1、第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 复习课复习课 学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解 和应用， 尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握， 进一步熟练绝 对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式 1实数的运算性质与大小顺序的关系：abab0，abab0，abab0， 由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可 2不等式的基本性质 (1)对称性：abba. (2)传递性：ab，bcac. (3)可加性：abacbc. (4)可乘性：如果 ab，c0，那么 acbc； 如果 ab，c0，那么 acbc
2、. (5)乘方：如果 ab0，那么 anbn(nN，n2) (6)开方：如果 ab0，那么nanb(nN，n2) 3基本不等式 (1)定理 1：如果 a，bR，那么 a2b22ab(当且仅当 ab 时，等号成立) (2)定理 2：如果 a，b0，那么ab 2 ab(当且仅当 ab 时，等号成立) (3)引理：若 a，b，cR，则 a3b3c33abc(当且仅当 abc 时，等号成立) (4)定理 3：如果 a，b，cR，那么abc 3 3abc(当且仅当 abc 时，等号成立) (5)推论：若 a1，a2，anR，则a1a2an n na1a2an.当且仅当 a1a2an 时，等号成立； (6
3、)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求 4绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号， 把含绝对值的不等式转化为一元一 次不等式，或一元二次不等式去绝对值符号常见的方法 (1)根据绝对值的定义 (2)分区间讨论(零点分段法) (3)图象法 5绝对值三角不等式 (1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离， |ab|的几何意义表示数轴上两点间的距离 (2)|ab|a|b|(a，bR，ab0 时等号成立) (3)|ac|ab|bc|(a，b，cR，(ab)(bc)0 时等号成立) (4)|a|b|ab|a|b|(a，bR，左边“”
4、成立的条件是 ab0，右边“”成立的 条件是 ab0) (5)|a|b|ab|a|b|(a，bR，左边“”成立的条件是 ab0，右边“”成立的 条件是 ab0). 类型一 不等式的基本性质的应用 例 1 “acbd”是“ab 且 cd”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得当 ab 且 cd 时，必有 acbd.若 acbd，则可能有 ab 且 cd. 反思与感悟 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质， 进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想 跟踪训练 1 如果 aR，且 a2a0，那么 a
5、，a2，a，a2的大小关系是( ) Aa2aa2a Baa2a2a Caa2aa2 Da2aaa2 答案 B 解析 由 a2a0 知，a0，故有 aa20,0a2a.故选 B. 类型二 基本不等式及其应用 命题角度1 用基本不等式证明不等式 例 2 已知 abcd，求证： 1 ab 1 bc 1 cd 9 ad. 证明 abcd， ab0，bc0，cd0， 1 ab 1 bc 1 cd (ad) 1 ab 1 bc 1 cd (ab)(bc)(cd) 3 3 1 ab 1 bc 1 cd 3 3 abbccd9. 1 ab 1 bc 1 cd 9 ad. 反思与感悟 不等式的证明方法很多， 关
6、键是从式子的结构入手分析， 运用基本不等式证明 不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式 跟踪训练 2 设 a，b，c 均为正数， 证明：(abab1)(abacbcc2)16abc. 证明 (abab1) (abacbcc2) (b1)(a1)(bc)(ac) 2 b 2 a 2 bc 2 ac16abc， 所证不等式成立 命题角度2 求最大、最小值 例 3 若 x，y，zR，x2y3z0，则y 2 xz的最小值为_ 答案 3 解析 由 x2y3z0，得 yx3z 2 ， 则y 2 xz x29z26xz 4xz 6xz6xz 4xz 3， 当且仅当 x3z 时取“” 反思与感悟 利
7、用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2) 积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件： “一正、二定、三相等” 跟踪训练 3 当 0 x 2时，函数 f(x) 1cos 2x8sin2x sin 2x 的最小值为( ) A2 B2 3 C4 D4 3 答案 C 解析 f(x)2cos 2x8sin2x 2sin xcos x cos x sin x 4sin x cos x. x 0， 2 ，cos x0，sin x0. 故 f(x)cos x sin x 4sin x cos x2 cos x sin x 4sin x co
8、s x 4，当且仅当 cos x2sin x0 时，等号成立故选 C. 类型三 含绝对值的不等式的解法 例 4 解下列关于 x 的不等式 (1)|x1|x3|； (2)|x2|2x5|2x. 解 (1)方法一 |x1|x3|， 两边平方得(x1)2(x3)2，8x8，x1. 原不等式的解集为x|x1 方法二 分段讨论： 当 x1 时，有x1x3，此时 x； 当1x3 时，有 x1x3， 即 x1，此时 1x3； 当 x3 时，有 x1x3，x3. 原不等式的解集为x|x1 (2)分段讨论：当 x5 2时，原不等式变形为 2x2x52x，解得 x7， 不等式的解集为 x x5 2 . 当5 2x
9、2 时， 原不等式变形为 2x2x52x，解得 x3 5， 不等式的解集为 x 5 2x 3 5 . 当 x2 时，原不等式变形为 x22x52x， 解得 x7 3，原不等式无解 综上可知，原不等式的解集为 x x3 5 . 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式， 可先求出使每个含绝对值符号的代数式值 等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论 每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号， 转化为不含绝对值的不等式去解 这种 方法通常称为零点分段法 跟踪训练 4 已知函数 f(x)|xa|，其中 a1. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)4|x
10、4|的解集； (2)已知关于 x 的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求 a 的值 解 (1)当 a2 时，f(x)|x4|x2|x4| 2x6，x2， 2，2x4， 2x6，x4. 当 x2 时，由 f(x)4|x4|，得2x64，解得 x1； 当 2x4 时，f(x)4|x4|，得 24，无解； 当 x4 时，由 f(x)4|x4|，得 2x64，解得 x5. 所以 f(x)4|x4|的解集为x|x1 或 x5 (2)记 h(x)f(2xa)2f(x)， 则 h(x) 2a，x0， 4x2a，0 xa， 2a，xa. 由|h(x)|2，解得a1 2 xa1 2 . 又
11、已知|h(x)|2 的解集为x|1x2， 所以 a1 2 1， a1 2 2， 解得 a3. 类型四 恒成立问题 例 5 设函数 f(x)|x1|x4|a. (1)当 a1 时，求函数 f(x)的最小值； (2)若 f(x)4 a1 对任意的实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时， f(x)|x1|x4|1|x14x|14， f(x)min4. (2)f(x)4 a1 对任意的实数 x 恒成立 |x1|x4|1a4 a对任意的实数 x 恒成立 a4 a4. 当 a0 时，上式成立； 当 a0 时，a4 a2 a 4 a4， 当且仅当 a4 a，即 a2 时上式取等号，
12、 此时 a4 a4 成立 综上，实数 a 的取值范围为(，0)2 反思与感悟 不等式恒成立问题， 通常是分离参数， 将其转化为求最大、 最小值问题 当然， 根据题目特点，还可能用变更主次元；数形结合等方法 跟踪训练 5 已知 f(x)|ax1|(aR)，不等式 f(x)3 的解集为x|2x1 (1)求 a 的值； (2)若 fx2f x 2 k 恒成立，求 k 的取值范围 解 (1)由|ax1|3，得4ax2， f(x)3 的解集为x|2x1， 当 a0 时，不合题意 又当 a0 时，4 ax 2 a， a2. (2)令 h(x)f(x)2f x 2 |2x1|2x2|， h(x) 1，x1，
13、 4x3，1x1 2， 1，x1 2， |h(x)|1，k1，即 k 的取值范围是1，). 1给出下列四个命题： 若 ab，c1，则 alg cblg c；若 ab，c0，则 alg cblg c；若 ab，则 a 2c b 2c；若 ab0，c0，则c a c b. 其中正确命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 正确，c1，lg c0；不正确，当 0c1 时，lg c0；正确，2c0；正 确，由 ab0，得 01 a 1 b，故 c a c b. 2设 6a10，a 2b2a，cab，那么 c 的取值范围是( ) A9c30 B0c18 C0c30 D15c30 答案
14、A 解析 因为a 2b2a，所以 3a 2 ab3a. 又因为 6a10，所以3a 2 9,3a30. 所以 93a 2 ab3a30， 即 9c30. 3不等式 4|3x2|8 的解集为_ 答案 x 2x2 3或2x 10 3 解析 由 4|3x2|8，得 |3x2|4， |3x2|8 3x24或3x24， 83x28 x2 3或x2， 2x10 3 . 2x2 3或 2x 10 3 . 原不等式的解集为 x 2x2 3或2x 10 3 . 4解不等式 3|x2|4. 解 方法一 原不等式等价于 |x2|3， |x2|4. 由得 x23 或 x23， x1 或 x5. 由得4x24， 2x6. 原不等式的解集为x|2x1 或 5x6 方法二 3|x2|43x24 或4x235x6 或2x1. 原不等式的解集为x|2x1 或 5x6 1本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法 2重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函 数最值问题；解绝对值不等式 3重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解 集是空集或恒成立问题
