1、 2020 年中考数学三轮冲刺训练圆的综合（三） 1如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点，连接AD，过点D作DE AC交AC的延长线于点E （1）求证：DE是O的切线 （2）若直径AB6，求AD的长 2如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，ADBC，AC与BD相 交于点FBE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E （1）求证：CBADAB； （2）若BEBF，求证：AC平分DAB 3如图，在ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画O，O与边AB相切于 点D，ACAD，连接OA交O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F （1）求证：AC是O的切线
2、； （2）若AB10，tanB，求O的半径； （3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由 4如图，在ABC中，ABBC，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，过点D作DE BC，垂足为点E （1）试证明DE是O的切线； （2）若O的半径为 5，AC6，求此时DE的长 5如图，AB是O的直径，C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D （1）求证：CADCAB； （2）若，AC2，求CD的长 6如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，点P为O外一点，且PAPCAB，连接 PO交AC于点D，延长PO交O于点F （1）证明：； （2）若 tanABC2，证明：PA是
3、O的切线； （3）在（2）条件下，连接PB交O于点E，连接DE，若BC2，求DE的长 7如图，在 RtABC中，ABC90，以AB为直径的O交AC于点E，O的切线DE交 BC于点F，交AB的延长线于点D （1）若BD2，DE4，求O的半径； （2）求证：BFCF 8已知在ABC中，BCABAB是O的弦，AC交O于点D，且D为AC的中点，延长CB 交O于点E，连接AE （I）如图，若E50，求EAC的大小； （1）如图，过点E作O的切线，交AC的延长线于点F若CF2CD，求CAB的大 小 9如图，AB是O的直径，过点A作O切线AP，点C是射线AP上的动点，连接CO交O 于点E，过点B作BDCO，
4、交O于点D，连接DE、OD、CD （1）求证：CACD； （2）填空： 当ACO的度数为 时，四边形EOBD是菱形 若BDm，则当AC （用含m的式子表示）时，四边形ACDO是正方形 10已知AB是O的直经，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动 点，A与直线CM上的点的连线距离的最小值为d，B与直线CM上的连线距离的最小值为 f， （1）求证：PC是O切线 （2）设OPAC，求CPO的正切值 （3）设AC9，AB15，求d+f的取值范围 参考答案 1（1）证明：连接OD， ， BOD18060， ， EADDABBOD30， OAOD， ADODAB30， DEAC， E
5、90， EAD+EDA90， EDA60， EDOEDA+ADO90， ODDE， DE是O的切线； （2）解：连接BD， AB为O的直径， ADB90， DAB30，AB6， BDAB3， AD3 2（1）证明：AB是半圆O的直径， ACBADB90， 在 RtCBA与 RtDAB中， RtCBARtDAB（HL）； （2）解：BEBF，由（1）知BCEF， EBFE， BE是半圆O所在圆的切线， ABE90， E+BAE90， 由（1）知D90， DAF+AFD90， AFDBFE， AFDE， DAF90AFD，BAF90E， DAFBAF， AC平分DAB 3解：（1）如图，连接OD，
6、 O与边AB相切于点D， ODAB，即ADO90， AOAO，ACAD，OCOD， ACOADO（SSS）， ADOACO90， 又OC是半径， AC是O的切线； （2）tanB， 设AC4x，BC3x， AC2+BC2AB2， 16x2+9x2100， x2， BC6， ACAD8，AB10， BD2， OB2OD2+BD2， （6OC）2OC2+4， OC， 故O的半径为； （3）连接OD，DE， 由（1）可知：ACOADO， ACOADO90，AOCAOD， 又CODO，OEOE， COEDOE（SAS）， OCEOED， OCOEOD， OCEOECOEDODE， DEF180OECO
7、ED1802OCE， 点F是AB中点，ACB90， CFBFAF， FCBFBC， DFE180BCFCBF1802OCE， DEFDFE， DEDFCE， AFBFDF+BDCE+BD 4（1）证明：连接OD、BD， AB是O直径， ADB90， BDAC， ABBC， D为AC中点， OAOB， ODBC， DEBC， DEOD， OD为半径， DE是O的切线； （2）由（1）知BD是AC的中线， ADCD3， O的半径为 5， AB6， BD， ABAC， AC， ADBCED90， CDEABD， ，即， DE3 5（1）证明：如图 1，连接OC， ， CD是切线， OCCD ADCD
8、， ADOC， 14 OAOC， 24， 12， AC平分DAB； （2）解：如图 2， 连接BC， ， 设AD2x，AB3x， AB是O的直径， ACBADC90， DACCAB， ACDABC， ， ， x2（负值舍去）， AD4， CD2 6（1）证明：连接OC PCPA，OCOA， OP垂直平分线段AC， （2）证明：设BCa， AB是直径， ACB90， tanABC2， AC2a，AB3a， OCOAOB，CDADa， PAPCAB， PAPC3a， PDC90， PD4a， DCDA，AOOB， ODBCa， AD2PDOD， ， ADPADO90， ADPODA， PADDOA
9、， DOA+DAO90， PAD+DAO90， PAO90， OAPA， PA是O的切线 （3）解：如图，过点E作EJPF于J，BKPF于K BC2， 由（1）可知，PA6，AB6， PAB90， PB6， PA2PEPB， PE4， CDKBKDBCD90， 四边形CDKB是矩形， CDBK2，BCDK2， PD8， PK10， EJBK， ， ， EJ，PJ， DJPDPJ8， DE 7（1）解：连接OE，如图， DE为O的切线， OEF90， 设O半径为x，则OBOEx， BD2， ODOB+BDx+2， 在 RtDEO中，OE2+DE2OD2， x2+42（x+2）2，解得x3， 即O
10、半径为 3； （2）证明：连接BE，如图， AB为O的直径， AEB90，CEB90， CBE+C90，CEF+FEB90， ABC90， BC为O的切线， DE为O的切线， BFEF， CBEBEF， CCEF， CFEF， BFCF 8解：（1）连接ED，如图 1， ABC是直角三角形， ABC90， ABE90， AE是O的直径， EDAC， ADDC， AECE， AEDCEDAEC25， EAC90AED902565； （2）连接ED，如图 2， D为AC的中点， ABE90， AE是直径， EF是OO的切线， AEF90， D为AC的中点， AC2CD， CF2CD， ACCF，
11、CEAC， 由（1）得AECE， AECEAC， EAC60， ABEC， CAB30 9（1）证明：BDOC， AOCOBD，DOCODB， OBOD， ODBOBD， AOCDOC， 在AOC和DOC中， ， AOCDOC（SAS） CACD； （2）解：当四边形EOBD是菱形时，OBBD， OBOD， OBODBD， OBD为等边三角形， OBD60， AOCOBD60， AP是O的切线， OAC90， ACO30； 当四边形ACDO是正方形时，ACOAOD，AOD90， DOB90， OBOD， OBBDm， ACOBm， 故答案为：30；m 10（1）证明：连接OC，如图 1 所示：
12、 BP是圆的切线， BPOB， OBP90， ACOP， OACBOP，ACOCOP， 又OAOC， OACACO， COPBOP， 在OCP和OBP中， OCPOBP（SAS）， OCPOBP90， PCOC， PC是圆的切线； （2）解：连接BC，交OP于H，如图 2 所示： 由（1）得：COHBOH， OBOC， OHBC，BHCH， OAOB， OH是ABC的中位线， OHAC， OPAC， 设AC2a，则OP3a， OHa，HP2a， OCP90， OCH+PCH90， CPH+PCH90， OCHCPH， OHCCHP90， OHCCHP， ， HC2OHHPa2a2a2， HCa， tanCPO； （3）解：连接BC，过点A作ANCM于N，过点B作BSCM于S，如图 3 所示： 则dANAMsinAMC，fBSBMsinSMB， d+fAMsinAMC+BMsinSMB， AMCSMB， d+fsinAMC（AM+BM）ABsinAMC， 当AMC最大，d+f最大，即CMAB最大， 此时，d+fAB15， 当AMC最小，d+f最小， 即M在B点AMCABC，与M在A点AMCCAB时最小， AB是O的直经， ACB90， 由勾股定理得：BC12， BCAC， ABCACB， M在B点时，AMC最小， 此时，d+fAC9， 9d+f15