1、 2020 年中考数学三轮冲刺训练圆的综合(三) 1如图,AB为O的直径,C、D为O上的两个点,连接AD,过点D作DE AC交AC的延长线于点E (1)求证:DE是O的切线 (2)若直径AB6,求AD的长 2如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,ADBC,AC与BD相 交于点FBE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E (1)求证:CBADAB; (2)若BEBF,求证:AC平分DAB 3如图,在ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画O,O与边AB相切于 点D,ACAD,连接OA交O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F (1)求证:AC是O的切线
2、; (2)若AB10,tanB,求O的半径; (3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由 4如图,在ABC中,ABBC,以ABC的边AB为直径作O,交AC于点D,过点D作DE BC,垂足为点E (1)试证明DE是O的切线; (2)若O的半径为 5,AC6,求此时DE的长 5如图,AB是O的直径,C为O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D (1)求证:CADCAB; (2)若,AC2,求CD的长 6如图,O是ABC的外接圆,AB为直径,点P为O外一点,且PAPCAB,连接 PO交AC于点D,延长PO交O于点F (1)证明:; (2)若 tanABC2,证明:PA是
3、O的切线; (3)在(2)条件下,连接PB交O于点E,连接DE,若BC2,求DE的长 7如图,在 RtABC中,ABC90,以AB为直径的O交AC于点E,O的切线DE交 BC于点F,交AB的延长线于点D (1)若BD2,DE4,求O的半径; (2)求证:BFCF 8已知在ABC中,BCABAB是O的弦,AC交O于点D,且D为AC的中点,延长CB 交O于点E,连接AE (I)如图,若E50,求EAC的大小; (1)如图,过点E作O的切线,交AC的延长线于点F若CF2CD,求CAB的大 小 9如图,AB是O的直径,过点A作O切线AP,点C是射线AP上的动点,连接CO交O 于点E,过点B作BDCO,
4、交O于点D,连接DE、OD、CD (1)求证:CACD; (2)填空: 当ACO的度数为 时,四边形EOBD是菱形 若BDm,则当AC (用含m的式子表示)时,四边形ACDO是正方形 10已知AB是O的直经,PB是O的切线,C是O上的点,ACOP,M是直径AB上的动 点,A与直线CM上的点的连线距离的最小值为d,B与直线CM上的连线距离的最小值为 f, (1)求证:PC是O切线 (2)设OPAC,求CPO的正切值 (3)设AC9,AB15,求d+f的取值范围 参考答案 1(1)证明:连接OD, , BOD18060, , EADDABBOD30, OAOD, ADODAB30, DEAC, E
5、90, EAD+EDA90, EDA60, EDOEDA+ADO90, ODDE, DE是O的切线; (2)解:连接BD, AB为O的直径, ADB90, DAB30,AB6, BDAB3, AD3 2(1)证明:AB是半圆O的直径, ACBADB90, 在 RtCBA与 RtDAB中, RtCBARtDAB(HL); (2)解:BEBF,由(1)知BCEF, EBFE, BE是半圆O所在圆的切线, ABE90, E+BAE90, 由(1)知D90, DAF+AFD90, AFDBFE, AFDE, DAF90AFD,BAF90E, DAFBAF, AC平分DAB 3解:(1)如图,连接OD,
6、 O与边AB相切于点D, ODAB,即ADO90, AOAO,ACAD,OCOD, ACOADO(SSS), ADOACO90, 又OC是半径, AC是O的切线; (2)tanB, 设AC4x,BC3x, AC2+BC2AB2, 16x2+9x2100, x2, BC6, ACAD8,AB10, BD2, OB2OD2+BD2, (6OC)2OC2+4, OC, 故O的半径为; (3)连接OD,DE, 由(1)可知:ACOADO, ACOADO90,AOCAOD, 又CODO,OEOE, COEDOE(SAS), OCEOED, OCOEOD, OCEOECOEDODE, DEF180OECO
7、ED1802OCE, 点F是AB中点,ACB90, CFBFAF, FCBFBC, DFE180BCFCBF1802OCE, DEFDFE, DEDFCE, AFBFDF+BDCE+BD 4(1)证明:连接OD、BD, AB是O直径, ADB90, BDAC, ABBC, D为AC中点, OAOB, ODBC, DEBC, DEOD, OD为半径, DE是O的切线; (2)由(1)知BD是AC的中线, ADCD3, O的半径为 5, AB6, BD, ABAC, AC, ADBCED90, CDEABD, ,即, DE3 5(1)证明:如图 1,连接OC, , CD是切线, OCCD ADCD
8、, ADOC, 14 OAOC, 24, 12, AC平分DAB; (2)解:如图 2, 连接BC, , 设AD2x,AB3x, AB是O的直径, ACBADC90, DACCAB, ACDABC, , , x2(负值舍去), AD4, CD2 6(1)证明:连接OC PCPA,OCOA, OP垂直平分线段AC, (2)证明:设BCa, AB是直径, ACB90, tanABC2, AC2a,AB3a, OCOAOB,CDADa, PAPCAB, PAPC3a, PDC90, PD4a, DCDA,AOOB, ODBCa, AD2PDOD, , ADPADO90, ADPODA, PADDOA
9、, DOA+DAO90, PAD+DAO90, PAO90, OAPA, PA是O的切线 (3)解:如图,过点E作EJPF于J,BKPF于K BC2, 由(1)可知,PA6,AB6, PAB90, PB6, PA2PEPB, PE4, CDKBKDBCD90, 四边形CDKB是矩形, CDBK2,BCDK2, PD8, PK10, EJBK, , , EJ,PJ, DJPDPJ8, DE 7(1)解:连接OE,如图, DE为O的切线, OEF90, 设O半径为x,则OBOEx, BD2, ODOB+BDx+2, 在 RtDEO中,OE2+DE2OD2, x2+42(x+2)2,解得x3, 即O
10、半径为 3; (2)证明:连接BE,如图, AB为O的直径, AEB90,CEB90, CBE+C90,CEF+FEB90, ABC90, BC为O的切线, DE为O的切线, BFEF, CBEBEF, CCEF, CFEF, BFCF 8解:(1)连接ED,如图 1, ABC是直角三角形, ABC90, ABE90, AE是O的直径, EDAC, ADDC, AECE, AEDCEDAEC25, EAC90AED902565; (2)连接ED,如图 2, D为AC的中点, ABE90, AE是直径, EF是OO的切线, AEF90, D为AC的中点, AC2CD, CF2CD, ACCF,
11、CEAC, 由(1)得AECE, AECEAC, EAC60, ABEC, CAB30 9(1)证明:BDOC, AOCOBD,DOCODB, OBOD, ODBOBD, AOCDOC, 在AOC和DOC中, , AOCDOC(SAS) CACD; (2)解:当四边形EOBD是菱形时,OBBD, OBOD, OBODBD, OBD为等边三角形, OBD60, AOCOBD60, AP是O的切线, OAC90, ACO30; 当四边形ACDO是正方形时,ACOAOD,AOD90, DOB90, OBOD, OBBDm, ACOBm, 故答案为:30;m 10(1)证明:连接OC,如图 1 所示:
12、 BP是圆的切线, BPOB, OBP90, ACOP, OACBOP,ACOCOP, 又OAOC, OACACO, COPBOP, 在OCP和OBP中, OCPOBP(SAS), OCPOBP90, PCOC, PC是圆的切线; (2)解:连接BC,交OP于H,如图 2 所示: 由(1)得:COHBOH, OBOC, OHBC,BHCH, OAOB, OH是ABC的中位线, OHAC, OPAC, 设AC2a,则OP3a, OHa,HP2a, OCP90, OCH+PCH90, CPH+PCH90, OCHCPH, OHCCHP90, OHCCHP, , HC2OHHPa2a2a2, HCa, tanCPO; (3)解:连接BC,过点A作ANCM于N,过点B作BSCM于S,如图 3 所示: 则dANAMsinAMC,fBSBMsinSMB, d+fAMsinAMC+BMsinSMB, AMCSMB, d+fsinAMC(AM+BM)ABsinAMC, 当AMC最大,d+f最大,即CMAB最大, 此时,d+fAB15, 当AMC最小,d+f最小, 即M在B点AMCABC,与M在A点AMCCAB时最小, AB是O的直经, ACB90, 由勾股定理得:BC12, BCAC, ABCACB, M在B点时,AMC最小, 此时,d+fAC9, 9d+f15