1、第3课时三个正数的算术几何平均不等式,第一讲一 不等式,学习目标 1.理解定理3. 2.能用定理3及其推广证明一些不等式. 3.会用定理解决函数的最值或值域问题. 4.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点三项均值不等式,梳理(1)三个正数的算术几何平均不等式(定理3),abc,(3)重要变形及结论,题型探究,类型一用平均不等式求最值,又y(x1)2(32x),当且仅当x1x132x，,解答,即x3时等号成立.即ymin4.,解答,反思与感悟(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最
2、大”. (2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等.,解答,类型二用平均不等式证明不等式,证明,引申探究,当且仅当abc时取等号.,证明,反思与感悟证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明. (2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.,跟踪训练2已知x，y，z都是正数，且xyz1， 求证：(1xy)(1xz)
3、(1yz)27.,又xyz1， (1xy)(1xz)(1yz)27， 当且仅当xyz1时，等号成立.,证明,类型三用平均不等式解决实际应用问题,例3如图，将边长为1的正六边形铁皮(图)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图).当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积.,解答,解设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0 x1)， 则OB1B1B2x.,由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1， 得OA1A1A21，A1B1OA1OB11x. 作B1C1A1A2于点C1， 在RtA1C1B1中， B1A1C160，,于是
4、容器的容积为,当且仅当xx22x，,反思与感悟利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤 (1)理解题意，设变量.设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)验证相等条件，得出结论.,跟踪训练3已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？,解答,解设内接圆柱的体积为V，,达标检测,1,2,3,4,1.函数f(x) 2x(x0)的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6,答案,5,解析,解析x0，,答案,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,3.已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.6,答案,解析,当且仅当ab1时，等号成立.,1,2,3,4,5,9,解析因为a0，b0，,解析,答案,1.求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立.,规律与方法,
