1、2020 年江苏省苏州市姑苏区五校联考中考数学一模试卷年江苏省苏州市姑苏区五校联考中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列运算正确的是（ ） Amm2m B （mn）3mn3 C （m2）3m6 Dm6m2m3 3某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 20，18，23，17，20，20， 18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ） A18 分，17 分 B20 分，17 分 C20 分，19 分 D20 分，20 分 4如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC
2、 上，DE：EC3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面积之比为（ ） A3：4 B9：16 C9：1 D3：1 5 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上， 飞镖落在白色区域的概率为 （ ） A B C D无法确定 6小明在学了尺规作图后，通过“三弧法“作了一个ACD，其作法步骤是： 作线段 AB，分别以 A，B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧的交点为 C； 以 B 为圆心，AB 长为半径画弧交 AB 的延长线于点 D； 连结 AC，BC，CD 下列说法不正确的是（ ） AA60 BACD 是直角三角形 CBCCD D点 B 是ACD 的外心 7如图，在
3、一笔直的海岸线 l 上有相距 3km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向 上， 从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上， 从 B 站测得船 C 在北偏东 30的方向上， 则船 C 到海岸线 l 的距离是（ ）km A B C D2 8如图，点 A、B、C、D、E 在O 上，的度数为 60，则B+D 的度数是（ ） A180 B120 C100 D150 9对于抛物线 yax2+2ax，当 x1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 10如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 ADB 以 1cm/s 的速
4、度匀速运动到点 B，图 2 是点 F 运动时，FBC 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的关系图象，则 a 的 值为（ ） A B2 C D2 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12分解因式：4x21 132019 年岁末，新冠病毒肆虐中国，极大的危害了人民群众的生命健康，据统计，截至 2020 年 3 月 28 日 23 时中国累计确诊人数约为 83000 人，83000 用科学记数法可表示 为 14已知圆锥的母线长为 6，侧面积为 12，则圆锥的半径长为 15 如图， 点E在正方形ABCD的边AB上， 以CE为边向正方形ABC
5、D外部作正方形CEFG， 连接 AF，P、Q 分别是 AF、AB 的中点，连接 PQ若 AB6，CE4，则 PQ 16某日上午，甲，乙两车先后从 A 地出发沿同一条公路匀速前往 B 地，甲车 8 点出发， 如图是其行驶路程 s（千米）随行驶时间 t（小时）变化的图象乙车 9 点出发，若要在 10 点至 11 点之间（含 10 点和 11 点）追上甲车，则乙车的速度 v（单位：千米/小时）的 范围是 17如图，矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AEDE，BC3BF，连接 EF， 将矩形ABCD沿EF折叠， 点A恰好落在BC边上的点G处， 则cosEGF的值为 18如图，
6、在ABC 中，ABAC10，BC8，D 为边 AC 上一动点（C 点除外） ，把线 段 BD 绕着点 D 沿着顺时针的方向旋转 90至 DE，连接 CE，则CDE 面积的最大值 为 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 19计算： （1）0+|3| 20解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 21先化简，再求值： （），其中 x 22如图，在ABC 中，ABCB，ABC90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边 上，且 BEBD，连接 AE，DE，DC （1）求证：ABECBD； （2）若CAE30，求BDC 的度数 23某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足球，B：篮球，
7、C：排球，D：羽毛球，E： 乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选 课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） （1）该班学生人数有 人； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有学生 3500 名，请估计有多少人选修足球？ （4）该班班委 5 人中，1 人选修 篮球，3 人选修足球，1 人选修排球，李老师要从这 5 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法， 请你用列表或画树状图的方法， 求选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球的概率 24我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球如果购买 20 个甲种规 格的排球
8、和 15 个乙种规格的足球，一共需要花费 2050 元；如果购买 10 个甲种规格的排 球和 20 个乙种规格的足球，一共需要花费 1900 元 （1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？ （2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共 50 个，并且预算总费用不超 过 3210 元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？ 25如图，在平面直角坐标系中，已知ABC，ABC90，顶点 A 在第一象限，B、C 在 x 轴的正半轴上（C 在 B 的右侧） ，BC3，AB4若双曲线 y（k0）交边 AB 于点 E，交边 AC 于中点 D （1）若 OB2，求 k； （
9、2）若 AEAB，求直线 AC 的解析式 26如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，点 F 为 AC 延长线上一点，且BAC2CDF （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 DE，求证：DEDB； （3）若 cosB，CF2，求O 的半径 27如图，四边形 ABCD 是矩形，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与点 C 和点 A 重合） ，连 接 PB，过点 P 作 PFPB 交射线 DA 于点 F，连接 BF已知 AD3，CD3，设 CP 的长为 x （1）线段 PB 的最小值 ，当 x1 时，FBP ； （2）如图，当动点 P 运动
10、到 AC 的中点时，AP 与 BF 的交点为 G，FP 的中点为 H，求 线段 GH 的长度； （3）当点 P 在运动的过程中： 试探究FBP 是否会发生变化？若不改变， 请求出FBP 大小； 若改变， 请说明理由； 当 x 为何值时，AFP 是等腰三角形？ 28如图，二次函数 yx2+bx+8 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐 标为（2，0） ，点 D（0，2）在 y 轴上，连接 AD （1）b ； （2）若点 P 是抛物线在第二象限上的点，过点 P 作 PFx 轴，垂足为 F，PF 与 AD 交 于点 E是否存在这样的点 P，使得 PE7EF？若存在，求出
11、点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）若点 P 在抛物线上，且点 P 的横坐标大于4，过点 P 作 PHAD，垂足为 H，直 线 PH 与 x 轴交于点 K，且 SHKASPHA，求点 P 的坐标 2020 年江苏省苏州市姑苏区五校联考中考数学一模试卷年江苏省苏州市姑苏区五校联考中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是
12、中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误 故选：B 2下列运算正确的是（ ） Amm2m B （mn）3mn3 C （m2）3m6 Dm6m2m3 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方等于乘方的积，幂的乘方底数不变指数相乘， 同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案 【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 A 不符合题意； B、积的乘方等于乘方的积，故 B 不符合题意； C、幂的乘方底数不变指数相乘，故 C 符合题意； D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 D 不符合题意； 故选：C 3某篮
13、球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 20，18，23，17，20，20， 18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ） A18 分，17 分 B20 分，17 分 C20 分，19 分 D20 分，20 分 【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意 众数可以不止一个； 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列， 位于最中间的一个数 （或 两个数的平均数）为中位数 【解答】解：将数据重新排列为 17、18、18、20、20、20、23， 所以这组数据的众数为 20 分、中位数为 20 分， 故选：D 4如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边
14、 DC 上，DE：EC3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面积之比为（ ） A3：4 B9：16 C9：1 D3：1 【分析】 可证明DFEBFA， 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出 答案 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， DCAB， DFEBFA， DE：EC3：1， DE：DC3：4， DE：AB3：4， SDFE：SBFA9：16 故选：B 5 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上， 飞镖落在白色区域的概率为 （ ） A B C D无法确定 【分析】 随机事件 A 的概率 P （A） 事件 A 可能出现的结果数所有可能出
15、现的结果数 【解答】解：设正六边形边长为 a，则灰色部分面积为 3， 白色区域面积为a， 所以正六边形面积为a2， 镖落在白色区域的概率 P， 故选：B 6小明在学了尺规作图后，通过“三弧法“作了一个ACD，其作法步骤是： 作线段 AB，分别以 A，B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧的交点为 C； 以 B 为圆心，AB 长为半径画弧交 AB 的延长线于点 D； 连结 AC，BC，CD 下列说法不正确的是（ ） AA60 BACD 是直角三角形 CBCCD D点 B 是ACD 的外心 【分析】根据等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知 识一一判断即可 【解答】解：由作
16、图可知：ABBCAC， ABC 是等边三角形， A60， BABCBD， ACD 是直角三角形， 点 B 是ACD 的外心 故选：C 7如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 3km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向 上， 从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上， 从 B 站测得船 C 在北偏东 30的方向上， 则船 C 到海岸线 l 的距离是（ ）km A B C D2 【分析】 过点 C 作 CDAB 于点 D， 然后根据含 30 度角的直角三角形的性质即可求出答 案 【解答】解：过点 C 作 CDAB 于点 D， 根据题意得：CAD906030， CBD903060
17、， ACBCBDCAD30， CABACB， BCAB3km， 在 RtCBD 中， CDBCsin603（km） 船 C 到海岸线 l 的距离是km 故选：C 8如图，点 A、B、C、D、E 在O 上，的度数为 60，则B+D 的度数是（ ） A180 B120 C100 D150 【分析】连接 AB、DE，先求得ABEADE25，根据圆内接四边形的性质得出 ABE+EBC+ADC180，即可求得EBC+ADC150 【解答】解：连接 AB、DE，则ABEADE， 的度数为 60， ABEADE30， 点 A、B、C、D 在O 上， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ABC+ADC180，
18、 ABE+EBC+ADC180， EBC+ADC180ABE18030150 故选：D 9对于抛物线 yax2+2ax，当 x1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据当 x1 时，ya+2a3a0，确定 a0，求出顶点坐标，即可求解 【解答】解：当 x1 时，ya+2a3a0， 函数的对称轴为：x1， 顶点纵坐标为：0a0， 故顶点的横坐标和纵坐标都为负数， 故选：C 10如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 ADB 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B，图 2 是点 F 运动时，FBC 的面积 y（cm2
19、）随时间 x（s）变化的关系图象，则 a 的 值为（ ） A B2 C D2 【分析】通过分析图象，点 F 从点 A 到 D 用 as，此时，FBC 的面积为 a，依此可求菱 形的高 DE，再由图象可知，BD，应用两次勾股定理分别求 BE 和 a 【解答】解：过点 D 作 DEBC 于点 E， 由图象可知，点 F 由点 A 到点 D 用时为 as，FBC 的面积为 acm2 ADa， BCDEADDEaDEa， DE2， 当点 F 从 D 到 B 时，用s， BD， RtDBE 中，BE1， ABCD 是菱形， ECa1，DCa， RtDEC 中， a222+（a1）2， 解得 a， 故选：A
20、 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案 【解答】解：若在实数范围内有意义， 则 x10， 解得：x1 故答案为：x1 12分解因式：4x21 （2x+1） （2x1） 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可平方差公式：a2b2（a+b） （ab） 【解答】解：4x21（2x+1） （2x1） 故答案为： （2x+1） （2x1） 132019 年岁末，新冠病毒肆虐中国，极大的危害了人民群众的生命健康，据统计，截至 2020 年 3 月 28 日 23 时中国累计确诊人数约为 83000
21、 人，83000 用科学记数法可表示为 8.3104 【分析】科学记数法表示较大的数形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，10 的指数 n 比原来的整数位数少 1 【解答】解：830008.3104， 故答案为：8.3104 14已知圆锥的母线长为 6，侧面积为 12，则圆锥的半径长为 2 【分析】设圆锥的底面圆的半径为 r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长 等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长， 所以根据扇形的面积公式得到 2r612，然后解关于 r 的方程即可 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r， 根据题意得2r612，解得 r2， 即圆锥的底
22、面圆的半径为 2 故答案为 2 15 如图， 点E在正方形ABCD的边AB上， 以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG， 连接 AF， P、 Q 分别是 AF、 AB 的中点， 连接 PQ 若 AB6， CE4， 则 PQ 【分析】连接 BF，则 PQ 为ABF 的中位线，根据勾股定理求出 BF 长即可求出 PQ 的 长 【解答】解：连接 BF， 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，AB6，CE4， GFGC4，BC6， BGGC+BC4+610， BF， P、Q 分别是 AF、AB 的中点， PQBF 故答案 16某日上午，甲，乙两车先后从 A 地出发沿同一条公路匀速前往 B
23、地，甲车 8 点出发， 如图是其行驶路程 s（千米）随行驶时间 t（小时）变化的图象乙车 9 点出发，若要在 10 点至 11 点之间（含 10 点和 11 点）追上甲车，则乙车的速度 v（单位：千米/小时）的 范围是 60v80 【分析】先根据函数图象求出甲车的速度，再根据甲，乙两车先后从 A 地出发沿同一条 公路匀速前往 B 地，甲车 8 点出发，乙车 9 点出发，要在 10 点至 11 点之间（含 10 点和 11 点）追上甲车列出不等式组，求解即可 【解答】解：根据图象可得，甲车的速度为 120340（千米/时） 由题意，得， 解得 60v80 故答案为 60v80 17如图，矩形 A
24、BCD 中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AEDE，BC3BF，连接 EF， 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠， 点 A 恰好落在 BC 边上的点 G 处， 则 cosEGF 的值为 【分析】连接 AF，由矩形的性质得 ADBC，ADBC，由平行线的性质得AEF GFE，由折叠的性质得AFEGFE，AFFG，推出AEFAFE，则 AFAE，AE FG， 得出四边形 AFGE 是平行四边形， 则 AFEG， 得出EGFAFB， 设 BF2x， 则 ADBC6x，AFAEFG3x，在 RtABF 中，cosAFB，即可得出结 果 【解答】解：连接 AF，如图所示： 四边形 ABCD 为矩
25、形， ADBC，ADBC， AEFGFE， 由折叠的性质可知：AFEGFE，AFFG， AEFAFE， AFAE， AEFG， 四边形 AFGE 是平行四边形， AFEG， EGFAFB， 设 BF2x，则 ADBC6x，AFAEFG3x， 在 RtABF 中，cosAFB， cosEGF， 故答案为： 18如图，在ABC 中，ABAC10，BC8，D 为边 AC 上一动点（C 点除外） ，把线 段 BD 绕着点 D 沿着顺时针的方向旋转 90至 DE， 连接 CE， 则CDE 面积的最大值为 32 【分析】如图，过点 E 作 EFAC 于 F，作 BHAC 于点 H，由勾股定理可求可求 AH
26、 8，由旋转的性质可求 BDDE，BDE90，由 AAS 可证BDHDEF，可得 EFDH，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解 【解答】解：如图，过点 E 作 EFAC 于 F，作 BHAC 于点 H， EFDBHD90， BH2BC2CH2，BH2AB2AH2， 320（10+AH）2100AH2， AH8， 将线段 BD 绕 D 点顺时针旋转 90得到线段 ED， BDDE，BDE90， BDF+EDF90，且EAF+AEF90， AEFBDF， 又EFDBHD90，BDDE， BDHDEF（AAS） ， EFDH， CDE 面积CDEFCD（16CD）（CD8）2+32， 当 CD8
27、 时，CDE 面积的最大值为 32， 故答案为：32 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 19计算： （1）0+|3| 【分析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及算术平方根定义计算即可得 到结果 【解答】解：原式1+32 2 20解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x15，得：x3， 解不等式 1，得：x2， 则不等式组的解集为2x3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 21先化简，再求值： （），其中 x 【分析】先算括号里面
28、的，再算除法，把 x 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式 ， 当 x2+时，原式 22如图，在ABC 中，ABCB，ABC90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边 上，且 BEBD，连接 AE，DE，DC （1）求证：ABECBD； （2）若CAE30，求BDC 的度数 【分析】 （1）由条件可利用 SAS 证得结论； （2）由等腰直角三角形的性质可先求得BCA，利用三角形外角的性质可求得AEB， 再利用全等三角形的性质可求得BDC 【解答】 （1）证明： ABC90， DBC90， 在ABE 和CBD 中 ABECBD（SAS） ； （2）解： ABCB，ABC90， BC
29、A45， AEBCAE+BCA30+4575， ABECBD， BDCAEB75 23某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E： 乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选 课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） （1）该班学生人数有 50 人； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有学生 3500 名，请估计有多少人选修足球？ （4）该班班委 5 人中，1 人选修 篮球，3 人选修足球，1 人选修排球，李老师要从这 5 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法， 请你用列表或画树状图的方法， 求选出的
30、 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球的概率 【分析】 （1）利用 B 的人数和所占的百分比计算出全班人数； （2）利用 C、E 的百分比计算出 C、E 的人数，则用全班人数分别减去 B、C、D、E 的 人数得到 A 的人数； （3）根据样本估计总体，用 40%表示全校学生对足球感兴趣的百分比，然后用 3500 乘 以 40%即可得到选修足球的人数； （4） 先利用树状图展示所有 20 种等可能的结果数， 找出选出的 2 人恰好 1 人选修篮球， 1 人选修足球所占结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）该班学生人数有 816%50（人） ， 故答案为：50； （2）C 项目人
31、数为 5024%12（人） ，E 项目的人数为 508%4（人） ， 则 A 项目的人数为 50（8+12+6+4）20（人） ， 补全图象如下： （3）35001400（人） ， 答：估计有 1400 人选修足球； （4）画树状图： 共有 20 种等可能的结果数，其中选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球占 6 种， 所以选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球的概率 24我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球如果购买 20 个甲种规 格的排球和 15 个乙种规格的足球，一共需要花费 2050 元；如果购买 10 个甲种规格的排 球和 20 个乙种规格的
32、足球，一共需要花费 1900 元 （1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？ （2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共 50 个，并且预算总费用不超 过 3210 元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？ 【分析】 （1） 设每个甲种规格的排球的价格为 x 元， 每个乙种规格的足球的价格为 y 元， 根据“如果购买 20 个甲种规格的排球和 15 个乙种规格的足球，一共需要花费 2050 元； 如果购买 10 个甲种规格的排球和 20 个乙种规格的足球，一共需要花费 1900 元” ，即可 得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）
33、设学校购买 m 个乙种规格的足球，则购买（50m）个甲种规格的排球，根据总价 单价数量结合预算总费用不超过 3210 元， 即可得出关于 m 的一元一次不等式， 解之 取其中的最大整数值即可得出结论 【解答】解： （1）设每个甲种规格的排球的价格为 x 元，每个乙种规格的足球的价格为 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：每个甲种规格的排球的价格为 50 元，每个乙种规格的足球的价格为 70 元 （2）设学校购买 m 个乙种规格的足球，则购买（50m）个甲种规格的排球， 依题意，得：50（50m）+70m3210， 解得：m35 又m 为整数， m 的最大值为 35 答：该学校至多能购买 35
34、 个乙种规格的足球 25如图，在平面直角坐标系中，已知ABC，ABC90，顶点 A 在第一象限，B、C 在 x 轴的正半轴上（C 在 B 的右侧） ，BC3，AB4若双曲线 y（k0）交边 AB 于点 E，交边 AC 于中点 D （1）若 OB2，求 k； （2）若 AEAB，求直线 AC 的解析式 【分析】 （1）当 OB2m 时，点 D（，2） ，即可求解； （2）AEAB，则 EBAB，故点 E（m，） ，而点 E、D 都在反比例函数上， 故 k2（m+）m，求得 m6，进而求出点 A、C 的坐标，即可求解 【解答】解：设点 B（m，0） ，则点 C（m+3，0） ，点 A（m，4） ，
35、 由中点公式得，点 D（m+，2） ； （1）当 OB2m 时，点 D（，2） ， 将点 D 的坐标代入反比例函数表达式得：k27； （2）AEAB，则 EBAB，故点 E（m，） ， 点 E、D 都在反比例函数上，故 k2（m+）m， 解得：m6， 过点 A、C 的坐标分别为： （6，4） 、 （9，0） ， 设直线 AC 的表达式为：ykx+b，则，解得， 故直线 AC 的表达式为：yx+12 26如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，点 F 为 AC 延长线上一点，且BAC2CDF （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 DE，求
36、证：DEDB； （3）若 cosB，CF2，求O 的半径 【分析】 （1）连接 AD，OD，根据圆周角定理得到ADC90，求得ADO+CDO 90，根据等腰三角形的性质得到BADCAD，等量代换得到CADCDF， 于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到BACD，等量代换得到BEDB，于是得到 DEDB； （3）根据相似三角形的性质得到，设 CDk，AC3k，得到 AD 2k，求得 AF16，于是得到结论 【解答】 （1）证明：连接 AD，OD， AC 为O 的直径， ADC90， ADO+CDO90， ABAC， BADCAD， BAC2CAD， BAC2CDF， CADCDF， OD
37、C+CDF90， ODF90， DF 是O 的切线； （2）证明：ABAC， BACD， BEDACD， BEDB， DEDB； （3）解：DACCDF，FF， ADFDCF， ， cosBcosACB， 设 CDk，AC3k， AD2k， ， CF2， DF4， AF16， ACAFCF14， AOOC7， O 的半径是 7 27如图，四边形 ABCD 是矩形，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与点 C 和点 A 重合） ，连 接 PB，过点 P 作 PFPB 交射线 DA 于点 F，连接 BF已知 AD3，CD3，设 CP 的长为 x （1）线段 PB 的最小值 ，当 x1 时，FBP
38、30 ； （2）如图，当动点 P 运动到 AC 的中点时，AP 与 BF 的交点为 G，FP 的中点为 H，求 线段 GH 的长度； （3）当点 P 在运动的过程中： 试探究FBP 是否会发生变化？若不改变， 请求出FBP 大小； 若改变， 请说明理由； 当 x 为何值时，AFP 是等腰三角形？ 【分析】 （1）根据勾股定理求出 AC，根据垂线段最短得到 BPAC 时，线段 PB 的值最 小，根据三角形的面积公式求出 BP，根据相似三角形的性质、正切的定义求出FBP； （2）证明ABP 为等边三角形，得到ABP60，证明 RtABFRtPBF，得到 ABFPBF30，APBF，根据直角三角形的
39、性质求出 GH； （3）分 FAFP、APAF、PAPB 三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ABC90， AC6， 当 BPAC 时，线段 PB 的值最小， SABCABBCACBP，即 33BP6， 解得，BP， 过点 P 作 PM交 AD 于 M，交 BC 于 N， 则 PNAB， CPNCAB， ，即， 解得，PN，CN， PM3，BN3， BPF90，PMF90， FMPPNB， ， tanPBF， FBP30， 故答案为：；30； （2）在 RtABC 中，APPC， BPBC3， BABPAP， ABP 为等边三角形， ABP6
40、0， 在 RtABF 和 RtPBF 中， ， RtABFRtPBF（HL） ， ABFPBF30，APBF， PFBPtanBPF， 在 RtFGP 中，FHHP， GHPF； （3）FBP30， 理由如下：由（1）可知，FMPPNB， ， tanPBF， FBP30； 当 FAFP 时，BABP， ABP 为等边三角形， APAB3， xCP3， 当 PAPF 时，APF12090，不合题意； 当 APAF 时，CBPCPB75， CBPCPB75， CPCB3，即 x3， 综上所述，x3 或 3时，AFP 是等腰三角形 28如图，二次函数 yx2+bx+8 的图象与 x 轴交于点 A、B
41、，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐 标为（2，0） ，点 D（0，2）在 y 轴上，连接 AD （1）b 2 ； （2）若点 P 是抛物线在第二象限上的点，过点 P 作 PFx 轴，垂足为 F，PF 与 AD 交 于点 E是否存在这样的点 P，使得 PE7EF？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）若点 P 在抛物线上，且点 P 的横坐标大于4，过点 P 作 PHAD，垂足为 H，直 线 PH 与 x 轴交于点 K，且 SHKASPHA，求点 P 的坐标 【分析】 （1）把点 B 坐标代入二次函数解析式即求得 b 的值 （2）设出 P 点坐标，求出直线 AD 的解析式，
42、进而求出线段 PE，EF 的长度，根据所给 关系列出等式，即可求出 P 点坐标； （3）延长 AD 交抛物线于 T，过 P 作 PFx 轴于 F，交 AD 于 E，根据同角的余角相等 易证 cosFADcosEPH，进而求得 PHPE，根据已知的面积的关系式 可求得 PKPH，进而求得 PE，PF 关系，设 P 点横坐标为 t，可用 t 表示 PE，PF， 可列得关于 t 的方程，求得的 t 值即可得出答案 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+8 的图象与 x 轴交于点 B（2，0） ， 4+2b+80， 解得：b2， 故答案为：2 （2）二次函数 yx22x+8 的图象与 x 轴交于
43、点 A、B， y0 时，x2 或4， A（4，0） ， 设直线 AD 的解析式为 ykx+m， ， 解得：， 直线 AD 的解析式为 y， 设 P（t，t22t+8） ，则 E， PE， EF， PE7EF， ， 解得：t12，t24（舍去） ， P（2，8） 故存在这样的点 P，使得 PE7EF，点 P 的坐标为（2，8） ； （3）如图，延长 AD 交抛物线于 T，过点 P 作 PFx 轴于点 F，交 AD 于点 E， 若点 P 在直线 AT 上方， OA4，OD2，AOD90， AD2， AHPH， FAD+AEF90，EPH+PEH90，AEFPEH， FADEPH， cosFADcosEPH， PH， cos， PKPF， ， ， PKPH， ， ， 设 P（t，t22t+8） ，则 5（t22t+8）6（） ， 解得 t1 或 t4（舍去） ， P（1，9） 若 P 在直线 AT 的下方，且在 x 轴上方，此时 SHKASPHA，不合题意，舍去 若 P 在 x 轴下方，可得 2PE5PF， ， 解得：t或 t4（舍去） ， P（，） 综合以上可得，满足条件的点 P 的坐标为（1，9）或（，）
