1、已知集合 Ax|x240，则 AB（ ） Ax|x2 或 x2 B Cx|x2 Dx|x2 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（3+i）3+i2020，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 的虚部 为（ ） A B C D 3 （5 分）如图，E，F，G，H 为正方形 ABCD 各边上的点，图中曲线为圆弧，两圆弧分别 以 B，D 为圆心，BO，DO 为半径（O 为正方形的中心） 现向该正方形内随机抛掷 1 枚 豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A B C D 4 （5 分）记 Sn为正项等比数列an的前 n 项和若 a11，4a3a5，则 S10（ ） A512 B511 C1
2、023 D1024 5 （5 分）函数 f（x）|x+2|ln|x|的大致图象为（ ） A B 第 2 页（共 23 页） C D 6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，且 4sinA3sinB，则 sinAcosB+sinC（ ） A B C D 7 （5 分）若实数 x，y 满足，则 zx+y 的最大值是（ ） A0 B1 C2 D3 8 （5 分）l，m，n 表示空间中三条不同的直线， 表示不同的平面，则下列四个命题中 正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，m，n，则 C若 l，m，n，lm，ln，则 D若 m
3、，n，m，n，则 9 （5 分）已知 F1，F2为椭圆 C：的左、右焦点，过点 F2作斜率为 1 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，则ABF1的面积为（ ） A B C D 10 （5 分）若 tan2，则（ ） A或 B或 C D 11 （5 分）已知 F1，F2为双曲线 C：的左、右焦点，过右焦点 F2的直线 l，交 C 的左、右两支于 A，B 两点，若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l，则双 曲线 C 的离心率为（ ） A4 B5 C6 D7 第 3 页（共 23 页） 12 （5 分）已知函数，若 ykx 与 f（x）有三个公共点，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C
4、D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数 f（x）alnx+bx2在点（1，1）处的切线方程为 y4x+m，则 a+b 14 （5 分）已知向量 ， 满足| |3， （1，2） ， 2，则|2 | 15 （5 分）已知函数相邻的两个对称轴之 间的距离为，f（x）的图象经过点，则函数 f（x）在0，上的单调递增区 间为 16 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，BCCD2，BCCD，ABADAC，则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解
5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an满足 a13， （）证明：数列nan为等差数列； （）设 bn（2an） （2an+1） ，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入 高三到高考要参加 10 次模拟考试， 下面是高三第一学期某学生参加 5 次模拟考试的数学 成绩表： 模拟考试
6、第 x 次 1 2 3 4 5 考试成绩 y 分 90 100 105 105 100 （）已知该考生的模拟考试成绩 y 与模拟考试的次数 x 满足回归直线方程， 第 4 页（共 23 页） 若高考看作第 11 次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩； （）把 5 次模拟考试的成绩单放在五个相同的信封中，从中随机抽取 2 个信封研究成 绩，求抽取的 2 个信封中恰有 1 个成绩不等于平均值 的概率 参考公式：， 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAB平 面 ABCD，APPB，APPB，E 为 CP 的中点 （）求证：AP平面 BD
7、E； （）求点 D 到平面 ACP 的距离 20 （12 分）过抛物线 C：y22px（p0）的焦点且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点，|AB|8 （）求抛物线 C 的方程； （）点 P（x0，y0）为抛物线 C 上一点，且，求PAB 面积 的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）（1a）xlnx （）讨论 f（x）的单调性； （）若 0xa，证明：f（a+x）f（ax） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分，作答时，请用一题记分
8、，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos+4sin （）写出曲线 C 的直角坐标方程； 第 5 页（共 23 页） （）直线 l 的参数方程为， （t 为参数） 若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点， 且点 P（0，2） ，求|PA|+|PB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+3|x1| （）求不等式
9、 f（x）23x 的解集； （）若函数 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 a+bm，求的最小 值 第 6 页（共 23 页） 2020 年福建省漳州市高考数学一模试卷（文科）年福建省漳州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x240，则 AB（ ） Ax|x2 或 x2 B Cx|x2 Dx|x2 【分析】可以求出集合
10、A，B，然后进行并集的运算即可 【解答】解：Ax|x2 或 x2， 故选：B 【点评】本题考查集合的并集运算以及一元二次不等式、分式不等式的解法，考查运算 求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（3+i）3+i2020，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 的虚部 为（ ） A B C D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案 【解答】解：z（3+i）3+i2020，i2020（i2）1010（1）10101， z（3+i）4，z， ， 共轭复数 的虚部为， 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考
11、查了共轭复数的概念，是基础题 3 （5 分）如图，E，F，G，H 为正方形 ABCD 各边上的点，图中曲线为圆弧，两圆弧分别 以 B，D 为圆心，BO，DO 为半径（O 为正方形的中心） 现向该正方形内随机抛掷 1 枚 第 7 页（共 23 页） 豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A B C D 【分析】根据已知条件，求出满足条件的正方形 ABCD 的面积，及阴影平面区域的面积， 代入几何概型计算公式，即可求出答案 【解答】解：设正方形的边长为 1，其面积为 1， 根据题意可知，圆弧的半径 r，则阴影部分圆弧的面积为 2 ， 则向该正方形内随机抛掷 1 枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分
12、的概率 P 故选：A 【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等， 而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求 出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A） ，再求出总的基本事件对应的“几 何度量”N，最后根据 P求解 4 （5 分）记 Sn为正项等比数列an的前 n 项和若 a11，4a3a5，则 S10（ ） A512 B511 C1023 D1024 【分析】结合已知及等比数列的性质可求公比 q，然后结合等比数列的求和公式即可求 【解答】解：由 4a3a5可得 q24， q0， 所以 q2， 由等比数列的求和公式
13、可得，S101023 故选：C 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及性质的简单应用，属于基础试题 5 （5 分）函数 f（x）|x+2|ln|x|的大致图象为（ ） 第 8 页（共 23 页） A B C D 【分析】根据题意，分析函数的定义域，若 f（x）|x+2|ln|x|0，解可得 x 的值，即可 得函数 f（x）与 x 轴的交点坐标，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）|x+2|ln|x|，其定义域为x|x0， 若 f（x）|x+2|ln|x|0，解可得 x2 或 x1， 即函数 f（x）与 x 轴有 3 个交点，分别为（1，0） ， （2，0） 、 （1，0） ；
14、据此可得：A、C、D 都不符合， 故选：B 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的零点，属于基础题 6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，且 4sinA3sinB，则 sinAcosB+sinC（ ） A B C D 【分析】利用 a，b，c 成等差数列得到 a，b 和 c 的关系式，利用正弦定理和已知等式求 得 a 和 b 的关系式，分别设出 a，b 和 c，最后利用余弦定理即可求得 cosC，cosB 的值， 则 C 可得，进而利用诱导公式可求 sinA 的值，即可得解 【解答】解：a，b，c 成等差数列， 2ba+c， 4
15、sinA3sinB， 由正弦定理得 4a3b， 设 a3t，b4t，则 c5t， 第 9 页（共 23 页） cosC0，cosB， 0C， C A+B，可得 sinAcosB， sinAcosB+sinC+1 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用解题过程中巧妙的运用了正弦定 理和余弦定理完成了边和角问题的转化 7 （5 分）若实数 x，y 满足，则 zx+y 的最大值是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，zx+y，利用数形结合即可的得到结论 【解答】解：由题意得不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（含边界） ， 将目标函数 zx+y 化
16、为 yx+z， 平移直线 yx， 由图象可知当直线 yx+z 经过点 C（0，2）时， 直线 yx+z 在 y 轴上的截距最大， 此时 z 最大， 即 z 取得最大值 zmax0+22， 故选：C 【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查推理论证能力和运算求解能力，考查数学 第 10 页（共 23 页） 运算核心素养 8 （5 分）l，m，n 表示空间中三条不同的直线， 表示不同的平面，则下列四个命题中 正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，m，n，则 C若 l，m，n，lm，ln，则 D若 m，n，m，n，则 【分析】利用空间线面、面面平行与垂直的判定定理即可判断出正误 【解
17、答】解：A若 m，n，则 mn 或为异面直线，因此不正确； B若 m，n，m，n，则 或相交，因此不正确； C若 l，m，n，lm，ln，则 与 不一定垂直，因此不正确； Dm，n，m，n，则 ，正确 故选：D 【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定定理、简易逻辑的判定方法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 9 （5 分）已知 F1，F2为椭圆 C：的左、右焦点，过点 F2作斜率为 1 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，则ABF1的面积为（ ） A B C D 【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，转化求解三角形的面积即可 【解答】解：F1，F2为椭圆 C：的
18、左、右焦点，过点 F2（1，0） ， 作斜率为 1 的直线 l： yx1， 即 xy+1， 代入椭圆方程可得： 7y26y90， 设 A （x1， y1） ，B（x2，y2） ， 可得 y1+y2，y1y2，可得|y1y2| 则ABF1的面积为： 故选：A 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 第 11 页（共 23 页） 10 （5 分）若 tan2，则（ ） A或 B或 C D 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和倍角公式的应用求出结果 【解答】解：tan2，解得 tan3 或 tan 故： 当 tan3 时，原式得 当 tan时，原式得 故选：D 【点评】
19、本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换， 倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11 （5 分）已知 F1，F2为双曲线 C：的左、右焦点，过右焦点 F2的直线 l，交 C 的左、右两支于 A，B 两点，若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l，则双 曲线 C 的离心率为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】画出图形，利用已知条件，结合双曲线定义，通过勾股定理，转化求解即可 【解答】解：F1，F2为双曲线 C：的左、右焦点，过右焦点 F2的直线 l，交 C 的左、右两支于 A，B 两点，若 B 为线段 AF2的中点且 BF1l，
20、所以 F1F22c，AF12c，则 AF22a+2c，BF2a+c，所以 BF13a+c， 可得： （3a+c）2+（a+c）24c2， 第 12 页（共 23 页） 即 5a2+4acc20， 即 e24e50，e1， 解得 e5， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 12 （5 分）已知函数，若 ykx 与 f（x）有三个公共点，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】如图所示，函数 f（x）的图象，ykx 的图象x1时，f（x）e1，可得 A （1，e1） ，kOAe1x1 时，f（x）ex1，f（x）exx1 时，f（x）x2 4
21、x+3（x2）21， 假设 f（x）与 ykx 相切于原点时，ke01结合图形可得 k 范围，满足 ykx 与 f（x）有三个公共点设直线 ykx 与 f（x）x24x+3（x1）相 切于点 P（x0，4x0+3） ，根据2x04，解得：x0，可得斜率 k结合图 形可得 k 满足条件，使得 ykx 与 f（x）有三个公共点 【解答】解：如图所示，函数 f（x）的图象，ykx 的图象 x1时，f（x）e1，可得 A（1，e1） ，kOAe1 x1 时，f（x）ex1，f（x）ex 第 13 页（共 23 页） x1 时， f （x） x24x+3 （x2） 21， f （x） 2x4 假设 f（
22、x）与 ykx 相切于原点时，ke01 结合图形可得：1ke1 时 ykx 与 f（x）有三个公共点 设直线 ykx 与 f（x）x24x+3（x1）相切于点 P（x0，4x0+3） ， 则2x04，化为：3， 解得：x0，可得斜率 k24 结合图形可得：24k1 时，ykx 与 f（x）有三个公共点 综上可得：24k1，或 1ke1 时，ykx 与 f（x）有三个公共点 故选：C 【点评】本题考查了函数图象与性质、利用导数研究曲线的斜率、方程的解法，考查了 数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
23、分分. 13 （5 分）函数 f（x）alnx+bx2在点（1，1）处的切线方程为 y4x+m，则 a+b 3 【分析】由题意可得 f（1）1，f（1）4，由此可得关于 a，b 的方程组求得 a，b 的值，则答案可求 【解答】解：由题得，由导数的几何意义可得 f（1）1，f（1）4， 即 b1，a+2b4， 解得 a2，b1， a+b3 故答案为：3 【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，是基 础题 14 （5 分）已知向量 ， 满足| |3， （1，2） ， 2，则|2 | 第 14 页（共 23 页） 【分析】把所求平方，再把已知条件代入即可求解 【解答】
24、解：因为| |3， （1，2） ， 2， | |； |2 |244 + 243242+533 |2 | 故答案为： 【点评】本题主要考查平面向量数量积的有关知识，属于基础题目 15 （5 分）已知函数相邻的两个对称轴之 间的距离为，f（x）的图象经过点，则函数 f（x）在0，上的单调递增区 间为 和 【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 的值；在代入正弦函数的递增区间，结合 x0，可得结论 【解答】解：相邻两条对称轴之间的距离为，即 T，2 根据 （，1）在图象上得：2sin（2+）+11， sin（2+）0； +k，kz 故 k 结合，可得 ， 函数 f（x）2sin（2x+）+1 由 2
25、k2x+2k+得 kxk+，kz， 故函数的增区间为k，k+，kz 再结合 x0，可得增区间为0，和， 故答案为：0，和， 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，正弦函数的单调 第 15 页（共 23 页） 性，属于中档题 16 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，BCCD2，BCCD，ABADAC，则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 【分析】由题意可得顶点 A 在底面 BCD 的投影为三角形 BCD 外接圆的圆心，又有底面 三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点，再由数量关系求出外接球的 半径，进而求出外接球的体积 【解答】解：由 ABADAC， 可得
26、 A 在底面 BCD 的垂足为三角形 BCD 的外接圆的圆心，而 BCCD2，BCCD， 所以斜边 BD 的中点 E 即为外接圆的圆心， 连接 AE，CE， 则 CEBEDE，AE面 BDC， AEBD，且 AE2，外接球的球心在 AE 上， 设外接球的球心为 O，连接 OC， 则 OCOAOBOD 为外接球的半径， 设外接球的半径为 R， 则在三角形 OCE 中，OC2CE2+（AEOA）2， 即 R2（）2+（2R）2，解得 R， 所以外接球的体积 V， 故答案为： 【点评】考查三棱锥的外接球即球的体积公式，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程
27、或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须每个试题考生都必须作答作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 第 16 页（共 23 页） 17 （12 分）已知数列an满足 a13， （）证明：数列nan为等差数列； （）设 bn（2an） （2an+1） ，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）直接利用定义对关系式进行变换，进一步求出结果 （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出结果 【解答】证明： （1）由，整理得
28、， （n+1）an+1nan2， 又 a13， 所以数列nan首项为 3，公差为 2 的等差数列 （2）由（1）得，nan3+2（n1）2n+1， 所以 所以， 所以， 所以， 所以 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入 高三到高考要参加 10 次模拟考试， 下面是高三第一学期某学生参加 5 次模拟考试的数学 成绩表： 模拟考试第 x 次 1 2 3 4 5 考试成绩 y 分 90 100 105 1
29、05 100 （）已知该考生的模拟考试成绩 y 与模拟考试的次数 x 满足回归直线方程， 若高考看作第 11 次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩； （）把 5 次模拟考试的成绩单放在五个相同的信封中，从中随机抽取 2 个信封研究成 绩，求抽取的 2 个信封中恰有 1 个成绩不等于平均值 的概率 第 17 页（共 23 页） 参考公式：， 【分析】 （）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程，再利用回归方程 计算 x11 时 的值； （）利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值 【解答】解： （）由题意计算， ， ， ， 所以， ， 所以回归直线方程为， 当 x11 时，可得，
30、 所以估计该学生高考数学的考试成绩为 120 分 （）记五个信封分别为 a，B，c，d，E；其中装有 100 分成绩单的信封分别为 B，e； 从 5 个信封中随机抽取 2 个的所有可能结果为a，B，a，c，a，d，a，E， B，c，B，d，B，E，c，d，c，E，d，E共 10 种； 其中抽取的 2 个信封中恰有 1 个成绩不等于平均值 的所有可能结果为 a，B，a，E，B，c，B，d，c，E，d，E共 6 种， 所以抽取的 2 个信封中恰有 1 个成绩不等于平均值 的概率为 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了列举法求古典概型的概 第 18 页（共 23 页） 率问题，是
31、中档题 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAB平 面 ABCD，APPB，APPB，E 为 CP 的中点 （）求证：AP平面 BDE； （）求点 D 到平面 ACP 的距离 【分析】 （）连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，则 O 为 AC 的中点可得 OEPA再由 线面平行的判定可得 AP平面 BDE； （）取 AB 中点 M，连接 PM，由已知求得，再由面面垂直的性质可得 PM 平面 ABCD得到 BC平面 PAB，得 BCAP，BCBP进一步求得 APPC求解 三角形可得三角形 APC 与三角形 ACD 的面积，再由等积
32、法求 D 到平面 ACP 的距离 【解答】 （）证明：如图，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，则 O 为 AC 的中点 又 E 为 CP 上的中点，OEPA 又 AP平面 BDE，OE平面 BDE， AP平面 BDE； （）解：如图，取 AB 中点 M，连接 PM， APPB，APPB，PMAB， 又平面 PAB平面 ABCD， PM平面 ABCD 平面 PAB平面 ABCD，BCAB， 第 19 页（共 23 页） BC平面 PAB，得 BCAP，BCBP 又APBP，AP平面 BCP，则 APPC ， ， 又， 由 VDAPCVPACD，得， 即点 D 到平面 ACP 的距离为 【
33、点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，是中档题 20 （12 分）过抛物线 C：y22px（p0）的焦点且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点，|AB|8 （）求抛物线 C 的方程； （）点 P（x0，y0）为抛物线 C 上一点，且，求PAB 面积 的最大值 【分析】 （）求得抛物线的焦点 F 和直线 l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和 弦长公式可得所求方程； （）求得直线 l 的方程，运用点到直线的距离公式可得 P 到 AB 的距离，结合二次函数 的值域求法，以及三角形的面积公式，可得所求最大值 【解答
34、】解： （）抛物线 C：y22px 的焦点为，直线 l 的方程为 设A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由得， ，x1+x23p， 故|AB|AF|+|BF|x1+x2+p4p8 所以 p2 因此抛物线 C 的方程为 y24x 第 20 页（共 23 页） （）由（）得 l 的方程为 xy10P 到直线 l 的距离为 因，所以， 所以， 因此，所以PAB 面积的最大值为 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用 韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式，二次函数的最值求法，考查运算能力， 属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（1a）xlnx
35、（）讨论 f（x）的单调性； （）若 0xa，证明：f（a+x）f（ax） 【分析】 （）求出函数的定义域，求出导函数，通过若 a1 时，若 a1 时，判断导函 数的符号，然后求解单调区间即可 （）证法一：设 g（x）f（a+x）f（ax） （0xa） ，求出导函数，判断函数的单 调性转化求解即可 证法二：由（1）得，当 a1 时，f（x）在（0，+）单调递减，转化推出结果即可 【解答】解： （）f（x）的定义域为（0，+） ， 若 a1 时，则 f（x）0，此时 f（x）在（0，+）单调递减， 若 a1 时，则由 f（x）0 得， 当时，f（x）0，函数 f（x）在单调递减， 当时，f（x）
36、0，函数 f（x）在单调递增， 综上所述，当 a1 时，f（x）在（0，+）单调递减；若 a1 时，f（x）在 单调递减，在单调递增 （）证法一： 第 21 页（共 23 页） 设 g（x）f（a+x）f（ax） （0xa） ，g（x）2（1a）x+ln（ax）ln（a+x） ， ， 所以 g（x）在（0，a）上为减函数，又 g（0）0，所以 g（x）0（0xa） ， 即 f（a+x）f（ax）0，即 f（a+x）f（ax） 证法二：由（1）得，当 a1 时，f（x）在（0，+）单调递减， 因 a+xax，所以 f（a+x）f（ax） ， 当 0a1 时，f（x）在单调递减 因为，所以， 又因
37、为 0xa，所以， 所以 f（a+x）f（ax） 【点评】本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用，考 查分析问题解决问题的能力，是难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分，作答时，请用一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立
38、极坐 标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos+4sin （）写出曲线 C 的直角坐标方程； （）直线 l 的参数方程为， （t 为参数） 若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点， 且点 P（0，2） ，求|PA|+|PB|的值 【分析】 （）本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、 （）参数方程中参数的几何意义，考查运算求解能力和化归与转化思想，考查数学运 算、数学建模核心素养 【解答】解： （I）曲线 C 的极坐标方程为 2cos+4sin， 即 22cos+4sin 第 22 页（共 23 页） 将，代入上式， 可得 x2+y22x4y0，曲线 C 的直角坐标方程为
39、（x1）2+（y2）25 （）把直线 l 的参数方程（t 为参数） 代入曲线 C 的方程（x1）2+（y2）25 中， 得 t2t40，显然0 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t24，t1+t21 点 P（0，2）在直线 l 上， |PA|+|PB|t1|+|t2|t1t2| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+3|x1| （）求不等式 f（x）23x 的解集； （）若函数
40、 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 a+bm，求的最小 值 【分析】 （）取得绝对值符号，得到分段函数，然后转化求解不等式 f（x）23x 的 解集； （）求出函数 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 a+b4，利用基本不等式求 的最小值 【解答】解： （）因为， 所以不等式 f（x）23x 可化为或或， 第 23 页（共 23 页） 解得 x0， 所以不等式 f（x）23x 的解集为0，+） （）根据（）可知，函数 f（x）的最大值为 4，即 a+b4， ， 当且仅当 ab2 时，等号成立，所以的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以 及计算能力，是中档题
