1、2017-2018 学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）函数 f（x ）=2x8+log 3x 的零点一定位于区间（ ）A （5 ，6 ） B （3，4） C （2，3） D （1，2）2 （5 分）将函数 y=sin（x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将所得的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A B C D3 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 中点，AE 的
2、延长线交 DC 于点 F，若 ， ，则 =（ ）A B C D4 （5 分）函数 的递增区间是（ ）A BC D5 （5 分）已知函数 在（，+）上单调递减，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B （0， ） C D6 （5 分）sin210的值为（ ）A B C D7 （5 分）设集合 A=x|2x4，集合 B=x|y=lg（x1），则 AB 等于（ ）A （1 ，2 ） B1，2 C1，2） D （1，28 （5 分）下列命题中，正确的是（ ）A 与 共线， 与 共线，则 与 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C向量 与 不共线，则 与 都是非零
3、向量D有相同起点的两个非零向量不平行9 （5 分）函数 f（x ）=lg （ +a）是奇函数，则 a 的值为（ ）A0 B1 C1 D不存在10 （5 分）设 x0，0b xa x1，则正实数 a， b 的大小关系为（ ）A1 a b B1ba C1ab D1b a11 （5 分）已知函数 f（ x）=x 2sin（x ） ，则其在区间 ， 上的大致图象是（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，则 f（ ） +f（ ）+f（ ）的值等于（ ）A1006 B1007 C1008 D1009二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）函数 的
4、定义域是 14 （5 分）若 tan（ ）=2，则 = 15 （5 分）已知函数 ，若函数 g（x）=f（x）m 有 3个零点，则实数 m 的取值范围是 16 （5 分）下列说法中，所有正确说法的序号是 终边落在 y 轴上的角的集合是 ； 函数 图象的一个对称中心是 ；函数 y=tanx 在第一象限是增函数；为了得到函数 y=sin（2x ）的图象，只需把函数 y=sin2x 的图象向右平移个单位长度三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分.其中第 17 题 10 分，第 18 题至第 22题每题 12 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）求值：（1）lg8+lg1
5、25 （ ） 2+16 +（ ） 0（2）sin +cos +tan（ ）18 （12 分）已知 f（ ） = （1）化简 f（） ；（2）若 是第三象限角，且 cos（ ）= ，求 f（）的值19 （12 分）如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 60m（1）用宽 x（单位 m）表示所建造的每间熊猫居室的面积 y（单位 m2） ；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？20 （12 分）已知函数 f（ x）=sin 2x sinxcosx（1）求 f（x）的最小正周期以及图象的对称轴方程（2）当 x0， 时，
6、求函数 f（x）的最大值和最小值21 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+2ax+1a，（1）若 a=2，求 f（x）在区间0，3上的最小值；（2）若 f（x）在区间0， 1上有最大值 3，求实数 a 的值22 （12 分）对于函数 f（ x）=a （aR ）（1）判断函数 f（x）的单调性并给出证明；（2）若存在实数 a 使函数 f（x ）是奇函数，求 a；（3）对于（2）中的 a，若 f（x ） ，当 x2.3恒成立，求 m 的最大值2017-2018 学年福建省漳州市华安中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在
7、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）函数 f（x ）=2x8+log 3x 的零点一定位于区间（ ）A （5 ，6 ） B （3，4） C （2，3） D （1，2）【解答】解：函数 f（x ）=2x 8+log3x 是连续函数，f （3）=1，f（4）=log340 ，f（ 3）f（4）0，故函数 f（x）=2x 8+log3x 的零点一定位于区间（3，4）内，故选 B2 （5 分）将函数 y=sin（x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将所得的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A B C D【解答】解：将图象上所
8、有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，可得函数 y=sin（ x ） ，再将所得的图象向左平移 个单位，得函数 y=sin （x+ ） ，即 y=sin（ x ） ，故选：C3 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 中点，AE 的延长线交 DC 于点 F，若 ， ，则 =（ ）A B C D【解答】解：由题意得，= = （ ）= （ ） ，= + = （ ）+ = （ +3 ） ；A、E 、F 三点共线， ，结合选项可知， = ；故选 A4 （5 分）函数 的递增区间是（ ）A BC D【解答】解：=cos（2x + ）2x+ 2k，
9、2k，故选 D5 （5 分）已知函数 在（，+）上单调递减，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B （0， ） C D【解答】解：由已知，f 1（ x）=（2a 1）x +7a2 在（，1）上单减，2a10，a f2（x）=a x 在 1，+）上单减，0 a1且 且当 x=1 时，应有 f1（x）f 2（x） 即 9a3a，a 由得，a 的取值范围是 ， ）故选 C6 （5 分）sin210的值为（ ）A B C D【解答】解：sin210=sin（180+30 ）= sin30= 故选 B7 （5 分）设集合 A=x|2x4，集合 B=x|y=lg（x1），则 AB 等于（ ）A
10、（1 ，2 ） B1，2 C1，2） D （1，2【解答】解：A=x|2 x4=x |x2，由 x10 得 x1B=x|y=lg（x1）=x|x 1AB=x |1x2故选 D8 （5 分）下列命题中，正确的是（ ）A 与 共线， 与 共线，则 与 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C向量 与 不共线，则 与 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行【解答】解：A 错，当 = 时，由与 共线， 与 共线推不出 与 也共线，B 错，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上，C 对，D 错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线故选 C9 （
11、5 分）函数 f（x ）=lg （ +a）是奇函数，则 a 的值为（ ）A0 B1 C1 D不存在【解答】解：函数 f（x ）=lg （ +a）是奇函数，则 f（0）=0，即 lg（2+a）=0 ，则 a=1，此时，f（x）=lg ，是奇函数，满足条件，故选：C10 （5 分）设 x0，0b xa x1，则正实数 a， b 的大小关系为（ ）A1 a b B1ba C1ab D1b a【解答】解：根据题意，假设有指数函数 y=ax 与 y=bx，若 x0，有 0b xa x1，则有 a1 且 b1，若 0b xa x1，则有 =（ ） x1，又由 x0，则 1，即 ab ，则有 1ab；故选：
12、A11 （5 分）已知函数 f（ x）=x 2sin（x ） ，则其在区间 ， 上的大致图象是（ ）A B C D【解答】解：f（x）=x 2sin（x）=x 2sinx，f（ x）= （x） 2sin（x ）=x 2sinx=f（x） ，f（ x）奇函数，当 x= 时， f（ ）= 0，故选：D12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，则 f（ ） +f（ ）+f（ ）的值等于（ ）A1006 B1007 C1008 D1009【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ x）+f（ 1x）= += =1，f（ ）+f （ ）+ +f（ ）=1008 1=1008故选：C二填空题：（本大题共 4
13、小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）函数 的定义域是 （1 ，3）（3，+） 【解答】解：由 x+10 且 x30 ，可得 x1 且 x3，则定义域为（1，3）（ 3，+） ，故答案为：（1，3）（ 3，+） ，14 （5 分）若 tan（ ）=2，则 = 【解答】解：tan（ ）= =2，tan= ，则 = = = ，故答案为： 15 （5 分）已知函数 ，若函数 g（x）=f（x）m 有 3个零点，则实数 m 的取值范围是 （0，1） 【解答】解：令 g（x）=f （x）m=0，得 m=f（x ）作出 y=f（x）与 y=m 的图象，要使函数 g（ x）=f（x）m 有 3
14、 个零点，则 y=f（x）与 y=m 的图象有 3 个不同的交点，所以 0m1，故答案为：（0，1） 16 （5 分）下列说法中，所有正确说法的序号是 终边落在 y 轴上的角的集合是 ； 函数 图象的一个对称中心是 ；函数 y=tanx 在第一象限是增函数；为了得到函数 y=sin（2x ）的图象，只需把函数 y=sin2x 的图象向右平移个单位长度【解答】解：当角 的终边落在 y 轴的非负半轴上时，角 =2k+ ，k Z，当角 的终边落在 y 轴的非正半轴上时，角 =2k+ ，k Z，故终边落在 y 轴上的角的集合是|=2k+ ，或 =2k+ ，k Z=|=2k+ ，或 =2k+ ，kZ =
15、|=n+ ，n Z，不正确；令 x =k+ ，k z，可得对称中心为（ k+ ，0） ，k z，令 k=0，得到一个对称中心的坐标（ ，0 ） ，故正确；390，45是第一象限角， 39045，但 tan390= 1=tan45，函数 y=tanx 在第一象限是增函数错误，命题 为假命题；由于 函数 y=sin（2x ）=sin2 （x ），故只需把函数 y=3sin2x 的图象向右平移 个长度单位即可得到函数 y=sin（2x ）的图象，故正确；故答案为：三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分.其中第 17 题 10 分，第 18 题至第 22题每题 12 分解答应写出文字说明，证明
16、过程或演算步骤17 （10 分）求值：（1）lg8+lg125 （ ） 2+16 +（ ） 0（2）sin +cos +tan（ ）【解答】解：（1）lg8+lg125（ ） 2+16 +（ ） 0 =3lg2+3lg549+23+1=37（2）sin +cos +tan（ ）=sin +cos tan = + 1=018 （12 分）已知 f（ ） = （1）化简 f（） ；（2）若 是第三象限角，且 cos（ ）= ，求 f（）的值【解答】解：（1）原式= =cos；（2）cos（ ）=sin，sin= ，又 是第三象限角，cos= = = ，f（ ）= cos= 19 （12 分）如图，
17、动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 60m（1）用宽 x（单位 m）表示所建造的每间熊猫居室的面积 y（单位 m2） ；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？【解答】解：（1）设熊猫居室的宽为 x（单位 m） ，由于可供建造围墙的材料总长是 60m，每间熊猫居室的长为 30 x（单位 m） ，所以两间熊猫居室的面积 y=x（30 x）又 ，得 0x 20，于是 y= x2+30x， （0x 20）为所求；（2）又（1）y= x2+30x=3（x 10） 2+150，二次函数图象开口向下，对称轴 x=10，且 x（
18、0，20） ，当 x=10 时，所建造的熊猫居室面积最大，使熊猫居室的宽 10m，每间居室的长为 15m 时，所建造的熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为 150m220 （12 分）已知函数 f（ x）=sin 2x sinxcosx（1）求 f（x）的最小正周期以及图象的对称轴方程（2）当 x0， 时，求函数 f（x）的最大值和最小值【解答】解：（1）函数 f（x ）=sin2x sinxcosx= + sin2x=sin（2x ）+ ，故它的最小正周期为 =，令 2x =k+ ，求得 x= + ，可得 f（ x）的对称轴方程为 x= + ，k Z（2）当 x0， 时，2x ， ，当
19、 2x = 时，即 x=0 时，函数 f（x）取得最小值 0；当 2x = 时，即 x= 时，函数 f（x ）取得最大值 21 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+2ax+1a，（1）若 a=2，求 f（x）在区间0，3上的最小值；（2）若 f（x）在区间0， 1上有最大值 3，求实数 a 的值【解答】解：（1）若 a=2，则 f（x）=x 2+4x1=（x2） 2+3，函数图象开口向下，对称轴为 x=2，所以函数 f（x）在区间0，3上是增加的，在区间2，3上是减少的，有又 f（ 0）=1，f （3）=2f（ x） min=f（0）=1 （3 分）（2）对称轴为 x=a当 a0 时，函
20、数在 f（x ）在区间0，1上是减少的，则f（x） max=f（ 0）=1 a=3，即 a=2；（6 分）当 0a1 时，函数 f（x）在区间0，a上是增加的，在区间a，1上是减少加的，则f（x） max=f（ a）=a 2a+1=3，解得 a=2 或 1，不符合； （9 分）当 a1 时，函数 f（x ）在区间0，1上是增加的，则f（x） max=f（ 1）= 1+2a+1a=3，解得 a=3； （11 分）综上所述，a=2 或 a=3 （12 分）22 （12 分）对于函数 f（ x）=a （aR ）（1）判断函数 f（x）的单调性并给出证明；（2）若存在实数 a 使函数 f（x ）是奇函
21、数，求 a；（3）对于（2）中的 a，若 f（x ） ，当 x2.3恒成立，求 m 的最大值【解答】解：（1）不论 a 为何实数，f（x ）在定义域上单调递增证明：设 x1，x 2R，且 x1x 2，则= ，由 x1x 2，知 0 ， ， ，f（ x1）f（x 2）0 ，不论 a 为何实数，f（x ）在定义域上单调递增（2）存在实数 a 使函数 f（x ）是奇函数，由 f（ x）=f（x） ，得 ，解得 a=1（3）由条件可得 m2 x（1 ）= （2 x+1）+ 3 恒成立，m（2 x+1）+ 3 恒成立，m（2 x+1）+ 3 的最小值，x 2，3，设 t=2x+1，则 t5，9，函数 g（t ）=t+ 3 在5，9上单调递增，g （t）的最小值是 g（5）= ，m ，m 的最大值为
