椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 的左右两个焦点，过 2 F的直线与 C 交于 P，Q 两 点（P在第一象限） ， 1 PFQ的周长为 8，C 的离心率为 1 2 . （1）求 C 的方程； （2）设 1 A， 2 A为 C 的左右顶点，直线 1 PA的斜率为 1 k， 2 QA的斜率为 2 k，求 2 12 1 3 kk的取值范 围. 21(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=mex(x+1)(m0),g(x)=ex+x+ax2. （1）若 f (x)在(0,m)处的切线的方程为 y=2x+n,求 m,n 的值并求此时 f (x)的
12、最值； （2）在（1）的条件下,不等式 f (x)g (x)在 x0 时恒成立，求实数 a 的取值范围. 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 11 2 21 2 xt t yt t （t为参数）.以坐标原点O为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. 直线l的极坐标方程为2 cossin0m . （1）求C和l的直角坐标方程； （2）已知l与C相切，求m
13、的值. 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 22f xxx. （1）求不等式 3f x 的解集； （2）若aR，且0a ，证明： 1 4114af x a . 2020 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数学（数学（文文） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 第 I I 卷（选择题) ) 一、选择题（本小题共 1212 小题，每小题 5 5 分，共 6060 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求） 1A 2A 3C 4B 5D 6D 7C 8B 9A 10C 11A 12B 第 IIII 卷（非选择题) ) 二、填空题( (本题共 4 4 个
14、小题，每小题 5 5 分，共 2020 分) ) 13(2, +) 141 15 2 9 16 1 ,2 8 三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题，共 60 分。 17(本小题满分 12 分) 由题 131 sinsincos 224 xxxf x 2 131 sinsin cos 224 xxx 11311 cos2sin2sin 2 44442
15、6 xxx .-4 （1） 11 sin 62364 f , 2 2 T .-6 （2） 11 sin 2264 A fA ,0, 2 A ,所以 3 A ,-8 在ABC中,由余弦定理 222 2cosabcbcA可得： 2 22 22 433 4 bc bcbcbcbcbc ,即4bc,-10 又因为在ABC中,2bc, 所以,综上可得：bc的取值范围是2,4.-12 18(本小题满分 12 分) (1)证明：连接 1 AC与 1 AC相交于点F，连接DF， 由侧面 11 ACC A为平行四边形可得F是线段 1 AC的中点， 又因为D是线段AB的中点， 1 /DFBC -3 1 BC 平面
16、 1 ADC，DF 平面 1 ADC， 1/ BC 平面 1 ACD.-6 (2) 1 AA 平面ABC，CD 平面ABC， 1 AACD ACBC，D是线段AB的中点，ABCD 1 ABAAA ， 1 ,AB AA 平面 11 A ABB，CD 平面 11 A ABB， 线段CD为三棱锥 1 CADE 的高， 2ABBCAC， 3CD ，-8 1 AA 平面ABC，AB 平面ABC， 1 AAAB， 三棱柱的各棱长均为 2，四边形 11 A ABB为正方形， 1 1113 2 21 21 11 2 2222 A DE S ，-10 11 1133 3 3322 A DEC A DE VSCD
17、 三棱锥 -12 19(本小题满分 12 分)来源 （1） 解：由频率之和为 1 可得： 家庭人均年纯收入在6,7)的频率为 0.18,所以频率分布直方图 如下： (补图)-2 中位数为：5+0.5-0.04-0.10-0.32 0.30 =5+ 2 15=5.133(千元)-4 (或：设中位数为 x，则0.04 0.26= x-5 6-x,解得：x=5.133) 平均数x -=2.50.04+3.50.10+4.50.32+5.50.30+6.50.18+7.50.06=5.16(千元)- -6 （2）解：由题意得：x -=1+2+3+4+5+6 6 =3.5,y -=275+365+415
18、+450+470+485 6 =2460 6 =410 6 i=1x i 2=1+4+9+16+25+36=91 6x-2=63.52=73.5 频率/组距 0.04 2 5 6 7 3 4 8 家庭人均年纯收入（千元） 0.10 0.18 0.30 0.32 0.06 所以：b = 6 i=1x iyi-6x -y- 6 i=1x i 2-6x-2 =9310-63.5410 91-73.5 =9310-8610 91-73.5 = 700 17.5=40 a =y -b x-=410-403.5=270 所以回归直线方程为：y =40 x+270 设 y 为 2020 年该家庭人均月纯收入
19、，则 x=13,14,15 时，y=1 3(40 x+270),即 2020 年前三月总收入为： 1 3(790+830+870)=830 元； 当 x=16,17,24 时，y=4 5(40 x+270)=32x+216, 即 2020 年从 4 月份起的家庭人均月纯收入依次为： 728， 760,984,构成以32为公差的等差数列， 所以4月份至12月份的总收入为： (728+984)9 2 =7704 所以 2020 年该家庭总收入为：7704+830=85348000 所以该家庭 2020 年能达到小康标准-12 20(本小题满分 12 分) （1）由条件得 222 48 1 2 a
20、c a abc 解得 2 3 1 a b c ， 所以C的方程为 22 1 43 xy .-4 （2）由（1）得 1 2,0A ， 2 2,0A ， 2 1,0F ， 当直线PQ的斜率不存在时， 3 1, 2 P ， 3 1, 2 Q ， 1 1 2 k ， 21 3 3 2 kk.-6 当直线PQ的斜率存在时，此时直线PQ的斜率不为 0，设直线PQ的方程为 10yk xk ， 设 11 ,P x y ， 22 ,Q xy ，由 22 1 1 43 yk x xy 得 2222 3484120kxk xk ， 则 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 1 2 2 412 34 k x
21、x k ， 21 2 112 2 2 yxk kyx 2112211 1212211 12223 122 xxx xxxx xxx xxxx 2 1 2 2 1 2 1218 3 34 3 46 34 k x k k x k . 21 3kk.-8 因为点P在第一象限，所以 121 1 , A ABA kkk， （B为椭圆的上顶点） 1 3 0, 2 k ，-10 2 22 12111 1111 ,0 3244 kkkkk .-12 21(本小题满分 12 分) 解：(1)f(x)=mex(x+2) 令 x=0 得： f(0)=2m 由题意：2m=2 m=1 f(0)=m=1 n=1-2 f(
22、x)=ex(x+2) 由 f(x)0 得：x-2, 由 f(x)0 得：x0 时：x(ex-1)-ax20ex-1-ax0 令 h(x)= ex-1-ax,则 h(x)=ex-a x0 ex1 (i)若 a1,则 h(x)0 h(x)在(0,+)上单调递增，h(x)h(0)=0 合题意；-8 (ii)若 a1,令 h(x)=0 得： x=lna0 由 h(x)0 得： xlna 所以 h(x)在 （0， lna） 上单调递减 h(x)0 恒成立矛盾 所以 a1 不合题意；-10 综上 a 的取值范围是(-,1-12 法二：当 x=0 时，00,aR-6 当 x0 时：x(ex-1)-ax20e
23、x-1-ax0ae x-1 x -8 令 h(x)= ex-1 x 则 h(x)=e x(x-1)+1 x2 令 t(x)=ex(x-1)+1,则 t(x)=xex0 所以 t(x)在(0,+)单调递增，t(x)t(0)=0 即 h(x)0 h(x)在（0，+）上单调递增-10 又lim x0 h(x)=lim x0 ex-1 x =lim x0 ex=1 t(x)1 若使 ae x-1 x 恒成立，只需 a1 a 的取值范围是(-,1-12 （说明：无论法一还是法二，若考生不对 x 迚行讨论而得到 ex-1-ax0，均需扣 1 分； 若考生若采用法二求解，由于高考不提倡用罗比塔法则，可根据答
24、题情况酌情扣 1-2 分） 法三：f(x)g(x) ex(x+1)ex+x+ax2x(ex-1)-ax20 令 h(x)=x(ex-1)-ax2 则 h(x)=ex(x+1)-1-2ax 令 t(x)=ex(x+1)-1-2ax. 则 t(x)=ex(x+2)-2a 显然 t(x)在(0,+)上单调递增，t(x)t(0)=2-2a-6 (i)当 2-2a0 即 a1 时， t(x)0 恒成立， t(x)在(0,+)上单调递增t(x)t(0)=0 即 h(x)0 h(x)在0,+ )上单调递增 h(x)0 恒成立 即 a1 合题意；-8 (ii)当 2-2a1 时,t(0)=2-2a2(a+2)
25、-2a0 存在唯一 x0(0,+)使 t(x0)=0, 当 0xx0时，t(x)0, t(x)在(0,x0)上单调递减，t(x)t(0)=0 即 h(x)0 所以 h(x)在(0,x0)上单调递减 所以 h(x)1 不合 题意；-10 综上：a 的取值范围是(-,1- -12 ( (二二) )选考题：共选考题：共 1010 分。请考生在分。请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分。一题记分。 22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 解： （1）因为 2 2 2 1 22xt t ， 2 2 2 2
26、1 2 2 y t t ，两式相减，有 22 424xy， 所以C的直角坐标方程为 2 2 1 2 y x .-3 直线l的直角坐标方程为2 0 xym.-5 （2）联立l与C的方程，有 2 2 1 2 20 y x xym ，消y， 得 22 2420 xmxm ，-7 因为l与C相切，所以有 222 164 228160mmm ， 解得： 2m .-10 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 (1)法一： 2,0 2232,01 2,1 xx f xxxxx xx ， 作出 f x的图象，如图所示： 结合图象， 函数 f x,1上单调递增， 在 1,上单调递减， 又13f ， 53f ， 所以不等式 3f x 的解集是| 15xx .-5 法二： 223f xxx ， 等价于： 0 223 x xx 或 01 223 x xx 或 1 223 x xx ， 解得：10 x 或01x或15x ， 所以不等式 3f x 的解集是| 15xx .-5 (2)由(1)知函数 f x的最大值是 11f，所以 1f x 恒成立. 因为 11 144111a aa a 11 444aa aa ， 当且仅当 1 2 a 时，等号成立. 所以 1 4114af x a .-10
