1、2020 年苏州市昆山市（年苏州市昆山市（6 月份）高考数学模拟试卷月份）高考数学模拟试卷 一、填空题（共 14 小题）. 1已知集合 A0，1，4，B2，0，2，4，则 AB 2已知复数 z，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模是 3抛物线 y216x 的准线为 4某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域 将下辖的 250 个行政村分成 A，B，C，D 四组，对应的行政村个数分别为 25，75，100， 50，若用分层抽样抽取 50 个行政村，则 B 组中应该抽取的行政村数为 5执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 6中国古典乐器一般按“八音”分类
2、，在周礼 春官 大师中按乐器的制造材料对乐 器分类，分别为“金、石、木、土、革、丝、范、竹”八音，其中“土、响、竹”为吹 奏乐器，“金、石、木、革”为打击乐器，“丝”为弹拨乐器现从“八音”中任取不 同的“一音”，则不是吹奏乐器的概率为 7已知函数，若 ，则实数 a 的值是 8已知an和bn均为等差数列，若 a2+b76，a4+b59，则 a6+b3的值是 9已知 x1，x2为函数 f（x）exsinx 的两个极值点，则|x1x2|的最小值为 10在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD4，AA13，若在长方体中挖去一个体积 最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为 11在平面直角坐标
3、系 xOy 中，已知圆 C：（x+3）2+（y+4）216，若对于直线 x+my+1 0 上的任意一点 P， 在圆 C 上总存在 Q 使PQC， 则实数 m 的取值范围为 12如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3，AD2，BAD，E 为 BC 的中点，若线 段 DE 上存在一点 M 满足（mR），则的值是 13在ABC 中，设角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，记ABC 的面积为 S，若 tanA 2tanB，则的最大值为 14已知函数 f（x）x33ax（a0），其图象记为曲线 C，曲线 C 上存在异于原点的点 P0， 使得曲线 C 与其在 P0的切线交于另一点 P1， 曲线 C
4、 与其在 P1的切线交于另一点 P2， 若直线 P0P1与直线 P0P2的斜率之积小于9，则 a 的取值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 15已知平面向量 （2cos，1）， （1，3sin） （1）若 ，求 sin2 的值； （2）若 ，求 tan（+）的值 16在三棱锥 PABC 中，BC平面 PAB，已知 PAAB，ABC 为直角，点 D，E 分别为 PB，BC 的中点 （）求证：AD平面 PBC； （）若 F 在线段 AC 上，且，求证：AD平面 PEF 17在平面直角坐标系 xOy 中，已知
5、椭圆 E：（ab0）的左右焦点分别为 F1 和 F2，离心率为 ，左准线方程为 x2 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设不经过 F1的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，直线 l，AF1，BF1的斜率分别为 k， k1，k2，且 k1+k22k，求 k 的取值范围 18（16 分）如图，在一个圆心角为 90，半径为 10 米的扇形草地上，需铺设一个直角三 角形 PQR 的花地， 其中RQP 为直角， 要求 P， R， Q 三点分别落在线段 BC， AC 和弧 上，且 PQRQ（0），PQR 的面积为 S （1）当 2 且 QRAC 时，求 S 的值； （2）无论如何铺设，要求 S 始终不小
6、于 20 平方米，求 的取值范围 19（16 分）已知在每一项均不为 0 的数列an中，a13，且（p，t 为常 数，nN*），记数列an的前 n 项和为 Sn （1）当 t0 时，求 Sn； （2）当 p，t2 时， 求证：数列为等比数列； 是否存在正整数 m，使得不等式 Sn2nm 对任意 nN*恒成立？若存在，求出 m 的 最小值；若不存在，请说明理由 20（16 分）定义：函数 f（x）的导函数为 f（x），函数 f（x）的导函数为 f（x），我 们称函数 f （x） 称为函数 f （x） 的二阶导函数 已知 p （x） ex（x2+3） ， q （x） ex+ax+2 （1）求函数
7、p（x）的二阶导函数； （2）已知定义在 R 上的函数 g（x）满足：对任意 R，g（x）0 恒成立P 为曲线 y g（x）上的任意一点求证：除点 P 外，曲线 yg（x）上每一点都在点 P 处切线的 上方； （3）试给出一个实数 a 的值，使得曲线 yp（x）与曲线 yq（x）有且仅有一条公切 线，并证明你的结论 参考答案 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上） 1已知集合 A0，1，4，B2，0，2，4，则 AB 0，4 【分析】进行交集的运算即可 解：A0，1，4，B2，0，2，4， AB0，4 故答案为：0，4 2已知复数
8、z，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模是 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 解：z， |z| 故答案为： 3抛物线 y216x 的准线为 x4 【分析】确定抛物线的焦点位置，再确定几何量，即可得到结论 解：抛物线 y216x 焦点在 x 轴的正半轴，2p16， 4 抛物线 y216x 的准线为 x4 故答案为：x4 4某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域 将下辖的 250 个行政村分成 A，B，C，D 四组，对应的行政村个数分别为 25，75，100， 50，若用分层抽样抽取 50 个行政村，则 B 组中应该抽取的行政
9、村数为 15 【分析】用样本容量乘以 B 组所占的比例，即得 B 组中应抽取的行政村数目 解：B 组所占比例为：，样本容量为 50， 故 B 组中应抽取的行政村数为 5015， 故答案为：15 5执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 34 【分析】根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条 件即跳出循环体，求出此时的 S 即可 解：第一次运行得：S10，i5，满足 i8，则继续运行 第二次运行得：S20，i7，满足 i8，则继续运行 第三次运行得：S34，i9，终止循环，所以 S34 故答案是：34 6中国古典乐器一般按“八音”分类，在周礼 春官 大师中按乐器的
10、制造材料对乐 器分类，分别为“金、石、木、土、革、丝、范、竹”八音，其中“土、响、竹”为吹 奏乐器，“金、石、木、革”为打击乐器，“丝”为弹拨乐器现从“八音”中任取不 同的“一音”，则不是吹奏乐器的概率为 【分析】简单的古典概型概率求法，总数是 8，不是吹奏乐器的音有 5 种，相比即可 解： 由列举法知从八音中任取不同的一音有 8 种取法， 其中不是吹奏乐器的取法有 5 种， 所以不是吹奏乐器的概率 P， 故答案是 7已知函数，若 ，则实数 a 的值是 4 【分析】讨论 x 的取值范围，分别代入即可求解 解：因为函数， 当 x0 时，f（x）log231，故无解； 故须有：a4 故答案为：4
11、8已知an和bn均为等差数列，若 a2+b76，a4+b59，则 a6+b3的值是 12 【分析】由等差数列的性质，等差中项的特点可得，所求的两项的和用已知的项表示可 得其结果 解：因为an和bn均为等差数列，a2+b76，a4+b59， 所以 a2+b7+a6+b32（a4+b5）2918， 所以 a6+b318612， 故答案为：12 9已知 x1，x2为函数 f（x）exsinx 的两个极值点，则|x1x2|的最小值为 【分析】先对函数求导，然后结合极值存在条件及正弦函数的性质可求 解：f（x）ex（sinx+cosx）， 令 x+ 可得 x，kZ， 所以则|x1x2|的最小值为 故答案
12、为： 10在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD4，AA13，若在长方体中挖去一个体积 最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为 【分析】以 ABCD 为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：V122312，以 ABB1A1 为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：V29，以 ADD1A1为圆柱底面 时，挖去的圆柱体积为：V39，由此能求出在长方体中挖去一个体 积最大的圆柱，进而求得圆柱与原长方体的体积比 解：以 ABCD 为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：V122312， 以 ABB1A1为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：V2 9， 以 ADD1A1为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：V3 9， 在长方
13、体中挖去一个体积最大的圆柱， 此圆柱与原长方体的体积比为： 故答案为： 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（x+3）2+（y+4）216，若对于直线 x+my+1 0上的任意一点P， 在圆C上总存在Q使PQC， 则实数m的取值范围为 m 【分析】根据题意知，直线 x+my+10 与圆 C 的关系是：相离 解：由题意过点 P 总可以作圆 C 的切线，所以圆 C 与直线 x+my+10 相离，所以 4 解得 m 故答案是：m 12如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3，AD2，BAD，E 为 BC 的中点，若线 段 DE 上存在一点 M 满足（mR），则的值是 【分析】整理（1） +
14、 +m，求出 m，再代入计算即可 解： + +（）+（）（1） + +m， 则，解得 m， 故+， 所以（+） （） 2+2 9+ 432， 故答案为： 13在ABC 中，设角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，记ABC 的面积为 S，若 tanA 2tanB，则的最大值为 【分析】ABC 中，作 CHAB，H 为垂足，由题意查余弦定理、勾股定理、基本不等 式，求得的最大值 解：ABC 中，作 CHAB，H 为垂足，tanA2tanB， BH2AH，a2BH2+CH2， 故ABC 的面积为 SAB CHAH CH 则， 当且仅当 2AHCH 时，等号成立， 故答案为： 14已知函数 f（
15、x）x33ax（a0），其图象记为曲线 C，曲线 C 上存在异于原点的点 P0， 使得曲线 C 与其在 P0的切线交于另一点 P1， 曲线 C 与其在 P1的切线交于另一点 P2， 若直线 P0P1与直线 P0P2的斜率之积小于9，则 a 的取值范围为 （ ，+） 【分析】f（x）3x23a，设 P0（x0，f（x0），P1（x1，f（x1），P2（x2，f（x2）， 写出直线 l方程，联立它与曲线 f（x）方程得，P1（2x0，8x03+6ax0），同理得 P2（4x0，64x0312ax0），再计算 k，k，由题意得 k k9，再求 取值范围即可 解：f（x）3x23a， 设 P0（x0，
16、f（x0），P1（x1，f（x1），P2（x2，f（x2）， l：y（x033ax0）（3x023a）（xx0）， 即 y（3x023a）x2x03， 联立，得 x12x0，P1（2x0，8x03+6ax0） 同理 x22x14x0， 则 P2（4x0，64x0312ax0）， k21x023a， k3x023a， 所以 k k 9，得 （21x023a）（3x023a）9， 令 tx020，则 7t28at+（a2+1）0 在（0，+）上有解， 由0 得 a（，+） 故答案为：（，+） 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程
17、或演算步骤） 15已知平面向量 （2cos，1）， （1，3sin） （1）若 ，求 sin2 的值； （2）若 ，求 tan（+）的值 【分析】（1）由 ，得（2cos）（3sin）110，由此能求出 sin2 （2）由 ，得2cos+3sin0，推导出 cos0，tan，由此能求出 tan （+） 解：（1）平面向量 （2cos，1）， （1，3sin）， ， （2cos）（3sin）110， 解得 6sincos13sin210， sin2 （2） ，2cos+3sin0， 2cos3sin， 若 cos0，则|sin|1，不满足上式，舍， cos0，tan， tan（+） 16在三棱锥
18、 PABC 中，BC平面 PAB，已知 PAAB，ABC 为直角，点 D，E 分别为 PB，BC 的中点 （）求证：AD平面 PBC； （）若 F 在线段 AC 上，且，求证：AD平面 PEF 【分析】（）因为ABC 为直角，即 ABBC再利用线面垂直判定定理，即可证出 AD平面 PBC； （）连结 DC，交 PE 于点 G，利用线线平行的性质定理，证出 ADFG 即可得到 AD 平面 PEF 解：（）ABC 为直角，即 ABBC， 又 PABC， BC平面 PAB， AD平面 PAB ADBC PAAB，点 D 为 BC 的中点 ADPB 又PBBCB，AD平面 PBC （）如图，连结 DC
19、，交 PE 于点 G， 点 D，E 分别为 PB，BC 的中点， G 为PBC 的重心， 又，ADFG， 又 AD平面 PEF，FG平面 PEF， AD平面 PEF 17在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：（ab0）的左右焦点分别为 F1 和 F2，离心率为 ，左准线方程为 x2 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设不经过 F1的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，直线 l，AF1，BF1的斜率分别为 k， k1，k2，且 k1+k22k，求 k 的取值范围 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和准线方程，解方程可得 a，c，再由 a，b，c 的关 系，解得 b，进而得到椭圆方程； （
20、2）求得焦点坐标，设直线 l 的方程为 ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆 方程，消去 y 可得 x 的二次方程，运用韦达定理，以及判别式大于 0，结合斜率公式和已 知条件，解不等式可得所求范围 解：（1）由 e，由左准线方程为 x2，即2， 解得 a，c1，b1， 则椭圆的方程为+y21； （2）由（1）可得 F1（1，0），F2（1，0）， 设直线 l 的方程为 ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线 l 的方程和椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4kmx+（2m22）0， 可得 x1+x2 ，x1x2 ， 因为点 A 和点 B 不重合，且直线 l
21、 的斜率存在， 所以（4km）24（1+2k2）（2m22）0，可得 2k2+1m2， 因为 k1，k2 ， 由条件 k1+k22k 可得 2k +，即 2k+， 化简可得（mk）（x1+x2+2）0， 若 mk，则直线 l：yk（x+1）过点 F1，不符条件； 因此 x1+x2+20故 2， 可得 m1+， 代入 1+2k2m2，可得 2k2+1（k+ ）2，可得 k2， 所以 k（，）（，+） 18（16 分）如图，在一个圆心角为 90，半径为 10 米的扇形草地上，需铺设一个直角三 角形 PQR 的花地， 其中RQP 为直角， 要求 P， R， Q 三点分别落在线段 BC， AC 和弧
22、上，且 PQRQ（0），PQR 的面积为 S （1）当 2 且 QRAC 时，求 S 的值； （2）无论如何铺设，要求 S 始终不小于 20 平方米，求 的取值范围 【分析】（1）以 C 为原点，CB，CA 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，由 Q 在直线 y2x 上又 Q 在圆 x2+y2100 上，解得 Q 的坐标，由三角形的面积公式可得所 求值； （2）过 Q 作 QMAC，垂足为 M，作 QNBC，垂足为 N，由三角形的相似性质可得 xQ：yQ1：，考虑 Q 在圆 x2+y2100 上，解得 Q 的坐标，当 R 与 M 重合时，可得 S 取得最小值，要使 S 始终不小于 2
23、0 平方米，可令 S 的最小值不小于 20，解不等式可得所 求范围 解：（1）以 C 为原点，CB，CA 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系， 因为 PQ2RQ，且 QRAC，所以 Q 在直线 y2x 上 又因为 Q 在圆 x2+y2100 上，所以 Q（2，4 ）， 此时 SPQ QR2420， 所以当 2 且 QRAC 时，S 的值为 20 平方米 （2）过 Q 作 QMAC，垂足为 M，作 QNBC，垂足为 N， 所以RMQPNQ，且相似比为 1：， 所以 xQ：yQ1：，又因为 Q 在圆 x2+y2100 上，代入计算可得 xQ2 ，yQ2 ， 设 QRx，则 QPx，所以
24、SQR QP x 2， 当 R 与 M 重合时，x2QM2，此时 x2取得最小值，所以 Smin ， 要使 S 始终不小于 20 平方米，则20，解得2， 所以 的取值范围是，2， 答：要使 S 始终不小于 20 平方米， 的取值范围为，2， 19（16 分）已知在每一项均不为 0 的数列an中，a13，且（p，t 为常 数，nN*），记数列an的前 n 项和为 Sn （1）当 t0 时，求 Sn； （2）当 p，t2 时， 求证：数列为等比数列； 是否存在正整数 m，使得不等式 Sn2nm 对任意 nN*恒成立？若存在，求出 m 的 最小值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）先由题设条件得
25、到：an+1pan，再由 an0p0，进而说明数列an是首 项为 3，公比为 p 的等比数列，再求其前 n 项和即可； （2）利用等比数列的定义证明结论即可； 先由an，再利用放缩法得到：当 n2 时，an2 2） （an22）（a12），进而得到：Sn2n ，又由 S121m 求得 m 的最小值 解：（1）解：当 t0 时，an+1pan，an0，p0，数列an是首项为 3，公比为 p 的等比数列 当 p1 时，Sn3n；当 p1 时，Sn 故 Sn ； （2） 证明： 当 p， t2 时， an+1+， an+1+2， an+12， 若存在 k2，kN*，使得 ak2，则 2ak1ak2a
26、1，这与 a13 矛盾， 所以 an2， 0， 所以 lglg 2lg，又因为 lg lg50， 所以数列是首项为 lg5，公比为 2 的等比数列 解：由知 lglg5 2n1，5 ，an 由 an2 0 得：， 即 an+12 （an2）， 当 n2 时，an22）（an22） （a12） ， 所以 Sn2n（a12）+（a22）+（an2）1+ +（当且仅当 n 1 时取“）， 所以 Sn2n ，又因为 S121m，m一、选择题*，所 以存在 m 且 m 的最小值为 2 20（16 分）定义：函数 f（x）的导函数为 f（x），函数 f（x）的导函数为 f（x），我 们称函数 f （x）
27、称为函数 f （x） 的二阶导函数 已知 p （x） ex（x2+3） ， q （x） ex+ax+2 （1）求函数 p（x）的二阶导函数； （2）已知定义在 R 上的函数 g（x）满足：对任意 R，g（x）0 恒成立P 为曲线 y g（x）上的任意一点求证：除点 P 外，曲线 yg（x）上每一点都在点 P 处切线的 上方； （3）试给出一个实数 a 的值，使得曲线 yp（x）与曲线 yq（x）有且仅有一条公切 线，并证明你的结论 【分析】（1）直接根据 p（x）ex（x2+3），求出 p（x）的导数，再求出 p（x）的导 数即可； （2）设 P（x0，g（x0），求出曲线 yg（x）在点 P
28、 处的切线方程，然后设 G（x） g（x）g（x0）（xx0）+g（x0），再判断 G（x）的单调性，进一步证明除点 P 外，曲线 yg（x）上每一点都在点 P 处切线的上方； （3）给出 a2，此时 q（x）ex+2x+2，然后求出 p（x）与 q（x）的公切线，再证明 证明它们只有这一条公切线 解： （1）p（x）ex（x2+3），p（x）ex（x2+2x+3），p （x）ex（x2+4x+5） （2）设 P（x0，g（x0），则曲线 yg（x）在点 P 处的切线方程为 yg（x0）（x x0）+g（x0）， 设 G（x）g（x）g（x0）（xx0）+g（x0），则 G（x）g（x）g（x
29、0）， G（x）g（x）0， G（x） 在 （，+） 上递增，又 G（x0）g（x0）g（x0）0， 当 xx0 时，G（x）0：当 xx0 时，G（x）0， G（x） 在 （，x0递减，在x0，+） 递增， xR，xx0，G（x）G（x0）0， g（x）g（x0）（xx0）+g（x0）， 除点 P 外，曲线 yg（x） 上每一点都在点 P 处切线的上方 （3）给出 a2，此时 q（x）ex+2x+2， p（x）ex（x2+2x+3），p（0）3，又 p（0）3， 曲线 yp（x） 在 x0 如的切线为 y3x+3， q（x）ex+2，q（0）3，又 q（0）3， 曲线 yq（x）在 x0 处
30、的切线为 y3x+3， 两曲线有一条公切线 y3x+3 下面证明它们只有这一条公切线 先证明xR，p（x）q（x），当且仅当 x0 时取等号 设 h（x）p（x）q（x），则 h（x）p（x）q（x）， h（x）ex（x+2）20，当且仅当 x2 时取等号， h（x）在（，+）上递增，又 h（0）p（0）q（0）0， 当 x0 时，h（x）0； 当 x0 时，h（x）0， h（x）在 （，0递减，在0，+） 递增 xR，h（x）h（0）0，当且仅当 x0 时取等号， xR，p（x）q（x），当且仅当 x0 时取等号； 再证明它们没有其它公切线 若它们还有一条公切线 yt（x），它与曲线 yp（x） 切于点 （x1，p（x1）， 与曲线 yq（x）切于点 （x2，q（x2），显然 x1x2，p（x1）t（x1），q（x2）t （x2） q（x）ex0，由（2）知xR，q（x）t（x），当且仅当 xx 2 时取等号， x1x2q（x1）t（x1）p（x1）， 又由余 p（x1）q（x1）矛盾，故它们只有这一条公切线 综上，当 a2 时，曲线 yp（x） 与曲线 yq（x） 有且仅有一条公切线
