1、2020 年陕西师大附中中考数学四模试卷年陕西师大附中中考数学四模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一个选项是符合题意的）每小题只有一个选项是符合题意的） 1 （3 分） （2） 3（ ） A6 B8 C D 2 （3 分）如图，是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体移走后，所得几何 体（ ） A主视图改变，左视图改变 B俯视图不变，左视图不变 C俯视图改变，左视图改变 D主视图改变，左视图不变 3 （3 分）如图，已知 ab，一块含 30角的直角三角板，如图所示放置，230，则 1 等于（ ） A110 B
2、130 C150 D160 4 （3 分）对于正比例函数 y3x，当自变量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值（ ） A增加 B减少 C增加 3 D减少 3 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （2m2）32m5 Ba2+a2+a2a6 C（n2）2n4 D2x5y10 xy 6 （3 分）如图，把等边ABC 沿着 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处，且 DP BC，若 BP4cm，则 PC（ ）cm A8 B4+3 C4+4 D10 7 （3 分）将一次函数 y3x 向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是 24，则平移 距离（ ） A4 B6 C6 D12
3、8 （3 分）如图，已知ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、F、G、H，连接 AC若 EF2，FGGC5，则 AC 的长是（ ） A12 B13 C D 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A56以 BC 为直径的O 交 AB 于点 DE 是O 上一点，且，连接 OE过点 E 作 EFOE，交 AC 的延长线于 点 F，则F 的度数为（ ） A92 B108 C112 D124 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，记 m|ab+c|+|2a+b+c|，n |a+b+c|+|2abc|则下列选项正确的是（ ） Amn Bmn Cmn Dm、
4、n 的大小关系不能确定 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） 11 （3 分）2，1，其中最小的数是 12 （3 分）若正多边形的边长为 2，内角和是 720，则该正多边形的面积是 13 （3 分） 如图， 在 RtAOB 中， 直角边 OA、 OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， 将AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后，得到AOB，且反比例函数 y的图象恰好 经过斜边 AB 的中点 C，若 SABO4，tanBAO2，则 k 14 （3 分）如图所示，在ABC 中，ABAC6，BD、CE 为ABC 的两条中线，且 BD
5、CE 于点 N，M 为线段 BD 上的动点，则 AM+EM+BC 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分。解答应写出过程）分。解答应写出过程） 15 （5 分）计算：|3|4（cos60）+3（20201）0 16 （5 分）解分式方程：1 17 （5 分）如图，已知在ABC 中，A90，请用圆规和直尺作P，使圆心 P 在 AC 上，且与 AB、BC 两边都相切 （要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明） 18 （5 分）如图，已知 AMCN，B 在 MN 的垂直平分线上，AMBCNB，MBN 90 证明：ABC 为等腰直角三角形 19 （7 分）在“慈善一日
6、捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分 学生的捐款数（单位：元） ，并绘制成下面的统计图 （1）本次调查的样本容量是 ，这组数据的众数为 元； （2）求这组数据的平均数； （3）该校共有 600 名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数 20 （7 分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5 米的测角仪 AF 测得古树顶端 H 的仰角HFE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视 线 FH 上， 再向前走 10 米到达 B 处， 又测得教学楼顶端 G 的仰角GED 为 60， 点 A、 B、C 三点在同一水平线上 （1）求古
7、树 BH 的高； （2）求教学楼 CG 的高 （参考数据：1.4，1.7） 21 （7 分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度， 两人同时出发，沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离 y（km）与小 王的行驶时间 x（h）之间的函数关系 请你根据图象进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围 22 （7 分）甲、乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘 A，B 做游戏，游戏规则如下：分 别转动两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（若指针停止在等份线上，那么
8、 重转一次，直到指针指向某一数字为止） ，用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲 获胜；如果积是偶数，则乙获胜请你解决下列问题： （1）乙转动转盘 B 一次，求指针指向偶数的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 的中点，以 CD 为直径的O 分 别交 AC，BC 于点 E，F 两点，过点 F 作 FGAB 于点 G （1）试判断 FG 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC6，CD5，求 FG 的长 24 （10 分） 已知二次函数 yx2+bx+c 的图象 L 经过原点， 与 x 轴的另一个交点为 （8， 0）
9、 （1）求该二次函数的解析式； （2）作 x 轴的平行线，交 L 于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，过 A，B 两点作 x 轴的 垂线，垂足分别为点 D，C当以 A，B，C，D 为顶点的四边形是正方形时，求点 A 的 坐标 25 （12 分）问题提出 如图1， 在ABC中， ACB90， CHAB于点H， 若AB6， 则CH的最大值为 问题探究 如图 2，在四边形 ABCD 中，AB12，BCCD，BCD60，AD9连接 AC，求 ABC 面积的最大值 问题解决 如图3， 某市郊区点O处有一棵古树， 点A处是某市古树名木保护研究中心， 且OA40km， 为加强对该古树的检测和保护
10、，拟在距古树 3km 处设置三个观测点 B，C，D，以形成保 护区域四边形 ABCD 那么， 是否可以形成一个满足要求的面积最大的四边形 ABCD？若 可以，求出满足条件的四边形 ABCD 的最大面积；若不可以，请说明理由 （研究中心及 各观测点的占地面积忽略不计） 2020 年陕西师大附中中考数学四模试卷年陕西师大附中中考数学四模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一个选项是符合题意的）每小题只有一个选项是符合题意的） 1 （3 分） （2） 3（ ） A6 B8 C D 【分析】直
11、接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解： （2） 3 故选：C 2 （3 分）如图，是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体移走后，所得几何 体（ ） A主视图改变，左视图改变 B俯视图不变，左视图不变 C俯视图改变，左视图改变 D主视图改变，左视图不变 【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看 得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：将正方体移走前的主视图正方形的个数为 1，2，1；正方体移走后的 主视图正方形的个数为 1，2；主视图发生改变 将正方体移走前的左视图正方形的个数为 2，1，1；正方体移走后的左视图正方形 的个数为
12、2，1，1；左视图没有发生改变 将正方体移走前的俯视图正方形的个数为 1，3，1；正方体移走后的俯视图正方形 的个数，1，3；俯视图发生改变 故选：D 3 （3 分）如图，已知 ab，一块含 30角的直角三角板，如图所示放置，230，则 1 等于（ ） A110 B130 C150 D160 【分析】 利用三角形外角与内角的关系， 先求出3， 利用平行线的性质得到4 的度数， 再利用三角形外角与内角的关系求出1 【解答】解：C90，2CDE30， 3C+CDE 90+30 120 ab， 43120 A30 14+A 120+30 150 故选：C 4 （3 分）对于正比例函数 y3x，当自变
13、量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值（ ） A增加 B减少 C增加 3 D减少 3 【分析】分别代入 xm，xm+1 求出与之对应的 y 值，二者做差后即可得出结论（利 用正比例函数的性质亦可解决问题） 【解答】解：当 xm 时，y3m； 当 xm+1 时，y3（m+1）3m3 3m3（3m）3， 当自变量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值减少 3 故选：D 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （2m2）32m5 Ba2+a2+a2a6 C（n2）2n4 D2x5y10 xy 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、合并同类项、单项式乘以单项式的计算方法进行计 算即可，逐项判断即可 【解
14、答】解： （2m2）38m6，因此选项 A 不正确； a2+a2+a23a2，因此选项 B 不正确； （n2）2n4，因此选项 C 不正确； 2x5y10 xy，因此选项 D 正确； 故选：D 6 （3 分）如图，把等边ABC 沿着 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处，且 DP BC，若 BP4cm，则 PC（ ）cm A8 B4+3 C4+4 D10 【分析】根据等边三角形的性质得到ABC60，ABBC，根据直角三角形 的性质得到 BD8cm，PD4cm，根据折叠的性质得到 ADPD4cm，可求 AB ACBC（8+4）cm，即可求解 【解答】解：ABC 是等边三角形，
15、ABC60，ABBC， DPBC， BPD90， PB4cm， BD2PB8（cm） ，PD4（cm） ， 把等边ABC 沿着 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处， ADPD4cm， ABBC（8+4）cm， PCBCBP（4+4）cm， 故选：C 7 （3 分）将一次函数 y3x 向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是 24，则平移 距离（ ） A4 B6 C6 D12 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积 公式得出答案 【解答】解：设平移的距离为 k（k0） ，则将一次函数 y3x 向左平移后所得直线解析 式为：y3（x+k
16、）3x+3k 易求得新直线与坐标轴的交点为（k，0） 、 （0，3k） 所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：3k24， 解得 k4 或4（舍去） 故选：A 8 （3 分）如图，已知ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、F、G、H，连接 AC若 EF2，FGGC5，则 AC 的长是（ ） A12 B13 C D 【分析】如图，作 APCH 交 CH 的延长线与 P利用勾股定理即可解决问题； 【解答】解：如图，作 APCH 交 CH 的延长线与 P 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、 F、 G、 H， 易证四边形 EFGH 是矩形，四边
17、形 AEHP 是矩形，ABECDG， 可得 PAFG5，AEPHCG5，CPCG+PH+GH2+1012， 在 RtAPC 中，AC13 故选：B 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A56以 BC 为直径的O 交 AB 于点 DE 是O 上一点，且，连接 OE过点 E 作 EFOE，交 AC 的延长线于 点 F，则F 的度数为（ ） A92 B108 C112 D124 【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出COE 的度数，再利用四边形内角 和定理得出答案 【解答】解：ACB90，A56， ABC34， ， 2ABCCOE68， 又OCFOEF90， F3609090
18、68112 故选：C 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，记 m|ab+c|+|2a+b+c|，n |a+b+c|+|2abc|则下列选项正确的是（ ） Amn Bmn Cmn Dm、n 的大小关系不能确定 【分析】 首先根据抛物线开口向下， 可得 a0； 然后根据对称轴在 y 轴右边， 可得 b0； 再根据抛物线经过原点，可得 c0；再根据 x1 时，y0，判断出 a+b+c0，ab； 最后分别求出 m、n 的值各是多少，判断出 m、n 的大小关系即可 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 对称轴在 y 轴右边， b0， 抛物线经过原点， c0， ab+c0；
19、x1 时，y0， a+b+c0， c0， a+b0 x1，a0， b2a， 2a+b0， m|ab+c|+|2a+b+c| ba+（2a+b） a+2b n|a+b+c|+|2abc| a+b+（b2a） 2ba mn（a+2b）（2ba） 2a a0， 2a0， 即 mn0， mn 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） 11 （3 分）2，1，其中最小的数是 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可 【解答】解：21， 最小的数是， 故答案为： 12 （3 分）若正多边形的边长为 2，内角和是 720，
20、则该正多边形的面积是 6 【分析】首先设这个正多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式可得 180（n2） 720，求出边数，继而可求得答案 【解答】解：设这个正多边形的边数为 n， 一个正多边形的内角和为 720， 180（n2）720， 解得：n6， 正六边形的边长为 2， 由于正六边形可分成六个全等的等边三角形，且等边三角形的边长与正六边形的边长相 等， 所以正六边形的面积6sin60226 故答案是：6 13 （3 分） 如图， 在 RtAOB 中， 直角边 OA、 OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， 将AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后，得到AOB，且反比例函数
21、y的图象恰好 经过斜边 AB 的中点 C，若 SABO4，tanBAO2，则 k 6 【分析】先根据 SABO4，tanBAO2 求出 AO、BO 的长度，再根据点 C 为斜边 A B 的中点，求出点 C 的坐标，点 C 的横纵坐标之积即为 k 值 【解答】解：设点 C 坐标为（x，y） ，作 CDBO交边 BO于点 D， tanBAO2， 2， SABOAOBO4， AO2，BO4， ABOAOB， AOAO2，BOBO4， 点 C 为斜边 AB 的中点，CDBO， CDAO1，BDBO2， xBD2，yBOCD413， kxy326 故答案为 6 14 （3 分）如图所示，在ABC 中，A
22、BAC6，BD、CE 为ABC 的两条中线，且 BDCE 于点 N，M 为线段 BD 上的动点，则 AM+EM+BC 的最小值为 3+6 【分析】连接 DE首先证明BCN 是等腰直角三角形，再求出 BC作点 A 关于直线 BD 的对称点 H，连接 EH 交 BD 于 M，连接 AM，此时 AM+EM 的值最小，最小值线 段 EH 的长，过点 H 作 HTAB 于 T，延长 BD 交 AH 于 J，利用面积法求出 EH，TE， EH 即可解决问题 【解答】解：连接 DE ABAC， ABCACB， BEAB，DCAC， BECD， BCCB， EBCDCB（SAS） ， ECBDBC，ECBD，
23、 BNCN， ENDN， BDEC， EDM，BCN 都是等腰直角三角形， AEEB，ADDC， DEBC，DEBC， ， CN2EN， BN2EN， AEBE3， EN3，BN6， BNCN6， BC6， 作点 A 关于直线 BD 的对称点 H，连接 EH 交 BD 于 M，连接 AM，此时 AM+EM 的值最 小，最小值线段 EH 的长，过点 H 作 HTAB 于 T，延长 BD 交 AH 于 J AJEN，AEEB， BNNJ6， AJJH2EN6， SABHABHTAHBJ， HT， AT， ETAEAT3， EH3， AM+EM+BC 的最小值为 3+6 故答案为 3+6 三、解答题
24、（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分。解答应写出过程）分。解答应写出过程） 15 （5 分）计算：|3|4（cos60）+3（20201）0 【分析】直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角 的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式34（）+3 30+3 6 16 （5 分）解分式方程：1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 m 的值，经检验即可 得到方程的解 【解答】解：去分母得：5mm23， 移项合并得：2m10， 解得：m5， 检验：把 m5 代入得：m25230， 分式方程的解为 m5 17 （5 分）如图，已知
25、在ABC 中，A90，请用圆规和直尺作P，使圆心 P 在 AC 上，且与 AB、BC 两边都相切 （要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明） 【分析】与 AB、BC 两边都相切根据角平分线的性质可知要作ABC 的角平分线，角 平分线与 AC 的交点就是点 P 的位置 【解答】解：如图所示，则P 为所求作的圆 18 （5 分）如图，已知 AMCN，B 在 MN 的垂直平分线上，AMBCNB，MBN 90 证明：ABC 为等腰直角三角形 【分析】 证明ABMCBN（SAS） ， 的长 ABCB， ABMCBN， 则CBN+ABN ABM+ABNMBN90，即ABC90，即可得出结论 【解答】证明：点
26、 B 在 MN 的垂直平分线上， BMBN， 在ABM 和CBN 中， ABMCBN（SAS） ， ABCB，ABMCBN， CBN+ABNABM+ABNMBN90， 即ABC90， ABC 为等腰直角三角形 19 （7 分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分 学生的捐款数（单位：元） ，并绘制成下面的统计图 （1）本次调查的样本容量是 30 ，这组数据的众数为 10 元； （2）求这组数据的平均数； （3）该校共有 600 名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数 【分析】 （1）由题意得出本次调查的样本容量是 6+11+8+530，由众数的定义即可得出
27、结果； （2）由加权平均数公式即可得出结果； （3）由总人数乘以平均数即可得出答案 【解答】解： （1）本次调查的样本容量是 6+11+8+530，这组数据的众数为 10 元； 故答案为：30，10； （2）这组数据的平均数为12（元） ； （3）估计该校学生的捐款总数为 600127200（元） 20 （7 分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5 米的测角仪 AF 测得古树顶端 H 的仰角HFE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视 线 FH 上， 再向前走 10 米到达 B 处， 又测得教学楼顶端 G 的仰角GED 为 60， 点 A
28、、 B、C 三点在同一水平线上 （1）求古树 BH 的高； （2）求教学楼 CG 的高 （参考数据：1.4，1.7） 【分析】 （1）由HFE45知 HEEF10，据此得 BHBE+HE1.5+1011.5； （2）设 DEx 米，则 DGx 米，由GFD45知 GDDFEF+DE，据此得x 10+x，解之求得 x 的值，代入 CGDG+DCx+1.5 计算可得 【解答】解： （1）在 RtEFH 中，HEF90，HFE45， HEEF10， BHBE+HE1.5+1011.5， 古树的高为 11.5 米； （2）在 RtEDG 中，GED60， DGDEtan60DE， 设 DEx 米，则
29、DGx 米， 在 RtGFD 中，GDF90，GFD45， GDDFEF+DE， x10+x， 解得：x5+5， CGDG+DCx+1.5（5+5）+1.516.5+525， 答：教学楼 CG 的高约为 25 米 21 （7 分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度， 两人同时出发，沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离 y（km）与小 王的行驶时间 x（h）之间的函数关系 请你根据图象进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围 【分析】 （1）根据题意和函数
30、图象中的数据可以分别求得王和小李的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点 C 的坐标，从而可以解答本题 【解答】解： （1）由图可得， 小王的速度为：30310km/h， 小李的速度为： （30101）120km/h， 答：小王和小李的速度分别是 10km/h、20km/h； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：30201.5h， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：101.515km， 点 C 的坐标为（1.5，15） ， 设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b， ，得， 即线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式是 y30 x30（1x
31、1.5） 22 （7 分）甲、乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘 A，B 做游戏，游戏规则如下：分 别转动两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（若指针停止在等份线上，那么 重转一次，直到指针指向某一数字为止） ，用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲 获胜；如果积是偶数，则乙获胜请你解决下列问题： （1）乙转动转盘 B 一次，求指针指向偶数的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由 【分析】 （1）直接利用概率公式计算； （2） 先画树状图展示所有 12 种等可能的结果， 再计算出甲获胜的概率和乙获胜的概率， 然后通过比较两概率的大小判断游戏是否公平 【解答】解： （1）指针指向偶数
32、的概率； （2）这个游戏不公平 理由如下： 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中积是奇数的结果数为 4，积是偶数的结果数为 8， 所以甲获胜的概率，乙获胜的概率， 因为， 所以这个游戏不公平 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 的中点，以 CD 为直径的O 分 别交 AC，BC 于点 E，F 两点，过点 F 作 FGAB 于点 G （1）试判断 FG 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC6，CD5，求 FG 的长 【分析】 （1）如图，连接 OF，根据直角三角形的性质得到 CDBD，得到DBC DCB，根据等腰三角形的性质得到OFCOCF，得
33、到OFCDBC，推出OFG 90，于是得到结论； （2）连接 DF，根据勾股定理得到 BC8，根据圆周角定理得到DFC 90，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解： （1）FG 与O 相切， 理由：如图，连接 OF， ACB90，D 为 AB 的中点， CDBD， DBCDCB， OFOC， OFCOCF， OFCDBC， OFDB， OFG+DGF180， FGAB， DGF90， OFG90， FG 与O 相切； （2）连接 DF， CD5， AB2CD10， BC8， CD 为O 的直径， DFC90， FDBC， DBDC， BFBC4， sinABC， 即， FG 24 （10
34、 分） 已知二次函数 yx2+bx+c 的图象 L 经过原点， 与 x 轴的另一个交点为 （8， 0） （1）求该二次函数的解析式； （2）作 x 轴的平行线，交 L 于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，过 A，B 两点作 x 轴的 垂线，垂足分别为点 D，C当以 A，B，C，D 为顶点的四边形是正方形时，求点 A 的 坐标 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可 （2）如图，设 A（m，m2+m） ，由四边形 ABCD 是正方形，推出 ADCD，由此 构建方程解决问题即可 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+c 的图象 L 经过原点，与 x 轴的另一个交点 为（8，0
35、） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+x （2）如图，设 A（m，m2+m） ， 四边形 ABCD 是正方形， ADCD， |m2+m|2（4m） ， 解得 m2 或 12（舍弃）或4 或 6（舍弃） ， A（2，4）或（4，16） ， 综上所述，满足条件的等 A 的坐标为（2，4）或（4，16） 25 （12 分）问题提出 如图 1， 在ABC 中， ACB90， CHAB 于点 H， 若 AB6， 则 CH 的最大值为 3 问题探究 如图 2，在四边形 ABCD 中，AB12，BCCD，BCD60，AD9连接 AC，求 ABC 面积的最大值 问题解决 如图3， 某市郊区点O处有一棵
36、古树， 点A处是某市古树名木保护研究中心， 且OA40km， 为加强对该古树的检测和保护，拟在距古树 3km 处设置三个观测点 B，C，D，以形成保 护区域四边形 ABCD 那么， 是否可以形成一个满足要求的面积最大的四边形 ABCD？若 可以，求出满足条件的四边形 ABCD 的最大面积；若不可以，请说明理由 （研究中心及 各观测点的占地面积忽略不计） 【分析】 问题提出： 如图 1 中， 取 AB 的中点 T， 连接 CT 利用斜边中线的性质求出 CT， 求出 CH 的最大值即可解决问题 问题探究：如图 2 中，以 AB 为边向上作等边AOB，连接 OC，过点 O 作 OMAB 于 M 证明
37、ABDOBC （SAS） ， 推出 OCAD9， 推出点 C 的运动轨迹是以 O 为圆心， OC 为半径的圆，点 C 到 AB 的距离的最大值为 OM+OC6+9，由此即可解决问题 问题解决： 存在 如图 3 中， 延长 AO 交O 于 C， 过点 O 作 AC 的垂线交O 于 A， D， 此时四边形 ABCD 的面积最大 【解答】解：问题提出：如图 1 中，取 AB 的中点 T，连接 CT ACB90，AB6，ATBT， CTAB3， CHAB， CHCT， CH3， CH 的最大值为 3， 故答案为 3 问题探究：如图 2 中，以 AB 为边向上作等边AOB，连接 OC，过点 O 作 OMAB 于 M AOB 是等边三角形，OMAB，ABOA12， AMBM6，OM6 CDCB，DCB60， CDB 是等边三角形， BCBD，CBD60， BABO，ABODBC60， ABDOBC， ABDOBC（SAS） ， OCAD9， 点 C的运动轨迹是以 O为圆心， OC 为半径的圆， 点 C 到AB的距离的最大值为OM+OC 6+9， ABC 的面积的最大值12（6）36+54 问题解决： 存在 如图 3 中， 延长 AO 交O 于 C， 过点 O 作 AC 的垂线交O 于 A， D， 此时四边形 ABCD 的面积最大，最大面积（40+3）6129（km2）
