1、三反证法与放缩法,第二讲证明不等式的基本方法,学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式. 2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一反证法,思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？,答案(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的 (2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾,梳理反证法 (1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 ，得到和命题的条件(或已证明的定
2、理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立 (2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明 ，从而断定原命题成立,正确的推理,假设,假设不成立,知识点二放缩法,思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？,答案不等式的传递性；等量加(减)不等量为不等量,梳理放缩法 (1)放缩法证明的定义 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为放缩法 (2)放缩法的理论依据 不等式的传递性 等量加(减)不等量为 同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较,放大,缩小
3、,不等量,题型探究,类型一反证法证明不等式,命题角度1证明“否定性”结论,即ab2，当且仅当ab1时等号成立,证明,(2)a2a2与b2b2不可能同时成立,证明假设a2a2与b2b2同时成立， 则由a2a2及a0，得0a1； 同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾 故a2a2与b2b2不可能同时成立,证明,反思与感悟当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾,跟踪训练1设0a2,0b2,0c2， 求证：(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能都大于1.,证明,证明假设(2a)c，(2b)a，(2c)b都
4、大于1， 即(2a)c1，(2b)a1，(2c)b1， 则(2a)c(2b)a(2c)b1， (2a)(2b)(2c)abc1. 0a2,0b2,0c2，,同理(2b)b1，(2c)c1， (2a)a(2b)b(2c)c1， (2a)(2b)(2c)abc1，这与式矛盾 (2a)c，(2b)a，(2c)b不可能都大于1.,命题角度2证明“至少”“至多”型问题,例2已知f(x)x2pxq， 求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；,证明f(1)f(3)2f(2) (1pq)(93pq)2(42pq)2.,证明,则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2， 而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f
5、(1)f(3)2f(2)2，矛盾，,证明,反思与感悟(1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明 (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾,证明,证明假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，,30，且(x1)2(y1)2(z1)20， abc0，这与abc0矛盾，因此假设不成立 a，b，c中至少有一个大于0.,类型二放缩法证明不等式,例3已知实数x，y，z不全为零，求证：,证明,由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式
6、取不到等号，所以三式相加，得,反思与感悟(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败 (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的,证明,证明k(k1)k2k(k1)(kN且k2)，,分别令k2,3，n，得,将这些不等式相加，得,达标检测,1.用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是,1,2,3,4,解析对于A，x的正、负不定； 对于B，m的正、负
7、不定； 对于C，x的正、负不定； 对于D，由绝对值三角不等式知，D正确,解析,答案,2.用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为 A.a，b，c全不为0 B.a，b，c至少有一个为0 C.a，b，c至少有一个不为0 D.a，b，c至多有一个不为0,答案,1,2,3,4,1,2,3,4,a0，b0，ab,ab， a0，b0，ab.,解析,答案,1,2,3,4,证明,因为a，b，c均为小于3的正数，,1,2,3,4,显然与相矛盾，假设不成立，故命题得证.,1,2,3,4,1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设,规律与方法,2.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项. (2)在分式中增大或减小分子或分母.,(4)利用函数的单调性等.,
