1、2020 年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12020 的倒数是（ ） A2020 B2020 C D 2 在下列 “禁毒” 、 “和平” 、 “志愿者” 、 “节水” 这四个标志中， 属于轴对称图形的是 （ ） A B C D 3永州 70 年的发展历程，是一幅波澜壮阔的历史画卷保持了经济社会稳中有进，进中向 好的发展态势， 城乡居民人均可支配收入持续增长 截至 2019 年底， 全市人口 56 万人， 把 56 万这个数用科学记数法表示为（ ） A0.56106 B5.6104 C5.6105 D5.61
2、06 4如图，由 5 个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 5下列运算正确的是（ ） Aa2+a22a4 Ba6a2a3 C （a3）2a6 D （ab）2ab2 6在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为 7，5，3，5，10，则关于这组 数据的说法不正确的是（ ） A众数是 5 B中位数是 5 C平均数是 6 D方差是 3.6 7下列命题中，真命题是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线互相平分的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，
3、若ADE 的面积为 4，则ABC 的面积为（ ） A8 B12 C14 D16 9 已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示， 则一次函数ybx+a与反比例函数y 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 10已知：x表示不超过 x 的最大整数例：3.93，1.82令关于 k 的函数 f（k） （k 是正整数） 例： f （3） 1 则下列结论错误的是 （ ） Af（1）0 Bf（k+4）f（k） Cf（k+1）f（k） Df（k）0 或 1 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11分解因式：m23m 12若分式的值为 0，则 x 的值为 13如图，把一块三角板的直
4、角顶点放在一直尺的一边上，若150，则2 的度数 为 14不等式组的解集为 15一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红球每次摇匀 后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球 的频率稳定于 0.4，由此可估计袋中约有红球 个 16已知圆锥的底面圆半径为 3cm、高为 4cm，则圆锥的侧面积是 cm2 17如图，O 是ABC 的外接圆，A45，BC4，则O 的直径为 18在平面直角坐标系中， 如果点 P 坐标为（m，n） ， 向量可以用点 P 的坐标表示为 （m，n） ，已知： （x1，y1） ，（x2，y2） ，如果 x1x2+y
5、1y20，那么 与互相垂直，下列四 组向量： （2，1） ，（1，2） ； （cos30，tan45） ，（1，sin60） ； （ ，2） ，（ +，） ； （0，2） ，（2，1） 其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的符号） 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算：2 2+ 3tan30+| 20先化简、再求值：，其中 21某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A 篮球、B 乒乓球、C 跳 绳、D 踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并 将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人；
6、（2）请你将条形统计图补充完成； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学 中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解 答） 22如图，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AD 的中点，求证：ABFCDE 23如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A 处观察灯塔 P 在北 偏东 60方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察灯塔 P 恰好在北偏 东 45方向如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由 （参考数 据：1.73） 24如图，AB 为O
7、的直径，C 为O 上一点，ABC 的平分线交O 于点 D，DEBC 于点 E （1）试判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，若 BE3，DF3，求图中阴影部分的面积 25如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中 A（1，0） ，C（0，3） （1）若直线 ymx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2） 在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和 最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 P
8、为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 26如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GF CD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图（2）所示，试探究 线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG 交 AD 于点 H若 AG6，GH2，则 BC 20
9、20 年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12020 的倒数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】根据倒数之积等于 1 可得答案 【解答】解：2020 的倒数是， 故选：C 2 在下列 “禁毒” 、 “和平” 、 “志愿者” 、 “节水” 这四个标志中， 属于轴对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对
10、称图形，故选项错误 故选：B 3永州 70 年的发展历程，是一幅波澜壮阔的历史画卷保持了经济社会稳中有进，进中向 好的发展态势， 城乡居民人均可支配收入持续增长 截至 2019 年底， 全市人口 56 万人， 把 56 万这个数用科学记数法表示为（ ） A0.56106 B5.6104 C5.6105 D5.6106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：56 万5600005.
11、6105 故选：C 4如图，由 5 个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可 【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是 B 中的图形， 故选：B 5下列运算正确的是（ ） Aa2+a22a4 Ba6a2a3 C （a3）2a6 D （ab）2ab2 【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母 的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘 方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、a2+a22a2，故 A 错误；
12、 B、a6a2a4，故 B 错误； C、 （a3）2a6，故 C 正确； D、 （ab）2a2b2，故 D 错误 故选：C 6在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为 7，5，3，5，10，则关于这组 数据的说法不正确的是（ ） A众数是 5 B中位数是 5 C平均数是 6 D方差是 3.6 【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可 【解答】解：A、数据中 5 出现 2 次，所以众数为 5，此选项正确； B、数据重新排列为 3、5、5、7、10，则中位数为 5，此选项正确； C、平均数为（7+5+3+5+10）56，此选项正确； D、方差为（76）2+（56）
13、22+（36）2+（106）25.6，此选项错误； 故选：D 7下列命题中，真命题是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线互相平分的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【分析】A、根据矩形的定义作出判断； B、根据菱形的性质作出判断； C、根据平行四边形的判定定理作出判断； D、根据正方形的判定定理作出判断 【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故
14、本选项错误； 故选：C 8如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的面积为 4，则ABC 的面积为（ ） A8 B12 C14 D16 【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DEBC，DEBC，再利用相似三角形的判 定与性质得出答案 【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， DEBC，DEBC， ADEABC， ， ， ADE 的面积为 4， ABC 的面积为：16， 故选：D 9 已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示， 则一次函数ybx+a与反比例函数y 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 【分析】直接利用
15、二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的取值范围，进而利用一次函 数与反比例函数的性质得出答案 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上， a0， 该抛物线对称轴位于 y 轴的右侧， a、b 异号，即 b0 当 x1 时，y0， a+b+c0 一次函数 ybx+a 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数 y的图象分布在第二、四象限， 故选：B 10已知：x表示不超过 x 的最大整数例：3.93，1.82令关于 k 的函数 f（k） （k 是正整数） 例： f （3） 1 则下列结论错误的是 （ ） Af（1）0 Bf（k+4）f（k） Cf（k+1）f（k） Df（k）0
16、或 1 【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：f（1）000，故选项 A 正确； f（k+4）+1+1f（k） ，故选项 B 正确； C、当 k3 时，f（3+1）110，而 f（3）1，故选项 C 错误； D、当 k3+4n（n 为自然数）时，f（k）1，当 k 为其它的正整数时，f（k）0，所以 D 选项的结论正确； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11分解因式：m23m m（m3） 【分析】首先确定公因式 m，直接提取公因式 m 分解因式 【解答】解：m23mm（m3） 故答案为：m（m3） 12若分式的值为 0，则 x 的值为 3
17、 【分析】分式的值为 0 的条件是： （1）分子0； （2）分母0两个条件需同时具备， 缺一不可据此可以解答本题 【解答】解：因为分式的值为 0，所以0， 化简得 x290，即 x29 解得 x3 因为 x30，即 x3 所以 x3 故答案为3 13如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若150，则2 的度数为 40 【分析】利用平行线的性质求出3 即可解决问题 【解答】解： 1350，2+390， 290340， 故答案为：40 14不等式组的解集为 3x 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可 【解答】解：解不等式 3x+15x，得：x， 解不等式2，得
18、：x3， 则不等式组的解集为3x， 故答案为：3x 15一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红球每次摇匀 后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球 的频率稳定于 0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个 【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总 的球数，从而可以得到红球的个数 【解答】解：由题意可得， 摸到黑球和白球的频率之和为：10.40.6， 总的球数为： （8+4）0.620， 红球有：20（8+4）8（个） ， 故答案为：8 16已知圆锥的底面圆半径为 3cm、高为 4cm，则圆锥的侧
19、面积是 15 cm2 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长5（cm） ，然后利用圆锥的侧面展开图为 一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的 面积公式计算圆锥的侧面积 【解答】解：圆锥的母线长5（cm） ， 所以圆锥的侧面积23515（cm2） 故答案为 15 17如图，O 是ABC 的外接圆，A45，BC4，则O 的直径为 4 【分析】 连接 OB， OC， 依据BOC 是等腰直角三角形， 即可得到 BOCOBCcos45 2，进而得出O 的直径为 4 【解答】解：如图，连接 OB，OC， A45， BOC90， BOC 是等腰直角三角形， 又BC4，
20、 BOCOBCcos452， O 的直径为 4， 故答案为：4 18在平面直角坐标系中， 如果点 P 坐标为（m，n） ， 向量可以用点 P 的坐标表示为 （m，n） ，已知： （x1，y1） ，（x2，y2） ，如果 x1x2+y1y20，那么 与互相垂直，下列四 组向量： （2，1） ，（1，2） ； （cos30，tan45） ，（1，sin60） ； （ ，2） ，（ +，） ； （0，2） ，（2，1） 其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的符号） 【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可； 【解答】解：2（1）+120， 与垂直 cos30 （1）+tan45sin60+0，
21、 与垂直 （） （+）+（2）0， 与垂直 02+2（1）0， 与垂直 故答案为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算：2 2+ 3tan30+| 【分析】先计算负整数指数幂、立方根，代入三角函数值、计算绝对值，再计算乘法， 最后计算加减可得 【解答】解：原式+23+ +2+ 20先化简、再求值：，其中 【分析】将括号里通分，除法化为乘法，因式分解，约分，再代值计算 【解答】解：原式x1， 当 x+1 时，原式+11 21某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A 篮球、B 乒乓球、C 跳 绳、D 踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查
22、，并 将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 200 人； （2）请你将条形统计图补充完成； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学 中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解 答） 【分析】 （1）由题意可知这次被调查的学生共有 20200（人） ； （2） 首先求得 C 项目对应人数为： 20020804060 （人） ， 继而可补全条形统计图； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙 两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解
23、答】解： （1）根据题意得：这次被调查的学生共有 20200（人） 故答案为：200； （2）C 项目对应人数为：20020804060（人） ； 补充如图 （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 一 （乙， 甲） （丙， 甲） （丁， 甲） 乙 （甲， 乙） 一 （丙， 乙） （丁， 乙） 丙 （甲， 丙） （乙， 丙） 一 （丁， 丙） 丁 （甲， 丁） （乙， 丁） （丙， 丁） 一 共有 12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种， P（选中甲、乙） 22如图，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AD 的中点，求证：ABFCDE 【分析】根据平行四边形的性质以
24、及全等三角形的性质即可求出答案 【解答】解：在ABCD 中， ADBC，AC， E、F 分别是边 BC、AD 的中点， AFCE， 在ABF 与CDE 中， ABFCDE（SAS） ABFCDE 23如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A 处观察灯塔 P 在北 偏东 60方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察灯塔 P 恰好在北偏 东 45方向如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由 （参考数 据：1.73） 【分析】作 PCAB 于 C，如图，PAC30，PBC45，AB8，设 BCx，先 判断PBC 为等腰直角三角形得到
25、BCPCx，再在 RtPAC 中利用正切的定义得到 8+x，解得 x4（+1）10.92，即 PC10.92，然后比较 AC 与 10 的大小即可 判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险 【解答】解：没有触礁的危险理由如下： 作 PCAB 于 C，如图，PAC30，PBC45，AB8， 设 BCx， 在 RtPBC 中，PBC45， PBC 为等腰直角三角形， BCPCx， 在 RtPAC 中，tanPAC， AC，即 8+x，解得 x4（+1）10.92， 即 PC10.92， 10.9210， 海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险 24如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，A
26、BC 的平分线交O 于点 D，DEBC 于点 E （1）试判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，若 BE3，DF3，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出DEBEDO 90，进而得出答案； （2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案 【解答】解： （1）DE 与O 相切， 理由：连接 DO， DOBO， ODBOBD， ABC 的平分线交O 于点 D， EBDDBO， EBDBDO， DOBE， DEBC， DEBEDO90， DE 与O 相切； （2）ABC 的平分线交O 于点 D，DEBE
27、，DFAB， DEDF3， BE3， BD6， sinDBF， DBA30， DOF60， sin60， DO2， 则 FO， 故图中阴影部分的面积为：32 25如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中 A（1，0） ，C（0，3） （1）若直线 ymx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2） 在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和 最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求使BPC 为直
28、角三角形的点 P 的坐标 【分析】 （1）先把点 A，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到 a 和 b，c 的关系式，再根 据抛物线的对称轴方程可得 a 和 b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a，b，c 的值即可得到抛物线解析式；把 B、C 两点的坐标代入直线 ymx+n，解方程组求出 m 和 n 的值即可得到直线解析式； （2）设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小把 x1 代 入直线 yx+3 得 y 的值，即可求出点 M 坐标； （3）设 P（1，t） ，又因为 B（3，0） ，C（0，3） ，所以可得 BC218，PB2（1+3） 2+t24
29、+t2，PC2（1）2+（t3）2t26t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意 t 值即可求出点 P 的坐标 【解答】解： （1）依题意得：， 解之得：， 抛物线解析式为 yx22x+3 对称轴为 x1，且抛物线经过 A（1，0） ， 把 B（3，0） 、C（0，3）分别代入直线 ymx+n， 得， 解之得：， 直线 ymx+n 的解析式为 yx+3； （2）设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小 把 x1 代入直线 yx+3 得，y2， M（1，2） ， 即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（1，2） ； （3）设 P（
30、1，t） ， 又B（3，0） ，C（0，3） ， BC218，PB2（1+3）2+t24+t2，PC2（1）2+（t3）2t26t+10， 若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2PC2即：18+4+t2t26t+10 解之得：t2； 若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2PB2即：18+t26t+104+t2解之得：t4， 若点 P 为直角顶点， 则 PB2+PC2BC2即： 4+t2+t26t+1018 解之得： t1， t2； 综上所述 P 的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，） 或（1，） 26如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E
31、，GF CD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图（2）所示，试探究 线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG 交 AD 于点 H若 AG6，GH2，则 BC 3 【分析】 （1）由 GEBC、GFCD 结合BCD90可得四边形 CEGF 是矩形，再 由ECG45即可得证；由正方形性质知CEGB90、ECG45，据 此可得、GEAB，
32、利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接 CG，只需证ACGBCE 即可得； （3）证AHGCHA 得，设 BCCDADa，知 ACa，由 得 AHa、DHa、CHa，由可得 a 的值 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， BCD90，BCA45， GEBC、GFCD， CEGCFGECF90， 四边形 CEGF 是矩形，CGEECG45， EGEC， 四边形 CEGF 是正方形； 由知四边形 CEGF 是正方形， CEGB90，ECG45， ，GEAB， ， 故答案为：； （2）连接 CG， 由旋转性质知BCEACG， 在 RtCEG 和 RtCBA 中， cos45、cos45， ， ACGBCE， ， 线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AGBE； （3）CEF45，点 B、E、F 三点共线， BEC135， ACGBCE， AGCBEC135， AGHCAH45， CHAAHG， AHGCHA， ， 设 BCCDADa，则 ACa， 则由得， AHa， 则 DHADAHa，CHa， 得， 解得：a3，即 BC3， 故答案为：3
