1、 2020 北京各区一模数学试题分类汇编北京各区一模数学试题分类汇编解析几何解析几何 （2020 海淀一模）海淀一模）已知双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 的离心率为5,则 b 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】由题知 2 1a ， 5 c e a ， 222 2 22 + 5 cab e aa =， 2b . 故选：B. （2020 海淀一模）海淀一模） 已知点 P(1，2)在抛物线 C 2 :2ypx上，则抛物线 C的准线方程为_. 【答案】1x 【解析】(12)P ，在抛物线C 2 :2ypx上，24,2pp， 准线方程为1 2 p x
2、， 故答案为：1x. （2020 西城一模）西城一模） 设双曲线 22 2 1(0) 4 xy b b 的一条渐近线方程为 2 2 yx，则该双曲线的离心率为 _. 【答案】 6 2 【解析】 22 2 1(0) 4 xy b b ，一条渐近线方程为： 2 2 yx，故2b，6c ， 6 2 c e a = . 故答案为： 6 2 . （2020 西城一模）西城一模） 设2141AB，则以线段AB为直径的圆的方程是（ ） A. 22 (3)2xy B. 22 (3)8xy C. 22 (3)2xy D. 22 (3)8xy 【答案】A 【解析】AB的中点坐标为：3,0，圆半径为 22 22 2
3、 22 AB r ， 圆方程为 22 (3)2xy. 故选：A. （2020 东城一模）东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)， 1 (2, ) 2 ，(2,1)，(4,2)中的 2个点，则该抛 物线的标准方程可以是_ 【答案】 2 8xy或 2 yx 【解析】设抛物线的标准方程为： 2 xmy，不难验证 1 2,4,2 2 ， 适合，故 2 8xy； 设抛物线的标准方程为： 2 nyx，不难验证 1,14,2，适合，故 2 yx； 故答案为： 2 8xy或 2 yx （2020 东城一模）东城一模） 已知圆 C 与直线y x 及40xy的相切，圆心在直线y x 上，则圆 C的方
4、程 为（ ） A. 22 112xy B. 22 112xy C. 22 114xy D. 22 114xy 【答案】A 【解析】圆心在y x 上，设圆心为, a a， 圆 C 与直线y x 及40xy都相切， 圆心到两直线y x 及40xy的距离相等， 即 224 1 22 aa a ， 圆心坐标为1,1， 2 2 2 R ， 圆 C 的标准方程为 22 112xy. 故选：A. （2020 东城一模）东城一模） 已知曲线 C的方程为 22 1 xy ab ， 则“a b”是“曲线 C为焦点在 x轴上的椭圆”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.
5、 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若0ab，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线 C 为焦点在 x轴上的椭圆，则满足0ab ， 即0a，0b ，满足ab，即必要性成立， 即“ab”是“曲线 C 为焦点在 x轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. （2020 东城一模）东城一模） 抛物线 2 4xy的准线与y轴的交点的坐标为（ ） A. 1 (0,) 2 B. (0, 1) C. (0, 2) D. (0, 4) 【答案】B 【解析】准线方程为：，与y轴的交点为(0, 1)，故选 B. （2020 丰台一模）丰台一模） 已知双曲线 M： 2 2 1 3 y x
6、的渐近线是边长为 1 的菱形OABC的边OA，OC所在直 线.若椭圆 N： 22 22 1 xy ab （0ab）经过 A，C 两点，且点 B是椭圆 N的一个焦点，则a_. 【答案】 31 2 【解析】因为OA为双曲线 2 2 1 3 y x 的渐近线，所以3 OA k，则60AOB 所以 3 sin60 2 ADAO ， 1 cos60 2 ODAO ，则 13 , 22 A 因为21OBOD，所以椭圆N的半焦距1c 设椭圆N的左焦点为 1 F，则 1( 1,0) F ，连接 1 AF 由椭圆的定义可得 1 2AFABa 即 22 22 1313 10102 2222 a ，解得 31 2
7、a 故答案为： 31 2 （2020 丰台一模）丰台一模） 过抛物线 C： 2 2ypx（ 0p ）的焦点 F 作倾斜角为60的直线与抛物线 C交于两 个不同的点 A，B（点 A在 x轴上方） ，则 AF BF 的值为（ ） A. 1 3 B. 4 3 C. 3 D. 3 【答案】D 【解析】设(,), (,) AABB A xyB xy，过点A分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为M，N，过点B作x轴 的垂线，垂足于点Q，直线AB与准线交于点D，准线与x轴交于点E 直线AB的倾斜角为60，30MDA ，即2ADAM 由抛物线的定义知，AMAF，则2ADAF，即点F为AD中点 由于/AM EF，则
8、22AMEFp，即2AFp，则2 sin603 A ypp 设直线AB的方程为3 2 p yx ，即 3 32 p xy 并代入 2 2ypx中，得： 22 2 3 0 3 p yyp ，即 2 AB y yp ，则 2 3 33 B pp y p 由于BFQAFN，则 |3 33 |3 A B yAF p BFyp 故选：D （2020 丰台一模）丰台一模） 圆 2 2 12xy的圆心到直线10xy 的距离为（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2 【答案】B 【解析】圆 2 2 12xy的圆心坐标为(1,0) 则圆心(1,0)到直线10xy 的距离 22 |1 0 1| 2 11
9、 d 故选：B （2020 朝阳区一模）朝阳区一模） 已知抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点， ADl于D.若4AF ，60DAF，则抛物线C的方程为（ ） A. 2 8yx B. 2 4yx C. 2 2yx D. 2 yx 【答案】B 【解析】根据抛物线的定义可得4ADAF， 又60DAF，所以 1 2 ADpAF， 所以42p，解得2p ， 所以抛物线C的方程为 2 4yx. 故选：B （2020 朝阳区一模）朝阳区一模） 在ABC中，ABBC，120ABC.若以A，B为焦点的双曲线经过点C， 则该双曲线的离心率为（ ） A. 5 2 B. 7
10、2 C. 31 2 D. 3 【答案】C 【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 , a c， 因为120ABC，所以ACBC， 因为以A，B为焦点的双曲线经过点C 所以2ACBCa，2ABBCc， 在三角形ABC中由余弦定理得 222 cos120 2 ABBCAC ABBC ， 所以 222 2 144 28 ccAC c ，解得 22 12ACc，所以2 3ACc， 所以2 322cca，所以 31 2 c a ， 故选：C （2020 朝阳区一模）朝阳区一模） 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 22 322 :()4Cxyx y被称为“四叶玫瑰线”（如图 所示）. 给出下列三个结论：
11、 曲线C关于直线y x 对称； 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； 存在一个以原点为中心、边长为 2的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是_. 【答案】 【解析】 对于， 将( , )y x代入 22 322 :()4Cxyx y得 22 322 ()4yxy x成立， 故曲线C关于直线y x 对 称，故正确； 对于，因为 22 3222 22 ()() 44 xyxy x y ，所以 22 1xy，所以 22 1xy， 所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确； 对于，联立 22 322 ()4 yx xyx y 得 22 1 2 xy，从而
12、可得四个交点 22 (,) 22 A， 22 (,) 22 B ， 22 (,) 22 C ， 22 (,) 22 D， 依题意满足条件的最小正方形是各边以, ,A B C D为中点， 边长为 2的正方形， 故不存在一个以原点为中心、 边长为 2的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界） ，故不正确. 故答案为： （2020 石景山一模）石景山一模） 圆 22 28130xyxy的圆心到直线 10axy 的距离为 1，则a（ ） A. 4 3 B. 3 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【 解 析 】 由 22 28130xyxy配 方 得 22 (1)(4)4xy， 所 以 圆 心 为
13、(1, 4 )， 因 为 圆 22 28130xyxy圆心到直线 10axy 的距离为 1，所以 22 4 1 1 1 a a ，解得 4 3 a ，故 选 A. （2020 石景山一模）石景山一模） 已知F是抛物线C： 2 4yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N. 若M为FN的中点，则FN _. 【答案】3； 【解析】根据题意画出图象，如下图所示： 因为F是抛物线C： 2 4yx的焦点，所以点F坐标为 (1,0)F. 设点N为(0,) N Ny ，因为M为FN的中点，所以点M为 1 ( ,) 22 N y ， 因为点M在抛物线上，则 2 1 4() 22 N y .则 2 8
14、N y . 故： 22 8 13FNOFON . 故答案为：3. （2020 怀柔一模）怀柔一模） 已知抛物线 2 2ypx的焦点与双曲线 2 2 1 4 x y的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标 为_；准线方程为_. 【答案】 (1). (2,0) (2). 2x； 【解析】由题可知：双曲线 2 2 1 4 x y的右顶点坐标为 2,0 所以可知抛物线的焦点坐标为2,0，准线方程为2x 故答案为：(2,0)；2x （2020 怀柔一模）怀柔一模）6.已知圆 C 与圆(x1)2y21 关于原点对称，则圆 C的方程为（ ） A. x2y21 B. x2(y1)21 C. x2(y1)21 D. (
15、x1)2y21 【答案】D 【解析】由题可知：圆C的圆心1,0C ，半径为1 所以圆C的方程为： 2 2 11xy 故选：D （2020 密云一模）密云一模） 如果直线1axby与圆 22 :1C xy相交， 则点,M a b与圆 C 的位置关系是 （ ） A. 点 M 在圆 C上 B. 点 M 在圆 C 外 C. 点 M 在圆 C 内 D. 上述三种情况都有可能 【答案】B 【解析】直线1axby与圆 22 :1C xy相交， 圆心(0,0)到直线1axby的距离 22 | 1| 1d ab ， 即 22 1ab 也就是点( , )M a b到圆C的圆心的距离大于半径 即点( , )M a
16、b与圆C的位置关系是点M在圆C外 故选：B （2020 密云一模）密云一模） 已知斜率为 k的直线 l与抛物线 2 :4C yx交于 A，B两点，线段 AB的中点为 1,0Mmm，则斜率 k 的取值范围是（ ） A. (,1) B. (,1 C. (1,) D. 1,) 【答案】C 【解析】设直线l的方程为：y kxb ， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ， 联立方程 2 4 ykxb yx ，消去y得： 222 (24)0k xkbxb， 222 (24)40kbk b， 1kb， 且 12 2 42kb xx k ， 2 12 2 b x x k ， 1212 4 (
17、)2yyk xxb k ， 线段AB的中点为 (1M,) (0)mm ， 12 2 42 2 kb xx k ， 12 4 2yym k ， 2 2k b k ， 2 m k ， 0m， 0k ， 把 2 2k b k 代入1kb，得 2 21k， 2 1k， 1k ， 故选：C （2020 密云一模）密云一模） 双曲线 22 1yx的焦点坐标是_，渐近线方程是_. 【答案】 (1). (0,2) (2). yx 【解析】由双曲线 22 1yx，可得1a ，1b，则 2c ， 所以双曲线的焦点坐标是(0,2)， 渐近线方程为：y x 故答案为：(0,2)；y x （2020 顺义区顺义区一模）
18、一模） 直线:1l ykx与圆 22 :1O xy相交于 ,A B两点,当AOB 的面积达到最大时, k _. 【答案】 【解析】解：由圆 22 :1O xy, 得到圆心坐标为0,0O ,半径1r , 把直线的方程为:1l ykx, 整理为一般式方程得：:10l kxy , .圆心0,0O到直线AB的距离 2 1 1 d k = + 弦AB的长度 2 22 2 22 1 k ABrd k , 2 22 2 1 11 2 1 211 1 AOB kk S kk k k k =创= + + + , 又因为 11 22kk kk +匙=, 1 2 AOB S? 当且仅当 1 k k =时取等号, A
19、OB S取得最大值,最大值为 1 2 . 解得1k 故答案为： （2020 顺义区顺义区一模）一模） 抛物线 2 20ypx p的焦点是双曲线 22 xyp的一个焦点，则p （ ） A. 2 2 B. 8 C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】解：抛物线 2 20ypx p的焦点为,0 2 p , 双曲线 22 xyp,为 22 1 xy pp , 则 2 2cp,2cp,焦点为：2 ,0p或2 ,0p, 所以有2 2 p p,解得0p 或8p ,又因为0p , 所以8p . 故选：B （2020 延庆一模）延庆一模） 已知双曲线 22 1 169 xy C：的右焦点为F， 过原点O的直线与
20、双曲线C交于 ,A B两点， 且60AFB，则BOF的面积为( ) A. 3 3 2 B. 9 3 2 C. 3 2 D. 9 2 【答案】A 【解析】 如图，设双曲线的左焦点为 1 F，连接 11 ,AF BF， 依题可知四边形 1 AFBF的对角线互相平分， 则四边形 1 AFBF为平行四边形，由60AFB可得 1 120FBF， 依题可知 12 | 22 16910FFc， 由余弦定理可得： 222 1111 |BF| +|BF| -2|BF|BF|cos |FBFFF 即 22 11 |BF| +|BF| +|BF|BF|100； 又因为点B在椭圆上，则 1 |BF|-|BF|28a，
21、 所以 22 11 |BF| +|BF| -2|BF|BF|64. 两式相减得 1 3|BF|BF|36，即 1 |BF|BF|12， 所以 1 FBF的面积为： 1 11 113 |sin123 3 222 F BF SBFBFFBF 因为O为 1 FF的中点，所以 1 13 3 22 OBFF BF SS 故选：A （2020 延庆一模）延庆一模） 经过点2,0M 且与圆 22 1xy相切的直线l的方程是_. 【答案】 3 (2) 3 yx 【解析】依题满足条件的直线斜率存在， 设直线l方程为： (2)yk x 即20kxyk. 又 22 1xy的圆心为(0,0)，半径为1, 又直线l与圆
22、相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 所以 2 |2 | 1 1 k k ，解之得： 3 3 k 所以直线的方程为 3 (2) 3 yx . 故答案为： 3 (2) 3 yx （2020 海淀一模）海淀一模） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 12 3 ,(,0),( ,0), (0, ) 2 AaA aBb， 12 ABA 的面积为 2. (I)求椭圆 C的方程； (II)设 M 是椭圆 C上一点，且不与顶点重合，若直线 1 AB与直线 2 A M交于点 P，直线 1 AM与直线 2 A B交 于点 Q.求证:BPQ为等腰三角形. 【解析】 (I)由题意
23、得 222 3 2 1 22 2 c a ab bca ，解得2,1,3abc，故椭圆的方程为 2 2 1 4 x y . (II)由题意得 12 2,0 ,2,0 ,0,1AAB,设点,M m n，则有 22 44mn， 又直线 2 A M的直线方程为2 2 n yx m ，直线 1 AB的直线方程为 1 1 2 yx， 2 2 1 1 2 n yx m yx ，解得 244 22 4 22 mn x nm n y nm ， P点的坐标为 2444 , 2222 mnn nmnm . 又直线 1 AM的直线方程为2 2 n yx m ，直线 2 A B的直线方程为 1 1 2 yx . 2
24、2 1 1 2 n yx m yx ，解得 244 22 4 22 mn x nm n y nm ， Q 点的坐标为 2444 , 2222 mnn nmnm . 2 222 5 (1) 4 ppp BPxyx， 2 222 5 (1) 4 QQQ BQxyx. 2222 244244 ()() 2222 PQ mnmn xx nmnm 2222 22 4222242222 2222 mnnmmnnm nmnm 22 22 64(44) 0 2222 mn mn nmnm ， 22 =BPBQ，BPBQ，BPQ 为等腰三角形. （2020 西城一模）西城一模） 设椭圆 2 2 :1 2 x E
25、y，直线 1 l经过点0M m，直线 2 l经过点0N n，直线 1 l直线 2 l，且直线 12 ll，分别与椭圆E相交于A B，两点和CD，两点. ()若MN，分别为椭圆E的左、右焦点，且直线1 lx轴，求四边形ABCD的面积; ()若直线 1 l的斜率存在且不为 0，四边形ABCD为平行四边形，求证:0mn; ()在()的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由. 【解析】 ()1,0M ，1,0N，故 2 1, 2 A ， 2 1, 2 B ， 2 1, 2 C ， 2 1, 2 D . 故四边形ABCD的面积为 2 2S . ()设 1 l为yk xm，则 2 2 1 2 x
26、y yk xm ，故 22222 214220kxk mxm k ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，故 2 12 2 22 12 2 4 21 22 21 k m xx k k m x x k ， 222 2 222 12121 2 2 1688 1141 21 kk m ABkxxkxxx xk k ， 同理可得 222 2 2 1688 1 21 kk n CDk k ， ABCD，故 222222 22 22 16881688 11 2121 kk mkk n kk kk ， 即 22 mn ，mn，故0mn. ()设AB中点为 ,P a b，则 2 2 1 1 1 2
27、x y， 2 2 2 2 1 2 x y， 相减得到 1212 1212 0 2 xxxx yyyy ，即20akb， 同理可得：CD的中点,Q c d，满足20ckd， 故 11 222 PQ dbdb k cakdkbkk ，故四边形ABCD不能为矩形. （2020 东城一模）东城一模） 已知椭圆 22 :36C xy的右焦点为 F. （1）求点 F的坐标和椭圆 C 的离心率； （2）直线:0l ykxm k过点 F，且与椭圆 C 交于 P，Q两点，如果点 P关于 x 轴的对称点为 P，判 断直线 PQ是否经过 x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由. 【解析】 （1
28、）椭圆 22 :1 62 xy C， 222 4cab ，解得2c ， 焦点2,0F，离心率 6 3 e . （2）直线:0l ykxm k过点 F， 2mk，:2l yk x. 由 22 36 2 xy yk x ，得 2222 31121260kxk xk.（依题意 ）. 设 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 则 2 12 2 12 31 k xx k ， 2 12 2 126 31 k x x k . 点 P 关于 x轴的对称点为 P，则 11 ,P xy. 直线 PQ的方程可以设为 21 11 21 yy yyxx xx ， 令0y ， 21112112 1 1212 x y
29、x yx yx y xx yyyy 2112 12 22 4 kxxkxx k xx 1212 12 22 4 x xxx xx 22 22 2 2 12612 22 3131 3 12 4 31 kk kk k k . 直线 PQ过 x轴上定点3,0. （2020 丰台一模）丰台一模） 已知椭圆 C： 22 22 1 yx ab （0ab）的离心率为 2 2 ，点 () 1,0P在椭圆 C 上，直 线 0 yy 与椭圆 C交于不同的两点 A，B. （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线PA，PB分别交 y 轴于 M，N 两点，问：x 轴上是否存在点 Q，使得 2 OQNOQM ？若 存在，求
30、出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】 （1）由题意 2 222 1 1 2 2 b c a abc 解得 2 2a ， 2 1b . 所以椭圆 C的方程为 2 2 1 2 y x. （2）假设存在点 Q使得 2 OQNOQM .设,0Q m 因为 2 OQNOQM ，所以OQNOMQ .则tantanOQNOMQ. 即 ONOQ OQOM ，所以 2 OQON OM. 因为直线 0 yy 交椭圆 C 于 A，B 两点，则 A，B两点关于 y轴对称. 设 00 ,A x y， 00 ,Bx y（ 0 1x ） ， 因为 () 1,0P，则直线PA的方程为： 0 0 1 1 y yx
31、x . 令0x，得 0 0 1 M y y x . 直线PB的方程为： 0 0 1 1 y yx x . 令0x，得 0 0 1 M y y x . 因为 2 OQON OM，所以 2 2 0 2 0 1 y m x . 又因为点 00 ,A x y在椭圆 C 上，所以 22 00 2 1yx. 所以 2 0 2 2 0 2 1 2 1 x m x .即2 m . 所以存在点2,0Q 使得 2 OQNOQM 成立. （2020 朝阳区一模）朝阳区一模） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 圆 222 :O xyr（O为坐标原点） .过点(0, ) b 且斜率为1的直线与圆
32、O交于点(1,2)，与椭圆C的另一个交点的横坐标为 8 5 . （1）求椭圆C的方程和圆O的方程； （2）过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，若直线 1 l的斜率为(0)k k 且 1 l与椭圆C相切，试 判断直线 2 l与椭圆C的位置关系，并说明理由. 【解析】 （1）因为圆O过点(1,2)，所以圆O的方程为： 22 5xy. 因为过点(0, ) b且斜率为1的直线方程为yxb ， 又因为过点(1,2)，所以1b. 因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为 83 (,) 55 ， 所以 22 2 83 ()() 55 1 1a ，解得 2 4a . 所以椭圆C的方程为 2 2
33、 1 4 x y . （2）直线 2 l与椭圆C相切.理由如下： 设圆O上的动点 000 (,)(2)P xyx ，所以 22 00 5xy. 依题意，设直线 1 l： 00 ()yyk xx. 由 22 00 44, () xy ykxykx 得 222 0000 (1 4)8 ()4()40kxk ykx xykx. 因为直线 1 l与椭圆C相切， 所以 222 0000 8 ()4(1 4)4()40k ykxkykx. 所以 22 00 14()kykx. 所以 222 0000 (4)2(1)0xkx y ky. 因为 22 00 5xy，所以 22 00 41xy. 所以 222
34、0000 (1)2(1)0ykx y ky. 设直线 2 l： 00 1 ()yyxx k ， 由 22 00 44, 1 () xy yyxx k 得 2200 00 2 48 (1)()4()40 xx xyxy kkkk . 则 222 10000 11 16(4)()2()(1)xx yy kk 222 0000 2 16(4 )2(1)xkx yyk k 222 0000 2 16( 1)2(1)ykx yyk k 222 0000 2 16( 1)2(1)0ykkx yy k . 所以直线 2 l与椭圆C相切. （2020 石景山一模）石景山一模） 已知椭圆C： 22 22 1 x
35、y ab (0ab)的右焦点为 1,0F，离心率为 2 2 .直线l过 点F且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. （1）求椭圆C的方程； （2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （3）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率. 【解析】 （1）由已知1c， 2 2 c e a ， 又 222 abc，解得2a ，1b 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y. （2）设直线l的方程为1yk x(0k ) 联立 2 2 1 2 10 x y yk xk 消去y得 2222 214220kxk xk ，不妨设 11 ,A x
36、 y， 22 ,B x y 则 2 12 2 4 21 k xx k += + ，因为M为线段AB的中点 所以 2 12 2 2 221 M xxk x k ， 2 1 21 MM k yk x k 所以 1 2 M OM M y k xk 所以 11 22 OMl kkk k 为定值. （3）若四边形OAPB为平行四边形，则OA OB OP 所以 2 12 2 4 21 P k xxx k 121212 2 2 112 21 P k yyyk xk xk xx k 因为点P在椭圆上，所以 2 2 2 22 42 22 2121 kk kk 解得 2 1 2 k ，即 2 2 k 所以当四边形
37、OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为 2 2 k （2020 怀柔一模）怀柔一模）已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设,A B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AEx轴，垂足为E，连接BE并 延长交椭圆于点D，证明：ABD是直角三角形 【解析】 （1）依题意可得 2 2, 2 c b a ，所以 2222 222 21 2 caba aaa ， 得2a，所以椭圆的方程是 22 1 42 xy . （2）设 11 ,A x y，,y DD D x，则 11 ,Bxy， 1,0 E x， 直线BE的方程为
38、1 1 1 2 y yxx x ， 与 22 1 42 xy 联立得 222 2 111 2 11 140 22 yyy xx xx ， 因为 D x， 1 x是方程的两个解， 所以 2 1 2 2 1 11 22 2 11 1 2 1 4 8 2 2 1 2 D y y xxx xyy x 又因为 22 11 1 42 xy ， 所以 2 1 1 2 1 8 38 D y xx y ，代入直线方程得 3 1 2 1 38 D y y y 3 1 1 22 111 22 111 11 2 1 3824 1 8 38 ABAD y y yyy kk yxx xx y 所以ABAD，即ABD是直角
39、三角形. （2020 密云一模）密云一模）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且过点0,1A. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）点 P 是椭圆上异于短轴端点 A，B 的任意一点，过点 P作PQy轴于 Q，线段 PQ的中点为 M.直线 AM与直线 1y 交于点 N，D 为线段 BN 的中点，设 O为坐标原点，试判断以 OD为直径的圆与点 M的位 置关系. 【解析】 （1）由题意可知， 222 1 3 2 b c a abc ，解得 2 1 3 a b c ， 椭圆C的标准方程为： 2 2 1 4 x y . （2）设点 0 (P x， 0) y ，则
40、 0 ( 2 x M， 0) y ， 直线AM的斜率为 00 0 0 12(1) 0 2 yy x x ， 直线AM的方程为： 0 0 2(1) 1 y yx x ， 令1y 得， 0 0 1 x x y ， 点N的坐标为 0 0 (1 x y ，1)， 点D的坐标为 0 0 (2(1 ) x y ，1)， 0 ( 2 x OM DM ， 22 20000 0000 00 ) (,1) 22(1)444 xxxx yyyy yy ， 又点 0 (P x， 0) y 在椭圆C上， 2 2 0 0 1 4 x y， 22 00 44xy， 2 0 000 0 4(1) 11(1)0 4(1) y
41、OM DMyyy y ， 点M在以OD为直径的圆上 （2020 顺义区顺义区一模）一模）已知椭圆 C： 22 3412xy. （1）求椭圆 C 的离心率； （2） 设,A B分别为椭圆 C 的左右顶点,点 P在椭圆 C 上,直线 AP,BP 分别与直线4x相交于点 M,N.当点 P 运动时,以 M,N 为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论. 【解析】 （1）由 22 3412xy得 22 1 43 xy , 那么 22 4,3ab 所以 222 1cab 解得2a,1c所以离心率 1 2 c e a （2）由题可知( 2,0),(2,0)AB, 设 00 ,P x y,则 22 00 :3412Cxy 直线AP的方程： 0 0 (2) 2 y yx x 令4x,得 0 0 6 2 M y y x ,从而M点坐标为 0 0 6 4, 2 y x 直线BP的方程： 0 0 (2) 2 y yx x 令4x,得 0 0 2 2 N y y x ,从而N点坐标为 0 0 2 4, 2 y x 设以MN为直径的圆经过x轴上的定点 1,0 Q x,则MQNQ 由0MQ NQ得 2 2 0 1 00 12 40 22 y x xx 由式得
