1、2017-2018 学年辽宁省丹东九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题 2 分，共 20 分）1 （2 分）已知一个菱形的周长是 20，两条对角线的比是 4：3，则这个菱形的面积是（ ）A24 B96 C12 D452 （2 分）如果 x=4 是一元二次方程 x23x=a2 的一个根，那么常数 a 的值是（ ）A2 B2 C2 D43 （2 分）下列命题错误的是（ ）A平行四边形的对边相等B一个角是直角的平行四边形是矩形C矩形的对角线相等D对角线相等的四边形是矩形4 （2 分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）A （x 1） 2=0 Bx 2+2x19=0 Cx 2
2、+4=0 Dx 2+x+l=05 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=16，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF 的长为（ ）A6 B12 C2 D46 （2 分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27x+10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A12 B9 C13 D12 或 9来源:Z&xx&k.Com7 （2 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为（ ）A B2 C2 D8 （2 分）若关于 x 的方
3、程 x2+3x+a=0 有一个根为1，则另一个根为（ ）A 2 B2 C4 D 39 （2 分）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方 程中符合题意的是（ ）A x（x1）=45 B x（x+1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x +1）=4510 （2 分）有 3 个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B ，则 A： B 等于（ ）A1 ： B1：2 C2：3 D4：9二、填空题（每题 2，共 20 分11 （2 分）将方程 x2+2x7=0 配方为（x +m） 2=n 的形式为 12 （2 分）菱形 ABCD，BAD=120，且 A
4、B=3，则 BD= 13 （2 分）若一元二次方程（3m+6）x 2+m24=0 的常数项为 0，则 m= 14 （2 分）如图，已知点 A 是一次函数 y=x4 在第四象限的图象的一个动点，且矩形 ABOC 的面积为 3，则 A 点坐标为 15 （2 分）已知方程 ax2+bx+c=0，满足 ab+c=0，则必有一个根为 16 （2 分）点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点 P到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 17 （2 分）某商品原价 100 元，连续两次涨价 x%后售价为 121 元，则列出的方程是 18 （2 分）已知正方形 A
5、BCD，以 CD 为边作等边CDE ，则AED 的度数是 19 （2 分）已知一元二次方程 x24x3=0 的两根为 m，n，则 m2mn+n2= 20 （2 分）如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30后得到正方形 BEFG，EF与 AD 相交于点 H，延长 DA 交 GF 于点 K若正方形 ABCD 边长为 ，则 AK= 三、简答题21 （20 分）解方程（1）6x 27x+1=0（2）4x 23x=52（3） （x2） （x3）=12（4）5x 218=9x22 （6 分）最简二次根式 与 是同类二次根式，且 x 为整数，求关于 m 的方程 xm2+2m2=0 的根23 （8
6、分）如图，DE 是平行四边形 ABCD 中的ADC 的平分线，EF AD，交DC 于 F（1）求证：四边形 AEFD 是菱形；（2）如果A=60 度，AD=5，求菱形 AEFD 的面积24 （6 分）已知 m 是方程 x2x2=0 的一个实数根，求代数式（m 2m）（m +1）的值25 （10 分）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件求：（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？26 （10 分）如图 1，
7、在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD的延长线上，且 PA=PE， PE 交 CD 于 F（1）证明：PC=PE；（2）求CPE 的度数；（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当ABC=120时，连接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由2017-2018 学年辽宁省丹东九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 2 分，共 20 分）1 （2 分）已知一个菱形的周长是 20，两条对角线的比是 4：3，则这个菱形的面积是（ ）A24 B96 C12 D45【解答】解：菱形的周长是 20
8、，菱形的边长为 204=5，两条对角线的比是 4：3，设两对角线的一半分别为 4k、3k，由勾股定理得， （4k） 2+（ 3k） 2=52，解得 k=1，两对角线的一半分别为 4，3，两对角线的长分别为 8，6，这个菱形的面积= 86=24故选：A2 （2 分）如果 x=4 是一元二次方程 x23x=a2 的一个根，那么常数 a 的值是（ ）A2 B2 C2 D4【解答】解：把 x=4 代入方程 x23x=a2 可得 1612=a2，解得 a=2，故选：C3 （2 分）下列命题错误的是（ ）A平行四边形的对边相等B一个角是直角的平行四边形是矩形C矩形的对角线相等D 对角线相等的四边形是矩形【
9、解答】解：A、正确平行四边形的对边相等；B、正确一个角是直角的平行四边形是矩形；C、正确矩形的对角线相等；D、错误对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形对角线相等，不是矩形；故选：D4 （2 分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）A （x 1） 2=0 Bx 2+2x19=0 Cx 2+4=0 Dx 2+x+l=0【解答】解：A、=0，方程有两个相等的实数根；B、=4+76=800，方程有两个不相等的实数根；C、 =160，方程没有实数根；D、=14=30，方程没有实数根故选：B5 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8 ，BC=16，将矩形 ABCD 沿 EF
10、 折叠，使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF 的长为（ ）A6 B12 C2 D4【解答】解：设 BE=x，则 CE=BCBE=16x，沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合，AE=CE=16x，在 RtABE 中， AB2+BE2=AE2，即 82+x2=（16x） 2，解得 x=6，AE=166=10，由翻折的性质得，AEF=CEF，矩形 ABCD 的对边 ADBC，AFE=CEF ，AEF=AFE，AE=AF=10，过点 E 作 EHAD 于 H，则四边形 ABEH 是矩形，EH=AB=8，AH=BE=6，FH=AFAH=106=4，在 RtEFH 中， EF= = =4 故选：D6
11、（2 分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27x+10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A12 B9 C13 D12 或 9【解答】解：x 27x+10=0，（x2） （x5）=0，x2=0， x5=0，x1=2，x 2= 5，等腰三角形的三边是 2，2，52+2 5 ，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5=12；即等腰三角形的周长是 12故选：A7 （2 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 P
12、D+PE 最小，则这个最小值为（ ）A B2 C2 D【解答】解：由题意，可得 BE 与 AC 交于点 P点 B 与 D 关于 AC 对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE 最小正方形 ABCD 的面积为 12，AB=2 又ABE 是等边三角形，BE=AB=2 故所求最小值为 2 故选：B8 （2 分）若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为1，则另一个根为（ ）A 2 B2 C4 D 3【解答】解：设一元二次方程的另一根为 x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得1 +x1=3，解得：x 1=2故选：A9 （2 分）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之
13、间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）A x（x1）=45 B x（x+1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x +1）=45【解答】解：有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为 x（x1） ，共比赛了 45 场， x（x 1）=45，故选：A10 （2 分）有 3 个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B ，则 A： B 等于（ ）A1 ： B1：2 C2：3 D4：9【解答】解：大四边形是正方形，ECH=45，HC=HE，同理，CH=HG=GD，即 EF= CD，OD= CD， = ，面积为 A 的三角形与面积为 B 三角形都是等腰直角三角形，这
14、两个三角形相似，A：B=（ ） 2= ，故选：D二、填空题（每题 2，共 20 分11 （2 分）将方程 x2+2x7=0 配方为（x +m） 2=n 的形式为 （x+1） 2=8 【解答】解：把方程 x2+2x7=0 的常数项移到等号的右边，得到 x2+2x=7，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2+2x+1=7+1，配方得（x+1） 2=8故答案为（x+1） 2=812 （2 分）菱形 ABCD，BAD=120，且 AB=3，则 BD= 3 【解答】解：如图：四边形 ABCD 是菱形，BAC= BAD，AC BD ，BD=2BO ，BAD=120 ，BAC=60 ，AB=3，B
15、O=3sin60= ，BD=3 故答案为：3 13 （2 分）若一元二次方程（3m+6）x 2+m24=0 的常数项为 0，则 m= 2 【解答】解：由题意，得m24=0 且 3m+60，解得 m=2，来源 :学科网 ZXXK故答案为：214 （2 分）如图，已知点 A 是一次函数 y=x4 在第四象限的图象的一个动点，且矩形 ABOC 的面积为 3，则 A 点坐标为 （1，3）或（3，1） 【解答】解：点 A 是一次函数 y=x4 在第四象限的图象的一个动点，可设 A（x，x4） ，OB=x，AB=4x，S 矩形 ABOC=OBOA=x（4 x）=3，解得 x=1 或 x=3，来源:学。科。
16、网 Z。X 。X。KA 点坐标为（1，3）或（3，1） ，故答案为：（1，3）或（ 3， 1） 15 （2 分）已知方程 ax2+bx+c=0，满足 ab+c=0，则必有一个根为 x=1 【解答】解：ab+c=0，c= a+b，ax 2+bxa+b=0，a （x+1） （x1）+b（x+1 ）=0 ，（x+1） （axa+b）=0，x+1=0 或 axa+b=0，方程必有一个根为 x=1故答案为 x=116 （2 分）点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点 P到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 2.4 【解答】解：连接 OP，矩形的两条边
17、AB、AD 的长分别为 3 和 4，S 矩形 ABCD=ABBC=12，OA=OC，OB=OD ，AC=BD=5，OA=OD=2.5，S ACD = S 矩形 ABCD=6，S AOD = ACD =3，S AOD =SAOP +SDOP = OAPE+ ODPF= 2.5PE+ 2.5PF= （PE+PF）=3，解得：PE+PF=2.4故答案为：2.417 （2 分）某商品原价 100 元，连续两次涨价 x%后售价为 121 元，则列出的方程是 100（1+x% ） 2=121 【解答】解：第一次涨价后的价格为 100（1+x%） ，第二次涨价后的价格为 100（1+x%） 2，则可列方程为
18、 100（1+x%） 2=121，故答案为 100（1+x% ） 2=12118 （2 分）已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边CDE ，则AED 的度数是 15或 75 【解答】解：有两种情况：（1）当 E 在正方形 ABCD 内时，如图 1正方形 ABCD，AD=CD，ADC=90，等边CDE，CD=DE，CDE=60，ADE=90 60=30，AD=DE，DAE= AED= （180 ADE ）=75；（2）当 E 在正方形 ABCD 外时，如图 2等边三角形 CDE，EDC=60，ADE=90 +60=150，AED= DAE= （180 ADE ）=15故答案为：15 或 75
19、19 （2 分）已知一元二次方程 x24x3=0 的两根为 m ，n ，则 m2mn+n2= 25 【 解答】解：m，n 是一元二次方程 x24x3=0 的两个根，m+n=4，mn=3，则 m2mn +n2=（m+n） 23mn=16+9=25故答案为：2520 （2 分）如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30后得到正方形 BEFG，EF与 AD 相交于点 H，延长 DA 交 GF 于点 K若正方形 ABCD 边长为 ，则 AK= 2 3 【解答】解：连接 BH，如图所示：四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形，BAH=ABC= BEH=F=90，来源:学科网 ZXXK由旋
20、转的性质得：AB=EB ， CBE=30，ABE=60，在 RtABH 和 RtEBH 中，RtABH R tEBH （HL） ，ABH=EBH= ABE=30 ，AH=EH，BHA=BHE=60，KHF=18060 60=60，F=90，FKH=30，AH=ABtanABH= =1，EH=1，FH= 1，在 RtFKH 中， FKH=30，KH=2FH=2（ 1） ，AK=KH AH=2（ 1）1=2 3；故答案为：2 3三、简答题21 （20 分）解方程（1）6x 27x+1=0（2）4x 23x=52（3） （x2） （x3）=12（4）5x 218=9x【解答】解：（1）6x 27x+
21、1=0， 来源:学_科_网 Z_X_X_K（6x1） （x1）=0，6x1=0，x 1=0，x 1= ，x 2=1（2）4x 23x=52，4x 23x52=0，（4x+13） （x4）=0，4x+13=0 或 x4=0，x 1= ，x 2=4（3）（x2） （x3）=12，x 25x6=0，（x，6） （x+1）=0，x6=0 或 x+1=0，x1=1 x2=6（4）5x 218=9x，5x 29x18=0，（5x+6） （x3）=0，5x+6=0 或 x3=0，x 1= ，x 2=322 （6 分）最简二次根式 与 是同类二次根式，且 x 为整数，求关于 m 的方程 xm2+2m2=0 的
22、根【解答】解：最简二次根式 与 是同类二次根式，且 x 为整数，2x 2x=4x2，即 2x25x+2=0，解得：x= （舍去）或 x=2，把 x=2 代入方程得：2m 2+2m2=0，即 m2+m1=0，解得：m= 23 （8 分）如图，DE 是平行四边形 ABCD 中的ADC 的平分线，EF AD，交DC 于 F（1）求证：四边形 AEFD 是菱形；（2）如果A=60 度，AD=5，求菱形 AEFD 的面积【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，DEAF，EF AD，四边形 DAFE 是平行四边形，2=AFD，DF 是ABCD 的ADC 的平分线1=2，AFD=1AD=AF四
23、边形 AFED 是菱形（2）DAF=60，AFD 为等边三角形DF=5，连接 AE 与 DF 相交于 O，则 FO= OA= AE=5 S 菱形 AFED= AEDF=24 （6 分）已知 m 是方程 x2x2=0 的一个实数根，求代数式（m 2m）（m +1）的值【解答】解：m 是方程 x2x2=0 的一个实数根，m 2m2=0，m 2m=2，m 22=m，（m 2m） （m +1）=2（1+1）=22=425 （10 分）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件求：（
24、1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？【解答】解：（1）由题意得：（50x） （30+2x ）=2100，化简得：x 235x+300=0，解得：x 1=15， x2=20，该商场为了尽快减少库存，则 x=15 不合题意，舍去x=20答：每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2100 元；（2）y=（50x） （30+2x）=2x 2+70x+1500，当 x= =17.5 时，y 最大答：每件商品降价 17.5 元时，商场日盈利的最大26 （10 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在
25、AD的延长线上，且 PA=PE， PE 交 CD 于 F（1）证明：PC=PE；（2）求CPE 的度数；（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当ABC=120时，连接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABP=CBP=45，在ABP 和CBP 中，ABPCBP（SAS） ，PA=PC，PA=PE，PC=PE；（2）由（1）知，ABPCBP，BAP=BCP ，DAP=DCP ，PA=PE，DAP=E，DCP=E，CFP= EFD（对顶角相等） ，180PFCPCF=180 DFEE ，即CPF= EDF=90；（3）在菱形 ABCD 中，AB=BC，ABP=CBP=60，在ABP 和CBP 中，ABPCBP（SAS） ，PA=PC， BAP=BCP，PA=PE，PC=PE，DAP=DCP ，PA=PC，DAP=AEP，DCP= AEPCFP= EFD（对顶角相等） ，180PFCPCF=180 DFEAEP，即CPF= EDF=180 ADC=180 120=60，EPC 是等边三角形，PC=CE，AP=CE
