1、2019 年福建省漳州市云霄县中考数学一模试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.每小题只有一个正确的选项，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置）1（4 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D2（4 分）图中三视图对应的正三棱柱是（ ）A BC D3（4 分）下列运算正确的是（ ）A（a） 3a 3 B（a 2） 3a 5Ca 2a2 1 D（2a 3） 24a 64（4 分）2018 年 5 月 21 日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为 200 公里、远地点高度为 40 万公里的预定轨道将数据
2、40 万用科学记数法表示为（ ）A410 4 B410 5 C410 6 D0.410 65（4 分）如图，直线 ab，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，155，那么2 的度数是（ ）A20 B30 C35 D506（4 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D7（4 分）如图，在方格纸中，以 AB 为一边作ABP，使之与ABC 全等，从P1，P 2，P 3，P 4 四个点中找出符合条件的点 P 的概率是（ ）A B C D18（4 分）1275 年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问
3、阔及长各几步设阔（宽）为 x 步，则所列方程正确的是（ ）Ax（x+12）864 Bx（x12）864C（x 12）（ x+12）864 D12x8649（4 分）如图，已知直线 y x3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，P 是以C（0，1）为圆心，1 为半径的圆上一动点，连结 PA、PB则PAB 面积的最大值是（ ）A8 B12 C D10（4 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为A（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：b 24ac；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x 23；2a+b0；a+ b+c0；当
4、 0x3 时，y 随 x 增大而减小；其中结论正确的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.请将答案填入答题卡的相应横线上）11（4 分）计算：（2） 0 12（4 分）如图，测量试管口径的量具 ABC，AB 的长为 4.5cm，AC 被分为 60 等份如果试管口 DE 正好对着量具上 20 等份处（DE AB），那么试管口径 DE 是 cm13（4 分）两组数据 m，6 ，n 与 1，m ，2n，7 的平均数都是 6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为 14（4 分）如图，AB 为半圆的直径，且 AB4，半
5、圆绕点 B 顺时针旋转 36，点 A 旋转到 A 的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）15（4 分）对于任意实数 t，抛物线 yx 2+（2t）x +t 总经过一个固定的点 P，若反比例函数 经过点 P，则 k 16（4 分）如图，ABCADE，BAC DAE 90，AB8，AC6，F 是 DE的中点，若点 E 是直线 BC 上的动点，连接 BF，则 BF 的最小值是 三、解答题（共 9 题，满分 86 分.请在答题卡的相应位置作答）17（8 分）先化简，再求值： ，其中 xsin45 18（8 分）已知：如图，BACDAM ，AB AN，BANM，求证：ADAM 19（8 分）如图
6、，已知ABC，求作：ABCD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 用两种方法作图）20（8 分）如图，已知ABC 内接于O，AD 为直径，点 C 在劣弧 AB 上（不与点A，B 重合），设 DAB ，ACB ，小明同学通过画图和测量得到以下近似数据： 30 35 40 50 60 80 120 125 130 140 150 170猜想： 关于 的函数表达式，并给出证明21（8 分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“69.579.5”这一组人
7、数占总参赛人数的百分比为 ；（2）赛前规定，成绩由高到低前 40%的参赛选手获奖某参赛选手的比赛成绩为 82 分，试判断他能否获奖，并说明理由；（3）成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生，若从他们中任选 2 人作为获奖代表发言，试求恰好选中 1 男 1 女的概率22（10 分）如图，用 48 米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为 20 米，平行于院墙的一边长为 x 米，花园的面积为 S 平方米（1）求 S 与 x 之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到 180 平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由23（10
8、 分）已知点 P（m， n）和直线 ykx+b，则点 P 到直线 ykx+b 的距离可用公式d 计算例如：求点 P（1，2）到直线 y3x +7 的距离解：因为直线 y3x +7，其中 k3，b7所以点 P（1，2）到直线 y3x +7 的距离为 d根据以上材料，解答下列问题：（1）直接写出点 P（1，1）到直线 y2x +4 的距离 d ；（2）已知直线 y2x +4 与 y2x5 平行，求这两条直线之间的距离（3）已知Q 的圆心 Q 坐标为（ 0，5），半径 r 为 2，判断Q 与直线 的位置关系并说明理由24（12 分）【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在几何原本提出了射影定理，
9、又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项射影定理是数学图形计算的重要定理其符号语言是：如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，则：（1）CD 2ADBD，（2）AC 2ABAD ，（3）BC 2ABBD；请你证明定理中的结论（2）BC 2ABBD 【结论运用】（2）如图 2，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD上，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，求证： BOFBED；若 BE2 ，求 OF 的长25（14 分
10、）如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0），顶点 C 的坐标为（1，4）（1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式；（2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为 2 ？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由2019 年福建省漳州市云霄县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.每小
11、题只有一个正确的选项，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置）1（4 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案【解答】解：2019 的相反数是2019故选：B【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键2（4 分）图中三视图对应的正三棱柱是（ ）A BC D【分析】利用俯视图可淘汰 C、D 选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰 B，从而判断A 选项正确【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定 A 选项正确故选：A【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首
12、先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线3（4 分）下列运算正确的是（ ）A（a） 3a 3 B（a 2） 3a 5Ca 2a2 1 D（2a 3） 24a 6【分析】根据单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、（a） 3a 3，错误；B、（a 2） 3a 6，错误；C、a 2a
13、2 a 4，错误；D、（2a 3） 24a 6，正确；故选：D【点评】本题考查了整式的除法，单项式的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键4（4 分）2018 年 5 月 21 日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为 200 公里、远地点高度为 40 万公里的预定轨道将数据 40 万用科学记数法表示为（ ）A410 4 B410 5 C410 6 D0.410 6【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数万1000010 4【解答】解：40 万410 5，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记
14、数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（4 分）如图，直线 ab，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，155，那么2 的度数是（ ）A20 B30 C35 D50【分析】由垂线的性质和平角的定义求出3 的度数，再由平行线的性质即可得出2的度数【解答】解：ABBC，ABC90，318090135，ab，2335故选：C【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出3 的度数是解决问题的关键6（4 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】分别求出各不等式的解集，再在数
15、轴上表示出来即可【解答】解： ，由 得，x 2，由 得，x3，故不等式组的解集为：2x3在数轴上表示为：故选：C【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键7（4 分）如图，在方格纸中，以 AB 为一边作ABP，使之与ABC 全等，从P1，P 2，P 3，P 4 四个点中找出符合条件的点 P 的概率是（ ）A B C D1【分析】找到符合条件的点 P 的个数，再根据概率公式计算可得【解答】解：要使ABP 与ABC 全等，点 P 的位置可以是 P1，P 2 两个，从 P1，P 2，P 3，P 4 四个点中找出符合条件的点
16、 P 的概率是 ，故选：B【点评】本题主要考查概率公式的应用，随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数8（4 分）1275 年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步设阔（宽）为 x 步，则所列方程正确的是（ ）Ax（x+12）864 Bx（x12）864C（x 12）（ x+12）864 D12x864【分析】根据矩形的面积公式列出方程即可【解答】解：根据题意得：x（x+12）864故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是正确的
17、了解这样的古文描述的问题，难度不大9（4 分）如图，已知直线 y x3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，P 是以C（0，1）为圆心，1 为半径的圆上一动点，连结 PA、PB则PAB 面积的最大值是（ ）A8 B12 C D【分析】求出 A、B 的坐标，根据勾股定理求出 AB，求出点 C 到 AB 的距离，即可求出圆 C 上点到 AB 的最大距离，根据面积公式求出即可【解答】解：直线 y x 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，3），3x4y120，即 OA4，OB3，由勾股定理得：AB5，过 C 作 CMAB 于 M，连接 AC
18、，则由三角形面积公式得： ABCM OAOC+ OAOB，5CM41+34，CM ，圆 C 上点到直线 y x 3 的最大距离是 1+ ，PAB 面积的最大值是 5 ，故选：C【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线 AB 的最大距离，属于中档题目10（4 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为A（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：b 24ac；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x 23；2a+b0；a+ b+c0；当 0x3 时，y 随 x 增大而减小；其中结论正确的
19、个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：如图，抛物线与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，即 b24ac，故错误；由对称轴是 x1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 A（3，0），得到：抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0），所以抛物线方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x 23 故正确；由对称轴方程 x 1 得到：2a+ b0，故正确；如图所示，当 x1 时，y0，即 a+b+c0，故正确；如图所示，当 0x1 时，y 随 x 增大而减小，故错误综上所述，正确的结论有 3 个故
20、选：B【点评】主要考查抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.请将答案填入答题卡的相应横线上）11（4 分）计算：（2） 0 2 【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案【解答】解：原式132故答案为：2【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12（4 分）如图，测量试管口径的量具 ABC，AB 的长为 4.5cm，AC 被分为 60 等份如果试管口 DE 正好对着量具上 20 等份处（
21、DE AB），那么试管口径 DE 是 3 cm【分析】利用三角尺上的刻度和相似三角形的性质求得答案即可【解答】解：由题意得：EDBA，ECDBCA，CD：CAED：AB，即：40：60ED：4.5，解得：ED3，故答案为：3【点评】考查了相似三角形的应用的知识，解题的关键是从图形中整理出有关的数据，难度不大13（4 分）两组数据 m，6 ，n 与 1，m ，2n，7 的平均数都是 6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为 7 【分析】根据平均数的计算公式先求出 m、n 的值，再根据中位数的定义即可得出答案【解答】解：两组数据 m， 6，n 与 1，m ，2n，7 的平均数都是
22、6， ，解得： ，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为 1，4，6，7，8，8，8，一共 7 个数，第四个数是 7，则这组数据的中位数是 7；故答案为：7【点评】本题考查了中位数，一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数14（4 分）如图，AB 为半圆的直径，且 AB4，半圆绕点 B 顺时针旋转 36，点 A 旋转到 A 的位置，则图中阴影部分
23、的面积为 （结果保留 ）【分析】根据旋转的性质得 S 半圆 ABS 半圆 AB ，ABA36，由于 S 阴影部分 +S 半圆 ABS 半圆 AB ，+ S 扇形 ABA ，则 S 阴影部分 S 扇形 ABA ，然后根据扇形面积公式求解【解答】解：半圆绕点 B 顺时针旋转 36，点 A 旋转到 A的位置，S 半圆 ABS 半圆 AB ，ABA36，S 阴影部分 +S 半圆 ABS 半圆 AB ，+ S 扇形 ABA ，S 阴影部分 S 扇形 ABA 故答案为 【点评】本题考查了扇形面积计算求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法15（4 分）对于任意实数 t，抛物线 yx 2+（2t）
24、x +t 总经过一个固定的点 P，若反比例函数 经过点 P，则 k 3 【分析】把抛物线解析式整理成关于 t 的形式，然后令 t 的系数为 0 求解即可【解答】解：yx 2+（2t ）x+tx 2+（1x ）t+2x，当 1x0，即 x1 时，y 的值与 t 无关，y1+23，所以，抛物线 yx 2+（2t）x+t 总经过一个固定的点 P（ 1，3），反比例函数 经过点 P，k3，故答案为：3【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，关键在于令 t 的系数为0，整理成关于 t 的形式是解题的关键16（4 分）如图，ABCADE，BAC DAE 90，AB8，AC6，F 是 DE的
25、中点，若点 E 是直线 BC 上的动点，连接 BF，则 BF 的最小值是 4 【分析】根据相似三角形的性质得到ADEABE，推出点 A，D，B，E 四点共圆，得到DBE90，根据直角三角形的性质得到 BF DE，当 DE 最小时，BF 的值最小，DE 最小，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：ABCADE，ADEABE，点 A，D，B，E 四点共圆，DAE90，DBE90，F 是 DE 的中点，BF DE，当 DE 最小时，BF 的值最小，若点 E 是直线 BC 上的动点，当 AEBC 时， AE 最小，此时，DE 最小，BAC90，AB 8，AC 6，BC10，AE ，ABCADE，
26、 ， ，DE8，BF4，故答案为：4【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的面积公式，四点共圆，圆周角定理，直角三角形的性质，确定出当 DE 最小时，BF 的值最小是解题的关键三、解答题（共 9 题，满分 86 分.请在答题卡的相应位置作答）17（8 分）先化简，再求值： ，其中 xsin45 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（x1）x+1，当 xsin45 时，原式 +1【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法18（8 分）已知：如图，BACDAM ，AB AN，B
27、ANM，求证：ADAM 【分析】从图中观察，BAC 等于BAD 与DAC 的和，DAM 等于DAC 与NAM 的和，因BAC 与DAM 相等，经计算得BADNAM 相等；线段 AB 与AN，B 与ANM 相等，从而证明ABD 和ANM 全等，由三角形全等的性质得线段AD 与 AM 相等【解答】解：图形如下：由图可知：BACBAD+DAC，DAM DAC+NAM，BACDAMBAD+DACDAC+NAM，BADNAM，在ABD 和ANM 中，ABDANM（ASA ），ADAM【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的和差相关知识；重点是掌握三角形全等的判定的方法，难点是通过角的和差找另一组角
28、相等19（8 分）如图，已知ABC，求作：ABCD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 用两种方法作图）【分析】如图 1，分别以 A，B 为圆心，以 BC 和 AB 的长为半径作弧，两弧交于 D，连接 AD，CD 即可得到结论；如图 2，分别过 A，B 作 BC 和 AB 的平行线，两线交于一点D，于是得到结论【解答】解：如图 1，平行四边形 ABCD 即为所求，如图 2，平行四边形 ABCD 即为所求【点评】本题考查了作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键20（8 分）如图，已知ABC 内接于O，AD 为直径，点 C 在劣弧 AB 上（不与点A，B 重合），设
29、 DAB ，ACB ，小明同学通过画图和测量得到以下近似数据： 30 35 40 50 60 80 120 125 130 140 150 170猜想： 关于 的函数表达式，并给出证明【分析】根据圆周角定理求出DA90，根据三角形内角和定理求出D 90，根据圆内接四边形的性质得出 ACB+D 180，代入后求出即可【解答】结论是：90，证明：连接 BD，AD 为 O 的直径，DBA90，DAB，D90，B、D、A 、C 四点共圆，ACB+ D180，ACB，90+180，90【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键21（8 分）“校园诗歌大赛”结束
30、后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有 50 人，扇形统计图中“69.579.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 30% ；（2）赛前规定，成绩由高到低前 40%的参赛选手获奖某参赛选手的比赛成绩为 82 分，试判断他能否获奖，并说明理由；（3）成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生，若从他们中任选 2 人作为获奖代表发言，试求恰好选中 1 男 1 女的概率【分析】（1）用“59.569.5”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“89.599.5”这一组人数占总参赛人数
31、的百分比，然后用 1 分别减去其它三组的百分比得到“69.579.5”这一组人数占总参赛人数的百分比；（2）利用“84.589.5”和“89.599.5”两分数段的百分比为 40%可判断他不能获奖；（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好选中 1 男 1 女的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）510% 50，所以本次比赛参赛选手共有 50 人，“89.599.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 100%24%，所以“69.579.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 110%36% 24%30%；故答案为 50，30%；（2）他不能获奖理由如下：“69.579.
32、5”这一组人数为 5030%15（人），“84.589.5”这一组人数为 50（2+3+15+10+8+4）8（人），则“84.589.5”和“89.599.5”两分数段的百分比为 100%40%，他的成绩位于“79.584.5”之间，他不能获奖；（3）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中恰好选中 1 男 1 女的结果数为 8，所以恰好选中 1 男 1 女的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图22（10 分）如图，用 48 米篱
33、笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为 20 米，平行于院墙的一边长为 x 米，花园的面积为 S 平方米（1）求 S 与 x 之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到 180 平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由【分析】（1）根据 BC 为 xm，AB 就为 （20xm），利用长方体的面积公式，可求出关系式，（2）根据题意列方程即可得到结论【解答】解：（1）根据题意，得 Sx （20x）即所求的函数解析式为：S x2+ x；（2）根据题意得， x2+ x180，整理得，x 220x +5400，40021600，原方
34、程无实数根，花园面积达不到 180 平方米【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键23（10 分）已知点 P（m， n）和直线 ykx+b，则点 P 到直线 ykx+b 的距离可用公式d 计算例如：求点 P（1，2）到直线 y3x +7 的距离解：因为直线 y3x +7，其中 k3，b7所以点 P（1，2）到直线 y3x +7 的距离为 d根据以上材料，解答下列问题：（1）直接写出点 P（1，1）到直线 y2x +4 的距离 d ；（2）已知直线 y2x +4 与 y2x5 平行，求这两条直线之间的距离（3）已知Q 的圆心 Q 坐标为（ 0，5），半径
35、r 为 2，判断Q 与直线 的位置关系并说明理由【分析】（1）根据点 P 到直线 ykx+b 的距离公式直接计算即可；（2）利用两平行线间的距离定义，在直线 y2x+4 上任意取一点，然后计算这个点到直线 y2x 6 的距离即可；（3）先利用点到直线的距离公式计算出圆心 Q 到直线 y x+9，然后根据切线的判定方法可判断Q 与直线 y x+9 相切【解答】解：（1）因为直线 y2x+4，其中 k2， b4，所以点 P（1，1）到直线 y2x +4 的距离为：d ；故答案为： ；（2）当 x0 时，y 2x +44，即点（0，4）在直线 y2x +4 上，因为点（0，4）到直线 y2x5 的距
36、离为：d ，因为直线 y2x +4 与 y 2x6 平行，所以这两条直线之间的距离为 ；（3）Q 与直线 y x+9 的位置关系为相切理由如下：圆心 Q（0，5）到直线 y x+9 的距离为：d 2，而 O 的半径 r 为 2，即 dr，所以 Q 与直线 y x+9 相切；【点评】本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义；提高阅读理解能力24（12 分）【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在几何原本提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边
37、上的射影和斜边的比例中项射影定理是数学图形计算的重要定理其符号语言是：如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，则：（1）CD 2ADBD，（2）AC 2ABAD ，（3）BC 2ABBD；请你证明定理中的结论（2）BC 2ABBD 【结论运用】（2）如图 2，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD上，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，求证： BOFBED；若 BE2 ，求 OF 的长【分析】（1）证明 RtCBD Rt ABC ，即可求解；（2） BC2BOBD ，BC 2BFBE，即 BOBDBF BE，即
38、可求解；在 RtBCE 中，BC6，BE 2 ，利用BOFBED ，即可求解【解答】解：（1）证明：如图 1，CDAB，BDC90，而CBDABC，RtCBD RtABC ，CB：ABBD：BC，BC 2ABBD；（2） 证明：如图 2，四边形 ABCD 为正方形，OCBO，BCD90，BC 2BOBD，CFBE，BC 2BFBE，BOBDBFBE，即 ，而OBFEBD，BOFBED；在 RtBCE 中，BC6，BE2 ，CE 2，DEBCCE4；在 Rt OBC 中， OB BC3 ，BOFBED， ，即： ，OF 【点评】本题为三角形形似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在
39、于找到形似的三角形，此类题目通常难度较大25（14 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0），顶点 C 的坐标为（1，4）（1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式；（2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为 2 ？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由 B 点坐标可求得抛物线的解析式
40、，则可求得 D 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BD 解析式；（2）设出 P 点坐标，从而可表示出 PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过 Q 作 QGy 轴，交 BD 于点 G，过 Q 和 QHBD 于 H，可设出 Q 点坐标，表示出 QG 的长度，由条件可证得DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于 Q 点坐标的方程，可求得 Q 点坐标【解答】解：（1）抛物线的顶点 C 的坐标为（ 1，4），可设抛物线解析式为 ya（x1） 2+4，点 B（3，0）在该抛物线的图象上，0a（31） 2+4，解得 a1，抛物线解析式为 y（x 1） 2+4，即 yx 2+2x+3，点 D
41、在 y 轴上，令 x0 可得 y3，D 点坐标为（0，3），可设直线 BD 解析式为 ykx+3，把 B 点坐标代入可得 3k+30，解得 k1，直线 BD 解析式为 yx+3；（2）设 P 点横坐标为 m（m0），则 P（m，m+3），M（m ，m 2+2m+3），PMm 2+2m+3（m+3）m 2+3m（m ） 2+ ，当 m 时， PM 有最大值 ；（3）如图，过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QHBD 于 H，设 Q（x，x 2+2x+3），则 G（x ，x+3），QG|x 2+2x+3（x +3）| |x 2+3x|，BOD 是等腰直角三角形，DBO
42、 45 ，HGQBGE 45，当BDQ 中 BD 边上的高为 2 时，即 QHHG2 ，QG 2 4，| x2+3x|4，当x 2+3x4 时， 9160，方程无实数根，当x 2+3x 4 时，解得 x 1 或 x4，Q（1，0）或（4，5），综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（1，0）或（4，5）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用 P 点坐标表示出 PM 的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得 QG 的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中
