1、 北师大版北师大版 2020 年八年级上册第年八年级上册第 1 章勾股定理综合测试卷章勾股定理综合测试卷 满分：120 分 姓名：_班级：_考号：_ 题号 一 二 三 总分 得分 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1以下各组数为三角形的三条边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A3，4，5 B6，8，10 C1，1，2 D5，12，13 2 如图， 以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形 M 和 N， 它们的面积分别为 9cm2 和 25cm2，则直角三角形的面积为（ ） A6cm2 B12cm2 C24cm2 D3cm2
2、3在一个直角三角形中，两直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么（ ） Aa2+b2c2 Ba2+b2c2 Ca2+b2c2 Da2+b2c2 4甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟 40m，甲客轮用 15 分钟到达点 A， 乙客轮用 20 分钟到达点 B，若 A、B 两点的直线距离为 1000m，甲客轮沿着北偏东 30 的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ） A南偏东 60 B南偏西 60 C北偏西 30 D南偏西 30 5如图，一架云梯 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，如果梯子的顶端下滑 4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ） A4 米 B6 米 C8
3、 米 D10 米 6 如图： 一个长、 宽、 高分别为 4cm、 3cm、 12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为 （ ） A11cm B12cm C13cm D14cm 7如图：在ABC 中，CE 平分ACB，CF 平分ACD，且 EFBC 交 AC 于 M，若 CM 5，则 CE2+CF2等于（ ） A75 B100 C120 D125 8如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，BF 平分ABC 交 AD 于点 E，交 AC 于点 F，AC 13，AD12，BC14，则 AE 的长等于（ ） A5 B6 C7 D 9ABC 中，AB17，AC10，高 AD8，则ABC 的周长是（ ）
4、A54 B44 C36 或 48 D54 或 33 10如图是一个 66 的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，RtABC 的顶点都是 图中的格点，其中点 A、点 B 的位置如图所示，则点 C 可能的位置共有（ ） A9 个 B8 个 C7 个 D6 个 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11已知ABC 的三边的长分别是 AB5、BC4、AC3，那么C 12在 RtABC 中，斜边 BC10，则 AB2+AC2的值是 13 如图， 每个小正方形的边长都为 1， 则ABC 的三边长 a， b， c 的大小关系是 （用 “”连接） 1
5、4已知一个三角形工件尺寸（单位 dm）如图所示，则高 h dm 15如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果 大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短的直角边长为 a，较长的 直角边长为 b，那么 a+b 的值为 16如图所示，已知ABC 中，B90，BC16cm，AC20cm，点 P 是ABC 边上的 一个动点，点 P 从点 A 开始沿 ABCA 方向运动，且速度为每秒 4cm，设出发的时 间为 t （s） ， 当点 P 在边 CA 上运动时， 若ABP 为等腰三角形， 则运动时间 t 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满
6、分 66 分）分） 17 （7 分）如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，BC6，AC8，AB10求 CD 的长 18 （7 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB13，BC3，CD4，DA12，ADB90， 求四边形 ABCD 的面积 19 （8 分）在ABC 中，已知C90，a：b3：4，c20，求： （1）a、b 的值； （2）SABC 20 （8 分）如图，每个小正方形的边长为 1 （1）求 BC 与 CD 的长； （2）求证：BCD90 21 （8 分）八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的 高度 CE，他们进行了如下操作： 测得 BD 的长为 15
7、 米（注：BDCE） ； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 25 米； 牵线放风筝的小明身高 1.6 米 （1）求风筝的高度 CE （2）过点 D 作 DHBC，垂足为 H，求 BH、DH 22 （8 分） 已知： 整式 A （n21） 2+ （2n）2， 整式 B0 尝试化简整式 A 发现 AB2 求 整式 B 联想由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当 n1 时，n21，2n，B 为直角三角形的三 边长，如图，填写下表中 B 的值； 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 8 勾股数组 35 23 （8 分）阅读下列内容：设 a，b，c 是一个三角形的三条边的长，且
8、a 是最长边，我们 可以利用 a，b，c 三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：若 a2b2+c2，则 该三角形是直角三角形；若 a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；若 a2b2+c2， 则该三角形是锐角三角形 例如： 若一个三角形的三边长分别是 4， 5， 6， 则最长边是 6， 623642+52，故由可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是 7，8，9，则该三角形是 三角形 （2）若一个三角形的三边长分别是 5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求 x 的值 24 （12 分）观察、思考与验证 （1）如图 1 是一个重要公式的几何解释，请你
9、写出这个公式 ； （2） 如图 2 所示， BD90， 且 B， C， D 在同一直线上 试说明： ACE90； （3）伽菲尔德（1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图 2 证明了勾股定理 （发表在 1876 年 4 月 1 日的新英格兰教育日志上） ，请你写出验证过程 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1解：A、32+4252，能组成直角三角形，故此选项错误； B、62+82102，能组成直角三角形，故此选项错误； C、12+1222，不能组成直角三角形，故此选项正确； D、52+122132
10、，能组成直角三角形，故此选项错误； 故选：C 2解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：4（厘米） ， 可得这个直角三角形的面积为：46（平方厘米） 故选：A 3解：在 RtACB 中，C90，ACb，ABc，BCa， 由勾股定理得： a2+b2c2， 故选：C 4解：如图： 甲乙两艘客轮同时离开港口， 航行的速度都是每分钟 40m， 甲客轮用 15 分钟到达点 A， 乙客轮用 20 分钟到达点 B， 甲客轮走了 4015600（m） ，乙客轮走了 4020800（m） ， A、B 两点的直线距离为 1000m， 6002+800210002， AOB90， 甲客轮沿着北偏东 30的方向航
11、行， 乙客轮沿着南偏东 60的方向航行， 故选：A 5解：由题意知 ABDE25 米，BC7 米，AD4 米， 在直角ABC 中，AC 为直角边， AC24 米， 已知 AD4 米，则 CD24420（米） ， 在直角CDE 中，CE 为直角边 CE15（米） ， BE15 米7 米8 米 故选：C 6解：侧面对角线 BC232+4252， CB5m， AC12m， AB13（m） ， 空木箱能放的最大长度为 13m， 故选：C 7解：CE 平分ACB，CF 平分ACD， ACEACB，ACFACD，即ECF（ACB+ACD）90， EFC 为直角三角形， 又EFBC，CE 平分ACB，CF
12、平分ACD， ECBMECECM，DCFCFMMCF， CMEMMF5，EF10， 由勾股定理可知 CE2+CF2EF2100 故选：B 8解：ADBC， ADCADB90， AD12，AC13， DC5， BC14， BD1459， 由勾股定理得：AB15， 过点 E 作 EGAB 于 G， BF 平分ABC，ADBC， EGED， 在 RtBDE 和 RtBGE 中， ， RtBDERtBGE（HL） ， BGBD9， AG1596， 设 AEx，则 ED12x， EG12x， RtAGE 中，x262+（12x）2， x， AE 故选：D 9解：分两种情况： 如图 1 所示： AD 是
13、BC 边上的高， ADBADC90， BD15，CD6， BCBD+CD15+621； 此时，ABC 的周长为：AB+BC+AC17+10+2148 如图 2 所示： 同得：BD15，CD6， BCBDCD1569； 此时，ABC 的周长为：AB+BC+AC17+10+936 综上所述：ABC 的周长为 48 或 36 故选：C 10解：如图所示： ， 共 9 个点， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11解：ABC 中，AB5、BC4、AC3， AB2BC2+AC2， ABC 是直角三角形， C90 故答案为：90 12解
14、：在 RtABC 中，斜边 BC10， AB2+AC2BC2100， 故答案是：100 13解：由勾股定理可得：a，b，c， cab 故答案为：cab 14解： 过点 A 作 ADBC 于点 D，则 ADh， ABAC5dm，BC6dm， AD 是 BC 的垂直平分线， BDBC3dm 在 RtABD 中， ADdm，即 h4（dm） 答：h 的长为 4dm 故答案为：4 15解：根据勾股定理可得 a2+b213， 四个直角三角形的面积是：ab413112，即：2ab12， 则（a+b）2a2+2ab+b213+1225， 则 a+b5 故答案为：5 16解：如图，过点 B 作 BHAC 于
15、H ABC90，AC20，BC16， AB12， BHAC， SABCACBHABBC， BH， AH， 当 BABP1时，AHHP1， AB+BC+AP120+16+12， 此时 t， 当 ABAP2时，AB+BC+CP220+16+121236， 此时 t9， 当 AP3BP3时，AB+BC+CP320+16+121038， 此时 t， 综上所述，满足条件的 t 的值为或 9 或 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 66 分）分） 17解：在ABC 中，BC6，AC8，AB10， BC2+AC2AB2， ACB90， 由三角形的面积公式得：ACBCABCD， 6810CD，
16、 解得：CD4.8 18解：在 RtABD 中，BD2AB2AD2， BD213212225， 又BC2+CD232+4225， BC2+CD2BD2， BCD90， 19解： （1）如图所示： a：b3：4， 设 a3x，b4x， 由勾股定理得：c5x， c20， 5x20， 解得：x4， a12，b16； （2）SABC121696 20解： （1）由题意可知，BCCD； （2）证明：连接 BD BD，BCCD； BC2+CD2BD2， BCD 是直角三角形， 即BCD90 21解： （1）在 RtCDB 中，由勾股定理，得（米） 所以 CECD+DE20+1.621.6（米） ； （2）
17、由得， 在 RtBHD 中， 22解：A（n21）2+（2n）2n42n2+1+4n2n4+2n2+1（n2+1）2， AB2，B0， Bn2+1， 当 2n8 时，n4，n2142115，n2+142+117； 当 n2135 时，n6（负值舍去） ，2n2612，n2+137 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 15 8 17 勾股数组 35 12 37 故答案为：15，17；12，37 23解： （1）72+82113，9281， 9272+82， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）当最长边是 12 时，x； 当最长边是 x 时，x13， 即 x13 或 24 （1）解：这个公式是完全平方公式： （a+b）2a2+2ab+b2；理由如下： 大正方形的边长为 a+b， 大正方形的面积（a+b）2， 又大正方形的面积两个小正方形的面积+两个矩形的面积a2+b2+ab+ab a2+2ab+b2， （a+b）2a2+2ab+b2； 故答案为： （a+b）2a2+2ab+b2； （2）证明：ABCCDE， BACDCE， ACB+BAC90， ACB+DCE90， ACE90； （3）证明：BD90， B+D180， ABDE，即四边形 ABDE 是梯形， 四边形 ABDE 的面积（a+b） （a+b）ab+c2+ab， 整理得：a2+b2c2
