1、已知集合 A4，a2，B1，16，若 AB，则 a 3 （5 分）复数 z 满足 zi4+3i（i 是虚数单位） ，则|z| 4 （5 分）函数 y的定义域为 5 （5 分）从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为 6 的 概率是 6 （5 分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 T 的值是 7 （5 分）已知数列an满足 log2an+1log2an1，则 8（5分） 若抛物线y22px （p0） 的准线与双曲线x2y21的一条准线重合， 则p 9 （5 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M 为棱 AA1的中点，记三棱
2、锥 A1MBC 的体积为 V1，四棱锥 A1BB1C1C 的体积为 V2，则的值是 10 （5 分）已知函数 f（x）2x4+4x2，若 f（a+3）f（a1） ，则实数 a 的取值范围为 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1： （xk）2+（y+k4）21 上任一点 P 作 第 2 页（共 18 页） 圆 C2：x2+y21 的一条切线，切点为 Q，则当线段 PQ 长最小时，k 12 （5 分）已知点 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上任一点，且满足， ，则 13 （5 分）已知函数，若存在 x00，使得 f（x0）0，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分） 在A
3、BC 中， 已知 sinAsinBsin （C） sin2C， 其中， 若为定值，则实数 三、解答题（三、解答题（90 分）分） 15 （14 分）已知向量，其中 x（0，） （1）若，求 x 的值； （2）若 tanx2，求|的值 16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 O 为对角线 BD 的中点，点 E，F 分别为棱 PC，PD 的中点，已知 PAAB，PAAD求证： （1）直线 PB平面 OEF； （2）平面 OEF平面 ABCD 17 （14 分）如图，三个校区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现 欲在线段 OQ
4、 上找一处开挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合） ，为小区铺设三条地下电缆管 线 PO，PA，PB，已知 OA2 千米，AOB，记APQrad，地下电缆管线的总 长度为 y 千米 （1）将 y 表示成 的函数，并写出 的范围； 第 3 页（共 18 页） （2）请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：的左顶点为 A，点 B 是椭圆 C 上异于左、右顶点的任一点，P 是 AB 的中点，过点 B 且与 AB 垂直的 直线与直线 OP 交于点 Q，已知椭圆 C 的离心率为，点 A 到右准线的距离为 6 （1）求椭圆 C 的
5、标准方程； （2）设点 Q 的横坐标为 x0，求 x0的取值范围 19 （16 分）设 A，B 为函数 yf（x）图象上相异两点，且点 A，B 的横坐标互为倒数，过 点 A，B 分别做函数 yf（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数 f （x）的“优点” （1）若函数不存在“优点，求实数 a 的值； （2）求函数 f（x）x2的“优点”的横坐标的取值范围； （3）求证：函数 f（x）lnx 的“优点”一定落在第一象限 20（16 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 2a1+a2a3， 且对任意的 nN*， n2 都有 2nSn+1 （2n+5）Sn+Sn1ra1 （1）
6、若 a10，a23a1，求 r 的值； （2）数列an能否是等比数列？说明理由； （3）当 r1 时，求证：数列an是等差数列 第 4 页（共 18 页） 2019 年江苏省泰州市高考数学一模试卷年江苏省泰州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写分不需写出解答过程，请把答案写 在答题纸的指定位置上在答题纸的指定位置上 1 （5 分）函数 f（x）sin2x 的最小正周期为 【分析】利用函数 yAsin（x+）的周期为，得出结论 【解答】解：函数 f
7、（x）sin2x 的最小正周期为， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的周期性，利用了函数 yAsin（x+） 的周期为，属于基础题 2 （5 分）已知集合 A4，a2，B1，16，若 AB，则 a 4 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 A4，a2，B1，16，AB， a216， 解得 a4 故答案为：4 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3 （5 分）复数 z 满足 zi4+3i（i 是虚数单位） ，则|z| 5 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数模的计算公式 求解 【解答】解：
8、由 zi4+3i，得 z， |z| 故答案为：5 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 4 （5 分）函数 y的定义域为 x|1x1 第 5 页（共 18 页） 【分析】令被开方数大于等于 0，解不等式求出定义域 【解答】解：要使函数有意义，需满足 1x20 解得1x1 故答案为x|1x1 【点评】求函数的定义域，也不从开偶次方根的被开方数大于等于 0；分母非 0；对数函 数的真数大于 0 底数大于 0 且不等于 1 等方面限制 5 （5 分）从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为 6 的 概率是 【分析】基本事件总
9、数 n10，这 2 个数的和为 6 包含的基本事件有 2 个，由此能 求出这 2 个数的和为 6 的概率 【解答】解：从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数， 基本事件总数 n10， 这 2 个数的和为 6 包含的基本事件有： （1，5） ， （2，4） ，共 2 个， 则这 2 个数的和为 6 的概率是 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 6 （5 分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 T 的值是 8 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的 S 值 【解答】解：模拟程
10、序的运行，可得 i1，T1 第 6 页（共 18 页） 满足条件 i2，执行循环体，T1212，i2 满足条件 i2，执行循环体，T2228，i3 不满足条件 i2，退出循环，输出 T 的值为 8 故答案为：8 【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属 于基础题 7 （5 分）已知数列an满足 log2an+1log2an1，则 4 【分析】由对数的运算性质结合等比数列的通项公式可得结果 【解答】解：log2an+1log2an1，2， 数列an是公比 q 为 2 的等比数列， q24 故答案为：4 【点评】本题考查等比数列的通项公式及对数的运算性质，考查计
11、算能力，属于基础题 8 （5 分）若抛物线 y22px（p0）的准线与双曲线 x2y21 的一条准线重合，则 p 【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出 p 的值 【解答】解：抛物线 y22px 的准线为：x， 双曲线 x2y21 的左准线为：x， 由题意可知， p 故答案为： 【点评】本题考查抛物线与双曲线的准线方程的求法，考查计算能力 9 （5 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M 为棱 AA1的中点，记三棱锥 A1MBC 的体积为 V1，四棱锥 A1BB1C1C 的体积为 V2，则的值是 第 7 页（共 18 页） 【分析】设出棱柱的棱长，然后
12、求解三棱锥 A1MBC 的体积为 V1，四棱锥 A1BB1C1C 的体积为 V2，推出结果 【解答】解：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M 为棱 AA1的中点，A 到 BC 是距离为： t， 记三棱锥 A1MBC 的体积为 V1tt 四棱锥 A1BB1C1C 的体积为 V2 则 故答案为： 【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，考查计算能力 10 （5 分）已知函数 f（x）2x4+4x2，若 f（a+3）f（a1） ，则实数 a 的取值范围为 （ 1，+） 【分析】根据 f（x）的解析式可看出 f（x）是偶函数，并且在（0，+）上单调递增， 从而由 f（a+3）f（a1）得到 f（|
13、a+3|）f（|a1|） ，从而得出|a+3|a1|，两边平 方即可解出 a 的范围 【解答】解：f（x）2x4+4x2是偶函数，且在（0，+）上单调递增； 由 f（a+3）f（a1）得：f（|a+3|）f（|a1|） ； 第 8 页（共 18 页） |a+3|a1|； （a+3）2（a1）2； 解得 a1； 实数 a 的取值范围为（1，+） 故答案为： （1，+） 【点评】考查函数奇偶性的定义，函数单调性的定义及判断 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1： （xk）2+（y+k4）21 上任一点 P 作 圆 C2：x2+y21 的一条切线，切点为 Q，则当线段 PQ 长最
14、小时，k 2 【分析】 根据题意， 由圆 C1的方程求出圆心的坐标， 分析可得圆心在直线 yx4 上， 结合圆与圆的位置关系分析可得当 C1C2的连线与直线 yx+4 垂直时，线段 PQ 长最 小，据此可得1，解可得 k 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，圆 C1： （xk）2+（y+k4）21 的圆心为（k，4k） ，半径 r 1，则圆心在直线 yx+4 上， 点 P 为圆 C1上任意一点，过点 P 作圆 C2：x2+y21 的一条切线，切点为 Q， 当 C1C2的连线与直线 yx+4 垂直时，线段 PQ 长最小，此时有1， 解可得：k2； 故答案为：2 【点评】本题考查圆与圆以及直线
15、与圆的位置关系，注意分析|PQ|取得最小值的条件 12 （5 分）已知点 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上任一点，且满足， ，则 【分析】 利用向量加减法把所给两个条件中的向量都转化为， 对比可得解 【解答】解：由， 得 ， 即； 由， 得， 第 9 页（共 18 页） 即， ， 即（+1）， ， 由可得， 得， ， 故答案为： 【点评】此题考查了向量加减法，平面向量基本定理，难度适中 13 （5 分）已知函数，若存在 x00，使得 f（x0）0，则实数 a 的取值范围是 1，0） 【分析】分别求得 xa，xa 时 f（x）的导数，求得单调性、极值，讨论 a0，a0， a0，结合函数 f
16、（x）存在负的零点，可得 a 的范围 【解答】解：由 f（x）x3+3x4a 的导数为 f（x）3x2+30， 可得 xa 为增函数，可得 f（x）a3a， 且 xa 时，f（x）x33x4a 的导数为 f（x）3x23， 即有1x1 时，f（x）递减；x1 或 x1 时，f（x）递增， 可得 x1 为极小值2+2a，x1 处取得极大值 2+2a， a0 时，x0 时，f（x）0；x0 时，f（x）在（0，1）递减， （1，+）递增， 无负的零点； 0a1 时，xa 时，f（x）f（a）0，函数 f（x）无负的零点； 当 a1 时，xa 时，f（x）递增，xa，f（x）递增，f（x）也无负的零
17、点； 当 a0 时，由 f（a）0 即 a3a0，解得1a0，可得 f（x）存在负的零点 故答案为：1，0） 第 10 页（共 18 页） 【点评】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用： 求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题 14 （5 分） 在ABC 中， 已知 sinAsinBsin （C） sin2C， 其中， 若为定值，则实数 【分析】由，可求 sin，cos，然后由 sinAsinBsin（C） sin2C，结合两角差的正弦公式可求 sinAsinB，然后进行化简，结 合其特点及为定值可求 【解答】解：由，可得，sin，cos， sinA
18、sinBsin（C）sin2C， sinAsinBsinCsinAsinBcosCsin2C， sinAsinB ， 为定值， 则实数 故答案为： 【点评】本题主要考查了同角基本关系，两角差的正弦公式等公式的综合应用，考查了 学生的逻辑思维与运算能力的综合应用 三、解答题（三、解答题（90 分）分） 15 （14 分）已知向量，其中 x（0，） （1）若，求 x 的值； 第 11 页（共 18 页） （2）若 tanx2，求|的值 【分析】 （1）根据即可得出，从而得出 sin2x1，根据 x（0，） 即可得出 2x（0，2） ，从而得出 2x，从而得出 x 的值； （2）根据 tanx2 可
19、得出 sinx2cosx，可求出，从而 可求出 【解答】解： （1）； sinxcosx，即 sin2x1； x（0，） ； ； （2）tanx2； sinx2cosx； ； 【点评】考查平行向量的坐标关系，已知三角函数值求角，弦化切公式，向量坐标的加 法运算，根据向量坐标求向量长度的方法 16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 O 为对角线 BD 的中点，点 E，F 分别为棱 PC，PD 的中点，已知 PAAB，PAAD求证： （1）直线 PB平面 OEF； （2）平面 OEF平面 ABCD 【分析】 （1）由 O 为 PB 中点，F 为 PD 中
20、点，得 PBFO，由此能证明 PB平面 OEF 第 12 页（共 18 页） （2）连结 AC，推导出 PAOE，由 PAAB，PAAD，得 PA平面 ABCD，从而 OE 平面 ABCD，由此能证明平面 OEF平面 ABCD 【解答】证明： （1）O 为 PB 中点，F 为 PD 中点，PBFO， 而 PB平面 OEF，FO平面 OEF， PB平面 OEF （2）连结 AC，ABCD 为平行四边形， AC 与 BD 交于点 O，O 为 AC 中点，又 E 为 PC 中点， PAOE， PAAB，PAAD，ABADA， PA平面 ABCD， OE平面 ABCD， 又 OE平面 OEF， 平面
21、OEF平面 ABCD 【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 17 （14 分）如图，三个校区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现 欲在线段 OQ 上找一处开挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合） ，为小区铺设三条地下电缆管 线 PO，PA，PB，已知 OA2 千米，AOB，记APQrad，地下电缆管线的总 长度为 y 千米 （1）将 y 表示成 的函数，并写出 的范围； （2）请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小 第 13 页（共 18 页） 【分析
22、】 （1）由题意在AOP 中利用正弦定理求得 PA、OP，把 y 表示为 的函数， 再求出 的取值范围； （2）由（1）构造函数，利用导数 f（）的单调性，求出 f （）的最小值以及对应 的值即可 【解答】解： （1）因为 Q 为弧 AB 的中点，由对称性知 PAPB，AOPBOP， 又APO，OAP， 由正弦定理，得：， 又 OA2， 所以，PA，OP， 所以，yPA+PB+OP2PA+OP， 又APQAOP， 所以，OAQOQA（+）， 所以，（，） ； （2）令，（，） ， 令，得：， 所以，f（）在上单调递减，在（，）上单调递增； 所以，当，即 OP时，f（）有唯一的极小值，即是最小值
23、：f（）min 2， 第 14 页（共 18 页） 答：当工作坑 P 与 O 的距离为时，地下电缆管线的总长度最小 【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数在某一区间上 的最值问题，是中档题 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：的左顶点为 A，点 B 是椭圆 C 上异于左、右顶点的任一点，P 是 AB 的中点，过点 B 且与 AB 垂直的 直线与直线 OP 交于点 Q，已知椭圆 C 的离心率为，点 A 到右准线的距离为 6 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设点 Q 的横坐标为 x0，求 x0的取值范围 【分析】 （1）根据已知条件列有关
24、 a、c 的方程组，解出 a 和 c 的值，进而可得出 b 的值， 从而求出椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 AB 的方程为 xmy2，m0，将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立，求 出点 B 的坐标，进而求出点 P 的坐标，分别写出直线 OP 和直线 BQ 的方程，联立这两 条直线方程，求出 x0的表达式，利用不等式的性质求出 x0的取值范围 【解答】解： （1）依题意，有：，即， 又6，所以，6，解得：a2，c1， b， 所以，椭圆 C 的方程为：； （2）由（1）知，A（2，0） 、设 AB：xmy2，m0， 第 15 页（共 18 页） 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程
25、联立，解得， 即点 B 的坐标为，则， 所以，直线 OP 的斜率为，则直线 OP 的方程为， 直线 BQ 的斜率为 kBQm，所以，直线 BQ 的方程为， 将 直 线OP的 方 程 与 直 线BQ的 方 程 联 立， 得 出 因此，x0的取值范围是（4，8） 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的几何性质，解决本题的关键在于 求出一些关键的点以及直线的方程，考查计算能力，属于中等题 19 （16 分）设 A，B 为函数 yf（x）图象上相异两点，且点 A，B 的横坐标互为倒数，过 点 A，B 分别做函数 yf（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数 f （x）的“优点”
26、 （1）若函数不存在“优点，求实数 a 的值； （2）求函数 f（x）x2的“优点”的横坐标的取值范围； （3）求证：函数 f（x）lnx 的“优点”一定落在第一象限 【分析】 （1）由题意可得 f（x）f（）对 x（0，1）（1，+）恒成立，不妨 取 0x1，求得导数，可得 a 的范围； （2）设 A（t，t2） ，B（，） ， （0t1） ，求得导数和切线方程，求得交点的横坐标， 结合基本不等式可得所求范围； 第 16 页（共 18 页） （3）设 A（t，lnt） ，B（，lnt） ，0t1，求得导数，以及切线方程，求交点，由构 造函数法，即可得到交点的坐标均为正数 【解答】解： （1）
27、若函数不存在“优点， 可得 f（x）f（）对 x（0，1）（1，+）恒成立， 不妨取 0x1，可得 f（x）f（） ， 即 3ax，即有 a（0，） ， 故存在两条切线平行，且 a 的范围是（0，） ； （2）设 A（t，t2） ，B（，） ， （t0） ，f（x）2x， 以 A，B 为切点的切线方程为 y2txt2，yx， 令 2txt2x，可得 x（t+）1 或 x1， 可得“优点”的横坐标的取值范围为（1，+）（，1） ； （3）证明：设 A（t，lnt） ，B（，lnt） ，0t1， 由 f（x），以 A，B 为切点的切线方程为 y+lnt1； ytxlnt1，可令 txlnt1+ln
28、t1， 可得 x0，y（lnt2） ， 设 t2m（0，1） ，可令 h（m）lnm， h（m）0，即 h（m）递增， h（m）h（1）0，即 lnt20， 又0，则 y（lnt2）0， 函数 f（x）lnx 的“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，一定落在第一象限 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查构造函数法，以及转化思 第 17 页（共 18 页） 想和运算能力，属于中档题 20（16 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 2a1+a2a3， 且对任意的 nN*， n2 都有 2nSn+1 （2n+5）Sn+Sn1ra1 （1）若 a10，a23a1，求 r 的值；
29、（2）数列an能否是等比数列？说明理由； （3）当 r1 时，求证：数列an是等差数列 【分析】 （1）在已知数列递推式中，取 n2，可得 4a35a24a1ra1，结合已知 2a1+a2 a3即可求得 r 值； （2）假设数列an是等比数列，公比为 q，求得 q2 或 q1，再由已知可得 2n（q2 q）3q1，不能得到对任意 n3 恒成立，故数列an不可能是等比数列； （3）当 r1 时，令 n2，整理得：4a15a2+4a3ra1，结合已知可得 a23a1，a3 5a1，令 n3，得 a47a1由（2）可知，4Sn2nan+1anra1（n2） ，进一步得到 2nan+1+an1（2n+
30、3）an（n3） ，可得 2（n1）an+an2（2n+1）an1（n4） 得 到 2n（an+1an）（anan1）（anan1）（an1an2） （n4） 从而得到（an an1）（an1an2）0（n4） 即 anan1an1an2（n4） ，由此可得数列 an是以 a1为首项，以 2a1为公差的等差数列 【解答】解： （1）令 n2，得：4S39S2+S1ra1，即：4（a3+a2+a1）9（a2+a1）+a1 ra1， 化简，得：4a35a24a1ra1， 2a1+a2a3，a23a1， 45a153a14a1ra1，解得：r1； （2）假设数列an是等比数列，公比为 q，则，且 a
31、10，解得 q2 或 q1 由 2nSn+1（2n+5）Sn+Sn1ra1，可得 4Sn2nan+1anra1（n2） 4Sn12（n1）anan1ra1， 两式相减得：2nan+1+an1（2n+3）an， 两边同除以 an1，可得 2n（q2q）3q1， q1，q2q0，则上式不可能对任意 n3 恒成立， 故数列an不可能是等比数列； 第 18 页（共 18 页） 证明： （3）当 r1 时，令 n2，整理得：4a15a2+4a3ra1， 又由 2a1+a2a3，可得 a23a1，a35a1， 令 n3，可得 6S411S3+S2a1，解得 a47a1 由（2）可知，4Sn2nan+1anra1（n2） ， 4Sn12（n1）anan1ra1 （n3） ， 两式相减得：2nan+1+an1（2n+3）an（n3） ， 2（n1）an+an2（2n+1）an1（n4） 2n（an+1an）（anan1）（anan1）（an1an2） （n4） （a4a3）（a3a2）0， （anan1）（an1an2）0（n4） 即 anan1an1an2（n4） ， 又a3a2a2a12a1， 数列an是以 a1为首项，以 2a1为公差的等差数列 【点评】本题考查数列递推式，考查等差关系与等比关系的确定，考查逻辑思维能力与 推理运算能力，属难题
