1、 1 2020 年中考数学模拟题精选年中考数学模拟题精选 30 道道 08 一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题） 1 （2020南岸区校级模拟）计算：8 3 （3）0+（ 1 2） 2 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案 【解析】原式21+4 1 故答案为：1 2 （2020北京模拟）如果 a+b2，那么代数式(1 + 2 ) 2+2+2的值是 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把 a+b2 代入计 算即可求出值 【解析】原式= +2 ; (:)2 = + ; (:)2 = 1 +， 当 a+b2 时，原式=
2、1 2， 故答案为：1 2 3（2020成都模拟） 已知一列数 a1， a2， ， an（n 为正整数） 满足 a11， a2= 21 1+2 = 2 3， ， an= 21 1+2， 请通过 计算推算 a2019 1 1010 ，an 2 :1 （用含 n 的代数式表示） 【分析】根据题意先计算出前几个数，发现规律即可求解 【解析】根据题意得， a11= 2 2； a2= 2 3； a3= 1 2 = 2 4； 发现规律： 2 an= 2 +1 a2019= 2 2019+1 = 1 1010 故答案为： 1 1010， 2 :1 4 （2020东湖区模拟）如果 m、n 是一元二次方程 x2
3、2x40 的两个实数根，则 m32m2+4n 8 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m22m4，再利用因式分解的方法把 m32m2+4n 化为 4 （m+n） ，接着利用根与系数的关系得到 m+n2，然后利用整体代入的方法计算 【解析】m 是一元二次方程 x22x40 的两个实数根， m22m40， 即 m22m4， m32m2+4nm（m22m）+4n4m+4n4（m+n） ， m、n 是一元二次方程 x22x40 的两个实数根， m+n2， m32m2+4n428 故答案为 8 5 （2020江西模拟） 图是某酒店的推拉门， 已知门的宽度 AD2 米， 两扇门的大小相同（即 ABCD
4、） ， 且 AB+CDAD，现将右边的门 CDD1C1绕门轴 DD1向外面旋转 67（如图） （1）求点 C 到直线 AD 的距离； （2）将左边的门 ABB1A1绕门轴 AA1向外面旋转，设旋转角为 （如图） ，问 为多少度时，点 B，C 之间的距离最短 （参考数据： sin670.92， cos670.39， tan29.60.57， tan19.60.36， sin29.6 0.49） 【分析】 （1）过点 C 作 CHAD 于 H，根据三角函数解答即可； （2）根据三角函数得出 CH，进而利用三角函数解答即可 【解析】 （1）如图，过点 C 作 CHAD 于 H 3 由题意得，D67，
5、CD= 1 2AD1（米） ， CHCDsin670.92 米 答：点 C 到直线 AD 的距离约为 0.92 米， （2）当 A，B，C 三点共线时，B，C 之间的距离最短， 如图，过 C 作 CHAD 于 H由题意得，D67，CD= 1 2AD1（米） ， CHCDsin670.92 米，DHCDcos670.39， AH20.391.61（米） 在 RtACH 中，tan= = 0.92 1.61 0.57， 29.6 答：当 为 29.6 度时，点 B，C 之间的距离最短 6 （2020安徽一模）观察以下等式： 第 1 个等式：1 1 2 1:1 (1 + 12) = 2； 第 2 个
6、等式：1 2 2 2:1 (2 + 22) = 2； 第 3 个等式：1 3 2 3:1 (3 + 32) = 2； 第 4 个等式：1 4 2 4:1 (4 + 42) = 2； 第 5 个等式：1 5 2 5:1 (5 + 52) = 2； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 7 个等式： 1 7 2 7:1 (7 + 72) = 2 ； （2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的等式表示） ，并加以证明 【分析】 （1）根据提供的算式写出第 5 个算式即可； 4 （2）根据规律写出通项公式然后证明即可 【解析】 （1）通过观察不难知道等式右边都等于 2，等式左边：第一个因式的
7、分子为 1，分母与等式序号 数相等； 第二个因数分子为 2， 分母是等式的序号数加 1； 第三个因数是等式序号数与序号数的平方之和 写出第 7 个等式为：1 7 2 7:1 (7 + 72) = 2 故答案为：1 7 2 7:1 (7 + 72) = 2； （2）第 n 个等式：1 2 :1 ( + 2) = 2 证明：左边= 1 2 +1 ( + 2) = 2 2+ ( + 2) = 2 =右边 7 （2020海门市校级模拟）用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知 （1）在第 n 个图中，白棋共有 1 2n（n+1） 枚，黑棋共有 （3n+6） 枚； （2）在第几个图形中，白棋共有 300
8、 枚； （3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由 【分析】依据题意求出白棋和黑棋的表达式即可求解 【解析】 （1）由题意得：在第 n 个图中，白棋共有1 2n（n+1）枚，黑棋共有（3n+6）枚； 故答案为：1 2n（n+1） ， （3n+6） ； （2）1 2n（n+1）300，解得：n24（已舍去负值） 故在第 24 个图形中，白棋共有 300 枚； （3）1 2n（n+1）3n+6， 解得：n= 573 2 为无理数， 所以白棋的个数不能与黑棋的个数相等 8 （2020安徽二模）某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并
9、绘 制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整） 5 成绩 频数 频率 50x60 2 0.04 60x70 a 0.16 70x80 20 0.40 80x90 16 0.32 90x100 4 b 合计 50 1 请你根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）求出 a，b 的值并补全频数分布直方图 （2）将此次比赛成绩分为三组：A.50x60；B.60x80；C.80x100 若按照这样的分组方式绘制 扇形统计图，则其中 C 组所在扇形的圆心角的度数是多少？ （3）学校准备从不低于 90 分的参赛选手中任选 2 人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了 95 分的小欣 和小怡同时被选上的概率
10、【分析】 （1）用总数乘以 60x70 的频率求出 a，用 90x100 的频数除以总人数求出 b，从而补全 统计图； （2）先求出 A、B、C 三组所占的百分比，画出扇形统计图，用 360乘以 C 组所占的百分比求出 C 组 所在扇形的圆心角的度数； （3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和小欣和小怡同时被选上的结果数，然后根据概率公式即可 得出答案 【解析】 （1）a500.168，b= 4 50 =0.08，补图如下： 6 （2）A、50x60 的人数所占的百分比是： 2 50 100%4%， B、60x80 的人数所占的百分比是：28 50 100%56%， C、80x100 的人数
11、所占的百分比是：20 50 100%40%，画图如下： C 组所在扇形的圆心角的度数为 360（0.32+0.08）144； （3）由题意知，不低于 9（0 分）的学生共有 4 人，设这四名学生分别为 M，X，A，B，其中小欣和小 怡分别用 A，B 表示，根据题意，画树状图如下 由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中小欣和小怡同时被选上的结果有 2 种， 故小欣和小怡同时被选上的概率是 2 12 = 1 6 9（2020鹿城区校级模拟） 在防疫新冠状病毒期间， 市民对医用口罩的需求越来越大 某药店第一次用 3000 元购进医用口取若干个，第二次又用 3000 元购进该款口罩，但第二次每
12、个口罩的进价是第一次进价的 1.25 倍，购进的数量比第一次少 200 个 （1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？ 7 （2）药店第一次购进口罩后，先以每个 4 元的价格出售，卖出了 a 个后购进第二批同款口罩，由于进价 提高了，药店将口罩的售价也提升至每个 4.5 元继续销售卖出了 b 个后因当地医院医疗物资紧缺，将 其已获得口罩销售收入 6400 元和剩余全部的口罩捐赠给了医院请问药店捐赠口罩至少有多少个？ （销 售收入售价数量） 【分析】 （1）设第一次购进医用口罩的数量为 x 个，根据题意给出的等量关系即可求出答案 （2）由（1）可知两次购进口罩共 1800 个，由题意
13、可知：4a+4.5b6400，所以 a1600 9 8 ，根据条 件可求出 b 的最小值，从而可求出药店捐赠的口罩至少有多少个 【解析】 （1）设第一次购进医用口罩的数量为 x 个， 第二次购进医用口罩的数量为（x200）个， 由题意可知： 3000 ;200 =1.25 3000 ， 解得：x1000， x200800， 答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为 1000 和 800 个 （2）由（1）可知两次购进口罩共 1800 个， 由题意可知：4a+4.5b6400， a1600 9 8 ， 1800ab1800（1600 9 8 ）b200+ 8， a100， 1600 9 8 1
14、000， b5331 3， a，b 是整数， b 是 8 的倍数， b 的最小值是 536， 1800ab267， 答：药店捐赠口罩至少有 267 个 10 （2020安阳模拟）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A 型 车去年销售总额为 5 万元，今年每辆销售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年 8 减少 20% （1）今年 A 型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） （2） 该车行计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆， 且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 已知 A 型车每辆进价为 1100 元，B
15、型车每辆进价为 1400 元，B 型车售价为每辆 2000 元，应如何进货才 能使这批车获利最多？ 【分析】 （1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程 求出其解即可； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车（60a）辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式， 由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值 【解析】 （1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得 50000 :400 = 50000(1;20%) ， 解得：x1600， 经检验，x1600 是原方程的根； 答：
16、今年 A 型车每辆售价 1600 元； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车（60a）辆，获利 y 元，由题意，得 y（16001100）a+（20001400） （60a） ， y100a+36000， B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 60a2a， a20 k1000， y 随 a 的增大而减小 a20 时，y 最大34000 元 B 型车的数量为：602040 辆 当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大 11 （2020雁塔区校级二模）为更新树木品种，某植物园计划购进甲、乙两个品种的树苗栽植培育若计划 购进这两种树苗共 41 棵，其中甲
17、种树苗的单价为 6 元/棵，购买乙种树苗所需费用 y（元）与购买数量 x （棵）之间的函数关系如图所示 9 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）若在购买计划中，乙种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于甲种树苗的数量请设计购买方案，使 总费用最低，并求出最低费用 【分析】 （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得 y 与 x 的函数关系式； （2）根据在购买计划中，乙种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于甲种树苗的数量，可以得到购买乙种 树苗的取值范围，再根据题意，即可得到总费用与乙种树苗数量的函数关系式，然后根据一次函数的性 质，即可得到使总费用最低的购买方案，并求出最低费用 【解析
18、】 （1）设当 0x20 时，y 与 x 的函数关系式为 ykx， 20k160，得 k8， 即当 0x20 时，y 与 x 的函数关系式为 y8x， 设当 x20 时，y 与 x 的函数关系式是 yax+b， 20 + = 160 40 + = 288，得 = 6.4 = 32 ， 即当 x20 时，y 与 x 的函数关系式是 y6.4x+32， 由上可得 y 与 x 的函数关系式为：y= 8(0 20) 6.4 + 32(20)； （2）购买乙种树苗 x 棵， 购买甲种树苗（41x）棵， 在购买计划中，乙种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于甲种树苗的数量， 41xx35， 解得，20.5
19、x35， 设购买树苗的总费用为 w 元， 20.5x35 且 x 为整数， w（6.4x+32）+6（41x）0.4x+278， 10 当 x21 时，w 取得最小值，此时 w286.4，41x20， 答：当购买甲种树苗 20 棵，乙种树苗 21 棵时，使总费用最低，最低费用是 286.4 元 12 （2020长春模拟）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有 A、B、C 三点顺次在同一 笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从 A、B 两点同时同向出发，历时 7min 同时到达 C 点，甲机器人前 3 分钟以 am/min 的速度行走，乙机器人始终以 60m/min 的速度行走，如图是甲、
20、乙两机器人之间的距离 y（m）与他们的行走时间 x（min）之间的函数 图象，请结合图象，回答下列问题： （1）A、B 两点之间的距离是 70 m，A、C 两点之间的距离是 490 m，a 95 m/min （2）求线段 EF 所在直线的函数表达式 （3）设线段 FGx 轴，直接写出两机器人出发多长时间相距 28m 【分析】 （1）结合图象得到 A、B 两点之间的距离，甲机器人前 2 分钟的速度，进而求出 A、C 两点之间 的距离和 a 的值； （2）根据题意求出点 F 的坐标，利用待定系数法求出 EF 所在直线的函数解析式； （3）设 D（0，70） ，H（7，0） ，根据图象可知两机器人相
21、距 28m 时有三个时刻（02，23，47） 分别求出 DE 所在直线的解析式、GH 所在直线的解析式，再令 y28，列出方程求解即可 【解析】 （1）由图象可知，A、B 两点之间的距离是 70 米， 甲机器人前 2 分钟的速度为： （70+602）295（米/分） ； 即 a95； A、C 两点之间的距离是：70+607490（m） 故答案为：70；490；95； （2）设线段 EF 所在直线的函数解析式为：ykx+b（k0） ， 1（9560）35， 点 F 的坐标为（3，35） ， 11 则2 + = 0 3 + = 35， 解得 = 35 = 70， 则线段 EF 所在直线的函数解析式
22、为 y35x70； （3）如图，设 D（0，70） ，H（7，0） D（0，70） ，E（2，0） ， 线段 DE 所在直线的函数解析式为 y35x+70， G（4，35） ，H（7，0） ， 线段 GH 所在直线的函数解析式为 y= 35 3 + 245 3 ， 设两机器人出发 tmin 时相距 28m， 由题意，可得35x+7028，或 35x7028，或 35 3 + 245 3 = 28， 解得 t1.2，或 t2.8，或 t4.6 即两机器人出发 1.2 或 2.8 或 4.6min 时相距 28m 13 （2020拱墅区校级一模）在ABC 和DBE 中，CACB，EBED，点 D
23、在 AC 上 （1）如图 1，若ABCDBE60，求证：ECBA； （2）如图 2，设 BC 与 DE 交于点 F当ABCDBE45时，求证：CEAB； （3）在（2）的条件下，若 tanDEC= 1 2时，求 的值 12 【分析】 （1）根据 SAS 可证明ABDCBE得出AECB； （2）得出ABC 和DBE 都是等腰直角三角形，证明ABDCBE，则BADBCE45，可得 出结论； （3）过点 D 作 DMCE 于点 M，过点 D 作 DNAB 交 CB 于点 N，设 DMMCa，得出 DN2a， CEa，证明CEFDNF，可得出答案 【解答】 （1）证明：CACB，EBED，ABCDBE
24、60， ABC 和DBE 都是等边三角形， ABBC，DBBE，A60 ABCDBE60， ABDCBE， ABDCBE（SAS） AECB； （2）证明：ABCDBE45，CACB，EBED， ABC 和DBE 都是等腰直角三角形， CAB45， =2， =2， = ， ABCDBE， ABDCBE， ABDCBE， BADBCE45， ABC45， ABCBCE， CEAB； 13 （3）解：过点 D 作 DMCE 于点 M，过点 D 作 DNAB 交 CB 于点 N， ACB90，BCE45， DCM45， MDCDCM45， DMMC， 设 DMMCa， = 2a， DNAB， DCN
25、 为等腰直角三角形， DN= 2DC2a， tanDEC= = 1 2， ME2DM， CEa， = 2 = 1 2， CEDN， CEFDNF， = = 1 2 14 （2020福安市校级模拟）等腰BCD 中，DCB120，点 E 满足DEC60 （1）如图 1，点 E 在边 BD 上时，求证：ED2BE； （2）如图 2，过点 B 作 DE 的垂线交 DE 的延长线于点 F，试探究 DE 和 EF 的数量关系，并证明； （3）若DEB150，直接写出 BE，DE 和 EC 的关系 14 【分析】 （1）先根据等腰三角形性质和三角形外角的性质得：BCCD 和 BECE，根据三角形的内角 和定
26、理证明DCE180306090，由直角三角形 30 度角的性质可得结论 （2）结论：DE2EF如图 2 中，作 DHEC 交 EC 的延长线于 H，连接 FH想办法证明 DE2EH， EFEH 即可解决问题 （3）结论：BE2EDEC证明DEBBEC 可得结论 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 等腰BCD 中，DCB120， BCCD， BD30， DEC60B+ECB， ECB30， BECE， DEC 中，DCE180306090， D30， ED2EC， ED2BE； （2）解：结论：DE2EF 理由：如图 2 中，作 DHEC 交 EC 的延长线于 H，连接 FH 15 DHE90
27、，DEH60， EDH30， CDCB，BCD120， CBDBDC30， BDCEDH， BDFCDH， BFDF， BFDH90， DFBDHC， = ， = ， BDCFDH， BDCFDH， DBCDFH30， DEHEFH+EHF60， EFHEHF30， EFEH， 在 RtDEH 中，EDH30， DE2EFH， DE2EF （3）解：结论：BE2EDEC 16 理由：如图 3 中， BED150，DEC60， BEC360BEDDEC36015060150， BEDBEC， EBD+EDB30， EBD+EBC30， BDEEBC， DEBBEC， = ， BE2DEEC 15
28、 （2020安徽二模）如图，点 P 为平行四边形 ABCD 内一点，连接 PB，PC，PD，PBAB，ABP ADP90 （1）求BCP 的度数； （2）若 PCPD，求证：BP 垂直平分线段 CD 【分析】 （1）延长 DP，交 BC 于点 E证明BPEDCE（ASA） ，得出BEPDEC90，CE EP，即可得出BCP45 （2）连接 BD，延长 DP 交 BC 于点 E，由全等三角形的性质得出 BEDE，则BDP45，证出 BD BC，即可得出 BP 垂直平分线段 CD 【解答】 （1）解：如图：1，延长 DP，交 BC 于点 E 17 在平行四边形 ABCD 中，ABDC，ABCD，A
29、BCADC， 又PBAB， PBCD ABPADP90， A+BPD180，PBECDE 又ABCD，BPE+BPD180， BPEDCE， 在BPE 和DCE 中， = = = ， BPEDCE（ASA） ， BEPDEC90，CEEP， BCP45 （2）证明：连接 BD，延长 DP 交 BC 于点 E，如图 2： BPEDCE， BEDE， 则BDP45， BDPBCP PCPD， PCDPDC， BCDBDC， 18 BDBC 又PCPD， BP 垂直平分线段 CD 16 （2020宿松县模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上一点，CEAB，DFBC，垂足 为点
30、 F，交 CE 于点 G，连接 DE，EF （1）求证：AED90 1 2DCE； （3）若点 E 是 AB 边的中点，求证：EFB= 1 2DEF 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得CDECED= 180 2 =90 1 2DCE，由平行线的性质 可得结论； （2）延长 DA，FE 于点 M，由“AAS”可证AEMBEF，可得 MEEF，由直角三角形的性质可得 DEEFME，由等腰三角形的性质和外角性质可得结论 【解答】证明： （1）CEAB，ABCD CECD， CDECED= 180 2 =90 1 2DCE， CDAB AEDCDE90 1 2DCE； （2）如图，延长 DA，FE
31、 于点 M， 四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC，且 DFBC 19 DFAD，MEFB MEFB，AEBE，AEMFEB AEMBEF（AAS） MEEF，且 DFDM MEDEEF MMDE DEFM+MDE2M EFB= 1 2DEF 17 （2020朝阳区模拟）如图，在ABC 中，BD 平分ABC 交 AC 于 D，作 DEBC 交 AB 于点 E，作 DF AB 交 BC 于点 F （1）求证：四边形 BEDF 是菱形； （2）若BDE15，C45，CD= 2，求 DE 的长 【分析】 （1）由线段垂直平分线的性质可得 BEDE， BFDF，可得EBDEDB，FBDFDB， 由
32、角平分线的性质可得EBDBDFEDBDBF，可证 BEDF，DEBF，可得四边形 DEBF 是平行四边形，即可得结论； （2）由菱形的性质和外角性质可得DFC30，由直角三角形的性质可求 DF 的长 【解答】证明： （1）BD 平分ABC， ABDDBC， EF 垂直平分 BD， BEDE，BFDF， EBDEDB，FBDFDB， EBDBDF，EDBDBF， BEDF，DEBF， 四边形 DEBF 是平行四边形，且 BEDE， 四边形 BEDF 是菱形； 20 （2）过点 D 作 DHBC 于点 H， 四边形 BEDF 是菱形， BFDFDE， FBDFDBBDE15， DFH30，且 DH
33、BC， DH= 1 2DF，FH= 3DH， C45，DHBC， CCDH45， DHCH= 2 2 = 2 2 2 = 1， FCFH+CH= 3 + 1， DF2， DE2 18 （2020兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的边 AD， BC 上， 将矩形纸片沿直线 MN 折叠， 使点 C 落在矩形的边 AD 上， 记为点 P， 点 D 落在 G 处， 连接 PC， 交 MN 丁点 Q，连接 CM （1）求证：PMPN； （2）当 P，A 重合时，求 MN 的值； （3）若PQM 的面积为 S，求 S 的取值范围 【分析】 （1）想办法证明
34、PMNPNM 即可解决问题 （2）点 P 与点 A 重合时，设 BNx，表示出 ANNC8x，利用勾股定理列出方程求解得 x 的值，进 21 而用勾股定理求得 MN （3）当 MN 过 D 点时，求得四边形 CMPN 的最小面积，进而得 S 的最小值，当 P 与 A 重合时，S 的值 最大，求得最大值即可 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， PMCN， PMNMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN （2）解：点 P 与点 A 重合时，如图 2 中， 设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB2+BN2AN2， 即 42+x2（8x）2，
35、解得 x3， CN835，AC= 2+ 2= 42+ 82=45， CQ= 1 2AC25， QN= 2 2=52 (25)2= 5， 22 MN2QN25 （3） 解： 当 MN 过点 D 时， 如图 3 所示， 此时， CN 最短， 四边形 CMPN 的面积最小， 则 S 最小为 S= 1 4S 菱形 CMPN= 1 4 444， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，四边形 CMPN 的面积最大，则 S 最大为 S= 1 4 545， 4S5， 19 （2020金华模拟）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OA 为 半径作O，与 BC 相切
36、于点 D，且交 AB 于点 E （1）连结 AD，求证：AD 平分CAB； （2）若 BE= 2 1，求阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OD，证 ODAC，求出OADODACAD 即可； （2）证明BOD 是等腰直角三角形，分别求出BOD 和扇形 EOD 的面积即可 【解答】 （1）证明：如图，连结 OD， O 与 BC 相切于点 D， ODBC， 即ODB90 又C90， ODAC， ODACAD 在O 中，OAOD， ODAOAD， 23 OADCAD， AD 平分CAB （2）解：在 RtABC 中，C90，ACBC， B45， BOD45， BOD 是等腰直角三角形， OB= 2
37、OD，BDOD， 设O 的半径为 r，则 ODBDr， = 2， = (2 1) = 2 1， r1， 阴影= 1 2 2 45 360 2= 1 2 8 20 （2020丹江口市模拟）如图 1，以ABC 的边 AB 为直径作O，交 AC 于点 E，BD 平分ABE 交 AC 于 F，交 O 于点 D，且BDECBE （1）求证：BC 是O 的切线； （2）如图 2，延长 ED 交直线 AB 于点 P，若 PAAO，DE2，求 的值及 AO 的长 【分析】 （1）如图 1 中，连接 BE由 AB 是直径，推出AEB90，推出A+ABE90，由A DEBC 推出ABE+EBC90，即ABC90，
38、由此即可证明； （2） 如图2中， 连接OD、 BE 首先证明BEOD， 由PAOAOB， 推出OP2OB， 即可推出 = =2， 由 PDPEPAPA，求出 OA 即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图 1 中，连接 BE 24 AB 是直径， AEB90， A+ABE90， ADEBC， ABE+EBC90， ABC90， ABBC， BC 是O 的切线； （2）如图 2 中，连接 OD、BE BD 平分ABE， D 是 的中点， ODAE， AEBE， BEOD， PAOAOB， OP2OB， = =2， 25 PD2DE4， PDBPAE， = ， PDPEPAPB， = = 22
39、21 （2020清江浦区一模）在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一 点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP （1）动手操作 如图 1，当 60时，我们通过用刻度尺和量角器度量发现： 的值是 1：直线 BD 与直线 CP 相交所 成的较小角的度数是 60；请证明以上结论正确 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数，并就图 2 的情形 说明理由 【分析】 （1）如图 1 中，假设直线 PC 与直线 BD 交于点 O，直线 PC 交 AB 于 E证明
40、CAPBAD （SAS） ，利用全等三角形的性质即可解决问题 （2）结论： = 2 2 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45如图 2 中，设直线 BD 交 CP 于 M，AC 交 BD 于 N利用全等三角形的性质解决问题即可 【解析】 （1）CACB，ACB60， ABC 是等边三角形， CAAB，CBA60， 由旋转的性质可知：PAPD，APD60， APD 是等边三角形， 26 APAD，PADCAB60， CAPBAD， CAPBAD（SAS） ， CPBD， =1 如图 1 中，假设直线 PC 与直线 BD 交于点 O，直线 PC 交 AB 于 E CAPBAD，
41、 ACEOBE， AECOEB， CAEEOB60， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60 （2）结论： = 2 2 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45 理由：如图 2 中，设直线 BD 交 CP 于 M，AC 交 BD 于 N 由题意：PAD 是等腰直角三角形， DAP45， = 2 2 ， CACB，ACB90， ACB 是等腰直角三角形， 27 CAB45， = 2 2 ， CABPAD， DABPAC， = = 2 2 ， APCADB， = = 2 2 ，PCAABD， ANBDNC， CMNCAB45，即直线 BD 与直线 CP 相交所成
42、的较小角的度数为 45 综上所述， = 2 2 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45 22 （2020番禺区一模）如图，在正方形网格图中，ABC 的顶点和点 O 都在格点上，其小正方形的边长 为 1 （1）将ABC 向右平移 3 个单位，得到A0B0C0，请在网格中画出A0B0C0； （1）把ABC 绕点 O 顺时针旋转 90得到A1B1C1，请在网格中画出A1B1C1； （3）尺规作图：分别作ABC 的边 AB、AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点 P（要求保留 作图痕迹，不写作法） ，指出点 P 是ABC 的内心，外心，还是重心？ 【分析】 （1）将ABC 向右平移 3 个单位，即可画出得到A0B0C0； （1）把ABC 绕点 O 顺时针旋转 90即可画出得到A1B1C1； （3）根据网格分别作ABC 的边 AB、AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点 P，并指出点 P 是ABC 的内心，外心，还是重心即可
