1、2020 年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）8 的相反数是（ ） A8 B8 C D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （a3）2a5 Ba6a2a3 Ca3a2a6 Da3+a32a3 3 （3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 4 （3 分）2020 年是全面打赢脱贫攻坚战收官之年，现有贫困人口 5510000 人今年脱贫，将 数据 5510000 用科学记数法表示为（ ） A5.51106 B55
2、.1105 C0.551107 D5.51107 5 （3 分）在新冠肺炎疫情防控时期，国家倡导全民减少外出，如表是从某小区随机调查的 100 名居民在一周中外出次数的统计表： 外出次数 0 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 25 30 15 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A4，2.5 B4，3 C30，17.5 D30，15 6 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 7 （3 分） 已知一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍， 那么这个多边形的边数是 （ ） A3 B4 C5 D6 8 （3 分）将点 A（2，3）向左平移 2 个单
3、位长度得到点 A，点 A关于 x 轴的对称点是 A， 则点 A的坐标为（ ） A （0，3） B （4，3） C （4，3） D （0，3） 9 （3 分）如图，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再 过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE若 AB 的长为 2，则 FM 的 长为（ ） A2 B C D1 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方 向在 AB 和 BC 上移动，记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大 致是（ ） A
4、 B C D 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：xy24xy+4x 12 （4 分）如图，ABCD，若E34，D20，则B 的度数为 13 （4 分）关于 x 的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集 为 14 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取 值范围是 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC2，分别以 AC、BC 为直径画 半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ） 16 （4 分）在 RtABC
5、中，C90，AD 平分CAB，BE 平分ABC，AD、BE 相交于 点 F，且 AF4，EF，则 AC 17 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1的位置， 点 B、O 分别落在点 B1、C1处，点 B1在 x 轴上，再将AB1C1绕点 B1顺时针旋转到 A1B1C2的位置，点 C2在 x 轴上，将A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上， 依次进行下去 若点 A （， 0） ， B （0， 2） ， 则点 B2020的坐标为 三、解答题（一） （共三、解答题（一） （共 3 小题，满分小题，满分 18 分）分） 18
6、（6 分）计算： （1）0+|2cos45+（） 1 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 是方程 a2+a60 的 解 20 （6 分）如图，在 RtABC 中，C90，A28 （1）作 AC 边上的垂直平分线 DE，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E（用直尺和圆规作图， 不写作法，但要保留作图痕迹） ； （2）连接 CE，求BCE 的度数 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21（8 分） 由于新冠肺炎疫情爆发， 某公司根据市场需求代理 A、 B 两种型号的空气净化器， 每台 A 型净化器比每台 B
7、 型净化器进价多 200 元，用 5 万元购进 A 型净化器与用 4.5 万 元购进 B 型净化器的数量相等 （1）求每台 A 型、B 型净化器的进价各是多少元？ （2） 公司计划购进 A、 B 两种型号的净化器共 50 台进行试销， 其中 A 型净化器为 m 台， 购买资金不超过 9.8 万元 试销时 A 型净化器每台售价 2500 元， B 型净化器每台售价 2180 元公司决定从销售 A 型净化器的利润中按每台捐献 75 元作为公司帮扶疫区贫困居民， 设公司售完 50 台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W，求 W 的最大值 22 （8 分）央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查
8、结果显示，目前支付方式有： A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有 统计：得到如图两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了 名购买者； （2）请补全条形统计图在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 度 （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “现金”三种付款方式中选 一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率 23 （8 分） 如图， 反比例函数 y （k0） 的图象与正比例函数 y2x 的图象相交于 A （1， a） ，B 两点，点 C 在第
9、四象限，CAy 轴，连接 BC （1）求 k 的值及点 B 的坐标； （2）求 tanA 的值； （3）当ABC 是直角三角形时，求点 C 的坐标 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，且对角线 AC 为直径，ADBC， 过点 D 作 DGAC，垂足为 E，DG 分别与 AB，O 及 CB 延长线交于点 F、G、M （1）求证：四边形 ABCD 为矩形； （2）若 N 为 MF 中点，求证：NB 是O 的切线； （3）若 F 为 GE 中点，且 DE6
10、，求O 的半径 25 （10 分） 如图， 二次函数 yx25x+4 的图象与 x 轴交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 左侧） ， 顶点为 C， 有一个动点 E 从点 B 出发以每秒一个单位向点 A 运动， 过 E 作 y 轴的平行线， 交ABC 的边 BC 或 AC 于点 F， 以 EF 为边在 EF 右侧作正方形 EFGH， 设正方形 EFGH 与ABC 重叠部分面积为 S，E 点运动时间为 t 秒 （1）求顶点 C 的坐标和直线 AC 的解析式； （2）求当点 F 在 AC 边上，G 在 BC 边上时 t 的值； （3）求动点 E 从点 B 向点 A 运动过程中，S 关于 t 的
11、函数关系 2020 年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）8 的相反数是（ ） A8 B8 C D 【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可 【解答】解：由相反数的定义可知，8 的相反数是（8）8 故选：B 【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （a3）2a5 Ba6a2a3 Ca3a2a6 Da3+a32a3 【分析】根
12、据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除 法分别求出每个式子的值，再得出选项即可 【解答】解：A、 （a3）2a6，故本选项不符合题意； B、a6a2a4，故本选项不符合题意； C、a3a2a5，故本选项不符合题意； D、a3+a32a3，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数 幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键 3 （3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个
13、小正方形， 故选：D 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 4 （3 分）2020 年是全面打赢脱贫攻坚战收官之年，现有贫困人口 5510000 人今年脱贫，将 数据 5510000 用科学记数法表示为（ ） A5.51106 B55.1105 C0.551107 D5.51107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将数据 5 510 000 用科
14、学记数法表示应为 5.51106， 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 5 （3 分）在新冠肺炎疫情防控时期，国家倡导全民减少外出，如表是从某小区随机调查的 100 名居民在一周中外出次数的统计表： 外出次数 0 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 25 30 15 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A4，2.5 B4，3 C30，17.5 D30，15 【分析】根据众数和中位数的概念求解 【解答】解：在这组数据中，4 次有 30 人，最多，则众数是 4；
15、 把这组数据按照从小到大的顺序排列起来，则中位数是（3+3）23 故选：B 【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数； 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数 6 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，
16、这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B 【点评】 此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形， 轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合 7 （3 分） 已知一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍， 那么这个多边形的边数是 （ ） A3 B4 C5 D6 【分析】多边形的外角和是
17、360，内角和是它的外角和的 2 倍，则内角和是 2360 720 度n 边形的内角和可以表示成（n2） 180，设这个多边形的边数是 n，就得到方 程，从而求出边数 【解答】解：设这个多边形的边数为 n， n 边形的内角和为（n2） 180，多边形的外角和为 360， （n2） 1803602， 解得 n6 此多边形的边数为 6 故选：D 【点评】 本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数， 这是常用的一种方法， 需要熟记 8 （3 分）将点 A（2，3）向左平移 2 个单位长度得到点 A，点 A关于 x 轴的对称点是 A， 则点 A的坐标为（ ） A （0，3） B （4，3） C
18、 （4，3） D （0，3） 【分析】直接利用平移规律结合关于 x 轴对称点的性质得出对应点坐标 【解答】解：点 A（2，3）沿向左平移 2 个单位长度得到点 A， A（0，3） ， 点 A关于 x 轴对称的点的坐标是： （0，3） 故选：A 【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键 9 （3 分）如图，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再 过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE若 AB 的长为 2，则 FM 的 长为（ ） A2 B C D1 【分析】根据翻折不变性，ABFB2，BM1，在
19、RtBFM 中，可利用勾股定理求出 FM 的值 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，AB2，过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上 的点 F 处， FBAB2，BM1， 则在 RtBMF 中， FM， 故选：B 【点评】此题考查了翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方 向在 AB 和 BC 上移动，记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大 致是（ ） A B C D 【分析】点 P 在 AB 上时，点 D 到 AP 的距离为 AD
20、的长度，点 P 在 BC 上时，根 据同角的余角相等求出APBPAD， 再利用相似三角形的对应边成比例的性质列出比 例式整理得到 y 与 x 的关系式，从而得解 【解答】解：点 P 在 AB 上时，0 x3，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，是定值 4； 点 P 在 BC 上时，3x5， APB+BAP90， PAD+BAP90， APBPAD， 又BDEA90， ABPDEA， ， 即， y， 纵观各选项，只有 B 选项图形符合 故选：B 【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在 于根据点 P 的位置分两种情况讨论 二、填空题（本大题二、填空题（本
21、大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：xy24xy+4x x（y2）2 【分析】先提取公因式 x，再根据完全平方公式进行二次分解 【解答】解：xy24xy+4xx（y24y+4）x（y2）2 故答案为：x（y2）2 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式注意提取公因式后利用完全平方公 式进行二次分解，分解要彻底 12 （4 分）如图，ABCD，若E34，D20，则B 的度数为 54 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出BCD，再根据 两直线平行，内错角相等进行解答即可 【解答】解：如图，E34，D20，
22、BCDD+E20+3454， ABCD， BBCD54 故答案为：54 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各性质并准确识图是解题 的关键 13 （4 分） 关于 x 的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示， 则此不等式组的解集为 1x2 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就 是不等式组的解集实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右向左两个不 等式的公共部分就是不等式组的解集 【解答】 解： 由图示可看出， 从1 出发向右画出的线且1 处是实心圆， 表示 x1； 从 2 出发向左画出的线且 2 处是空心圆，表示 x2，不等式组的解集是
23、指它们的公共 部分 所以这个不等式组的解集是1x2 【点评】本题考查了不等式的解集不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式 的解集在数轴上表示出来 （，向右画；，向左画 ） ，数轴上的点把数轴分成若 干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是 不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示； “” ， “”要用空心圆点表示 14 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取 值范围是 m3 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解 之即可得出 m 的
24、取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根， （2）241m0， m3 故答案为：m3 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解 题的关键 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC2，分别以 AC、BC 为直径画 半圆，则图中阴影部分的面积为 4 （结果保留 ） 【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积三角形的面积，然后利用三角形的面 积计算即可 【解答】解： 设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示， 两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，ABC 的面积是
25、 S3+S4+S5，阴影部分的面 积是：S1+S2+S4， 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积 即阴影部分的面积4+14224 【点评】此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积三角形的面积 16 （4 分）在 RtABC 中，C90，AD 平分CAB，BE 平分ABC，AD、BE 相交于 点 F，且 AF4，EF，则 AC 【分析】先求出EFG45， 进而利用勾股定理即可得出 FGEG1，进而求出 AE， 最后判断出AEFAFC，即可得出结论 【解答】解：如图，过点 E 作 EGAD 于 G，连接 CF， AD，BE 是分别是BAC 和ABC 的平分线， CADBAD
26、，CBEABE， ACB90， 2（BAD+ABE）90， BAD+ABE45， EFGBAD+ABE45， 在 RtEFG 中，EF， FGEG1， AF4， AGAFFG3，根据勾股定理得，AE， AD 平分CAB，BE 平分ABC， CF 是ACB 的平分线， ACF45AFE， CAFFAE， AEFAFC， ， AC， 故答案为 【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出 AE 是解本题的关键 17 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1的位置， 点 B、O 分别落在点 B1、C1处，点 B1在 x 轴上，再将A
27、B1C1绕点 B1顺时针旋转到 A1B1C2的位置，点 C2在 x 轴上，将A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上， 依次进行下去 若点 A （， 0） ， B （0， 2） ， 则点 B2020的坐标为 （6060， 2） 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4每偶数之 间的 B 相差 6 个单位长度，根据这个规律可以求得 B2020的坐标 【解答】解：点 A（，0） ，B（0，2） ， AO，BO2， AB， OA+AB1+B1C2+26， B2的横坐标为：6，且 B2C22， B4的横坐标为：2612， 点 B2020
28、的横坐标为：101066060 点 B2020的纵坐标为：2 故点 B2020的坐标为（6060，2） 故答案为： （6060，2） 【点评】此题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有 B 点之间的关系是本 题的关键题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力 三、解答题（一） （共三、解答题（一） （共 3 小题，满分小题，满分 18 分）分） 18 （6 分）计算： （1）0+|2cos45+（） 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角 函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式1+2+4 1+4 5 【点评】此题主要考查了实数运算，正
29、确化简各数是解题关键 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 是方程 a2+a60 的 解 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程 a2+a60 可以求 得 a 的值，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入 a 的值必须使得原 分式有意义 【解答】解： ， 由 a2+a60，得 a3 或 a2， a20， a2， a3， 当 a3 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化 简求值的方法 20 （6 分）如图，在 RtABC 中，C90，A28 （1）作 AC 边上的垂直平分线 DE，交 AC 于点 D，交
30、AB 于点 E（用直尺和圆规作图， 不写作法，但要保留作图痕迹） ； （2）连接 CE，求BCE 的度数 【分析】 （1）利用基本作图，作 DE 垂直平分 AC； （2）根据线段垂直平分线的性质得到 EAEC，则根据等腰三角形的性质得到ECA A28然后利用互余计算BCE 的度数 【解答】解： （1）如图，DE 为所求； （2）DE 垂直平分 AC， EAEC， ECAA28 BCE90ECA902862 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握 5 种基本作图（作一条线段等于已知线 段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作 已知直线的垂线） 四、解答题（二
31、） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21（8 分） 由于新冠肺炎疫情爆发， 某公司根据市场需求代理 A、 B 两种型号的空气净化器， 每台 A 型净化器比每台 B 型净化器进价多 200 元，用 5 万元购进 A 型净化器与用 4.5 万 元购进 B 型净化器的数量相等 （1）求每台 A 型、B 型净化器的进价各是多少元？ （2） 公司计划购进 A、 B 两种型号的净化器共 50 台进行试销， 其中 A 型净化器为 m 台， 购买资金不超过 9.8 万元 试销时 A 型净化器每台售价 2500 元， B 型净化器每台售价 21
32、80 元公司决定从销售 A 型净化器的利润中按每台捐献 75 元作为公司帮扶疫区贫困居民， 设公司售完 50 台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W，求 W 的最大值 【分析】 （1） 设每台 B 型净化器的进价是 x 元， 则每台 A 型净化器的进价是 （x+200） 元， 根据数量总价单价结合用 5 万元购进 A 型净化器与用 4.5 万元购进 B 型净化器的数 量相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）由总价单价数量结合购买资金不超过 9.8 万元，即可得出关于 m 的一元一次不 等式，解之即可得出 m 的取值范围，根据总利润每台的利润销售数量，即可得出
33、W 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】 解： （1） 设每台 B 型净化器的进价是 x 元， 则每台 A 型净化器的进价是 （x+200） 元， 依题意，得：， 解得：x1800， 经检验，x1800 是原方程的解，且符合题意， x+2002000 答：每台 A 型净化器的进价是 2000 元，每台 B 型净化器的进价是 1800 元 （2）购进 A 型净化器 m 台， 购进 B 型净化器（50m）台， 又购买资金不超过 9.8 万元， 2000m+1800（50m）98000， m40 依题意：获得的利润 W（2500200075）m+（21801800）
34、 （50m）45m+19000， 450， W 随 m 的增大而增大， 当 m40 时，W 取得最大值，最大值4540+1900020800 答：W 的最大值为 20800 元 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解 题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正 确列出一元一次不等式及一次函数关系式 22 （8 分）央行今年推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有： A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调有 统计：得到如图两幅不完整的统计图 请你根据统计
35、图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了 200 名购买者； （2）请补全条形统计图在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 108 度 （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “现金”三种付款方式中选 一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率 【分析】 （1）根据 B 的人身和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得选择 A 和 D 的人数，从而可以将条形统计图补充完 整；用 360乘以 A 种支付方式所占的百分比即可得出在扇形统计图中 A 种支付方式所 对应的圆心角的度数； （3
36、）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据 概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）本次一共调查的购买者有：5628%200（名） ； 故答案为：200； （2）D 方式支付的有：20020%40（人） ， A 方式支付的有：20056444060（人） ， 补全的条形统计图如图所示： 在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为：360108； 故答案为：108； （3）根据题意画图如下： 共有 9 种等可能的情况数，其中两人恰好选择同一种付款方式的有 3 种， 则两人恰好选择同一种付款方式的概率是 【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图以及用列树状图法求
37、概率，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答 23 （8 分） 如图， 反比例函数 y （k0） 的图象与正比例函数 y2x 的图象相交于 A （1， a） ，B 两点，点 C 在第四象限，CAy 轴，连接 BC （1）求 k 的值及点 B 的坐标； （2）求 tanA 的值； （3）当ABC 是直角三角形时，求点 C 的坐标 【分析】 （1）根据点 A（1，a）在 y2x 上，可以求得点 A 的坐标，再根据反比例函数 y （k0）的图象与反比例函数 y2x 的图象相交于 A（1，a） ，B 两点，即可求得 k 的值和点 B 的坐标； （2）根据点 A 的坐标即可求得 tanA 的
38、值； （3）根据题意和函数图象，利用分类讨论的方法可以求得点 C 的坐标 【解答】解： （1）点 A（1，a）在直线 y2x 上， a212， 即点 A 的坐标为（1，2） ， 点 A（1，2） ，点 B 是反比例函数 y（k0）的图象与正比例函数 y2x 图象的交 点， k122，点 B 的坐标为（1，2） ， 即 k 的值是 2，点 B 的坐标为（1，2） ； （2）点 A（1，2） ， tanA； （3）点 C 在第四象限，CAy 轴，点 A（1，2） ，点 B（1，2） ， 当ABC 是直角三角形，ACB90时，点 C 的坐标为（1，2） ； 当ABC 是直角三角形，ABC90时，设点
39、 C 的坐标为（1，c） ， cosA， 点 A（1，2） ，点 B（1，2） ， AB2，AC2c， ， 解得，c3， 即点 C 的坐标为（1，3） ， 由上可得，当ABC 是直角三角形时，点 C 的坐标是（1，2）或（1，3） 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利 用数形结合的思想解答 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，且对角线 AC 为直径，ADBC， 过点 D 作 DGAC，垂足为 E，DG 分别与
40、AB，O 及 CB 延长线交于点 F、G、M （1）求证：四边形 ABCD 为矩形； （2）若 N 为 MF 中点，求证：NB 是O 的切线； （3）若 F 为 GE 中点，且 DE6，求O 的半径 【分析】 （1）根据 AC 为O 直径，得到ADCCBA90，通过全等三角形得到 CDAB，推出四边形 ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2） 根据直角三角形的性质得到 NBMFNF， 根据等腰三角形的性质和余角的性质 即可得到 NB 是O 的切线； （3）根据垂径定理得到 DEGE6，根据四边形 ABCD 是矩形，得到BAD90， 根据余角的性质得到FAEADE，推出AEF
41、DEA，根据相似三角形的性质列比 例式得到 AE3，连接 OD，设O 的半径为 r，根据勾股定理列方程即可得到结论 【解答】解： （1）AC 为O 直径， ADCCBA90， 在 RtADC 与 RtCBA 中， RtADCRtCBA， CDAB， ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， CBA90， 四边形 ABCD 是矩形； （2）连接 OB， MBFABC90， NBMFNF， 12， 23， 13， OBOA， 54， DGAC， AEF90， 3+490， 1+590， OBNB， NB 是O 的切线； （3）AC 为O 直径，ACDG， DEGE6， F 为 GE 中点， E
42、FGF3， 四边形 ABCD 是矩形， BAD90， FAE+DAE90， ADE+DAE90， FAEADE， AEFDEA90， AEFDEA， ， AE3， 连接 OD，设O 的半径为 r， OAODr，OEr3， OE2+DE2OD2， （r3）2+62r2， r， O 的半径是 【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似 三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得 AEFDEA 是解决（3） 的关键 25 （10 分） 如图， 二次函数 yx25x+4 的图象与 x 轴交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 左侧） ， 顶点为 C， 有一
43、个动点 E 从点 B 出发以每秒一个单位向点 A 运动， 过 E 作 y 轴的平行线， 交ABC 的边 BC 或 AC 于点 F， 以 EF 为边在 EF 右侧作正方形 EFGH， 设正方形 EFGH 与ABC 重叠部分面积为 S，E 点运动时间为 t 秒 （1）求顶点 C 的坐标和直线 AC 的解析式； （2）求当点 F 在 AC 边上，G 在 BC 边上时 t 的值； （3）求动点 E 从点 B 向点 A 运动过程中，S 关于 t 的函数关系 【分析】 （1）把 yx25x+4 化成顶点式，求出顶点 C 的坐标，yx25x+4 化成（x1） （x4） ，求出 A、B 的坐标，设 AC 直线
44、为 ykx+b，把 A、C 的坐标代入就能求出直线 AC 的解析式； （2）设直线 BC 的解析式是 yax+c，把 B、C 的坐标代入就能求出直线 BC，点 E 坐标 为（4t，0） ，点 F 坐标为（） ，求出 EF，FG2t3，根据 EF FG，即可求出 t 的值； （3） 可分以下几种情况： 点 F 在 BC 上时， 如图 1 重叠部分是BEF2， 此时 时，点 F 坐标为（） ，根据三角形的面积公式即可求出；I 如图 2，EBEH 时重叠部分是直角梯形 EFKB，此时t，根据三角形的面积公式即可求出；II 如 图 3，EBEH，点 G 在 BC 下方时，重叠部分是五边形 EFKMH，
45、此时， ，因为 SS正方形EFGHSKMG，根据三角形的面积公式即可求出；如图 4，点 G 在 BC 上或 BC 上方时，重叠部分是正方形 EFGH，此时t3， 根据正方形的面积公式求出即可 【解答】 （1）解： yx25x+4， 顶点 C 的坐标为（） ， yx25x+4（x1） （x4） ， 点 A（1，0） ，B（4，0） ， 设 AC 直线为 ykx+b，得， 解得：k，b， ， 答：顶点 C 的坐标为（） ，直线 AC 的解析式是 （2）解：设直线 BC 的解析式是 yax+c， 把 B（4，0） ，C（，）代入得：04a+c 且a+c， 解得：a，c6， 直线 BC 的解析式为，
46、当 F 在 AC 边上，G 在 BC 边上时， 点 E 坐标为（4t，0） ，点 F 坐标为（） ， 得 EF， 而 EFFG， 抛物线的对称轴和等腰ABC 的对称轴重合， FG， 2t3， 2t3， 解得， 答：当点 F 在 AC 边上，G 在 BC 边上时 t 的值是 （3）解：点 E 坐标为（4t，0）随着正方形的移动，重叠部分的形状不同，可分以下 几种情况： 点 F 在 BC 上时，如图 1 重叠部分是BEF， 此时时，点 F 坐标为（） ， ， 点 F 在 AC 上时，点 F 坐标为（）又可分三种情况： 如图 2，EBEH 时重叠部分是直角梯形 EFKB（设 FG 与直线 BC 交于
47、点 K） ， 此时t， ， 如图 3，EBEH，点 G 在 BC 下方时，重叠部分是五边形 EFKMH（设 FG 与直线 BC 交于点 K，GH 与直线 BC 交于点 M） ， 此时， 点 H 坐标为（） ，点 M 坐标为（） ， ， ， ， SSEFGHSKMG（）2， ， 如图 4，点 G 在 BC 上或 BC 上方时，重叠部分是正方形 EFGH，此时t3， t2t+， 答：动点 E 从点 B 向点 A 运动过程中，S 关于 t 的函数关系 St2（0t）或 S t2+9t（t）或 St2+t（t）或 St2t+ （t3） 【点评】本题主要考查对二次函数与 X 轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式， 解二元一次方程组，三角形的面积，用十字相乘法分解因式，二次函数图象上点的坐标 特征等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，用的数学思想是 分类讨论思想
