1、第二讲第二讲 证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法 复习课复习课 学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的 问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及 规范 1比较法 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条 件证明的步骤大致是：作差恒等变形判断结果的符号 2综合法 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论证明时要注意的是作 为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否 具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的
2、不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重 要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握 3分析法 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理 论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立 的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式 一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证 题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用 4反证法 反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围： 直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；“唯一性”“存在性”的命题；
3、结论中 含有“至少”“至多”否定性词语的命题 5放缩法 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：舍掉(或加 进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；用基本不等式放缩. 类型一 比较法证明不等式 例 1 若 x，y，zR，a0，b0，c0.求证：bc a x2ca b y2ab c z22(xyyzzx) 证明 bc a x2ca b y2ab c z22(xyyzzx) b ax 2a by 22xy c by 2b cz 22yz a cz 2c ax 22zx b ax a by 2 c by b cz 2 a cz c ax 20， bc a x2ca b
4、 y2ab c z22(xyyzzx)成立 反思与感悟 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变 形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况 具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法 跟踪训练 1 设 a，b 为实数，0n1,0m1，mn1，求证：a 2 m b2 n (ab)2. 证明 a2 m b2 n (ab)2 na 2mb2 mn nma 22abb2 mn na 21mmb21n2mnab mn n 2a2m2b22mnab mn namb 2 mn 0， a 2 m b2 n (ab)2.
5、 类型二 综合法与分析法证明不等式 例 2 已知 a，b，cR，且 abbcca1，求证： (1)abc 3； (2) a bc b ac c ab 3( a b c) 证明 (1)要证 abc 3，由于 a，b，cR， 因此只需证(abc)23， 即证 a2b2c22(abbcca)3， 根据条件，只需证 a2b2c21abbcca， 由 abbccaa 2b2 2 b 2c2 2 c 2a2 2 a2b2c2(当且仅当 abc 3 3 时取等号)可知， 原不等式成立 (2) a bc b ac c ab abc abc ， 在(1)中已证 abc 3， abbcca1， 要证原不等式成立，
6、只需证 1 abc a b c， 即证 a bcb acc ab1abbcca. a，b，cR，a bc ab acabac 2 ， b acabbc 2 ，c abacbc 2 ， a bcb acc ababbcca(abc 3 3 时取等号)成立， 原不等式成立 反思与感悟 证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程 更加简洁 跟踪训练 2 已知 abc，求证： 1 ab 1 bc 1 ca0. 证明 方法一 要证 1 ab 1 bc 1 ca0， 只需证 1 ab 1 bc 1 ac. abc， acab0，bc0， 1 ab 1 ac， 1 bc0， 1 a
7、b 1 bc 1 ac成立， 1 ab 1 bc 1 ca0 成立 方法二 abc， acab0，bc0， 1 ab 1 ac， 1 bc0， 1 ab 1 bc 1 ac， 1 ab 1 bc 1 ca0. 类型三 反证法证明不等式 例 3 若 x，y 都是正实数，且 xy2，求证：1x y 2 或1y x 2 中至少有一个成立 证明 假设1x y 2 和1y x 0 且 y0，所以 1x2y 且 1y2x， 两式相加，得 2xy2x2y，所以 xy2. 这与已知 xy2 矛盾 故1x y 2 或1y x 2 中至少有一个成立 反思与感悟 反证法的“三步曲”：(1)否定结论(2)推出矛盾(3
8、)肯定结论其核心是在否 定结论的前提下推出矛盾 跟踪训练 3 已知函数 yf(x)在 R 上是增函数，且 f(a)f(b)f(b)f(a)，求证：ab. 证明 假设 ab 不成立，则 ab 或 ab. 当 ab 时，ab，则有 f(a)f(b)，f(a)f(b)， 于是 f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾 当 ab 时，ab，由函数 yf(x)的单调性，可得 f(a)f(b)，f(b)f(a)， 于是有 f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾故假设不成立 ab. 类型四 放缩法证明不等式 例 4 已知 nN，求证：2( n11)1 1 2 1 3 1 n2 n. 证明 对 kN，1
9、kn，有 1 k 2 2 k 2 k k12( k1 k)， 1 k2( k1 k) 1 1 2 1 3 1 n 2( 21)2( 3 2)2( n1 n)2( n11) 又对于 kN，2kn，有 1 k 2 2 k 2 k k12( k k1)， 1 1 2 1 3 1 n12( 21)2( 3 2)2( n n1) 2 n12 n. 原不等式成立 反思与感悟 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放 大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法 放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到 目的 跟踪训练
10、4 设 f(x)x2x13，a，b0,1， 求证：|f(a)f(b)|ab|. 证明 |f(a)f(b)|a2ab2b| |(ab)(ab1)|ab|ab1|， 0a1,0b1，0ab2， 1ab11，|ab1|1. |f(a)f(b)|ab|. 1已知 p: ab0，q：b a a b2，则 p 与 q 的关系是( ) Ap 是 q 的充分不必要条件 Bp 是 q 的必要不充分条件 Cp 是 q 的充要条件 D以上答案都不对 答案 C 解析 由 ab0，得b a0， a b0， b a a b2 b a a b2， 又b a a b2，则 b a， a b必为正数， ab0. 2实数 a，b
11、，c 满足 a2bc2，则( ) Aa，b，c 都是正数 Ba，b，c 都大于 1 Ca，b，c 都小于 2 Da，b，c 中至少有一个不小于1 2 答案 D 解析 假设 a，b，c 都小于1 2， 则 a2bc2 与 a2bc2 矛盾 3若 alg 2 2 ，blg 3 3 ，clg 5 5 ，则( ) Aabc Bcba Ccab Dbac 答案 C 解析 a3lg 2 6 lg 8 6 ，b2lg 3 6 lg 9 6 ， 98，ba. b 与 c 比较：blg 3 3 lg 3 5 15 ，clg 5 5 lg 5 3 15 ， 3553，bc. a 与 c 比较：alg 2 5 10
12、 lg 32 10 ，clg 25 10 ，3225，ac. bac， 故选 C. 4已知 a，bR，nN， 求证：(ab)(anbn)2(an 1bn1) 证明 (ab)(anbn)2(an 1bn1) an 1abnbanbn12an12bn1 a(bnan)b(anbn) (ab)(bnan) (1)若 ab0，则 bnan0，ab0， (ab)(bnan)0. (2)若 ba0，则 bnan0，ab0， (ab)(bnan)0. (3)若 ab0，(bnan)(ab)0. 综上(1)(2)(3)可知，对于 a，bR，nN，都有 (ab)(anbn)2(an 1bn1) 1比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等 式两端的代数式同号 2由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是 “由因导果”，两者是对立统一的两种方法 3证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法等证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多 证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养
