1、2020 年浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团中考数学模拟试年浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团中考数学模拟试 卷（卷（5 月份）月份） 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2 的倒数是（ ） A B C2 D2 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa5a2a10 Ba3aa2 C2a+a2a2 D （a2）3a5 3 （3 分）响应党中央号召，连日来，全国广大共产党员继续踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫 情防控工作的支持据统计，截至 3 月 10 日，全国已有 7436 万多名党员自愿捐款，共 捐款 76.8 亿
2、元，则 76.8 亿元用科学记数法可表示为（ ） A7.68109元 B7.681010元 C76.8108元 D0.7681010元 4 （3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A B C D 5 （3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币 2000 次，正面朝上的次数最有可能为（ ） A1200 B1000 C800 D500 6 （3 分）如图，在ABCD 中，将ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的 点 E 处若B60，AB3，则ADE 的周长为（ ） A12 B15 C18 D21 7 （3 分）如图，42 的正方形网格中，在 A，B，C
3、，D 四个点中任选三个点，能够组成 等腰三角形的概率为（ ） A0 B C D 8 （3 分）如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，且 EFEB，EF 与 AB 交于点 C， 连接 OF，若AOF40，则OFE 的度数是（ ） A30 B20 C40 D35 9 （3 分）抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）的顶点为 P，且抛物线经过点 A（1，0） ， B（m，0） ，C（2，n） （1m3，n0） ，下列结论：abc0，3a+c0，a（m 1）+2b0，a1 时，存在点 P 使PAB 为直角三角形其中正确有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 （3
4、分）如图，菱形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上（B 在 C 的左侧） ，顶点 A、D 在 x 轴 上方，对角线 BD 的长是，点 E（2，0）为 BC 的中点，点 P 在菱形 ABCD 的边 上运动当点 F（0，6）到 EP 所在直线的距离取得最大值时，点 P 恰好落在 AB 的中点 处，则菱形 ABCD 的边长等于（ ） A B C D3 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）分解因式：a39a 12 （4 分）若关于 x 的分式方程1有增根，则 m 的值为 13 （4 分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开
5、并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的 半径 r2cm，扇形的圆心角 120，则该圆锥的母线长 l 为 cm 14 （4 分）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长 50m） ，中间用两 道墙隔开（如图） 已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m，则这三间长方形种牛 饲养室的总占地面积的最大值为 m2 15 （4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 E，点 A（0，4） ，点 B（2，0） ，若反比例 函数 y（x0）的图象经过 C，E 两点，则 k 的值是 16 （4 分）将等腰 RtABC 和等腰 RtADE 按图 1 方式放置，A90，AD 边与 AB 边 重
6、合，AB2AD4将ADE 绕点 A 逆时针方向旋转一个角度 （0180） ， BD 的延长线交直线 CE 于点 P （1）如图 1，BD 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当 ADBD 时，求出 CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点 P 运动的路线长 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）分，各小题都必须写出解答过程） 17 （6 分） （1）计算：3tan30（1）0+|1|； （2）解不等式组 18（6 分） 如图， 正比例函数 y13x 的图象与反比例函数 y2的图象交于 A、 B 两点 点 C
7、在 x 轴负半轴上，ACAO，ACO 的面积为 15 （1）求反比例函数的解析式 （2）根据图象，当 y1y2时，写出 x 的取值范围 19 （6 分）为了解朝阳社区 2060 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄 段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项） ，并将调查数据整理后绘成 如下两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题： （1）求参与问卷调查的总人数 （2）补全条形统计图 （3）该社区中 2060 岁的居民约 8000 人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数 20 （8 分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进如图， 这小区原地下
8、车库的入口处有斜坡 AC 长为 13 米，它的坡度为 i1：2.4，ABBC，为 了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为 13，即ADC13（此时点 B、C、D 在同一 直线上） （1）求这个车库的高度 AB； （2）求斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin130.225，cos130.974，tan130.231，cot134.331） 21 （8 分）如图，AB 是O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交 AB 于 P，CPBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）已知BAO25，点 Q 是上的一点 求AQB 的度数； 若 OA18，求的
9、长 22 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C， 且关于直线 x1 对称，点 A 的坐标为（1，0） （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，若点 P 在 y 轴上时，BP 和 BC 的夹角为 15，求线段 CP 的长度； （3）当 axa+1 时，二次函数 yx2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值 23 （10 分） 【阅读材料】 小明遇到这样一个问题： 如图 1， 点 P 在等边三角形 ABC 内， 且APC150， PA3， PC4，求 PB 的长 小明发现， 以 AP 为边作等边三角形 APD， 连接 BD
10、， 得到ABD； 由等边三角形的性质， 可证ACPABD，得 PCBD；由已知APC150，可知PDB 的大小，进而可 求得 PB 的长 （1）请回答：在图 1 中，PDB ，PB 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图 2，ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在ABC 内，且 PA1，PB， PC2，求 AB 的长 【灵活运用】 （3）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，BAC，且 tan，点 P 在ABC 外，且 PB3，PC1，直接写出 PA 长的最大值 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 B 在
11、 y 轴 的正半轴上，tanBAO，且线段 OB 的长是方程 x22x80 的根 （1）求直线 AB 的函数表达式 （2）点 E 在 y 轴负半轴上，直线 ECAB，交线段 AB 于点 C，交 x 轴于点 D，SDOE 16 点 F 是直线 CE 上一点， 分别过点 E， F 作 x 轴和 y 轴的平行线交于点 G， 将EFG 沿 EF 折叠，使点 G 的对应点落在坐标轴上，求点 F 的坐标 （3）在（2）的条件下，点 M 是 DO 的中点，点 N，P，Q 在直线 BD 或 y 轴上，是否存 在点 P，使四边形 MNPQ 是矩形？若存在，请画出示意图并直接写出点 P 的坐标；若不 存在，请说明
12、理由 2020 年浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团中考数学模拟试年浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团中考数学模拟试 卷（卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2 的倒数是（ ） A B C2 D2 【分析】根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答 【解答】解：（2）（）1， 2 的倒数是 故选：A 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa5a2a10 Ba3aa2 C2a+a2a2 D （a2）3a5 【分析】分别根据同底数幂相乘法则、同底数幂的除法法
13、则、合并同类项的法则以及幂 的乘方法则化简即可 【解答】解：A、a5a2a7，故选项 A 不合题意； B、a3aa2，故选项 B 符合题意； C、2a+a3a，故选项 C 不合题意； D、 （a2）3a6，故选项 D 不合题意 故选：B 3 （3 分）响应党中央号召，连日来，全国广大共产党员继续踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫 情防控工作的支持据统计，截至 3 月 10 日，全国已有 7436 万多名党员自愿捐款，共 捐款 76.8 亿元，则 76.8 亿元用科学记数法可表示为（ ） A7.68109元 B7.681010元 C76.8108元 D0.7681010元 【分析】科学记数法的表示形式为
14、 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：76.8 亿元7680000000 元7.68109元 故选：A 4 （3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A B C D 【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案 【解答】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正 方形，右边一个小正方形， 故选：D 5 （3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币 2000 次，
15、正面朝上的次数最有可能为（ ） A1200 B1000 C800 D500 【分析】根据事件发生的可能性只有两种可能判断 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币只有两种可能，即正面朝上或反面朝上， 抛掷一枚质地均匀的硬币 2000 次，正面朝上的次数最有可能 1000 次， 故选：B 6 （3 分）如图，在ABCD 中，将ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的 点 E 处若B60，AB3，则ADE 的周长为（ ） A12 B15 C18 D21 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到 BC2AB6，AD6，再根 据ADE 是等边三角形，即可得到ADE 的周长为
16、 6318 【解答】解：由折叠可得，ACDACE90， BAC90， 又B60， ACB30， BC2AB6， AD6， 由折叠可得，EDB60， DAE60， ADE 是等边三角形， ADE 的周长为 6318， 故选：C 7 （3 分）如图，42 的正方形网格中，在 A，B，C，D 四个点中任选三个点，能够组成 等腰三角形的概率为（ ） A0 B C D 【分析】先列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可 得 【解答】解：在 A，B，C，D 四个点中任选三个点，有如下四种情况： ABC、ABD、ACD、BCD， 其中能够组成等腰三角形的有 ACD、BCD 两种情况
17、， 能够组成等腰三角形的概率为， 故选：B 8 （3 分）如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，且 EFEB，EF 与 AB 交于点 C， 连接 OF，若AOF40，则OFE 的度数是（ ） A30 B20 C40 D35 【分析】如图，连接 BF，OE证明OEFOEB（SSS） ，推出OFEOBE，由 OEOB0F， 推出OEFOFEOEBOBE， OFBOBF， 由ABF AOF20，推出OFBOBE20，根据三角形内角和定理构建方程求出EFO 即可 【解答】解：如图，连接 BF，OE EFEB，OEOE，OFOB， OEFOEB（SSS） ， OFEOBE， OEOB0F，
18、OEFOFEOEBOBE，OFBOBF， ABFAOF20， OFBOBE20， OFB+OBF+OFE+OBE+BEF180， 4EFO+40180， OFE35， 故选：D 9 （3 分）抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）的顶点为 P，且抛物线经过点 A（1，0） ， B（m，0） ，C（2，n） （1m3，n0） ，下列结论：abc0，3a+c0，a（m 1）+2b0，a1 时，存在点 P 使PAB 为直角三角形其中正确有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由已知可以确定 a0，b0，cba0，然后分别进行分析即可得，abc 0；当 x3 时，y0，即
19、9a+3b+c9a+3（a+c）+c12a+4c4（3a+c）0；a （m1）+2bb+2bb0；a1 时，P（ ，b+1+） ，则PAB 为等腰直角 三角形，b+1+1，求出 k2 不合题意 【解答】解：将 A（1，0） ，B（m，0） ，C（2，n）代入解析式 yax2+bx+c， 对称轴 x， m1， 1m3， ab0， n0， a0， b0， ab+c0， cba0 abc0；所以错误； 当 x3 时，y0， 9a+3b+c9a+3（a+c）+c12a+4c4（3a+c）0， 所以正确； m1， a（m1）b， a（m1）+2bb+2bb0， 所以正确； a1 时，yx2+bx+c（x
20、）2+ba（x）2+b+1， P（，b+1+） ， 若PAB 为直角三角形，则PAB 为等腰直角三角形， AP 的直线解析式的 k1， b+1+1， b2， b0， 不存在点 P 使PAB 为直角三角形 所以错误； 故正确有 故选：B 10 （3 分）如图，菱形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上（B 在 C 的左侧） ，顶点 A、D 在 x 轴 上方，对角线 BD 的长是，点 E（2，0）为 BC 的中点，点 P 在菱形 ABCD 的边 上运动当点 F（0，6）到 EP 所在直线的距离取得最大值时，点 P 恰好落在 AB 的中点 处，则菱形 ABCD 的边长等于（ ） A B C D3
21、【分析】如图 1 中，当点 P 是 AB 的中点时，作 FGPE 于 G，连接 EF首先说明点 G 与点 E 重合时，FG 的值最大，如图 2 中，当点 G 与点 E 重合时，连接 AC 交 BD 于 H， PE 交 BD 于 J设 BC2a利用相似三角形的性质构建方程求解即可 【解答】解：如图 1 中，当点 P 是 AB 的中点时，作 FGPE 于 G，连接 EF E（2，0） ，F（0，6） ， OE2，OF6， EF2， FGE90， FGEF， 当点 G 与 E 重合时，FG 的值最大 如图 2 中，当点 G 与点 E 重合时，连接 AC 交 BD 于 H，PE 交 BD 于 J设 B
22、C2a PAPB，BEECa， PEAC，BJJH， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BHDH，BJ， PEBD， BJEEOFPEF90， EBJFEO， BJEEOF， ， ， a， BC2a， 故选：A 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）分解因式：a39a a（a+3） （a3） 【分析】本题应先提出公因式 a，再运用平方差公式分解 【解答】解：a39aa（a232）a（a+3） （a3） 12 （4 分）若关于 x 的分式方程1有增根，则 m 的值为 3 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分
23、式方程的根所以应先确定增根的可能 值，让最简公分母（x2）0，得到 x2，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值 【解答】.解：方程两边都乘（x2） ， 得 3xx+2m+3 原方程有增根， 最简公分母（x2）0， 解得 x2， 当 x2 时，m3 故答案为 3 13 （4 分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的 半径 r2cm，扇形的圆心角 120，则该圆锥的母线长 l 为 6 cm 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得 圆锥的母线长 【解答】解：圆锥的底面周长224cm， 设圆锥的母线长为 R，则：4， 解得 R6
24、 故答案为：6 14 （4 分）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长 50m） ，中间用两 道墙隔开（如图） 已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m，则这三间长方形种牛 饲养室的总占地面积的最大值为 144 m2 【分析】要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为 S，中 间墙长为 x，根据题目所给出的条件列出 S 与 x 的关系式， 再根据函数的性质求出 S 的最 大值 【解答】解：如图，设总占地面积为 S（m2） ，CD 的长度为 x（m） ， 由题意知：ABCDEFGHx， BH484x， 0BH50，CD0， 0 x12， SABBHx（4
25、84x）4（x6）2+144 x6 时，S 可取得最大值，最大值为 S144 15 （4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 E，点 A（0，4） ，点 B（2，0） ，若反比例 函数 y（x0）的图象经过 C，E 两点，则 k 的值是 【分析】 作 CFx 轴于 F， 根据题意设 C （2m，） ， 则 E （m， ） ， 由AOBBFC， 得到， 求得 m1， 得到 C （2m， m1） ， 由 E 点是 AC 的中点， 则 +，得到 mk，从而得到 C（k，k1） ，根据反比例函数图象上点的坐标特征 列出k （k1）k，求得即可 【解答】解：作 CFx 轴于 F， 点 A（0，4
26、） ，点 B（2，0） ， OA4，OB2， 设 C（2m，） ，则 E（m，） ， 四边形 ABCD 是矩形， ABC90， ABO+CBF90， ABO+BAO90， BAOCBF， AOBCFB90， AOBBFC， ，即 m1， C（2m，m1） ， E 点是 AC 的中点， +， 解得 mk， C（k，k1） ， k （k1）k， 解得 k 故答案为 16 （4 分）将等腰 RtABC 和等腰 RtADE 按图 1 方式放置，A90，AD 边与 AB 边 重合，AB2AD4将ADE 绕点 A 逆时针方向旋转一个角度 （0180） ， BD 的延长线交直线 CE 于点 P （1）如图
27、1，BD 与 CE 的数量关系是 BDEC ，位置关系是 BDCE ； （2）在旋转的过程中，当 ADBD 时，求出 CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点 P 运动的路线长 【分析】 （1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可； （2）首先得出ABDACE（SAS） ，进而求出四边形 ADPE 为正方形，即可得出 CP 的长； （3）由（2）知，当 60时，PBA 最大，且PBA30，此时AOP60，得 出点 P 运动的路线是以 O 为圆心， OA 长为半径的+， 进而利用弧长公式求出即可 【解答】解： （1）BDEC，BDCE； 理由：等腰 RtABC 和等腰 RtADE
28、 按图 1 方式放置， A90，AD 边与 AB 边重合，AB2AD4， D，E 分别是 AB 和 AC 的中点，故 BDECADAE，BDCE； 故答案为：BDEC，BDCE； （2）如图 3 所示： ABC 和ADE 都是等腰三角形， ABAC，ADAE， BACDAE90， BADCAE， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， ABDACE， 12， BPCE， ADBP，DAE90，ADAE， 四边形 ADPE 为正方形， ADPE2， ADB90，AD2，AB4， ABD30， BDCE2， CPCEPE22； （3）如图 4，取 BC 的中点 O，连接 OP、O
29、A， BPCBAC90， OPOABC2， 在此旋转过程中（0180） ， 由（2）知，当 60时，ADPB，由 AD 的长度为定值 2， 则此时PBA 最大，且PBA30， 此时AOP60， 点 P 运动的路线是以 O 为圆心，OA 长为半径的+， 点 P 运动的路线长为： l+22 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）分，各小题都必须写出解答过程） 17 （6 分） （1）计算：3tan30（1）0+|1|； （2）解不等式组 【分析】 （1）原原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算， 第三项利用零指数幂法则
30、计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结 果 （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集， 【解答】解： （1）原式231+1 21+1 22； （2）， 解不等式得：x3； 解不等式得：x， 不等式组的解集为：x3 18（6 分） 如图， 正比例函数 y13x 的图象与反比例函数 y2的图象交于 A、 B 两点 点 C 在 x 轴负半轴上，ACAO，ACO 的面积为 15 （1）求反比例函数的解析式 （2）根据图象，当 y1y2时，写出 x 的取值范围 【分析】 （1）过点 A 作 AD 垂直于 OC，由 ACAO，得到 CDDO，确定出三角形 ADO 与三角形 ACD 面
31、积，即可求出 k 的值； （2）根据函数图象，找出满足题意 x 的范围即可 【解答】解： （1）如图，过点 A 作 ADOC， ACAO， CDDO， ACO 的面积为 15 SADOSACD， k15； （2）联立得：， 解得：或，即 A（，3） ，B（，3） ， 根据图象得：当 y1y2时，x 的范围为x0 或 x 19 （6 分）为了解朝阳社区 2060 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄 段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项） ，并将调查数据整理后绘成 如下两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题： （1）求参与问卷调查的总人数 （2）补全条形统计图
32、（3）该社区中 2060 岁的居民约 8000 人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数 【分析】 （1）根据喜欢支付宝支付的人数其所占各种支付方式的比例参与问卷调查 的总人数，即可求出结论； （2）根据喜欢现金支付的人数（4160 岁）参与问卷调查的总人数现金支付所占各 种支付方式的比例15，即可求出喜欢现金支付的人数（4160 岁） ，再将条形统计图补 充完整即可得出结论； （3） 根据喜欢微信支付方式的人数社区居民人数微信支付所占各种支付方式的比例， 即可求出结论 【解答】解： （1） （120+80）40%500（人） 答：参与问卷调查的总人数为 500 人 （2）50015%1560
33、（人） 补全条形统计图，如图所示 （3）8000（140%10%15%）2800（人） 答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为 2800 人 20 （8 分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进如图， 这小区原地下车库的入口处有斜坡 AC 长为 13 米，它的坡度为 i1：2.4，ABBC，为 了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为 13，即ADC13（此时点 B、C、D 在同一 直线上） （1）求这个车库的高度 AB； （2）求斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin130.225，cos130.974，tan130.23
34、1，cot134.331） 【分析】 （1）根据坡度的概念，设 AB5x，则 BC12x，根据勾股定理列出方程，解方 程即可； （2）根据余切的定义列出算式，求出 DC 【解答】解： （1）由题意，得：ABC90，i1：2.4， 在 RtABC 中，i， 设 AB5x，则 BC12x， AB2+BC2AC2， AC13x， AC13， x1， AB5， 答：这个车库的高度 AB 为 5 米； （2）由（1）得：BC12， 在 RtABD 中，cotADC， ADC13，AB5， DB5cot1321.655（m） ， DCDBBC21.655129.6559.7（米） ， 答：斜坡改进后的起点
35、 D 与原起点 C 的距离为 9.7 米 21 （8 分）如图，AB 是O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交 AB 于 P，CPBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）已知BAO25，点 Q 是上的一点 求AQB 的度数； 若 OA18，求的长 【分析】 （1）连接 OB，根据等腰三角形的性质得到OABOBA，CPBPBC， 等量代换得到APOCBP， 根据三角形的内角和得到CBO90， 于是得到结论； （2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得到ABO25，APO65，根据三 角形外角的性质得到POBAPOABO40，根据圆周角定理即可得到结论； 根据弧长公式即可得到结论 【解答】
36、 （1）证明：连接 OB， OAOB， OABOBA， PCCB， CPBPBC， APOCPB， APOCBP， OCOA， AOP90， OAP+APO90， CBP+ABO90， CBO90， BC 是O 的切线； （2）解：BAO25， ABO25，APO65， POBAPOABO40， AQB（AOP+POB）13065； AQB65， AOB130， 的长的长23 22 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C， 且关于直线 x1 对称，点 A 的坐标为（1，0） （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，若点 P
37、在 y 轴上时，BP 和 BC 的夹角为 15，求线段 CP 的长度； （3）当 axa+1 时，二次函数 yx2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值 【分析】 （1）先根据题意得出点 B 的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）分点 P 在点 C 上方和下方两种情况，先求出OBP 的度数，再利用三角函数求出 OP 的长，从而得出答案； （3）分对称轴 x1 在 a 到 a+1 范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性 质求解可得 【解答】解： （1）点 A（1，0）与点 B 关于直线 x1 对称， 点 B 的坐标为（3，0） ， 代入 yx2+bx+c，得： ， 解得， 所以
38、二次函数的表达式为 yx22x3； （2）如图所示： 由抛物线解析式知 C（0，3） ， 则 OBOC3， OBC45， 若点 P 在点 C 上方，则OBPOBCPBC30， OPOBtanOBP3， CP3； 若点 P 在点 C 下方，则OBPOBC+PBC60， OPOBtanOBP33， CP33； 综上，CP 的长为 3或 33； （3）若 a+11，即 a0， 则函数的最小值为（a+1）22（a+1）32a， 解得 a1（正值舍去） ； 若 a1a+1，即 0a1， 则函数的最小值为 1232a， 解得：a2（舍去） ； 若 a1， 则函数的最小值为 a22a32a， 解得 a2+（
39、负值舍去） ； 综上，a 的值为 1或 2+ 23 （10 分） 【阅读材料】 小明遇到这样一个问题： 如图 1， 点 P 在等边三角形 ABC 内， 且APC150， PA3， PC4，求 PB 的长 小明发现， 以 AP 为边作等边三角形 APD， 连接 BD， 得到ABD； 由等边三角形的性质， 可证ACPABD，得 PCBD；由已知APC150，可知PDB 的大小，进而可 求得 PB 的长 （1）请回答：在图 1 中，PDB 90 ，PB 5 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图 2，ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在ABC 内，且 PA1，PB，
40、 PC2，求 AB 的长 【灵活运用】 （3）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，BAC，且 tan，点 P 在ABC 外，且 PB3，PC1，直接写出 PA 长的最大值 【分析】 （1） 由ACPABD， 得ADBAPC150， PCBD4， ADAP3， 因为ADP 为等边三角形，所以ADP60，DPAD3，可得BDP90，在 Rt BDP 中，用勾股定理可求得 PB 的长； （2） 如图 2 中， 把ACP 绕点 C 逆时针旋转 90得到BCD 首先证明PDB90， 再证明 A，P，D 共线，利用勾股定理即可解决问题 （3）如图 3 中，作 CDCP，使得 CDPC，则 PD，利用
41、相 似三角形的性质求出 AD，即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中， ACPABD， PDBAPC150，PCBD4，ADAP3， ADP 为等边三角形， ADP60，DPAD3， BDP1506090， PB5 故答案为：90，5； （2）如图 2 中，把ACP 绕点 C 逆时针旋转 90得到BCD 由旋转性质可知；BDPA1，CDCP2，PCD90， PCD 是等腰直角三角形， PDPC24，CDP45， PD2+BD242+1217，PB2（）217， PD2+BD2PB2， PDB90， BDC135， APCCDB135，CPD45， APC+CPD180， A，P，D 共
42、线， ADAP+PD5， 在 RtADB 中，AB （3）如图 3 中，作 CDCP，使得 CDPC，则 PD， tanBAC， ， ACBPCD90， ACDBCP， ACDBCP， ， AD， PA+， 1PA， PA 的最大值为 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 B 在 y 轴 的正半轴上，tanBAO，且线段 OB 的长是方程 x22x80 的根 （1）求直线 AB 的函数表达式 （2）点 E 在 y 轴负半轴上，直线 ECAB，交线段 AB 于点 C，交 x 轴于点 D，SDOE 16 点 F 是直线 CE 上一点， 分别过点
43、E， F 作 x 轴和 y 轴的平行线交于点 G， 将EFG 沿 EF 折叠，使点 G 的对应点落在坐标轴上，求点 F 的坐标 （3）在（2）的条件下，点 M 是 DO 的中点，点 N，P，Q 在直线 BD 或 y 轴上，是否存 在点 P，使四边形 MNPQ 是矩形？若存在，请画出示意图并直接写出点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）解方程求出 OB，解直角三角形求出 OA，可得 A（8，0） ，B（0，4） ，再 利用待定系数法即可解决问题 （2）如图 1 中，设 G 的对应点为 H，过点 H 作 y 轴的平行线 IR，分别过 E，F 作 x 轴平 行线与 IR 交于点 I
44、，R可证FHIHER，推出2，设 ERm，则 IH 2m，可得 F（m16，2m） ，再利用待定系数法即可解决问题 （3）分三种种情形分别求解：如图 31，当四边形 MNPQ 是矩形时如图 32， 当四边形 MNPQ 是矩形时， 点 N 与原点重合 如图 33， 当四边形 MNPQ 是矩形时 【解答】解： （1）线段 OB 的长是方程 x22x80 的根， OB4， 又 tanBAO， OA8， A（8，0） B（0，4） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则有， 解得 直线 AB：yx+4 （2）如图 1 中，设 G 的对应点为 H，过点 H 作 y 轴的平行线 IR，分别过 E，F
45、 作 x 轴平 行线与 IR 交于点 I，R 直线 ECAB，SDOE16， OD4，OE8， 可得直线 DE：y2x8， GFEDEO， GE：GFEH：HF1：2 FHEIR90， 可证FHIHER， 2， 设 ERm，则 IH2m， F（m16，2m） ， 把点 F 坐标代入 y2x8，得到：2m2（m16）8， m6， F（10，12） （3）如图 31，当四边形 MNPQ 是矩形时， ODOB4， OBDODB45， PNBONM45， OMDMON2， BN2，PBPN， P（1，3） 如图 32，当四边形 MNPQ 是矩形时，点 N 与原点重合， 易证DMQ 是等腰直角三角形，OPMQDM2， P（0，2） 如图 33，当四边形 MNPQ 是矩形时， 设 PM 交 BD 于 R，则 R（1，3） ， P（0，6） 如图 34 中，当 QN 是对角线时，P（2，6） 综上所述，满足条件的点 P 坐标为（1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）
