1、4.14.1 指数指数 4 4. .1.11.1 根式根式 学习目标 1.理解 n 次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值 知识点一 n 次方根，根式 1a 的 n 次方根的定义 一般地，如果 xna，那么 x 叫作 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN*. 2a 的 n 次方根的表示 n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围 n 为奇数 n a R n 为偶数 n a 0，) 3.根式：式子na叫作根式，这里 n 叫作根指数，a 叫作被开方数 思考 根据 n 次方根的定义，当 n 为奇数时，是否对任意实数 a 都存在 n 次方根？n 为偶数 呢？ 答案
2、当 n 为奇数时， 对任意实数 a， 都存在 n 次方根， 可表示为na， 但当 n 为偶数时不是， 因为当 a0 时，a 的 n 次方根可 表示为 n a. 知识点二 根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根 (2)0 的 n 次方根等于 0，记作n00. (3)(na)na(nN*，且 n1) (4)nana(n 为大于 1 的奇数) (5)nan|a| a，a0， a，a0 (n 为大于 1 的偶数) 思考 根式化简开偶次方根时应注意什么问题？ 答案 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条 件或分类讨论 1实数 a 的奇次方根
3、只有一个( ) 2当 nN*时，(n2)n2.( ) 3当 a0 时，na表示一个数( ) 4当 n 为偶数，a0 时，na0.( ) 5.nan(na)n.( ) 一、由根式的意义求范围 例 1 求使等式 a3a29(3a) a3成立的实数 a 的取值范围 解 a3a29 a32a3 |a3| a3， 要使|a3| a3(3a) a3成立， 需 a30， a30， 解得 a3,3 反思感悟 对于na，当 n 为偶数时，要注意两点 (1)只有 a0 才有意义； (2)只要na有意义，na必不为负 跟踪训练 1 若 3a12313a3，求实数 a 的取值范围 解 3a12|3a1|， 3 13a
4、313a. 因为|3a1|13a，故 3a10，所以 a1 3. 二、利用根式的性质化简或求值 例 2 化简或求值： (1)525(52)5； (2)626(62)6； (3)4x24. 解 (1)原式(2)(2)4. (2)原式|2|2224. (3)原式|x2| x2，x2， x2，x1. 三、有限制条件的根式的化简 例 3 已知3x3，化简 x22x1 x26x9. 解 原式 x12 x32|x1|x3|， 3x3，当3x1 时， 原式(x1)(x3)2x2； 当 1x3 时，原式(x1)(x3)4. 原式 2x2，3x1， 4，1x3. 延伸探究 本例中，若将“3x3”变为“x3”，则
5、结果又是什么？ 解 原式 x12 x32|x1|x3|. x3，x10，x30， 原式(x1)(x3)4. 反思感悟 有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式 进行化简 (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要 考虑被开方数或被开方的表达式的正负 跟踪训练 3 已知1x2，化简 x24x4 x22x1. 解 原式 x22 x12|x2|x1|. 因为1x0，x20， 所以原式2xx112x. 1若 a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4a2 B.5a C.5a D.4a
6、答案 D 解析 当 a0 时，a 的偶次方根无意义 2已知 m102，则 m 等于( ) A.102 B102 C. 210 D 10 2 答案 D 解析 m102，m 是 2 的 10 次方根 又10 是偶数， 2 的 10 次方根有两个，且互为相反数 m 10 2. 3当 x0 时，x4x4 3 x3 x _. 答案 1 解析 原式x|x|x xxx11. 4.42 3 33_. 答案 1 解析 42 3 33431. 5若 x22x32x22x3，则实数 x 的取值范围是_ 答案 1,3 解析 因为 x22x32|x22x3|x22x3， 所以 x22x30，解得1x3. 1知识清单： (1)n 次方根的概念及表示 (2)根式的性质 2方法归纳：转化法 3常见误区： (1)对于na，当 n 为偶数时，a0. (2)混淆(na)n和nan.
