1、已知集合 Ax|x240，则 AB（ ） Ax|x2 或 x2 B Cx|x2 Dx|x2 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（3+i）3+i2020，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 的虚部 为（ ） A B C D 3 （5 分）已知某学校高一、高二、高三学生的人数如表： 年级 高一 高二 高三 学生人数 1500 2000 2500 利用分层抽样抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽调 15 人，则该学校观看演出的人 数为（ ） A35 B45 C60 D80 4 （5 分）已知 ， 是两个不重合的平面，a，b 是两条不同的直线，可以断定 的条 件是（ ） Aa，b Ba，b，a
2、b Ca，b，ab Da，b，a，b 5 （5 分）已知 alog20.2，b20.2，csin2，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 6 （5 分）已知数列an为等比数列，且 a2a104a6，数列bn为等差数列，Sn为等差数列 bn的前 n 项和，S6S10，a6b7，则 b9（ ） A B C D4 7 （5 分）若实数 x，y 满足，则 zx+y 的最大值是（ ） A0 B1 C2 D3 8 （5 分）已知函数 f（x）xsinx+cosx+2020，g（x）是函数 f（x）的导函数，则函数 yg 第 2 页（共 23 页） （x）的部分图象是（ ） A B C D 9
3、（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an+Snn+3，则 an（ ） A1+2n B C1+2n 1 D 10 （5 分） 已知 F 为抛物线 y22px （p0） 的焦点， 斜率大于 0 的直线 l 过点 和点 F，且交抛物线于 A，B 两点，满足|FA|2|FB|，则抛物线的方程为（ ） Ay210x By26x Cy28x Dy24x 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）sinx（+x）+，当 0时， f（），则 cos2（ ） A B C D 12 （5 分）在外接球半径为 4 的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高 h（ ） A B C D 二、填空题：本
4、题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数 f（x）alnx+bx2在点（1，1）处的切线方程为 y4x+m，则 a+b 14 （5 分）已知二项式（a+b）n的展开式中的二项式系数和为 64， （2x+1）na0+a1（x+1） +a2（x+1）2+an（x+1）n，则 a0 15 （5 分）已知等边ABC 的边长为 2，点 G 是ABC 内的一点，且，点 P 在ABC 所在的平面内且满足，则的最大值为 16 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的右焦点为 F，左顶点为 A，O 为坐 第 3 页（共 23 页） 标原点，以 OF
5、为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点 P，且|PA|PF|，则双曲线的离 心率 e 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入 高三到高考要参加 10 次模拟考试， 下面是高三第一学期某学生参加 5 次模拟考试的数学 成绩表：
6、 模拟考试第 x 次 1 2 3 4 5 考试成绩 y 分 90 100 105 105 100 （）已知该考生的模拟考试成绩 y 与模拟考试的次数 x 满足回归直线方程， 若高考看作第 11 次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩； （）把这 5 次模拟考试的数学成绩单放在 5 个相同的信封中，从中随机抽取 3 份试卷 的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值 的个数为 ，求出 的分布列与数学 期望 参考公式：， 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2+2cos（A+C） （）当 sinB2sinA 时，求 cosA 的值； （）若 D
7、为 AC 的中点，且 AC4，BD2，求ABC 的周长 19 （12 分）已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，PD平面 ABCD，且 AB CD，CD2AB，ADCD，ABAD 第 4 页（共 23 页） （）求证：BC平面 PBD； （）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 DPCB 的余弦值 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|2，过 点 F1且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切 （）求椭圆的方程； （）椭圆的左、右顶点分为 A，B，过右焦点 F2的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，求四
8、边 形 APBQ 面积的最大值 21 （12 分）已知函数（aR） （）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （）若函数 f（x）的导函数 f（x）在（1，4）上有三个零点，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分，作答时，请用一题记分，作答时，请用 2B 铅笔铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐
9、标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos+4sin （）写出曲线 C 的直角坐标方程； （）直线 l 的参数方程为， （t 为参数） 若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点， 且点 P（0，2） ，求|PA|+|PB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|x+3|x1| （）求不等式 f（x）23x 的解集； 第 5 页（共 23 页） （）若函数 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 a+bm，求的最小 值 第 6 页（共 23 页） 2020 年福建省漳州市高考数学一模试卷（理科）
10、年福建省漳州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x240，则 AB（ ） Ax|x2 或 x2 B Cx|x2 Dx|x2 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行并集的运算即可 【解答】解：Ax|x2 或 x2， 故选：B 【点评】本题考查集合的并集运算以及一元二次不等式、分式不等式的解法，考查运算 求解能力，考查数学运算核心素养，
11、属于基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（3+i）3+i2020，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 的虚部 为（ ） A B C D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案 【解答】解：z（3+i）3+i2020，i2020（i2）1010（1）10101， z（3+i）4，z， ， 共轭复数 的虚部为， 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题 3 （5 分）已知某学校高一、高二、高三学生的人数如表： 年级 高一 高二 高三 第 7 页（共 23 页） 学生人数 1500 2000 2500 利用分层
12、抽样抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽调 15 人，则该学校观看演出的人 数为（ ） A35 B45 C60 D80 【分析】由题意利用分层抽样的定义，求得结果 【解答】解：由高一年级抽调 15 人，可知， 即每 100 人中选一个，则该校观看演出的人数为 （人） ， 故选：C 【点评】本题考查统计的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力，属于基础题 4 （5 分）已知 ， 是两个不重合的平面，a，b 是两条不同的直线，可以断定 的条 件是（ ） Aa，b Ba，b，ab Ca，b，ab Da，b，a，b 【分析】由直线与平面的位置关系、线面平行和垂直的判定与性质可以分析，垂直于同 一直线
13、的两个平面平行，而题目中 ab，所以得到 【解答】解：由 a，b，ab，可得 a，a， 可知两平面同垂直于一条直线，则两平面是平行的， 故选：C 【点评】本题的关键是对直线与平面的位置关系、线面平行和垂直的判定与性质要熟记， 有空间想象的推理能力，属于中档题目 5 （5 分）已知 alog20.2，b20.2，csin2，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解：， acb， 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 第 8 页（共 23 页） 6 （5 分）
14、已知数列an为等比数列，且 a2a104a6，数列bn为等差数列，Sn为等差数列 bn的前 n 项和，S6S10，a6b7，则 b9（ ） A B C D4 【分析】设等差数列bn的公差为 d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式， 解方程可得公差，进而得到所求值 【解答】解：设等差数列bn的公差为 d 由 a2a104a6，可知， 则 a64由 S6S10， 可知 b7+b8+b9+b100， 则 b7+b100 因为 b7a64，所以 b104， 则 3db10b78， 即， 故 b9b7+2d， 故选：B 【点评】本题考查等比数列与等差数列的通项公式与性质、等差数列的求和公式，考查
15、 运算求解能力、推理论证能力，属于中档题 7 （5 分）若实数 x，y 满足，则 zx+y 的最大值是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，zx+y，利用数形结合即可的得到结论 【解答】解：由题意得不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（含边界） ， 将目标函数 zx+y 化为 yx+z， 平移直线 yx， 由图象可知当直线 yx+z 经过点 C（0，2）时， 直线 yx+z 在 y 轴上的截距最大， 此时 z 最大， 即 z 取得最大值 zmax0+22， 第 9 页（共 23 页） 故选：C 【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查推理论证能力和运算求解能力
16、，考查数学 运算核心素养 8 （5 分）已知函数 f（x）xsinx+cosx+2020，g（x）是函数 f（x）的导函数，则函数 yg （x）的部分图象是（ ） A B C D 【分析】先求函数的导数，结合函数的奇偶性和取值范围是否对应进行排除即可 【解答】解：因为 f（x）xsinx+cosx+2020， 所以 g（x）f（x）sinx+xcosxsinxxcosx， 可知 g（x）为奇函数，故排除 A，B； 当 0x时g（x）0，排除 C， 故选：D 【点评】本题考查函数的求导、函数图象的判断，考查推理论证能力利用函数的奇偶 性和函数值的对应性进行排除是解决本题的关键难度不大 9 （5
17、分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an+Snn+3，则 an（ ） 第 10 页（共 23 页） A1+2n B C1+2n 1 D 【分析】利用数列的递推关系式推出数列an1是首项为 1，公比为的等比数列，然 后求解通项公式，即可 【解答】解：由 an+Snn+3 可得当 n1 时，a1+S14，a12； 当 n2 时，an1+Sn1n+2， 两式相减可得， 则数列an1是首项为 1，公比为的等比数列， 即， 当 n1 时， 满足 a12， 故选：B 【点评】本题考查递推数列、等比数列的定义与通项公式，考查运算求解能力、化归与 转化思想 10 （5 分） 已知 F 为抛物线 y
18、22px （p0） 的焦点， 斜率大于 0 的直线 l 过点 和点 F，且交抛物线于 A，B 两点，满足|FA|2|FB|，则抛物线的方程为（ ） Ay210x By26x Cy28x Dy24x 【分析】设直线 l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积再由|FA|2|FB|，及抛 物线的性质到焦点的距离转化为到准线的距离得出 A， B 坐标的关系， 又在抛物线上求出 p 的值 【解答】解：由题可知抛物线的焦点， 设直线 l 的斜率为 k（k0） ， 则直线 l 的方程为， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，消去 x， 整理得 ky22pykp20，4p2+4k2p20，
19、第 11 页（共 23 页） 则， 因为|FA|2|FB|，所以 y12y2， 则， 解得或（舍去） ， 所以直线 l 的方程为 因为直线 l 过点，代入可解得 p5， 则抛物线的方程为 y210x， 故选：A 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质，属于中档题 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）sinx（+x）+，当 0时， f（），则 cos2（ ） A B C D 【分析】由题意利用三角恒等变换，花简函数 f（x）的解析式，再利用同角三角函数的 基 本 关 系 求 得 cos （ 2 ） 的 值 ， 从 而 利 用 两 角 和 的 余 弦 公 式 求 出
20、的值 【 解 答 】 解 ： 由 题 可 知 ， 则 因为 ，所以， 所以由可知， 则， 则 ， 故选：C 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题考查三角函数的诱导公式、三角恒等变换，考查运算求解能力、化归与转 化思想，属于中档题 12 （5 分）在外接球半径为 4 的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高 h（ ） A B C D 【分析】由题意可得正三棱锥的棱长与外接球的半径的关系，求出正三棱锥体积最大值 的高 【解答】解：设正三棱锥底面的边长为 a，高为 h， 根据图形可知， 则，0h8 又正三棱锥的体积， 则， 令 V0， 则或 h0（舍去） ， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时
21、，V 取得最大值， 故选：D 【点评】查球与多面体的关系、三棱锥的体积公式、导数的综合应用，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数 f（x）alnx+bx2在点（1，1）处的切线方程为 y4x+m，则 a+b 3 【分析】由题意可得 f（1）1，f（1）4，由此可得关于 a，b 的方程组求得 a，b 的值，则答案可求 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：由题得，由导数的几何意义可得 f（1）1，f（1）4， 即 b1，a+2b4， 解得 a2，b1， a+b3 故答案为：3 【点评】本题考查导数
22、的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，是基 础题 14 （5 分）已知二项式（a+b）n的展开式中的二项式系数和为 64， （2x+1）na0+a1（x+1） +a2（x+1）2+an（x+1）n，则 a0 1 【分析】利用二项式（a+b）n的展开式中的二项式系数的性质可知 n6，再对所求式中 的 x 赋值1，即可求得 a0的值 【解答】解：由二项式（a+b）n的展开式中的二项式系数和为 64 可知 2n64，n6， 则（2x+1）n（2x+1）6， 令 x1， 则 a01 故答案为：1 【点评】本题考查二项式定理，利用二项式系数的性质求得 n6 是关键，考查赋值法的 应用及运算
23、求解能力 15 （5 分）已知等边ABC 的边长为 2，点 G 是ABC 内的一点，且，点 P 在ABC 所在的平面内且满足，则的最大值为 【分析】说明点 G 为ABC 的重心以 AB 所在的直线为 x 轴，中垂线为 y 轴建立如图 所示的平面直角坐标系，画出图形，推出的最大值即可 【解答】解：由，可知点 G 为ABC 的重心 以 AB 所在的直线为 x 轴，中垂线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A（1，0） ，B（1，0） ， 设 P（x，y） ，由可知 P 为圆上的动点， 第 14 页（共 23 页） 所以的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的线性运算、三角形重心
24、的性质、圆的性质，考查数形结合 思想与运算求解能力 16 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的右焦点为 F，左顶点为 A，O 为坐 标原点，以 OF 为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点 P，且|PA|PF|，则双曲线的离 心率 e 2 【分析】求出 A（a，0） ，F（c，0） ，双曲线的渐近线的方程为，可取， 以 OF 为直径的圆的方程为， 联立可得 利用|PA|PF|， 求解双曲线的离心率即可 【解答】解：由题可知 A（a，0） ，F（c，0） ， 双曲线的渐近线的方程为，可取， 以 OF 为直径的圆的方程为， 联立， 可得 由|PA|PF|，可得， 即 c2ac2a2，e2e20，（e2
25、） （e+1）0， 解得 e2 或 e1（舍去） ， 故双曲线的离心率 e2 故答案为：2 第 15 页（共 23 页） 【点评】本题考查双曲线的定义与性质、圆的方程、直线与圆的位置关系，考查化归与 转化思想及运算求解能力 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）高三学生为了迎接高考，要经
26、常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入 高三到高考要参加 10 次模拟考试， 下面是高三第一学期某学生参加 5 次模拟考试的数学 成绩表： 模拟考试第 x 次 1 2 3 4 5 考试成绩 y 分 90 100 105 105 100 （）已知该考生的模拟考试成绩 y 与模拟考试的次数 x 满足回归直线方程， 若高考看作第 11 次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩； （）把这 5 次模拟考试的数学成绩单放在 5 个相同的信封中，从中随机抽取 3 份试卷 的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值 的个数为 ，求出 的分布列与数学 期望 参考公式：， 【分析】 （I）利用计算公式可得：
27、回归直线方程 （II）由题可知随机变量 s 的所有可能取值为 1，2，3，利用超几何分布列即可得出 【解答】解： （I）由表可知， 1525， ， 则2.5，1002.5392.5 第 16 页（共 23 页） 故回归直线方程为 当 x11 时， 所以估计该考生的高考数学成绩为 120 分 （）由题可知随机变量 s 的所有可能取值为 1，2，3， 则；， 故随机变量 的分布列为 1 2 3 P 随机变量 的数学期望 【点评】本题考查回归直线方程的计算、超几何分布列及数学期望，考查数据处理能力、 运算求解能力，属于中档题 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
28、c，且满足 2+2cos（A+C） （）当 sinB2sinA 时，求 cosA 的值； （）若 D 为 AC 的中点，且 AC4，BD2，求ABC 的周长 【分析】 （I）由已知结合两角和与差的三角函数化简可得，sinC2sinA，然后结合正弦 定理及余弦定理可求 cosA， （）解法一：由BDC+BDA在BDC 和BDA 中，分别利用余弦定理可求 a， 进而可求三角形的周长， 解法二：已知可判断出由ABC 是直角三角形，且，根据勾股定理可求 a， 进而可求周长， 【解答】 解：（I） 由可得 sin （2A+C） 2sinA+2sinAcos （A+C） ， sinAcos（A+C）+co
29、sAsin（A+C）2sinA+2sinAcos（A+C） ， sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）2sinA， sinC2sinA， 由正弦定理可得 c2a 第 17 页（共 23 页） sinB2sinA， b2a 则由余弦定理可得 （）解法一：设BDC，则BDAa 在BDC和BDA中， 利用余弦定理可得BC2DC2+BD22DCBDcos， AB2AD2+BD2 2ADBDcos（） ， 结合（I）可得 a222+22222cos， （2a）222+22222cos（） ， 两式相加可得 5a216， 即， 故ABC 的周长 解法二：点 D 为 AC 的中点，且 AC4，B
30、D2， DADBDC2， ABC 是直角三角形，且， a2+c216 由（I）可知 c2a， 5a216，则 故ABC 的周长 【点评】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理，考查化归与转化的思想及运算 求解能力 19 （12 分）已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，PD平面 ABCD，且 AB CD，CD2AB，ADCD，ABAD （）求证：BC平面 PBD； （）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 DPCB 的余弦值 第 18 页（共 23 页） 【分析】 （I）取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，BD，从而 ABDE进而四边形 ABED 为
31、正方形，则 AEBDPDAE从而 AE平面 PBD推导出四边形 ABCE 为平行四边 形，从而 BCAE，由此能证明 BC平面 PBD （） 由 PD平面 ABCD， 得PBD 为 PB 与平面 ABCD 所成的角， 以点 D 为坐标原点， 分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角 DPCB 的余弦值 【解答】解： （I）证明：取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，BD CD2AB，ABDE 又ABAD，ADDC，四边形 ABED 为正方形，则 AEBD PD上平面 ABCD， AE平面 ABCD， PDAE PDBDD，AE平面 PBDAB
32、EC，ABEC， 四边形 ABCE 为平行四边形，BCAE，BC平面 PBD （）解：PD平面 ABCD，PBD 为 PB 与平面 ABCD 所成的角， 即PBD45，则 PDBD 设 AD1，则 AB1，CD2， 以点 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则 D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，2，0） DA平面 PDC，平面 PDC 的一个法向量 设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ， ， 则，取 x1，则 （1，1，） 第 19 页（共 23 页） 设二面角 DPCB 的平面角为 ，
33、 cos 由图可知二面角 DPCB 为锐角，故二面角 DPCB 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角和二面角的计算，考查 空间想象能力、运算求解能力 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|2，过 点 F1且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切 （）求椭圆的方程； （）椭圆的左、右顶点分为 A，B，过右焦点 F2的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，求四边 形 APBQ 面积的最大值 【分析】 （）由题意可知 c1，所以椭圆的左焦点 F1（1，0） ，故直线方程为 ，以右顶点（a，0）为圆心，b 为半径的
34、圆的方程为（xa）2+y2b2，再 利用直线与圆相切，从而求出椭圆的方程； （）设直线 l 的方程为 xmy+1，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，与椭圆方程联立，求出故 四边形 APBQ 的面积设，则 ，可设函数，利用导数即可求出当且仅当 m0 时等号 成立，四边形 APBQ 的面积取得最大值为 6 【解答】解： （I）设椭圆的焦距为 2c，故由题可知 2c2， 则椭圆的左焦点 F1（1，0） ， 故直线方程为， 以右顶点（a，0）为圆心，b 为半径的圆的方程为（xa）2+y2b2， 则，化简得：a2a20， 解得 a2 或 a1（舍去） ，故 a24，b23， 第 20 页（共 23
35、 页） 椭圆的方程为； （）设直线 l 的方程为 xmy+1，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立， 整理得（3m2+4）y2+6my90，显然0， 则， ， 故四边形 APBQ 的面积 设，则， 可设函数， 则，函数 f（x）在1，+）上单调递增， 则，则， 当且仅当 m0 时等号成立，四边形 APBQ 的面积取得最大值为 6 【点评】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查函 数与方程的思想及运算求解能力 21 （12 分）已知函数（aR） （）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （）若函数 f（x）的导函数 f（x）在（1，4）上有三个零点，求
36、实数 a 的取值范围 【分析】 （I）对函数求导，把 a1 代入，判断单调性即可； （II）由，可知 xlog2e 为 f（x）的一个零点，则方 程在（1，4）上有 2 个不同的实数根，即在（1，4）上有 2 第 21 页（共 23 页） 个不同的实数根，问题等价于函数与直线 ya 有 2 个交点，对 g（x） 求导，利用 g（x）的单调性和值域求出 a 的范围 【解答】解： （I）函数（aR） ， 当 a1 时，x（0，+） ， 令 f（x）0，得 xln210，则 xlog2e， 故当 x（0，log2e）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减， 当 x（log2e，+）时，f（x）0，函
37、数 f（x）单调递增， 故函数 f（x）的单调递增区间为（log2e，+） ，单调递减区间为（0，log2e） （）由，可知 xlog2e 为 f（x）的一个零点， 则方程在（1，4）上有 2 个不同的实数根， 即在（1，4）上有 2 个不同的实数根，问题等价于函数与 直线 ya 有 2 个交点， ， 令 g（x）0，则 xlog2e， 当 x（1，log2e）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增， 当 x（log2e，4）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减， g（x）maxg（log2e）e（ln2）2， g（1）2ln2，g（4）4ln2，且 g（1）g（4） ， 2ln2ae（ln
38、2）2时，方程在（1，4）上有 2 个不同的实数根， 第 22 页（共 23 页） 故实数 a 的取值范围为（2ln2，e（ln2）2） 【点评】本题考查导数在函数单调性、最值、函数零点的应用，考查运算求解能力、函 数与方程思想， （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分，作答时，请用一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在平面
39、直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos+4sin （）写出曲线 C 的直角坐标方程； （）直线 l 的参数方程为， （t 为参数） 若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点， 且点 P（0，2） ，求|PA|+|PB|的值 【分析】 （）本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、 （）参数方程中参数的几何意义，考查运算求解能力和化归与转化思想，考查数学运 算、数学建模核心素养 【解答】解： （I）曲线 C 的极坐标方程为 2cos+4sin， 即 22cos+4sin 将，代入上式， 可得 x2+y
40、22x4y0，曲线 C 的直角坐标方程为（x1）2+（y2）25 （）把直线 l 的参数方程（t 为参数） 代入曲线 C 的方程（x1）2+（y2）25 中， 得 t2t40，显然0 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t24，t1+t21 点 P（0，2）在直线 l 上， 第 23 页（共 23 页） |PA|+|PB|t1|+|t2|t1t2| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 2
41、3设函数 f（x）|x+3|x1| （）求不等式 f（x）23x 的解集； （）若函数 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 a+bm，求的最小 值 【分析】 （）取得绝对值符号，得到分段函数，然后转化求解不等式 f（x）23x 的 解集； （）求出函数 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 a+b4，利用基本不等式求 的最小值 【解答】解： （）因为， 所以不等式 f（x）23x 可化为或或， 解得 x0， 所以不等式 f（x）23x 的解集为0，+） （）根据（）可知，函数 f（x）的最大值为 4，即 a+b4， ， 当且仅当 ab2 时，等号成立，所以的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以 及计算能力，是中档题
