1、 1 / 16 2020 北京各区一模数学试题分类汇编北京各区一模数学试题分类汇编统计概率统计概率 （2020 东城一模）东城一模）一排 6个座位坐了 2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A. 12 B. 36 C. 72 D. 720 【答案】C 【解析】根据题意，先将 2 个三口之家的成员进行全排列，有 33 33 36A A 种情况， 再对 2 个三口之家整体进行全排列，有 2 2 2A 种情况， 则有36 272 种不同的坐法. 故选：C. （2020 朝阳区一模）朝阳区一模）现有甲、乙、丙、丁、戊 5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 3种作为教师 “停课不
2、停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为（ ） A. 2 3 B. 2 5 C. 3 5 D. 9 10 【答案】D 【解析】甲、乙、丙至多有 2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为A， 依题意所有基本事件为： （甲，乙，丙） ， （甲，乙，丁） ， （甲，乙，戊） ， （甲，丙，丁） ， （甲，丙，戊） ， （甲， 丁，戊） ， （乙，丙，丁） ， （乙，丙，戊） ， （乙，丁，戊） ， （丙，丁，戊） ，共 10 种，其中事件A所包含的 事件数为 1，所以根据古典概型的概率公式可得 1 ( ) 10 P A ， 再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概
3、率为 19 1( )1 1010 P A . 故选：D （2020 石景山一模）石景山一模）将 4 位志愿者分配到进博会的 3 个不同场馆服务，每个场馆至少 1 人，不同的分配方 案有（ ）种 2 / 16 A. 72 B. 36 C. 64 D. 81 【答案】B 【解析】解：将 4 位志愿者分配到 3 个不同场馆服务，每个场馆至少 1 人， 先从 4 个人中选出 2 个作为一个元素看成整体， 再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有 23 43 36C A （2020 海淀一模）海淀一模）科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展 的重要支撑，而研发投入
4、是科技创新的基本保障，下图是某公司从 2010年到 2019年这 10年研发投入的数 据分布图: 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元). (I)从 2010 年至 2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过 10%的概率； (II)从 2010 年至 2019年中随机选取两个年份，设 X表示其中研发投入超过 500 亿元的年份的个数，求 X 的 分布列和数学期望； (III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由. 【解析】 (I)由题知，2010 年到 2019 年共 1
5、0 年中，研发投入占当年总营收的百分比超过 10%有 9 年，设 从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过 10%为事件A , 3 / 16 9 ( ) 10 P A. (II)由题意得X的取值可能为 0，1，2 2 5 2 10 2 0 9 C P X C , 11 55 2 10 5 1 9 C P C X C , 2 5 2 10 2 2 9 C P X C . X的分布列为 X 0 1 2 P X 2 9 5 9 2 9 252 0121 999 E X . （III）2010 年到 2019 年共 10 年中，研发投入占当年总营收的百分比
6、超过 10%有 9 年，每年基本上都在增 加，因此公司在发展的过程中重视研发. （2020 西城一模）西城一模）2019年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60 万，其中青年学生约有 50 万人.现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取 20 人进行英语 水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下: 4 / 16 ()试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数; ()从选出的 8名男生中随机抽取 2人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求X的分布列和数学期 望; ()为便于联络，
7、现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000)，并在每组中随机选取 m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1人的英语测试成绩在 70分以上的概率大于 90%.根据图 表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.(结论不要求证明) 【解析】 ()样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为： 2 505 20 万人. () 8名男生中，测试成绩在 70 分以上的有3人，X的可能取值为：0,1,2. 2 5 2 8 5 0 14 C p X C ， 11 53 2 8 15 1 28 C C p X C ， 2 3 2 8 3 3 28 C p X C . 故分布列为：
8、 X 0 1 2 p 5 14 15 28 3 28 51533 012 1428284 E X . () 英语测试成绩在 70 分以上的概率为 101 202 p ，故 1 1 90% 2 m ，故4m. 5 / 16 故m的最小值为4. （2020 东城一模）东城一模）为了解甲、乙两个快递公司工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同， 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10天的 数据，制表如图： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定每天 35件以 内（含 35 件）的部分每
9、件 4元，超出 35件的部分每件 7 元. （1）根据表中数据写出甲公司员工 A在这 10天投递的快递件数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工 B的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1天，他所得的劳务费记为 X （单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； （3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 【解析】 （1）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为： 1 3233333835363933414036 10 x ， 众数为 33. （2）设 a 为乙公司员工 B投递件数，则 当34a时，136X 元， 当35a时，35 4357Xa 元， X 的可能取值为
10、 136，147，154，189，203， 1 136 10 P X ， 3 147 10 P X ， 6 / 16 2 154 10 P X ， 3 189 10 P X ， 1 203 10 P X ， X 的分布列为： X 136 147 154 189 203 P 1 10 3 10 2 10 3 10 1 10 132311655 136147154189203165.5 101010101010 E X （元）. （3）根据图中数据，由（2）可估算： 甲公司被抽取员工该月收入36 4.5 304860元， 乙公司被抽取员工该月收入165.5 304965元. （2020 丰台一模）
11、丰台一模）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务 类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与 A，B， C三个社区的志愿者服务情况如下表： 社区 社区服务总 人数 服务类型 现场值班值守 社区消毒 远程教育宣传 心理咨询 A 100 30 30 20 20 B 120 40 35 20 25 C 150 50 40 30 30 （1）从上表三个社区的志愿者中任取 1人，求此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； 7 / 16 （2） 从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人调查情况， 以 X 表示负责
12、现场值班值守的人数， 求 X 的分布列； （3） 已知A社区心理咨询满意率为0.85， B社区心理咨询满意率为0.95， C社区心理咨询满意率为0.9， “1 A ， 1 B ，1 C ”分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询满意，“0 A ，0 B ，0 C ”分别表示 A， B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差 A D， B D， C D的大小关系.（只需写出结论） 【解析】解： （1）记“从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作” 为事件 D， 303 10012015037 PD . 所以从上表三个社区的志愿者中任取 1人，此人来自于
13、A社区，并且参与社区消毒工作的概率为 3 37 . （2）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别 为 3 10 ， 1 3 ， 1 3 . X 的所有可能取值为 0，1，2，3. 7222814 0 10339045 P X ， 322712721404 1 103310331033909 P X ， 31232171119 2 10331033103390 P X ， 31131 3 10339030 P X . X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 14 45 4 9 19 90 1 30 8 / 16 （3） ACB DDD
14、（2020 朝阳区一模）朝阳区一模）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质 检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结 果如下： （1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果 为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X的分布列和数学期望； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果 为阳性，能否判断此人患该疾病的
15、概率超过0.5？并说明理由. 【解析】 （1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性. 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为 7619 8020 . （2）由题意可知( , )XB n p，其中3n， 19 20 p . X的所有可能的取值为0，1，2，3. 003 3 1911 (0)()() 20208000 P XC， 112 3 19157 (1)()() 20208000 P XC， 221 3 1911083 (2)()() 20208000 P XC， 9 / 16 330 3 1916859 (3)()() 20208
16、000 P XC. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 8000 57 8000 1083 8000 6859 8000 故X的数学期望 1957 ()3 2020 E Xnp . （3）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为 119 9900010009909501940 10020 ，其中患者人数为950. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 950970 0.5 19401940 . 所以此人患该疾病的概率未超过0.5. （2020 石景山一模）石景山一模） 2020年， 北京将实行新的高考方案
17、.新方案规定： 语文数学和英语是考生的必考科目， 考生还需从物理化学生物历史地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个 科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定，例 如，学生甲选择“物理化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理化学和生物”为 其选考方案. 某校为了解高一年级 840名学生选考科目的意向，随机选取 60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数 如下表： 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有 16人 16 16 8 4 2 2 10 / 16 选考方案待确
18、定的有 12 人 8 6 0 2 0 0 女生 选考方案确定的有 20人 6 10 20 16 2 6 选考方案待确定的有 12 人 2 8 10 0 0 2 （1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ （2）从选考方案确定的 16 名男生中随机选出 2名，求恰好有一人选“物理化学生物”的概率； （3）从选考方案确定的 16 名男生中随机选出 2名，设随机变量 0 1 两名男生选考方案不同 两名男生选考方案相同 ，求的 分布列和期望. 【解析】 （1）由数据知，60 人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8 2028人 所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物
19、的学生有 28 840392 60 人 （2）选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有 8人. 设“恰好有一人选物理化学生物”为事件 A 11 88 2 16 8 15 C C C P A （3）由数据可知，选考方案确定的男生中有 8 人选择物理化学和生物；有 4人选择物理化学和历史；有 2 人选择物理化学和地理；有 2 人选择物理化学和政治. 的可能取值为 0，1. 111111 884422 2 16 7 0 10 C CC CC C P C 11 / 16 2222 8422 2 16 3 1 10 CCCC P C 所以的分布列为： 0 1 P 7 10 3 10 733 01
20、101010 E （2020 怀柔一模）怀柔一模）某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定 测试成绩在85,100之间为“体质优秀”，在75,85)之间为“体质良好”，在60,75)之间为“体质合格”，在 0,60)之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取7名学生，测试成绩如下： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 高一年级 60 85 80 65 90 91 75 高二年级 79 85 91 75 60 m n 其中 ,m n是正整数. （1）若该校高一年级有280学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （2）若从高一年级抽取的7名学生中
21、随机抽取2人，记X为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数，求X 的分布列及数学期望； （3）设两个年级被抽取学生测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时， 写出 ,m n的值.（只需写出结论） 【解析】解： （1）高一年级随机抽取的 7 名学生中， 12 / 16 “体质优秀”的有 3人，优秀率为 3 7 ，将此频率视为概率， 估计高一年级“体质优秀”的学生人数为 3 280120 7 人. （2）高一年级抽取的 7 名学生中 “体质良好”的有 2人，非“体质良好”的有 5 人. 所以X的可能取值为0,1,2 所以 0211 2525 22 77 1010 (0), (
22、1), 2121 C CC C P XP X CC 20 25 2 7 1 (2) 21 C C P X C 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 10 21 10 21 1 21 10101124 ()012 212121217 E X （3）78mn （2020 密云一模）密云一模）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居 环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的 陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常 生活习惯的有关数据.六类习惯是：
23、（1）卫生习惯状况类； （2）垃圾处理状况类； （3）体育锻炼状况类； （4） 心理健康状况类； （5）膳食合理状况类； （6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表： 13 / 16 卫生习惯状 况类 垃圾处理状 况类 体育锻炼状 况类 心理健康状 况类 膳食合理状 况类 作息规律状 况类 有效答卷份数 380 550 330 410 400 430 习惯良好频率 0.6 0.9 0.8 0.7 0.65 0.6 假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立. （1）从小组收集的有效答卷中随机选取 1 份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概 率；
24、 （2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯 方面，至少具备两类良好习惯的概率； （3）利用上述六类习惯调查的排序，用“1 k ”表示任选一位第 k 类受访者是习惯良好者，“0 k ” 表示任选一位第 k类受访者不是习惯良好者 （1,2,3,4,5,6k ） .写出方差 1 D， 2 D， 3 D， 4 D， 5 D， 6 D的大小关系. 【解析】 （1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A， 有效问卷共有3805503304104004302500（份)， 其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260
25、人， 故P（A） 260 0.104 2500 ； （2） 设该区“卫生习惯状况良好者“， “体育锻炼状况良好者“、 “膳食合理状况良好者”事件分别为A， B，C， 根据题意，可知P（A）0.6， （B）0.8，P（C）0.65， 设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备 14 / 16 两类良好习惯“ 则( )()()()()P EP ABCP ABCP ABCP ABC ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P CP A P B
26、P C 0.6 0.8 0.35 0.6 0.2 0.65 0.4 0.8 0.65 0.6 0.8 0.65 0.168 0.078 0.208 0.312 0.766. 所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备 2 个良好习惯的 概率为 0.766. （3） 615432 DDDDDD （2020 顺义区顺义区一模）一模）某学校高三年级有 400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层 抽样的方法从中抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：30,40),40,50),90,100，整 理得到如下频率分布直方图： （1）
27、若该样本中男生有 55 人，试估计该学校高三年级女生总人数； （2）若规定小于 60 分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率； 15 / 16 （3）若规定分数在80,90)为“良好”,90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三 人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为 X,求 X的分布列和数学期望. 【解析】 （1）样本中男生有 55人,则女生 45人 估计总体中女生人数 45 400180 100 人 （2）设“不及格”为事件 A,则“及格”为事件A ( )1( )1 (0.20.40.20.1)0.1P AP A （3）设“
28、样本中“良好”或“优秀”为事件 B,则( )0.20.10.3BP 依题意可知：(3,0.3)XB 3 (0)0.7P B , 112 3 (1)0.3 0.7P XC 2213 3 (2)0.3 0.7 ,(3)0.3P XCXP 所以,X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 ()3 0.30.9E Xnp （2020 延庆一模）延庆一模）A B C， ，三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学 生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时） ： A班 12? 1 ?3? 1 ?3? 1 ?8? 20? 21 16 /
29、16 B班 11? 1 ?1.5? 1 ?2? 1 ?3? 1 ?3? 1 ?7.5? 20 C班 11? 1 ?3.5? 1 ?5? 1 ?6? 1 ?6.5? 1 ?9? 21 （1）试估计A班的学生人数； （2）从这 120 名学生中任选 1名学生，估计这名学生一周上网时长超过 15 小时的概率； （3）从 A班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 B班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，求这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的概率. 【解析】 （1）由题意知，抽出的 20 名学生中，来自A班的学生有6名 根据分层抽样的方法可知A班的学生人数估计为 6 12036
30、20 人 （2）设从选出的 20 名学生中任选 1 人，共有 20 种选法， 设此人一周上网时长超过 15 小时为事件 D, 其中 D包含的选法有 3+2+4=9种，所以 9 () 20 P D . 由此估计从 120 名学生中任选 1 名， 该生一周上网时长超过 15小时的概率为 9 20 . （3）设从A班抽出的 6名学生中随机选取 2 人， 其中恰有(1 2)ii 人一周上网超过 15 小时为事件 i E, 从B班抽出的 7名学生中随机选取 1人， 此人一周上网超过 15小时为事件F，则所求事件的概率为： 21111 35332 21 21 67 15 1811 () 15 735 C CC C C P E FE F C C .
