1、第第 1 单元单元 图形的相似图形的相似 （时间 90 分钟，满分 120 分） 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1、 如图1， 在ABC中， AB： DB=1： 2， DEBC， 若ABC的面积为9， 则四边形DBCE的面积为 。 2、由三角形三边中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 。 3、图 2 中，x= 。 2 22 4、在ABC 中，ABBCAC，D 是 AC 的中点，过 D 作直线 l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直 线 l 有 条。 5、已知 M 是线段 AB 延长线上的一点，且 AM：BM=7：3，那么 AM：AB= 。 6、雨后天晴，一学生在运动场上
2、玩耍，从他前面 2m 远处的一块小积水里，他看到了旗杆顶端的倒影，如 果旗杆底端到积水处的距离为 40m，该学生的眼部高度为 1.5m，那么旗杆的高为 。 7、已知两个相似多边形的周长比为 1：2，它们的面积和为 25，则这两个多边形的面积分别是 和 。 8、 如图3， 已知在等腰直角三角形ABC中， A=90， 四边形EFDH为内接正方形， 则AE： AB= 。 9、如果点 C 是线段 AB 靠近 B 的黄金分割点，且 AC=2，那么 AB= 。 10、如图 4，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE=3cm，AB=8cm，则图 中阴影部分
3、面积为 cm 2。 A B C D E 图 1 1 （ ） 30 45 x 30 ） （ 105 图 2 A B C D F E H 图 3 A B C F E D 图 4 二、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 11、如图 5，点 A、B、C、D、E、F、G、H、K 都是 78 方格纸上的格点，为使DEMABC，则点 M 应是 F、G、H、K 四点中的（ ） A、F B、G C、H D、K 图 5 12、已知ABCDEF，AB：DE=1：2，则ABC 与DEF 的周长比等于（ ） A、1：2 B、1：4 C、2：1 D、4：1 13、 （天津中考）如图 6，ABCD，AEFD，AE、FD
4、 分别交 BC 于点 G、H，则图中共有相似三角形（ ） A、 4 对 B、5 对 C、6 对 D、7 对 14、已知 4 a = 5 b = 6 c ，且 a-b+c=10，则 a+b-c 的值为（ ） A、6 B、5 C、4 D、3 15、两个相似五边形，一组对应边的长分别为 3cm 和 4.5cm，如果它们的面积之和是 78cm 2，则较大的五边 形面积是（ ）cm 2。 A、44.8 B、52 C、54 D、42 16、 如图7所示， 它是小孔成像的原理， 根据图中尺寸(ABCD)， 如果已知物体AB=30， 则CD的长应是 （ ） A、15 B、30 C、20 D、10 17、有同一
5、三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为 1：100 和 1：500，那么甲地图与乙地图表示这一 地块的三角形的面积之比是（ ） A、25：1 B、5：1 C、1：25 D、1：5 A B C K H G F D E A B C D E G H F 图 6 A B C D O 图 7 12 36 18、如图 8，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60，BP=1，CD= 3 2 ，则ABC 的边长是（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 19、一个钢筋三角架三边长分别为 20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30cm 和
6、50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，则 不同的截法有（ ）种 A、 一 B、二 C、三 D、四 20、如图 9，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，如果 AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形 ABCD 的面积等于（ ） A、 16 225 B、 15 256 C、 17 256 D、 16 289 三、解答题（每小题 7 分，共 35 分） 21、 （1）若 b a = d c ，判断代数式 cdab ca 22 - 22 db cdab +1 值的符号 （2）若 c ba = a cb = b ac ，求 ab
7、c accbba)()( 的值。 22、已知四边形 ABCD 与四边形 ABCD相似，且 AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，四边形 ABC D的周长为 26，求四边形 ABCD各边的长。 23、如图 10，为了测量一棵树 AB 的高度，测量者在 D 点立一高 CD 等于 2m 的标杆，现测量者从 E 处可以 看到标杆顶点 C 与树顶 A 在同一条直线上，如果测得 BD=20m，FD=4m，EF=1.8m，求树高。 24、如图 11，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BECD，垂足为 E，连结 AE，F 为 AE 上一点，且BFE= C （1） 求证：ABFEAD （2） 若
8、AB=4，S ABCD= 3 316 ，求 AE 的长 （3） 在（1） 、 （2）条件下，若 AD=3，求 BF 的长（计算结果可含根号） A B C D P ） 60 图 8 A B E C F D 图 9 A B C D E F 图 10 A B C D E F 图 11 25、如图 12，ABC 中，BAC=90，AB=AC=1，点 D 是 BC 上一个动点（不与 B、C 重合） ，在 AC 上取 E 点，使ADE=45 （1） 求证：ABDDCE （2） 设 BD=x，AE=y，求 y 与 x 的函数关系式 四、拓广探索题（共 15 分） 26、 （7 分）已知，如图 13，ABBD
9、，CDBD，垂足分别为 B、D，AD 和 BC 交于点 E，EFBD，垂足为 F， 我们可以证明 AB 1 + CD 1 = EF 1 成立，若将图 13 中的垂直改为斜交，如图 14，ABCD，AB 与 BC 交于点 E， 过点 E 作 EFAB 交 BD 于 F，则 （1） AB 1 + CD 1 = EF 1 还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由。 （2） 请找出 SABC，SBED和 SBDC间的关系，并给出证明。 27、 （8 分）若矩形的一个短边与长边的比值为 2 15 ， （黄金分割数） ，我们把这样的矩形叫做黄金矩形 （1） 操作：请你在如图 15 所示的黄金矩
10、形 ABCD（ABAD）中，以短边 AD 为一边作正方形 AEFD。 （2） 探究：在（1）中的四边形 EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。 （3） 归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明） A B C D E 图 12 A B C D E F 图 13 A B C D E F 图 14 A B C D 图 15 参考答案参考答案 一、填空题 110 8 4 1 2 4 7：4 30 5，20 3 1 1+5 30 提示：4、如图 1，过 D 分别作 BC、AB 的平分线有两条，另外，作ADE=ABC 又一条，作CDF=ABC 又 一条，共
11、4 条 8、 AB AE = BC EH = DCFDBF EH = EH EH 3 = 3 1 9、 AB AC = AC BC = 2 BC ，又 AB AC = 2 15 2 BC = 2 15 BC=5-1 AB=2+5-1=1+5 10、如题图：EF=DE=8-3=5 EC=3，FC=4，易证ABFEFC BF：3=8：4 BF=6 S阴影= 2 1 68+ 2 1 43=30 二、选择题 1120 CACAC DAABC 提示：18、ABC 为等边三角形 B=C=60，又APD=60 BAP+APB=APB+CPD=120，BAP=DPC，APBPCD 3 2 ：1=（AB-1）
12、：AB AB=3 20、AE 2+EF2=42+32=52=AF2 AEF=90，易证ABEEFC AB：EC=4：3 设 AB=x x： （x- 2 16x ）=4：3 x 2= 17 256 三、解答题 21、解： （1）设 b a = d c =k，则 a=bk，c=dk，代入，得，求值式= kdkb kdkb 22 2222 - 22 22 db kdkb +1=k-k+1=10， 故所求式的符号为正 （2） 当 a+b+c0 时， 因为 abc0， 所以由等比性质得： cba cba )(2 = c ba = a cb = b ac 所以 a+b=2c， b+c=2a，c+a=2b，
13、代入得，求式= abc bac222 =8 A B C D E F 图 1 当 a+b+c=0，a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，代入所求式= abc bac)( =-1 22、解：四边形 ABCD 与四边形 ABCD相似，且 AB：BC：CD：DA=20：15：9：8， AB：BC：CD：DA=20：15：9：8 设 AB=20 x，BC=15x，CD=9x，DA=8x，由四边形 ABCD的周长为 26，得 20 x+15x+9x+8x=26，解得 x= 2 1 AB=10，BC=7.5，CD=4.5，DA=4 23、 解： 如图 2， 过 E 作 ENAB， 交 AB 于 N 点交
14、 CD 于 M 点， 由题意知， MN=BD=20， EM=FD=4， MB=MD=EF=1.8， 则 CM=0.2 由 CMAN，得ECMEAN CM：AN=EM：EN AN= CMEN EM =1.2 AB=AN+NB=1.2+1.8=3 所以树高为 3m 24、证明： （1）四边形 ABCD 为平行四边形，BAF=AED C+D=180，C=BFE，BFE+BFA=180，D=BFA ABFEAD （2）解：S ABCD= 3 316 ，ABBE= 3 316 ，AB=4 BE= 3 34 AE 2=AB2+BE2=42+（ 3 34 ） 2 AE= 3 38 （3）解：由（1）有 EA
15、 AB = AD BF ，又 AD=3，BF= EA ADAB =43 38 3 = 2 33 25、 （1）证明：BAC=90，AB=AC，B=C=45 ADB+DAB=135，ADE=45，ADB+EDC=135 DAB=EDC，ABDDCE (2)解：ABDDCE， CD AB = CE BD AB=AC=1，BAC=90， BC=2，CD=2-x， x2 1 = CE x CE=2x-x 2 AE=AC-CE=1-（2x-x 2）=x2- 2x+1 即 y=x 2- 2x+1（0 x2） 四、拓广探索题 26、 （1）解：成立，证明如下 A B C D E F 图 2 M N 由 AB
16、EFCD 得， AB EF = DB DF ， CD EF = DB BF 两式相加，得 AB EF + CD EF = DB DF + DB BF = DB BFDF = DB DB =1 EFCD+EFAB=ABCD，两边同除以 ABCDEF 得 AB 1 + CD 1 = EF 1 （2）解： BDA S 1 + BDC S 1 = BDE S 1 证明如下：作 AGBD 于 G，EHBD 于 H，CKBD 交 BD 延长线于 k，由平行线性质得： AG EH = DA DE = DB DF ， CK EH = BC BE = BD BF 所以 AG EH + CK EH =1， AGB
17、D 2 1 1 + CKBD 2 1 1 = EHBD 2 1 1 ABD S 1 + BDC S 1 = BDE S 1 27、解（1）以 AD 为边可作出两个正方形 AEFD 与 AEFD（ABAD） ，如图 4 所示 （2）矩形 EBCF 不是黄金矩形，理由如下： 设 AB=a，AD=b（ab） ，则 BE=BA+AE=a+b，BE=BA-EA=a-b， 由 ABCD 为黄金矩形，得 a b = 2 15 BE BC = ba b = a b （1+ a b ）= 2 15 （1+ 2 15 ）= 2 53 2 15 矩形 EBCF 不是黄金矩形 矩形 EBCF是黄金矩形 证明：如图 4， BC BE = b ba =（1- a b ） a b =（1- 2 15 ） 2 15 = 2 15 EBCF是黄金矩形 （3）由（1） 、 （2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为 黄金矩形。 A B G E F H D C K 图 3 A B C D E F F E 图 4
