1、2020 年河南省郑州一中中考数学模拟试卷（年河南省郑州一中中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题 1如果 a 的倒数是1则 a2020的值是（ ） A2020 B2020 C1 D1 2为了促进经济社会平衡发展，保障低收入群体生活水平不受疫情影响，郑州市人民政府 计划向社会发放近 4 亿消费券，如今第一期消费券已于 4 月 3 日上午 10 点准时发放，总 额 5000 万元，请将 5000 万用科学记数法表示为（ ） A5103 B5107 C5104 D5108 3如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A B C D 4下列等式一定成立的是（ ） A
2、a2+a3a5 B（a+b）2a2+b2 C（2ab2）36a3b6 D6a5b82a2b63a3b2 5期中考试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小晖说：“我们组考分是 82 分的人最多”，小聪说：“我们组的 7 位同学成绩排在最中间的恰好也是 82 分”上面 两位同学的话能反映出的统计量是（ ） A众数和平均数 B平均数和中位数 C众数和方差 D众数和中位数 6如图所示，已知 ab，将含 30角的三角板如图所示放置，1105，则2 的度数 为（ ） A15 B45 C50 D60 7下列方程中没有实数根的是（ ） Ax22x+10 Bx2x1 C2x2+3x3 Dx210 8对于反
3、比例函数 y，下列说法中不正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而减小 B它的图象在第一、三象限 C点（3，1）在它的图象上 D函数图象关于原点中心对称 9如图所示，在 RtABC 中，C90，按以下步骤作图： 以点 A 为圆心，以小于 AC 的长为半径作弧，分别交 AC、AB 于点 M，N； 分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 O； 作射线 OA，交 BC 于点 E，若 CE6，BE10 则 AB 的长为（ ） A11 B12 C18 D20 10如图甲所示，A，B 是半径为 2 的O 上两点，且 OAOB，点 P 从点 A 出发，在O 以每秒一个单位长度度速度
4、匀速运动，回到点 A 运动结束，设 P 点的运动时间为 x（单 位：s），弦 BP 的长为 y，那么在图乙中可能表示 y 与 x 函数关系的是（ ） A B C或 D或 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11计算： 12不等式组的最小整数解是 13甲箱中装有 3 个篮球，分别标号为 1，2，3；乙箱中装有 2 个篮球分别标号为 1，2， 现分别从每个箱中随机取出 1 个篮球，则取出的两个篮球的标号之和为 3 的概率 是 14如图，在圆心角为 90的扇形 OAB 中，半径 OA2cm，C 为的中点，D、E 分别是 OA、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2 15如图所示，矩形
5、ABCD 中，AB10，BC16，点 E、C 为直线 BC 上两个动点，BE CG， 连接 AE， DC 将ABE 沿 AE 折叠得到AFE， 将DCG 沿 DG 折叠得到DGH， 当点 F 和 H 重合时，CE 的长为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16先化简，再求值：，其中 x2sin60+1 17某品牌牛奶供应商提供 A、B、C、D 四种不同口味的牛奶供学生饮用，学校为了了解 学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果 绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图的信息解决下列问题： （1）本次调查的学生有多少人？ （2）补全上面
6、的条形统计图； （3）扇形统计图中 C 对应的圆心角度数是 ； （4）若该校有 400 名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能 喝到自己喜欢的牛奶， 则该牛奶供应商送往该校的牛奶中， A、 B 口味的牛奶共约多少盒？ 18如图所示，RtABC 中：C90，AB6，在 AB 上取点 O，以 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，与 AC 相切于点 D，并分别与 AB，BC 相交于点 E，F（异于点 B） （1）求证：BD 平分ABC； （2）若点 E 恰好是 AO 的中点，求弧 BF 的长； （3）若 CF 的长为 1，求O 的半径长 19本着“宁可备而不用，不可用而无备”的理
7、念，1 月 26 日郑州市委市政府决定仅用 10 天时间建设成郑州版“小汤山医院”，一大批“通行者”从四面八方紧集驰援，170 余台 机械昼夜不停地忙碌在抗疫一线，如图 1 所示是建筑师傅正在对长方体型集装箱房进行 起吊任务，如图 2 所示，建筑师傅通过操纵机械臂（图中的 OA）来完成起吊，在起吊过 程中始终保持集装箱与地平面平行， 起吊前工人师傅测得PDE45， PED60， OA 长 20 米，DE 长 6 米，EH 长 3 米，O 到地面的距离 OQ 长 2 米，AP 长 4 米，AP OQ，当吊臂 OA 和水平方向的夹角为 53 度时，求集装箱底部距离地面的高度（注： 从起吊前到起吊结
8、束始终保持PDE，PED 的度数不变） （结果精确到 1m，参考数据1.41，1.73，tan53，sin53，cos53 ） 20在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式一利用函数图象研究其性质一运用函数解 决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数 图象，同时我们也学习了绝对值的意义|a|，结合上面经历的学习过程，现在 来解决下面的问题：在函数 y|kx1|+b，当 x1 时，y2；当 x0 时，y1 （1）求这个函数的表达式； （2）请你结合以下表格在坐标系中画出该函数的图象 x 6 4 2 1 0 1 2 4 6 y 5 3 1 0 1 2 1 1 3
9、 （3）观察这个函效图象，请写出该函数的两条性质； （4）已知函数 y（x0）的图象如图所示，请结合图象写出|kx1|b（x 0）的解集 21某商场销售 10 台 A 型和 20 台 B 型加湿器的利润为 2500 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型加湿器的利润为 2000 元 （1）求每台 A 型加湿器和 B 型加湿器的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的加湿器共 100 台，其中 B 型加湿器的进货量不超过 A 型加湿器的 2 倍，设购进 A 型加湿器 x 台，这 100 台加湿器的销售总利润为 y 元 求 y 关于 x 的函数关系式； 该商店应怎样进货才能使销售总利
10、润最大？ （3）实际进货时，厂家对 A 型加湿器出厂价下调 m（0m100）元，且限定商店最多 购进 A 型加湿器 70 台，若商店保持同种加湿器的售价不变，请你根据以上信息及（2） 中条件，设计出使这 100 台加湿器销售总利润最大的进货方案 22如图 1 所示在矩形 ABCD 中，AB6，AD3，点 E、F 分别是边 DC、DA 的三等分点 （DEEC，DFAF），四边形 DFGE 为矩形，连接 BG （1）问题发现：在图（1）中， ； （2）拓展探究：将图（1）中的矩形 DFGE 绕点 D 旋转一周，在旋转过程中的大小 有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明； （3）问题解决：当矩形 D
11、FGE 旋转至 B、G、E 三点共线时，请直接写出线段 CE 的长 23如图 1 所示，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知 C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点 P 是第四象限内抛物线上的动点， 四边形 OPAQ 是平行四边形，设点 P 的横坐标为 m （1）求抛物线的解析式； （2）求使APC 的面积为整数的 P 点的个数； （3）当点 P 在抛物线上运动时，四边形 OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点 P 的坐标，若不可能，请说明理由； （4）在点 Q 随点 P 运动的过程中，当点 Q 恰好落在直线 AC 上时，则称点 Q 为“和谐 点”，如
12、图（2）所示，请直接写出当 Q 为“和谐点”的横坐标的值 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1如果 a 的倒数是1则 a2020的值是（ ） A2020 B2020 C1 D1 【分析】根据有理数的乘方，倒数的定义解答即可 解：因为 a 的倒数是1， 所以 a1 所以 a2020（1）20201 故选：C 2为了促进经济社会平衡发展，保障低收入群体生活水平不受疫情影响，郑州市人民政府 计划向社会发放近 4 亿消费券，如今第一期消费券已于 4 月 3 日上午 10 点准时发放，总 额 5000 万元，请将 5000 万用科学记数法表示为（ ） A5103 B
13、5107 C5104 D5108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：5000 万500000005107 故选：B 3如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中 解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 故选：C 4下列等式一定成立的是（ ） A
14、a2+a3a5 B（a+b）2a2+b2 C（2ab2）36a3b6 D6a5b82a2b63a3b2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式a2+2ab+b2，不符合题意； C、原式8a3b6，不符合题意； D、原式3a3b2，符合题意 故选：D 5期中考试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小晖说：“我们组考分是 82 分的人最多”，小聪说：“我们组的 7 位同学成绩排在最中间的恰好也是 82 分”上面 两位同学的话能反映出的统计量是（ ） A众数和平均数 B平均数和中位数 C众数和方差 D众数和中位数 【分析】根据中位数和众数的定义回答
15、即可 解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数， 故选：D 6如图所示，已知 ab，将含 30角的三角板如图所示放置，1105，则2 的度数 为（ ） A15 B45 C50 D60 【分析】由直线 ab，利用“两直线平行，同位角相等”可得出3 的度数，再利用三 角形外角的性质，即可求出2 的度数 解：直线 ab， 31105 又32+4， 2341056045 故选：B 7下列方程中没有实数根的是（ ） Ax22x+10 Bx2x1 C2x2+3x3 Dx210 【分析】根据根的判别式即可求出答案 解：（A）440，故 A 有两个相等的实数根 （B）原方程化
16、为：x2x+10， 1430， 故 B 没有实数根 （C）原方程化为：2x2+3x30， 9+243230，故 C 有两个不相等的实数根 （D）由题意可知：041（1）40， 故 D 有两个不相等的实数根 故选：B 8对于反比例函数 y，下列说法中不正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而减小 B它的图象在第一、三象限 C点（3，1）在它的图象上 D函数图象关于原点中心对称 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是 否正确，本题得以解决 解：反比例函数 y， 该函数图象在第一、三象限，故选项 B 正确； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，故选项 A 错误
17、； 当 x3 时，y1，即点（3，1）在它的图象上，故选项 C 正确； 函数图象关于原点中心对称，故选项 D 正确； 故选：A 9如图所示，在 RtABC 中，C90，按以下步骤作图： 以点 A 为圆心，以小于 AC 的长为半径作弧，分别交 AC、AB 于点 M，N； 分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 O； 作射线 OA，交 BC 于点 E，若 CE6，BE10 则 AB 的长为（ ） A11 B12 C18 D20 【分析】过点 E 作 DEAB 于点 D，由作图知 AP 平分BAC，根据角平分线的性质得到 CEDE6，根据勾股定理得到 BD8，根据全等三角
18、形的性质得到 ACAD，设 AC ADx，根据勾股定理即可得到结论 解：过点 E 作 DEAB 于点 D， 由作图知 AP 平分BAC， CADE90， CEDE6， BE10， BD8， ADAD，CEDE， RtACERtADE（HL）， ACAD， 设 ACADx， 由 AC2+BC2AB2得 x2+162（x+8）2， 解得：x6，即 AC12， AB20， 故选：D 10如图甲所示，A，B 是半径为 2 的O 上两点，且 OAOB，点 P 从点 A 出发，在O 以每秒一个单位长度度速度匀速运动，回到点 A 运动结束，设 P 点的运动时间为 x（单 位：s），弦 BP 的长为 y，那么
19、在图乙中可能表示 y 与 x 函数关系的是（ ） A B C或 D或 【分析】分两种情形讨论当点 P 顺时针旋转时，图象是，当点 P 逆时针旋转时，图象 是，由此即可解决问题 解：当点 P 顺时针旋转时，图象是， 当点 P 逆时针旋转时，图象是， 故正确， 故选：D 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11计算： 3 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案 解：原式1+2 3 故答案为：3 12不等式组的最小整数解是 0 【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解 集，从而得出答案 解：解不等式 x+10，得：x1， 解不
20、等式 1x0，得：x2， 则不等式组的解集为1x2， 所以不等式组的最小整数解为 0， 故答案为：0 13甲箱中装有 3 个篮球，分别标号为 1，2，3；乙箱中装有 2 个篮球分别标号为 1，2， 现分别从每个箱中随机取出 1 个篮球， 则取出的两个篮球的标号之和为 3 的概率是 【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解 解：画树状图如下： 共有 6 种情况，和是 3 的有 2 种情况， 所以取出的两个篮球的标号之和为 3 的概率是， 故答案为： 14如图，在圆心角为 90的扇形 OAB 中，半径 OA2cm，C 为的中点，D、E 分别是 OA、OB 的中点，则图中阴影部分的面
21、积为 （+） cm2 【分析】连结 OC，过 C 点作 CFOA 于 F，先根据空白图形 ACD 的面积扇形 OAC 的面积三角形 OCD 的面积，求得空白图形 ACD 的面积，再根据三角形面积公式得到 三角形 ODE 的面积， 再根据图中阴影部分的面积扇形 OAB 的面积空白图形 ACD 的 面积三角形 ODE 的面积，列式计算即可求解 解：连结 OC，过 C 点作 CFOA 于 F， 半径 OA2cm，C 为的中点，D、E 分别是 OA、OB 的中点， ODOE1cm，OC2cm，AOC45， CF， 空白图形 ACD 的面积扇形 OAC 的面积三角形 OCD 的面积 （cm2） 三角形
22、ODE 的面积ODOE（cm2）， 图中阴影部分的面积扇形OAB的面积空白图形 ACD 的面积三角形ODE的面积 （） +（cm2） 故图中阴影部分的面积为（+）cm2 故答案为：（+） 15如图所示，矩形 ABCD 中，AB10，BC16，点 E、C 为直线 BC 上两个动点，BE CG， 连接 AE， DC 将ABE 沿 AE 折叠得到AFE， 将DCG 沿 DG 折叠得到DGH， 当点 F 和 H 重合时，CE 的长为 4 或 11 【分析】分两种情况讨论，过 F 点作 FPBC，延长 PF 交 AD 于 K，由矩形的性质可得 ABPK10，AKP90，AKBP，由折叠的性质可得 AFA
23、B10，DFCD，CG FG，EFBE，由勾股定理可求 FK，BE 的长，即可求解； 解：如图，过 F 点作 FPBC，延长 PF 交 AD 于 K， DABABC90， 四边形 ABPK 是矩形， ABPK10，AKP90，AKBP， 将ABE 沿 AE 折叠得到AFE，将DCG 沿 DG 折叠得到DGH， ABEAFE，CDGFDG， AFAB10，DFCD，CGFG，EFBE， AKDK8，EPPG， KF6， PF4， BPAK8， EP8BE， EF2PF2+EP2， BE216+（8BE）2， BE5， CEBCBE11， 如图 1 中，当点 F 与 H 重合在 AD 的上方时，
24、同理可求 CE4， 综上所述，满足条件的 CE 的值为 4 或 11 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16先化简，再求值：，其中 x2sin60+1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 解：原式 ， 当 x2+1+1 时，原式 17某品牌牛奶供应商提供 A、B、C、D 四种不同口味的牛奶供学生饮用，学校为了了解 学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果 绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图的信息解决下列问题： （1）本次调查的学生有多
25、少人？ （2）补全上面的条形统计图； （3）扇形统计图中 C 对应的圆心角度数是 144 ； （4）若该校有 400 名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能 喝到自己喜欢的牛奶， 则该牛奶供应商送往该校的牛奶中， A、 B 口味的牛奶共约多少盒？ 【分析】（1）利用 A 类别人数及其百分比可得总人数； （2）总人数减去 A、B、D 类别人数，求得 C 的人数，即可补全统计图； （3）用 360乘以 C 类别人数所占比即可得出答案； （4）总人数乘以样本中 A、B 人数占总人数的比例即可 解：（1）本次调查的学生有：3020%150（人）； （2）C 类别人数为：150（3
26、0+45+15）60（人），补全条形图如下： （3）扇形统计图中 C 对应的圆心角度数是 360144 故答案为：144 （4）根据题意得：400200（人）， 答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B 口味的牛奶共约 200 盒 18如图所示，RtABC 中：C90，AB6，在 AB 上取点 O，以 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，与 AC 相切于点 D，并分别与 AB，BC 相交于点 E，F（异于点 B） （1）求证：BD 平分ABC； （2）若点 E 恰好是 AO 的中点，求弧 BF 的长； （3）若 CF 的长为 1，求O 的半径长 【分析】（1）连接 OD，证明 ODBC 可得结论
27、 （2）证明ODE，OBF 是等边三角形即可解决问题 （3）如图 3，过 O 作 OMBC 于 M，则 BMFM，四边形 CDOM 是矩形，设圆的半径 为 r，则 OA6rBMFMr1，证明ADOOMB，由比例线段可得出 r 的方 程，解方程即可得出答案； 【解答】（1）证明：如图 1 中，连接 OD AC 是O 的切线， ODAC， ADO90， C90， ADOC， ODBC， ODBDBC， ODOB， ODBOBD， OBDDBC， BD 平分ABC （2）解：如图 1 中，连接 DE，OF AEOEOB，AB6， AEOEOB2， ADO90， DEOA2， DEOEOF2， ODE
28、 是等边三角形， DOE60， ODBC， AODOBF60， OFOB， OFB 是等边三角形， FOB60， 的长 （3）如图 2 中，连结 OD，过 O 作 OMBC 于 M， 则 BMFM，四边形 CDOM 是矩形 设圆的半径为 r，则 OA6rBMFMr1， DOBC， AODOBM， 而ADO90OMB， ADOOMB， ， ， 解之得 r或（舍弃）， O 的半径为 19本着“宁可备而不用，不可用而无备”的理念，1 月 26 日郑州市委市政府决定仅用 10 天时间建设成郑州版“小汤山医院”，一大批“通行者”从四面八方紧集驰援，170 余台 机械昼夜不停地忙碌在抗疫一线，如图 1 所
29、示是建筑师傅正在对长方体型集装箱房进行 起吊任务，如图 2 所示，建筑师傅通过操纵机械臂（图中的 OA）来完成起吊，在起吊过 程中始终保持集装箱与地平面平行， 起吊前工人师傅测得PDE45， PED60， OA 长 20 米，DE 长 6 米，EH 长 3 米，O 到地面的距离 OQ 长 2 米，AP 长 4 米，AP OQ，当吊臂 OA 和水平方向的夹角为 53 度时，求集装箱底部距离地面的高度（注： 从起吊前到起吊结束始终保持PDE，PED 的度数不变） （结果精确到 1m，参考数据1.41，1.73，tan53，sin53，cos53 ） 【分析】延长 AP 交 DE 于 Q，交 FH
30、于 N，交地平面于 S，则 ASDE，设 PQx，根据 三角函数的定义得到 DQPQx，EQx，求得 AN4+4+311，过 O 作 OMAS 于 M，则 SMOQ2，解直角三角形即可得到结论 解：延长 AP 交 DE 于 Q，交 FH 于 N，交地平面于 S， 则 ASDE， PQDPQE90， 设 PQx， PDQ45，PEQ60， DQPQx，EQx， x+x6， x4， PQ3.8， AN4+4+311， 过 O 作 OMAS 于 M， 则 SMOQ2， AOM53，OA20， AMOA sin532016， MNAMAN5， NS5+27， 答：集装箱底部距离地面的高度为 7 米 2
31、0在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式一利用函数图象研究其性质一运用函数解 决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数 图象，同时我们也学习了绝对值的意义|a|，结合上面经历的学习过程，现在 来解决下面的问题：在函数 y|kx1|+b，当 x1 时，y2；当 x0 时，y1 （1）求这个函数的表达式； （2）请你结合以下表格在坐标系中画出该函数的图象 x 6 4 2 1 0 1 2 4 6 y 5 3 1 0 1 2 1 1 3 （3）观察这个函效图象，请写出该函数的两条性质； （4）已知函数 y（x0）的图象如图所示，请结合图象写出|kx1|b（x 0）
32、的解集 【分析】（1）根据在函数 y|kx1|+b 中，当 x1 时，y2；当 x0 时，y1， 可以求得该函数的表达式； （2）根据表格中的数据，描点、连线，可以画出该函数的图象； （3）根据图象得出函数的性质即可； （4）根据图象可以直接写出所求不等式的解集 解：（1）在函数 y|kx1|+b 中，当 x1 时，y2；当 x0 时，y1， ，得 ， 这个函数的表达式是 y|x1|2； （2）描点、连线，画出该函数的图象如图所示： （3）观察这个函效图象，得出函数的性质： 函数关于直线 x1 对称； 函数有最小值2； （4）由函数图象可得， |kx1|b（x0）的解集是 1x2 21某商场销
33、售 10 台 A 型和 20 台 B 型加湿器的利润为 2500 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型加湿器的利润为 2000 元 （1）求每台 A 型加湿器和 B 型加湿器的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的加湿器共 100 台，其中 B 型加湿器的进货量不超过 A 型加湿器的 2 倍，设购进 A 型加湿器 x 台，这 100 台加湿器的销售总利润为 y 元 求 y 关于 x 的函数关系式； 该商店应怎样进货才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 A 型加湿器出厂价下调 m（0m100）元，且限定商店最多 购进 A 型加湿器 70 台，若商店保持同种加湿器的售
34、价不变，请你根据以上信息及（2） 中条件，设计出使这 100 台加湿器销售总利润最大的进货方案 【分析】（1）设每台 A 型加湿器销售利润为 a 元，每台 B 型加湿器的销售利润为 b 元； 根据题意列出方程组求解； （2）据题意得，y50x+10000； 根据题意列不等式求出 x 的范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意得出 y 与 x 函数数关系式，分三种情况讨论，当 0m50 时，y 随 x 的增大而减小，m50 时，m500，y10000，当 50m100 时，m500， y 随 x 的增大而增大，分别进行求解 解：（1）设每台 A 型加湿器销售利润为 a 元，每台 B
35、型加湿器的销售利润为 b 元；根据 题意得： ，解得， 答：每台 A 型加湿器销售利润为 50 元，每台 B 型加湿器的销售利润为 100 元； （2）据题意得，y50x+100（100x），即 y50x+10000， 据题意得，100x2x，解得， y50x+10000，500， y 随 x 的增大而减小， x 为正整数， 当 x34 时，y 取最大值，则 100x66， 即商店购进 34 台 A 型加湿器和 66 台 B 型加湿器的销售利润最大 （3）据题意得，y（50+m）x+100（100x），即 y（m50）x+10000， ， 当 0m50 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x3
36、4 时，y 取最大值， 即商店购进 34 台 A 型加湿器和 66 台 B 型加湿器的销售利润最大 m50 时，m500，y10000， 即商店购进 A 型加湿器数量满足的整数时，均获得最大利润； 当 50m100 时，m500，y 随 x 的增大而增大， 当 x70 时，y 取得最大值 即商店购进 70 台 A 型加湿器和 30 台 B 型加湿器的销售利润最大 22如图 1 所示在矩形 ABCD 中，AB6，AD3，点 E、F 分别是边 DC、DA 的三等分点 （DEEC，DFAF），四边形 DFGE 为矩形，连接 BG （1）问题发现：在图（1）中， ； （2）拓展探究：将图（1）中的矩形
37、 DFGE 绕点 D 旋转一周，在旋转过程中的大小 有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明； （3）问题解决：当矩形 DFGE 旋转至 B、G、E 三点共线时，请直接写出线段 CE 的长 【分析】（1）如图 1 中，延长 FG 交 BC 于 H在解直角三角形求出 EC，BG 即可解决 问题 （2）结论：的大小不变如图 2 中，连接 BD，DG证明CDE BDG，可得 （3）分两种情形：如图 31 中，当点 G 落在 BG 上时，利用勾股定理以及（2）中 结论即可解决问题如图 32 中，当点 G 落在 BE 上时，同法可得 EC 的长 解：（1）如图 1 中，延长 FG 交 BC 于 H 四边形
38、 ABCD，四边形 DEGF 都是矩形， DEFGAB2，DFEGAD1，CCEGEGH90， 四边形 ECHG 是矩形， ECGH4，EGCH1，BHBCCH312， BG2， ， 故答案为 （2）结论：的大小不变 理由：如图 2 中，连接 BD，DG 2， ， DCBDEG90， CDBEDG， CDEBDG， CDEBDG， （3）如图 31 中，当点 G 落在 BG 上时， 在 RtDEB 中，DE2BD3， BE， BGEG+BE1+， CEBG+ 如图 32 中，当点 G 落在 BE 上时，同法可得 EC 综上所述，满足条件的 EC 的值为 23如图 1 所示，抛物线与 x 轴交于
39、 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知 C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点 P 是第四象限内抛物线上的动点， 四边形 OPAQ 是平行四边形，设点 P 的横坐标为 m （1）求抛物线的解析式； （2）求使APC 的面积为整数的 P 点的个数； （3）当点 P 在抛物线上运动时，四边形 OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点 P 的坐标，若不可能，请说明理由； （4）在点 Q 随点 P 运动的过程中，当点 Q 恰好落在直线 AC 上时，则称点 Q 为“和谐 点”，如图（2）所示，请直接写出当 Q 为“和谐点”的横坐标的值 【分析】 （1）抛物线与 y 轴交于点 C，顶点的
40、横坐标为，则，即可求解； （2）APC 的面积 SSPHA+SPHCPHOA6（x+4x2+x4） 2x2+12（1x6），即可求解； （3）四边形 OPAQ 可能是正方形，此时 OAP 为等腰直角三角形，设点 P（x，y），则 x+y0，即可求解； （4）求出直线 AP 的表达式为：y （m1） （x6），则直线 OQ 的表达式为：y （m1）x，联立求出 Q 的坐标，又四边形 OPAQ 是平行四边形，则 AO 的中点 即为 PQ 的中点，即可求解 解： （1） 抛物线与 y 轴交于点 C， 顶点的横坐标为， 则， 解得， 故抛物线的抛物线为：yx2x+4； （2）对于 yx2x+4，令 y
41、0，则 x1 或 6，故点 B、A 的坐标分别为（1，0）、 （6，0）； 如图，过点 P 作 PHy 轴交 AC 于点 H， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx+4， 设点 P（x，x2x+4），则点 H（x，x+4）， APC 的面积 SSPHA+SPHCPHOA6（x+4x2+ x4） 2x2+12（1x6）， 当 x1 时，S10，当 x6 时，S0， 故使APC 的面积为整数的 P 点的个数为 9 个； （3）四边形 OPAQ 可能是正方形，此时 OAP 为等腰直角三角形，设点 P（x，y），则 x+y0， 即 yx2x+4x，解得：x或 4， 故点 P 的坐标为（，）或（4，4）； （4）设点 P（m，m2m+4），为点 A（6，0）， 设直线 AP 的表达式为：ykx+t， 同理可得，直线 AP 的表达式为：y（m1）（x6）， APOQ，则 AP 和 OQ 表达式中的 k 值相同， 故直线 OQ 的表达式为：y（m1）x， 联立并解得：x，则点 Q（，4）， 四边形 OPAQ 是平行四边形，则 AO 的中点即为 PQ 的中点， 则 m+6，解得：m3 ， 则3， 故 Q 的横坐标的值为 3
