1、第一章勾股定理第一章勾股定理 章末测试卷章末测试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）如图字母 B 所代表的正方形的面积是（ ） A12 B13 C144 D194 2 （3 分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：6，8，10 13，5，12 1，2，3 9，40，41 3，4，5其中能构成直角三角形的有（ ） 组 A2 B3 C4 D5 3 （3 分）ABC 中A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命 题是（ ） A如果CB=A，则ABC 是直角三角形 B如果 c2=b2a2，则ABC 是直角三角形，且C=90 C如果（c+a）
2、 （ca）=b2，则ABC 是直角三角形 D如果A：B：C=5：2：3，则ABC 是直角三角形 4 （3 分）下列数据中是勾股数的有（ ）组 （1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10， 24，26 A1 B2 C3 D4 5 （3 分） 已知直角三角形的两直角边之比是 3： 4， 周长是 36， 则斜边是 （ ） A5 B10 C15 D20 6（3 分） 若等腰三角形的腰长为 10cm， 底边长为 16cm， 那么底边上的高为 （ ） A12 cm B10 cm C8 cm D6 cm 7 （3 分）三角形的三边长为 a，b，c，且满
3、足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形 是（ ） A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形 8 （3 分）直角三角形两直角边长度为 5，12，则斜边上的高（ ） A6 B8 C D 9 （3 分）下列三角形一定不是直角三角形的是（ ） A三角形的三边长分别为 5，12，13 B三角形的三个内角比为 1：2：3 C三角形的三边长之比为 1：2：3 D三角形的两内角互余 10 （3 分）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明 和小华行走的速度都是 50 米/分，小明用 10 分到家，小华用 24 分到家，小明和 小华家的距离为（ ） A600 米 B800 米
4、 C1000 米 D1300 米 11 （3 分）下面说法正确的是（ ） A在 RtABC 中，a2+b2=c2 B在 RtABC 中，a=3，b=4，那么 c=5 C直角三角形两直角边都是 5，那么斜边长为 10 D直角三角形中，斜边最长 12（3 分） 在ABC 中， AB=12cm， AC=9cm， BC=15cm， 下列关系成立的是 （ ） AB+CA BB+C=A CB+CA D以上都不对 二、填空题（每空二、填空题（每空 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）一长为 13m 的木梯，架在高为 12m 的墙上，这时梯脚与墙的距离是 m 14 （3 分） 如图， OAB=O
5、BC=OCD=90， AB=BC=CD=1， OA=2， 则 OD2= 15 （3 分）一根电线杆在一次台风中于地面 3 米处折断倒下，杆顶端落在离杆 底端 4 米处，电线杆在折断之前高 米 16 （3 分）如果直角三角形的三条边分别为 4、5、a，那么 a2的值等于 三、解答题（共三、解答题（共 52 分）分） 17 （8 分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离 欲到达点 B200m，结果他在水中实际游了 520m，该河流的宽度为多少？ 18 （8 分）求下列图形中阴影部分的面积 （1）如图 1，AB=8，AC=6； （2）如图 2，AB=13，AD=14，CD=
6、2 19 （8 分）某校校庆，在校门 AB 的上方 A 处到教学楼 C 的楼顶 E 处拉彩带，已 知 AB 高 5m，EC 高 29m，校门口到大楼之间的距离 BC 为 10m，求彩带 AE 的长 是多少？ 20（10 分） 一个零件的形状如图所示， 工人师傅按规定做得 AB=3， BC=4， AC=5， CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积 吗？ 21 （10 分）如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中 点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，求线段 CN 长 22 （8 分）如图，A、B 两个小集镇在
7、河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇 供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使 铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 参考答案参考答案 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）如图字母 B 所代表的正方形的面积是（ ） A12 B13 C144 D194 【考点】勾股定理 【专题】换元法 【分析】 由图可知在直角三角形中， 已知斜边和一直角边， 求另一直角边的平方， 用勾股定理即可解答 【解答】 解： 由题
8、可知， 在直角三角形中， 斜边的平方=169， 一直角边的平方=25， 根据勾股定理知， 另一直角边平方=16925=144， 即字母 B 所代表的正方形的面 积是 144 故选 C 【点评】此题比较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平 方和等于斜边的平方 2 （3 分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：6，8，10 13，5，12 1，2，3 9，40，41 3，4，5其中能构成直角三角形的有（ ） 组 A2 B3 C4 D5 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】 根据勾股定理的逆定理： 如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个是直角三角形判定则可如果有这种关系
9、，这个就是直角三角形 【解答】解：因为62+82=102，132=52+122，92+402=412，符合勾股定理的 逆定理，所以能构成直角三角形的有三组故选 B 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真 分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的 平方之间的关系，进而作出判断 3 （3 分）ABC 中A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命 题是（ ） A如果CB=A，则ABC 是直角三角形 B如果 c2=b2a2，则ABC 是直角三角形，且C=90 C如果（c+a） （ca）=b2，则ABC 是直角三角形 D如果A：B
10、：C=5：2：3，则ABC 是直角三角形 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理 【分析】直角三角形的判定方法有：求得一个角为 90，利用勾股定理的逆 定理 【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角 C 为 90 度，故正确； B、解得应为B=90 度，故错误； C、化简后有 c2=a2+b2，根据勾股定理，则ABC 是直角三角形，故正确； D、设三角分别为 5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90 度，36 度，54 度，则ABC 是直角三角形，故正确 故选 B 【点评】本题考查了直角三角形的判定 4 （3 分）下列数据中是勾股数的有（ ）组 （1）3，5，7
11、 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10， 24，26 A1 B2 C3 D4 【考点】勾股数 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三 个数就是勾股数，据此判断即可 【解答】解： （1）3，5，7 不是勾股数，因为 32+5272； （2）5，15，17 不是勾股数，因为 52+152172； （3）1.5，2，2.5 不是勾股数，因为 1.5，2，2.5 不是正整数； （4）7，24，25 是勾股数，因为 72+242=252，且 7、24、25 是正整数； （5）10，24，26 是勾股数，因为 102+242=26
12、2，且 10，24，26 是正整数 故选 B 【点评】 本题考查了勾股数的概念： 满足 a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数 说 明：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5 满足 a2+b2=c2，但是它们不是正 整数， 所以它们不是够勾股数一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是 一组勾股数记住常用的勾股数再做题可以提高速度如：3，4，5；6，8， 10；5，12，13； 5 （3 分） 已知直角三角形的两直角边之比是 3： 4， 周长是 36， 则斜边是 （ ） A5 B10 C15 D20 【考点】勾股定理 【分析】设直角三角形的两直角边分别为 3k，4k，则斜边为 5k，列
13、出方程求出 k，即可解决问题 【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为 3k，4k，则斜边为 5k 由题意 3k+4k+5k=36， 解得 k=3， 所以斜边为 5k=15 故选 C 【点评】本题考查勾股定理、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活于勾股定 理解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型 6（3 分） 若等腰三角形的腰长为 10cm， 底边长为 16cm， 那么底边上的高为 （ ） A12 cm B10 cm C8 cm D6 cm 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【分析】 可以先作出 BC 边上的高 AD， 根据等腰三角爱哦形的性质可得 BD 的长， 在 RtAD
14、B 中，利用勾股定理就可以求出高 AD 【解答】解：作 ADBC 于 D， AB=AC， BD=BC=8cm， AD=6cm， 故选：D 【点评】 本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，关键是掌握勾股定理和 等腰三角形三线合一的性质 7 （3 分）三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形 是（ ） A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】对等式进行整理，再判断其形状 【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故选：C 【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用
15、勾股定理的逆定理判定 8 （3 分）直角三角形两直角边长度为 5，12，则斜边上的高（ ） A6 B8 C D 【考点】勾股定理 【分析】首先根据勾股定理，得：斜边=13再根据直角三角形的面积 公式，求出斜边上的高 【解答】 解：由题意得，斜边为=13所以斜边上的高=12513= 故选 D 【点评】运用了勾股定理注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积 除以斜边 9 （3 分）下列三角形一定不是直角三角形的是（ ） A三角形的三边长分别为 5，12，13 B三角形的三个内角比为 1：2：3 C三角形的三边长之比为 1：2：3 D三角形的两内角互余 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定
16、理 【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义一一判断即可 【解答】解：A、正确52+122=132，三角形为直角三角形 B、正确三角形的三个内角比为 1：2：3，三个内角分别为 30，60，90， 三角形是直角三角形 C、错误12+2232，三角形不是直角三角形 D、正确三角形的两内角互余，第三个角是 90，三角形是直角三角形 故选 C 【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，解题的关键是灵 活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型 10 （3 分）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明 和小华行走的速度都是 50 米/分，小明用 10 分到家，小华
17、用 24 分到家，小明和 小华家的距离为（ ） A600 米 B800 米 C1000 米 D1300 米 【考点】勾股定理的应用 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可 【解答】解：如图所示， 小明用 10 分到家，小华用 24 分到家， OA=1050=500（米） ，OB=2450=1200（米） ， AB=1300（米） 答：小明和小华家的距离为 1300 米 故选：D 【点评】 本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾 股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法， 关键是从题中抽象出勾股定理 这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用 11
18、 （3 分）下面说法正确的是（ ） A在 RtABC 中，a2+b2=c2 B在 RtABC 中，a=3，b=4，那么 c=5 C直角三角形两直角边都是 5，那么斜边长为 10 D直角三角形中，斜边最长 【考点】勾股定理 【分析】利用直角三角形勾股定理进行解题 【解答】解：A，B：直角三角形直角是哪个，未知，故不能得出 a2+b2=c2，c=5 C：斜边长为 5； D：由勾股定理知显然正确 故选 D 【点评】考查了直角三角形相关知识以及勾股定理的应用 12（3 分） 在ABC 中， AB=12cm， AC=9cm， BC=15cm， 下列关系成立的是 （ ） AB+CA BB+C=A CB+C
19、A D以上都不对 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到三角形的形状，则不难求得 其各角的关系 【解答】解：因为 122+92=152，所以三角形是直角三角形，则B+C=A故 选 B 【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理逆定理的应用 二、填空题（每空二、填空题（每空 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）一长为 13m 的木梯，架在高为 12m 的墙上，这时梯脚与墙的距离是 5 m 【考点】勾股定理的应用 【分析】根据题意可知，梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边， 利用勾股定理解此直角三角形即可 【解答】解：梯子、地面、墙刚好形
20、成一直角三角形， 梯脚与墙角的距离=5（m） 故答案为：5 【点评】 本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题 关键 14（3 分） 如图， OAB=OBC=OCD=90， AB=BC=CD=1， OA=2， 则 OD2= 7 【考点】勾股定理 【分析】连续运用勾股定理即可解答 【解答】解：由勾股定理可知 OB=，OC=，OD= OD2=7 【点评】 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方 15 （3 分）一根电线杆在一次台风中于地面 3 米处折断倒下，杆顶端落在离杆 底端 4 米处，电线杆在折断之前高 8 米 【考点】勾股
21、定理的应用 【分析】 先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断 部分的长与未断部分的和即可得出结论 【解答】解：由勾股定理得斜边为=5 米， 则原来的高度为 3+5=8 米 即电线杆在折断之前高 8 米 故答案为 8 【点评】 此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来 解决此题也可以直接用算术的算法求解 16 （3 分）如果直角三角形的三条边分别为 4、5、a，那么 a2的值等于 9 或 41 【考点】勾股定理 【分析】此题有两种情况，一是当这个直角三角形的斜边的长为 5 时；二是当这 个直角三角形两条直角边的长分别为 4 和 5 时，由勾股定理分别
22、求出此时的 a2 值即可 【解答】解：当这个直角三角形的斜边的长为 5 时， a2=5242=9； 当这个直角三角形两条直角边的长分别为 4 和 5 时， a2=52+42=41 故 a 的值为 9 或 41 故答案为：9 或 41 【点评】 本题考查勾股定理的知识，解答此题的关键是直角三角形的斜边没有确 定，所以要进行分类讨论，注意不要漏解，难度一般 三、解答题（共三、解答题（共 52 分）分） 17 （8 分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离 欲到达点 B200m，结果他在水中实际游了 520m，该河流的宽度为多少？ 【考点】勾股定理的应用 【分析】从实际问题
23、中找出直角三角形，利用勾股定理解答 【解答】解：根据图中数据，运用勾股定理求得 AB= =480m， 答：该河流的宽度为 480m 【点评】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单 18 （8 分）求下列图形中阴影部分的面积 （1）如图 1，AB=8，AC=6； （2）如图 2，AB=13，AD=14，CD=2 【考点】勾股定理 【分析】 （1）首先利用勾股定理计算出 BC 的长，进而得到圆的半径 BO 长，再 利用半圆的面积减去直角三角形面积即可； （2）首先计算出 AC 的长，再利用勾股定理计算出 BC 的长，然后利用矩形的面 积公式计算即可 【解答】解： （1）AB=8，AC=6，
24、 BC=10， BO=5， SABC=ABAC=86=24， S半圆=52=， S阴影=24； （2）AD=14，CD=2， AC=12， AB=13， CB=5， S阴影=25=10 【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角 三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 19 （8 分）某校校庆，在校门 AB 的上方 A 处到教学楼 C 的楼顶 E 处拉彩带，已 知 AB 高 5m，EC 高 29m，校门口到大楼之间的距离 BC 为 10m，求彩带 AE 的长 是多少？ 【考点】勾股定理的应用 【专题】探究型 【分析】 过点A作AFCE于点F， 由AB=
25、5m， EC=29m可求出EF的长， 再由BC=10m 可知 AE=BC=10m，在 RtAEF 中利用勾股定理即可求出 AE 的长 【解答】解：过点 A 作 AFCE 于点 F， ABBC，ECBC， 四边形 ABCF 是矩形， AB=5m，EC=29m， EF295=24m， BC=10m， AE=BC=10m， 在 RtAEF 中， AF=10m，EF=24m， AE=26m 答：彩带 AE 的长是 23 米 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角 形是解答此题的关键 20（10 分） 一个零件的形状如图所示， 工人师傅按规定做得 AB=3， BC=4，
26、AC=5， CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积 吗？ 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】由勾股定理逆定理可得ACD 与ABC 均为直角三角形，进而可求解其 面积 【解答】解：42+32=52，52+122=132， 即 AB2+BC2=AC2，故B=90， 同理，ACD=90 S四边形ABCD=SABC+SACD =34+512 =6+30 =36 【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题 21 （10 分）如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中 点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 M
27、N，求线段 CN 长 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】根据折叠的性质，只要求出 DN 就可以求出 NE，在直角CEN 中，若设 CN=x，则 DN=NE=8x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出 CN 的长 【解答】解：设 CN=xcm，则 DN=（8x）cm，由折叠的性质知 EN=DN=（8x） cm， 而 EC=BC=4cm，在 RtECN 中，由勾股定理可知 EN2=EC2+CN2， 即（8x）2=16+x2， 整理得 16x=48， 解得：x=3 即线段 CN 长为 3 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，折叠问题其实质是轴对称，对应线段 相等，对应角相等，通常
28、用勾股定理解决折叠问题 22 （8 分）如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇 供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使 铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【考点】轴对称-最短路线问题 【专题】计算题；作图题 【分析】此题的关键是确定点 M 的位置，需要首先作点 A 的对称点 A，连接点 B 和点 A， 交 l 于点 M， M 即所求作的点 根据轴对称的性质， 知： MA+MB=AB 根 据勾股定理即可求解 【解答】解：作 A 关于 CD 的对称点 A，连接 AB 与 CD，交点 CD 于 M，点 M 即 为所求作的点， 则可得：DK=AC=AC=10 千米， BK=BD+DK=40 千米， AM+BM=AB=50 千米， 总费用为 503=150 万元 【点评】此类题的重点在于能够确定点 M 的位置，再运用勾股定理即可求解
