1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（6 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 Ax|x2+5x+60，Bx|log2（x+2）2，则 AB（ ） A（，2） B（，2） C（3，2）（2，2） D（3，3） 2已知（12i）z1+i，其中 i 是虚数单位，则|z|（ ） A B C D 3已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 4已知向量 ， ， ， ，且 与 夹角为锐角，则实数 t 的取值范围为 （ ） A ， B ， ， C ， D ， 5九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四
2、斗羊主曰：“我羊食 半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、 羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 4 斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的 一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，牛、马、 羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ） A B C D 6以双曲线 ： ， 的一个焦点 F（c，0）为圆心， 为半径的圆与 E 的渐近线相切，则 E 的离心率等于（ ） A B C D 7已知直线 a、b，平面 、，且 ab，a，则 b 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必
3、要条件 82021 年俱乐部世界杯（简称“世俱杯”）在中国上海、天津、广州、武汉、沈阳、济南、 杭州、大连八个城市举行，我市将派 9 名小记者前往采访，每个举办城市至少安排一名 记者，则不同的安排种数共有（ ） A B C D 9将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（x）的 图象，且 g（x）的图象关于点（，0）对称，则 （ ） A B C D 10已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn4an+m，且数列nan的前 6 项和等于 321， 则 m 的值等于（ ） A1 B2 C1 D2 11已知直线 l：kxyk0（kR）与抛物线 ： 相交于 A，B 两点，O 为 坐标原
4、点，则AOB 为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 12定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（2+x）f（2x），当 x0，2时，f（x）2x， 设函数 g（x）e|x2|（2x6），则 f（x）和 g（x）的图象所有交点横坐标之和等 于（ ） A8 B6 C4 D2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高吃烧烤的人数日益减 少，烧烤店也日益减少某市对 2015 年到 2019 年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进 行了统计，具体统计数据如表： 年份 2015 2016 2017 201
5、8 2019 年份代号（t） 1 2 3 4 5 盈利店铺的个 数（y） 260 240 215 200 180 根据所给数据，得出 y 关于 t 的回归方程 ，估计该市 2020 年盈利烧烤店铺 的个数为 14（2xy）5的展开式中，x2y3的系数为 15已知函数 ，且 ，则 a 16如图，在边长等于 2 正方形 ABCD 中，点 Q 是 BC 中点，点 M，N 分别在线段 AB，CD 上移动 （M 不与 A， B 重合， N 不与 C， D 重合） ， 且 MNBC， 沿着 MN 将四边形 AMND 折起， 使得二面角 DMNQ 为直二面角， 则三棱锥 DMNQ 体积的最大值为 ； 当三棱
6、锥 DMNQ 体积最大时，其外接球的表面积为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 已知在ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 且满足 bcos asinB， a （1）求角 A 的大小； （2）若点 M 为边 AC 边上一点，且 MCMB，ABM ，求ABC 的面积 18已知四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD 2， ，E 为棱 PD 上一动点，点 F 是 P
7、B 的中点 （1）求证：AECD； （2）若 ABPC，问是否存在点 E，使得二面角 PAEF 的余弦值为 ？若存在，求 出点 E 的位置；若不存在，请说明理由 19 近年来， 我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇， 但是电子商务行业由于缺乏监管， 服务质量有待提高某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电 商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如图茎叶图： （1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？ （2）为了综合评估本地电商的销售情况，从甲、乙两家电商十天的销售数据中各抽取两 天的销售数据，其中销售额不低于 120 万元的天数分别记为 X
8、1，X2，令 YX1+X2，求随 机变量 Y 的分布列和数学期望 20已知椭圆 ： 的离心率为 ，过定点（1，0）的直线 l 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，C 为椭圆的左顶点，当直线 l 过点（0，b）时，OAB（O 为坐标原 点）的面积为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）求证：当直线 l 不过 C 点时，ACB 为定值 21已知函数 f（x）lnxx+a （1）讨论函数 f（x）零点的个数； （2）若函数 f（x）存在两个零点 x1，x2（x2x2），证明：2lnx1+lnx20 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4
9、-4：坐标系与参数方程 22已知圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）求直线 l 被圆 C 截得弦的长 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|x2| （1）若 f（x）4，求实数 x 的取值范围； （2）若对于任意实数 x，不等式 f（x）|2a1|恒成立，求实数 a 的值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1设集合 Ax|x2+5x+60
10、，Bx|log2（x+2）2，则 AB（ ） A（，2） B（，2） C（3，2）（2，2） D（3，3） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x2+5x+60x|3x2， Bx|log2（x+2）2x|2x2， ABx|3x2 或2x2（3，2）（2，2） 故选：C 2已知（12i）z1+i，其中 i 是虚数单位，则|z|（ ） A B C D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算 公式求解 解：由（12i）z1+i，得 z ， |z| 故选：A 3已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca
11、 Dcab 【分析】可以得出 ， ， ，从而可得出 a，b，c 的大小关系 解：0log41log43log441， ， ， cab 故选：D 4已知向量 ， ， ， ，且 与 夹角为锐角，则实数 t 的取值范围为 （ ） A ， B ， ， C ， D ， 【分析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算，列出不等式求得 t 的取值范围 解：向量 ， ， ， ，所以 （1，t3）； 又 与 夹角为锐角，则 与 不共线 ， 所以 ， 解得 t 且 t ； 所以实数 t 的取值范围是（ ， ）（ ，+） 故选：B 5九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗羊主曰：“我羊食 半马”马主曰：
12、“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、 羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 4 斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的 一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，牛、马、 羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ） A B C D 【分析】由题意可设，牛、马、羊的主人各应赔偿 a， ， ，然后结合已知可求 a， 进而可求 解：由题意可设，牛、马、羊的主人各应赔偿 a， ， ， 所以 4， 故 a 牛主人比羊主人多赔偿了 a 故选：B 6以双曲线 ： ， 的一个焦点 F（c，0）为圆心， 为半径的圆与 E 的渐近线相切，则
13、 E 的离心率等于（ ） A B C D 【分析】求出渐近线方程，利用圆心到直线的距离，得到关系式，然后求解双曲线的离 心率即可 解：双曲线 ： ， 的一条渐近线方程：ay+bx0， 焦点 F（c，0）为圆心， 为半径的圆与 E 的渐近线相切， 可得： ， 即 c2b，可得 c24b24（c2a2）， 即 3c24a2， e 故选：D 7已知直线 a、b，平面 、，且 ab，a，则 b 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】在 ab，a 的前提下，由 b 能推出 ，反之不成立，结合充分必要条 件的判定方法得答案 解：由 ab，a，可得 b
14、，又 b，则 ； 反之，由 ab，a，可得 b，再由 ，可得 b 或 b 若 ab，a，则 b 是 的充分不必要条件 故选：A 82021 年俱乐部世界杯（简称“世俱杯”）在中国上海、天津、广州、武汉、沈阳、济南、 杭州、大连八个城市举行，我市将派 9 名小记者前往采访，每个举办城市至少安排一名 记者，则不同的安排种数共有（ ） A B C D 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：将 9 名小记者分成 8 组，将分好的 8 组全排 列，安排到 8 个城市，由分步计数原理计算可得答案 解：根据题意，分 2 步进行分析： 将 9 名小记者分成 8 组， 其中一组必有 2 人， 其他各组每组 1
15、人， 有 C92种分组方法， 将分好的 8 组全排列，安排到 8 个城市，有 A88种情况， 则有 C92A88种不同的安排种数； 故选：C 9将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（x）的 图象，且 g（x）的图象关于点（，0）对称，则 （ ） A B C D 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，可得 g（x）的解析式，再 利用正弦函数的图象的对称性，求得 的值 解：将函数 的图象向右平移 个单位长度后， 得到函数 g（x）sin（ ）的图象， 且 g（x）的图象关于点（，0）对称，则 k，kZ， 则 ，此时，k1， 故选：D 10已知数列an的前 n 项和为
16、 Sn，满足 2Sn4an+m，且数列nan的前 6 项和等于 321， 则 m 的值等于（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】先由题设条件得到：an2an1，再由 a1 求得 an，进而求得 nan，再由其前 6 项和等于 321 求得 m 的值 解：依题意得：当 n1 时，有 2S14a1+m，解得：a1 ； 当 n2 时，由 2Sn4an+m2Sn14an1+m， 两式相减可得：2an4an4an1， 即：an2an1， 故 ana1 2n1m 2n2，nanmn 2n2， 故数列nan的前 6 项和为 （12 1+222+323+626） 令 X121+222+323+626，则 2
17、X122+223+627， 由可得：X21+22+23+26627 62 75272， 则 X642， 321 642 ， 解得：m2 故选：B 11已知直线 l：kxyk0（kR）与抛物线 ： 相交于 A，B 两点，O 为 坐标原点，则AOB 为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，以及 点满足抛物线的方程，结合向量的数量积的坐标表示，判断AOB 为钝角，即可判断 AOB 的形状 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y122px1，y222px2， 联立直线 l：kxyk0
18、（kR）与抛物线 ： ，可得（kxk） 22px， 即为 k2x2（2k2+2p）x+k20， 则（2k2+2p）24k44p2+8pk20，x1x21， 则（y1y2）24p2x1x24p2， 由于直线 l 恒过定点（1，0），且与抛物线有两个交点，可得 y1y20， 则 y1y22p， 则 x1x2+y1y212p， 由 p ，可得 12p0， 可得 0，即AOB 为钝角， 则AOB 为钝角三角形 故选：C 12定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（2+x）f（2x），当 x0，2时，f（x）2x， 设函数 g（x）e|x2|（2x6），则 f（x）和 g（x）的图象所有交点横坐标之和
19、等 于（ ） A8 B6 C4 D2 【分析】由已知可得 f（x）的图象关于直线 x2 对称，并求得函数是以 4 为周期的周期 函数，函数 g（x）e|x2|（2x6）的图象也关于直线 x2 对称，作出图象，数形 结合得答案 解：由偶函数 f（x）满足 （2+x）f （2x）可得 f（x）的图象关于直线 x2 对称， 以 2+x 替换 x，得 f（4+x）f（x）f（x），则函数 f（x）是以 4 为周期的周期函数 函数 g（x）e|x2|（2x6）的图象也关于直线 x2 对称， 作出函数 yf（x）的图象与函数 g（x）e|x2|（2x6）的图象如图所示， 可知两个图象有四个交点，且两两关于
20、直线 x2 对称， 则 f（x）与 g（x）的图象所有交点的横坐标之和为 8 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高吃烧烤的人数日益减 少，烧烤店也日益减少某市对 2015 年到 2019 年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进 行了统计，具体统计数据如表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号（t） 1 2 3 4 5 盈利店铺的个 数（y） 260 240 215 200 180 根据所给数据，得出 y 关于 t 的回归方程 ，估计该市 2020 年盈利烧烤店铺 的个数为 1
21、65 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入回归方程求得 ，然后在回归方程中取 t 6 求得 y 值即可 解： ， ， 样本点的中心坐标为（3，219），代入 ， 得 ，得 线性回归方程为 ， 取 t6，得 估计该市 2020 年盈利烧烤店铺的个数为 165 个 故答案为：165 14（2xy）5的展开式中，x2y3的系数为 40 【分析】Tr+1 （2x）5r（y）r，令 r3，即可得出 解：Tr+1 （2x）5r（y）r，令 r3， 可得：x2y3的系数为 2 2（1）340 故答案为：40 15已知函数 ，且 ，则 a 【分析】根据题意，求出 f（x）的解析式，分析可得 f（x）+f
22、（x）2a，据此可得 2a1，解可得 a 的值，即可得答案 解：根据题意，函数 ，其定义域为 R， 则 f（x）lg（ x）+a， 则有 f（x）+f（x）lg（ x）+lg（ x）+2a2a， 则有 f（ln3）+f（ln ）f（ln3）+f（ln3）2a， 又由 ，则 2a1，解可得 a ； 故答案为： 16如图，在边长等于 2 正方形 ABCD 中，点 Q 是 BC 中点，点 M，N 分别在线段 AB，CD 上移动 （M 不与 A， B 重合， N 不与 C， D 重合） ， 且 MNBC， 沿着 MN 将四边形 AMND 折起，使得二面角 DMNQ 为直二面角，则三棱锥 DMNQ 体积
23、的最大值为 1 ； 当三棱锥 DMNQ 体积最大时，其外接球的表面积为 5 【分析】沿 MN 将DMN 折起，当 DN平面 MNQ 时，三棱锥 DMNQ 的体积最大， 此时 VDMNQ MNMBt t 2 t，在利用二次函数的性质即可求出 VD MNQ 的最大值，当三棱锥 DMNQ 体积最大时，三棱锥 DMNQ 是直三棱柱的一部分，也 是长方体的一部分，长方体的长宽高分别为： ， ，1；求出对应的外接球的半径 R， 从而求出三棱锥 DMNQ 的外接球的表面积 解：设 MBt，则 AMDN2t， 沿 MN 将DMN 折起，当 DN平面 MNQ 时，三棱锥 DMNQ 的体积最大， 此时 VDMNQ
24、 MNMBt t（2t） t 2 t， 当 t1 时，VDMNQ取最大值，最大值为 ， 此时 MB1，DN1， MQNQ ，MNQ 为等腰直角三角形， 当三棱锥 DMNQ 体积最大时，三棱锥 DMNQ 是直三棱柱的一部分，也是长方体 的一部分， 长方体的长宽高分别为： ， ，1； 三棱锥 DMNQ 的外接球的半径 R ， 三棱锥 DMNQ 的外接球的表面积为 4R25， 故答案为： ； 5 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 已知在A
25、BC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 且满足 bcos asinB， a （1）求角 A 的大小； （2）若点 M 为边 AC 边上一点，且 MCMB，ABM ，求ABC 的面积 【分析】 （1）利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理可得 sinBsin sinAsinB， 结合 sinB0，利用二倍角的正弦函数公式可得 sin 2sin cosA，结合 A 的范围，可 求 cosA ，进而可求 A 的值 （2）设 BMMCm，易求 cosBMC，在BMC 中，由余弦定理可解得 m 的值，利用 三角形的面积公式即可求解 解：（1） bcos asinB， bcos（
26、 ） bsin asinB， 由正弦定理可得： sinBsin sinAsinB， B（0，），sinB0， sin sinA2sin cos ， 又A（0，）， （0， ），sin 0， 2cos ，可得 cos ， ，可得 A （2）设 BMMCm，易知 cosBMCcosBMAsinA ， 在BMC 中，由余弦定理可得 32m22m2 （ ），解得 m23（2 ）， 所以 SBMC m 2sinBMC 3（2 ） ， 在 RtABM 中，sinA ，BM1，ABM ， 所以 AB ，所以 SABM ， 所以 SABCSBMC+SABM 18已知四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 A
27、BCD，ADCD，ADBC，PAADCD 2， ，E 为棱 PD 上一动点，点 F 是 PB 的中点 （1）求证：AECD； （2）若 ABPC，问是否存在点 E，使得二面角 PAEF 的余弦值为 ？若存在，求 出点 E 的位置；若不存在，请说明理由 【分析】（1）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理和判定定理，即可得证； （2）以 A 为坐标原点，AB，AC，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz，运用向量法，结合向量的夹角公式，计算即可得到结论 解：（1）证明：四棱锥 PABCD 中， 平面 PAD平面 ABCD， ADCD，ADBC，PAADCD2， ，
28、E 为棱 PD 上一动点，点 F 是 PB 的中点 PA2+AD2PD2， PAAD，PA平面 ABCD， CD平面 ABCD，PACD， PAADA，CD平面 PAD， AE平面 PAD，AECD （2）由（1）可得 PAAD， 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 PA平面 ABCD，则 PAAB， 因为 PCAB，PAPCP， 所以 AB平面 PAC，则 ACAB， 因为 ADCD2，ADCD，所以 AC2 ，ACD45， 所以ACB45，ACBABC， 所以 ABAC2 ，如图，以 A 为坐标原点，AB，AC，AP 所在直线为 x，y，z 轴， 建立空
29、间直角坐标系 Axyz， 则 A（0，0，0），B（2 ，0，0），C（0，2 ，0），D（ ， ，0）， P（0，0，2），F（ ，0，1）， 设 E（x，y，z），则 （x，y，z2）， （ ， ，2）， 因为 E 为棱 PD 上一点，设 （01）， 所以（x，y，z2）（ ， ，2），解得 x ，y ，z22， 所以 E（ ， ，22）， 设平面 PAE 的法向量 （x1，y1，z1）， 则 ，所以 ， 可得 z10，可令 x11，则 y11，所以 （1，1，0）， 设平面 AEF 的法向量为 （x2，y2，z2），则 ， 所以 ，可令 x 21，则 z2 ，可得 y2 ， 所以 （1，
30、 ， ），所以 cos ， ， 解得 ， 所以当 E 为 PD 的中点时，二面角 PAEF 的余弦值为 19 近年来， 我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇， 但是电子商务行业由于缺乏监管， 服务质量有待提高某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电 商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如图茎叶图： （1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？ （2）为了综合评估本地电商的销售情况，从甲、乙两家电商十天的销售数据中各抽取两 天的销售数据，其中销售额不低于 120 万元的天数分别记为 X1，X2，令 YX1+X2，求随 机变量 Y 的分布列和数
31、学期望 【分析】（1）从茎叶图可知，甲电商的方差大于乙商家的方差，所以乙电商对这种产品 的销售更稳定些； （2）从茎叶图可知，甲电商的销售额不低于 120 万元的天数为 5 天，乙电商的销售额不 低于 120 万元的天数为 6 天，X1和 X2的所有取值为 0，1，2，3，4，所以 Y 的可能取值 为 0，1，2，3，4，然后结合独立事件的概率和超几何分布逐一求出每个 Y 的取值所对 应的概率即可得分布列，进而求得数学期望 解：（1）从茎叶图可知，甲电商的方差大于乙商家的方差，所以乙电商对这种产品的销 售更稳定些 （2）从茎叶图可知，甲电商的销售额不低于 120 万元的天数为 5 天，乙电商的
32、销售额不 低于 120 万元的天数为 6 天， 所以 Y 的可能取值为 0，1，2，3，4， P（Y0）P（X10，X20） ， P（Y1）P（X10，X21）+P（X11，X20） ， P （Y2） P （X11， X21） +P （X10， X22） +P （X12， X20） ， P（Y3）P（X11，X22）+P（X12，X21） ， P（Y4）P（X12，X22） Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P 数学期望 E（Y） 20已知椭圆 ： 的离心率为 ，过定点（1，0）的直线 l 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，C 为椭圆的左顶点，当直线 l 过点（0，b）时，OAB（O 为
33、坐标原 点）的面积为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）求证：当直线 l 不过 C 点时，ACB 为定值 【分析】（1）由题意可得直线 l 的斜率，进而求出直线 l 的方程，将直线 l 的方程与椭 圆联立求出 A 的横坐标，由题意可得AOB 的面积的表达式，再由题意求出 a 的值，又 由椭圆的离心率可得 c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出 b 的值，进而求出椭圆的方 程； （2）由（1）可得左顶点的坐标，由题意设直线 l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及 两根之积，进而求出数量积 的值，结果恒为 0，可得 ，即ACB90 解： （1）由题意可得直线 l 的斜率为： b，所以直线 l 的
34、方程为：yb（x+1）， 联立直线 l 与椭圆的方程： ，整理可得：（1+a2）x2+2a2x0， 所以可得 xA ， 由题意可得 SOAB |OB| |xA | b ，可得 a24，即 a2， 由于 e ，所以 c ，b2a2c2 4 ， 所以椭圆的方程为： 1； （2）证明：由（1）可得左顶点 C（2，0）， 由题意显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：xmy1，设 A（x1，y1），B（x2， y2）， 直线与椭圆联立 ，整理可得：（3+m 2）y22my30， 则 y1+y2 ，y1y2 ， 因为 （x1+2，y1） （x2+2，y2）（my1+1，y1） （my2+1，
35、y2）（1+m 2） y1y2+m（y1+y2）+1 m 10， 所以可得 ，即ACB90， 所以可证：当直线 l 不过 C 点时，ACB 为定值 90 21已知函数 f（x）lnxx+a （1）讨论函数 f（x）零点的个数； （2）若函数 f（x）存在两个零点 x1，x2（x2x2），证明：2lnx1+lnx20 【分析】（1）判断 f（x）的单调性，计算极值，根据极值的符号判断零点个数； （2）令 t，则不等式转化为 1，构造函数 g（t）t（lnt）3（t1）3，（t 1），利用导数证明 g（t）1 即可 解：（1）f（x） 1 （x0）， 当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（
36、x）0， f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 故 f（x）的最大值为 f（1）a1， 又当 x0 时，f（x）0，当 x+时，f（x）0， 当 a10 即 a1 时，f（x）没有零点， 当 a10 即 a1 时，f（x）有 1 个零点， 当 a10 即 a1 时，f（x）有两个零点 （2）证明：由（1）可知 0x11x2， 由 f（x1）f（x2）可知 lnx1x1lnx2x2，即 ln x 2x1， 设 t（t1），则 lntx1（t1），故 x1 ， 要证：2lnx1+lnx20 只需证：x12x21， 即证：x13t1，即 1，即证 t（lnt）3（t1）30， 令
37、 g（t）t（lnt）3+（t1）3，则 g（t）（lnt）3+3（lnt）23（t1）2， g（t） 6（t1） ， 令 p （t） （lnt） 2+2lnt2t2+2t （t1） ， 则 p （t） 4t+2 ， 令 q（t）lnt+12t2+t（t1），则 q（t） 4t+1， q（t）在（1，+）上单调递减，故 q（t）q（1）20， q（t）在（1，+）上单调递减，故 q（t）q（1）0， p（t）0，p（t）在（1，+）上单调递减，故 p（t）p（1）0， g（t）0，故 g（t）在（1，+）上单调递减，故 g（t）g（1）0， g（t）在（1，+）上单调递减，故 g（t）g（1）
38、0， 即 t（lnt）3（t1）30， 1， 2lnx1+lnx20 一、选择题 22已知圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）求直线 l 被圆 C 截得弦的长 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用和勾股定理的应用求出结果 解：（1）圆 C 的参数方程为 （ 为参数），转换为直角坐标方程为（x 3）2+（y+1）29 直线 l 的极坐标方程为 ， 根据 ，整理得 ，转换为直
39、角坐标方程 x+y 10 （2）由（1）得：圆心（3，1）到直线 x+y10 的距离 d ， 则弦长 l2 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|x2| （1）若 f（x）4，求实数 x 的取值范围； （2）若对于任意实数 x，不等式 f（x）|2a1|恒成立，求实数 a 的值范围 【分析】（1）由题意可得|2x1|+|x2|4，由绝对值的意义以及零点分区间法，去绝 对值，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得|2a1|f（x）min，意义绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得 f（x） 的最小值，再求绝对值不等式的解法可得所求范围 解：（1）f（x）4，即|2x1|+|x2|4， 等价为 或 或 ， 解得 2x 或 x2 或 x ， 则原不等式的解集为x| x ； （2）对于任意实数 x，不等式 f（x）|2a1|恒成立， 即为|2a1|f（x）min， 而 f（x）|2x1|+|x2|x |+|x2|+|x |x x+2|+| |2 ， 当 x 时，f（x）取得最小值 ， 可得|2a1| ，即 2a1 ， 解得 a ， 则 a 的取值范围是（ ， ）
