1、江苏省如皋中学江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷二届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷二 第 I 卷（必做题，共 160 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4测试范围：高中全部内容。 一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分. 1. 已知集合 1 |lg0,|( )1 2 x P
2、xxQx = ，则P Q =_ 2. 设R，则“| | 2 2 ”是“sin0”的_条件。（在一下条件中填一个：充分不必要 条件，充要条件，必要不充分条，既不充分又不必要条件） 3. 对于函数 3 1 1 ( ) k f x xk = = + ，给出如下四个结论：其中正确的结论有_个。 （1）这个函数的值域为 R； （2）这个函数在区间0， )+上单调递减； （3）这个函数图象具有中心对称性； （4）这个函数至少存在两个零点 4. 已知x为实数， x表示不超过x的最大整数，若函数( ) f xxx= ，则函数( )( ) ex x g xf x=+的零 点个数为_个。 5. 已知为抛物线的焦点
3、， 过点 且倾斜角为的直线 与抛物线交于，两点， ， 分别是该抛物线在，两点处的切线，相交于点，则_ F 2 4 x y =F150lAB 1 l 2 l AB 1 l 2 lC CA CB= 6. 已知复数，是实数，那么复数的实部与虚部满足的关系式为_ 7. 过点的直线 与圆 相交于两点，且圆上一点到 的距离的最大值为 ，则直线的方程为_ 8. 如图，已知正三棱柱 111 ABCA B C的侧棱长为底面边长的 2 倍，M是侧棱 1 CC 的中点，则异面直线 1 AB和BM所成的角的余弦值为_ 9. 已知实数，满足，则 的最大值为_ 10. 已知 n S是等差数列 n a的前n项和， 若 20
4、1820202019 SSS， 设 12nnnn ba aa + =， 则 数列 1 n b 的前n项和 n T取最大值时n的值为_ 11. 在ABC中，角A的平分线交BC于D， 3BD =，2CD =，则ABC面积的最大值为_ 12. 已知对任意 (0,)x+，都有 1 (e1)(1)ln0 kx kx x +，则实数k的取值范围为_ 13. 在锐角三角形 ABC 中，若sin2sinsinABC=，则 22 sinsinAB+ 的最大值为_ 14.已知函数 2 ( )(| 5,)f xxbxc bcR=+，记 |( ), |( ( )Ax f xxBx ff xx=，若集 合 121234
5、 , ,Ax xBx xx x=，且 1234 |51xxxx+恒成立，则bc+的取值范围是 _ 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 7 coscos 7 aBbAac+=， sin2sinAA= （1）求A及a； （2）若2bc=，求BC边上的高 i( ,)zab a b=+R i1 z + z (0,2)Pl 22 :9O xy+=,M NQl 4MN a b0ab 2 aa abab + 16. (本小题满分 14 分) 如图，在正三棱柱 111 ABC
6、ABC中，点D在棱BC上， 1 ADC D,点,E F分别是 111 ,BB A B的中 点. （1）求证：D为BC的中点； （2）求证:/EF平面 1 ADC. 17 (本小题满分 14 分)某地实行垃圾分类后，政府决定为三个小区建造 一座垃圾处理站 M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知在的正西方向，在 的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的北偏西方向，小 区与相距与相距. （1）求垃圾处理站与小区之间的距离； （2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费 用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元(其中为满足是内的正整数) . 现有两种运输湿垃圾的方案
7、： 方案 1:只用一辆大车运输，从出发，依次经再由返回到； 方案 2:先用两辆小车分别从运送到，然后并各自返回到，一辆大车从直接到 再返回到.试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位 , ,A B C ABC B30MB20C45 AB 2,km BC3 km MC aa 100199 M ,A B CC M AC、BAC、MB M 18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 （1）曲线与椭圆相交于，两点，为椭圆上异于，的点，若直线 的斜率为 1，求直线的斜率； （2）若椭圆的左焦点为，右顶点为，直线过的直 线与椭圆相交于，在第一象限）两点，与 相交于， 是否存在使的面积等于的
8、面积与的面积之 和若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由 19. (本小题满分 16 分) 已知数列 n a满足奇数项 21n a 成等差，公差为d，偶数项 2n a成等 比，公比为q，且数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a =， 2 2a =. ( )1若 545 2Saa=+， 934 aaa=+.求数列 n a的通项公式； 若 12mmm a aa + =，求正整数m的值； ( )2若1d =，1q ，对任意给定的q，是否存在实数，使得 21 2 n n a a 对任意 * nN恒成立？ 若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 2 2 :1 2 x Cy+= 3 :D
9、 yx=CABHCABHA HB CFE:4l x =F l CP(Q PlM l PFEMPEQFE l 20(本小题满分 16 分)已知函数 1 ( )ln()()f xxx x =+R （1）当1x 时，不等式 ( )0f x 恒成立，求的最小值； （2）设数列an满足 1 () n an n = * N，其前n项和为 n S，证明： 2 ln2 4 n nn a SS+ 第第 II 卷（附加题，共卷（附加题，共 40 分）理科附加题分）理科附加题 21已知点A在变换 3 : xxxy T yyy + = 作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B.若 点B的坐标为()4,3，求点A的坐标
10、. 22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数） ，以坐标原点为 极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为 （1）求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程； （2）若，是曲线上两点，当时，求的取值 范围 1 C 1cos (0 sin xr r yr = + = O x 1 C (2,) 3 P 2 C 22 1xy= 1 C 2 C 1 (A) 2 (B ) 6 2 C (0,) 4 22 11 |OAOB + 23如图，平面EFBA 平面ABCD，四边形EFBA为矩形，四边形ABCD为等腰梯形，AB CD， M，N分别为FC，AC的中点，45ADC=，33DCAB
11、=，2AE = （1）证明：MN平面EFBA； （2）求二面角FACD的正弦值； （3）线段ED上是否存在点P，使得PN 平面MAC，若存在，求出EP的长；若不存在，说 明理由 242019 年 12 月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家 组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传 染， 可以通过与患者的密切接触进行传染 我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者， 每位密切接触者被感染后即被称为患者已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率 为， 某位患者在隔离之前， 每天有位密切接触者， 其中被感染的人数为
12、， 假设每位密切接触者不再接触其他患者 （1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望； （2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传 播的最佳时间， 设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者， 从某一名患者被感染， 按 第 1 天算起，第天新增患者的数学期望记为 求数列的通项公式，并证明数列为等比数列； （） 若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率， 降低后的患病概率 当取 最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要 性 （取 （结果保留整数，参考数据：， (01)ppa(0)XXa X()P Xap
13、X a n(2) n En i（ ） n E n E 2 ln(1) 3 ppp =+p p 6 E p 6 E 10)a = ln51.6ln31.1 12 ln20.7,0.3,0.7) 33 江苏省如皋中学江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷二届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷二 第 I 卷（必做题，共 160 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
14、上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4测试范围：高中全部内容。 一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分. 1. 已知集合 1 |lg0,|( )1 2 x PxxQx = ，则P Q =_ 2. 设R，则“| | 2 2 ”是“sin0”的_条件。（在一下条件中填一个：充分不必要 条件，充要条件，必要不充分条，既不充分又不必要条件） 充分不必要条件 3. 对于函数 3 1 1 ( ) k f x xk = = + ，给出如下四个结论：其中正确的结论有_个。 4 （1）这个函数的值域为 R； （2）这个函数在区间0， )+上单调递减； （3）这个函数图象具
15、有中心对称性； （4）这个函数至少存在两个零点 4. 已知x为实数， x表示不超过x的最大整数，若函数( ) f xxx= ，则函数( )( ) ex x g xf x=+的零 点个数为_个。2 5. 已知为抛物线的焦点， 过点 且倾斜角为的直线 与抛物线交于，两点， ， 分别是该抛物线在，两点处的切线，相交于点，则_0 F 2 4 x y =F150lAB 1 l 2 l AB 1 l 2 lC CA CB= 6. 已知复数，是实数，那么复数的实部与虚部满足的关系式为_ 7. 过点的直线 与圆 相交于两点，且圆上一点到 的距离的最大值为 ，则直线的方程为_或 8. 如图，已知正三棱柱 111
16、 ABCA B C的侧棱长为底面边长的 2 倍，M是侧棱 1 CC 的中点，则异面直线 1 AB和BM所成的角的余弦值为_ 3 10 20 9. 已知实数，满足，则 的最大值为_ 10. 已知 n S是等差数列 n a的前n项和， 若 201820202019 SSS， 设 12nnnn ba aa + =， 则 数列 1 n b 的前n项和 n T取最大值时n的值为_2019 11. 在ABC中， 角A的平分线交BC于D， 3BD =，2CD =， 则ABC面积的最大值为_ 15 12. 已知对任意 (0,)x+，都有 1 (e1)(1)ln0 kx kx x +，则实数k的取值范围为_ 1
17、 ( e ， )+ 13. 在锐角三角形 ABC 中，若sin2sinsinABC=，则 22 sinsinAB+ 的最大值为_ 3+2 2 14.已知函数 2 ( )(| 5,)f xxbxc bcR=+，记 |( ), |( ( )Ax f xxBx ff xx=，若集 合 121234 , ,Ax xBx xx x=，且 1234 |51xxxx+恒成立，则bc+的取值范围是 _ 5 ,9 4 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 7 coscos 7 a
18、BbAac+=， sin2sinAA= （1）求A及a； （2）若2bc=，求BC边上的高 i( ,)zab a b=+R i1 z + z 0ab= (0,2)Pl 22 :9O xy+=,M NQl 4MN320xy+=320xy+= a b0ab 2 aa abab + 32 2 【解析】【解析】（1） 7 coscos 7 aBbAac+=， 由正弦定理得 7 sincossincossin 7 ABBAaC+=， 7 sin()sin 7 ABaC+=，又ABC+=， 7 sinsin 7 CaC=，又sin0C ， 7a = ； sin2sinAA=，2sincossinAAA=，
19、又sin0A ， 1 cos 2 A =， 又 (0,)A ， 3 A =. （2）由余弦定理得 222 2cosabcbcA=+，又7a =， 3 A =， 22 7bcbc+=，又 2bc=+，代入 22 7bcbc+=，得 2 230cc+=， 解得1c =或3（舍去），3b=， sinsin ac AC =， sin21 sin 14 cA C a =， 设BC边上的高为h， 3 21 sin 14 hbC= 16. (本小题满分 14 分) 如图，在正三棱柱 111 ABCABC中，点D在棱BC上， 1 ADC D,点,E F分别是 111 ,BB A B的中 点. （1）求证：D为
20、BC的中点； （2）求证:/EF平面 1 ADC. 【解析】 （1） 正三棱柱 111 ABCABC， 1 C C 平面ABC， 又AD 平面ABC， 1 C CAD，又 1 ADC D， 111 C DC CC= AD 平面 11 BCC B， 又正三棱柱 111 ABCABC， 平面ABC 平面 11 BCC B， AD BC，D为BC的中点 （2） 连接 1 AB，连接 1 AC交 1 AC于点G，连接DG 矩形 11 A ACC， G为 1 AC的中点， 又由(1)得D为BC的中点， 1 A BC中， 1 / /DGAB 又点E，F分别是 1 BB， 11 A B的中点， 11 A B
21、 B中， 1 / /EFA B， / /EFDG， 又EF 平面 1 ADC，DG 平面 1 ADC / /EF平面 1 ADC 17 (本小题满分 14 分)某地实行垃圾分类后，政府决定为三个小区建造 一座垃圾处理站 M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知在的正西方向，在 的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的北偏西方向，小 区与相距与相距. （1）求垃圾处理站与小区之间的距离； （2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费 用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元(其中为满足是内的正整数) . 现有两种运输湿垃圾的方案： 方案 1:只用一辆大车运输，从
22、出发，依次经再由返回到； 方案 2:先用两辆小车分别从运送到，然后并各自返回到，一辆大车从直接到 再返回到.试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位 【解析】 （1）在中，. , ,A B C ABC B30MB20C45 AB 2,km BC3 km MC aa 100199 M ,A B CC M AC、BAC、MB M MBC 50MBC=105MCB = 3BC = 25BMC= 由正弦定理得：，. 所以垃圾处理站与小区间的距离为公里. （2）在中，由得： 在中， ，. 方案一费用: ， 方案二费用: 当时，方案二合算，此时； 当时，方案一合算， 此时； 综上，当时，
23、 方案二合算；当时，方案一合算. 18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 （1）曲线与椭圆相交于，两点，为椭圆上异于，的点，若直线 的斜率为 1，求直线的斜率； （2）若椭圆的左焦点为，右顶点为，直线过的直线与椭圆相交于， 在第一象限）两点，与 相交于，是否存在使的面积等于的面积与 的面积之和若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由 【解析】【解析】 （1）由已知设， 记直线 HA，HB 的斜率分别为 kHA，kHB， 于是有，相减得， 又， 3 sin50sin25 MC = 3sin50 5.4385.44 sin 25 MC= MC5.44 MBC 3 sin105sin25 MB
24、= 3sin105 6.857 sin25 MB = MBC 70MBA=2AB = 222 2cos70MAABMBAB MB=+ 6.452MA ()() 1 6.452235.43816.890ya MAABBCCMaa=+=+= ()() 2 2213.713 10ya MBaABBCa=+=+ 12 yy00.32 12 yy0.321 00.320.321 2 2 :1 2 x Cy+= 3 :D yx=CABHCABHA HB CFE:4l x =F l CP (Q PlM l PFEMPE QFE l ( , )H x y 1 (A x 1) y 1 (Bx 1) y 22 2
25、2xy+= 22 11 22xy+= 2222 11 2()xxyy= 22 111 22 111 1 2 HAHB yyyyyy kk xxxxxx + = + ，即直线的斜率为. （2）设， 则， 由得， 设，令，得， 把代入得 ， ， 联立得， 把代入得 化简得，由于此方程无解，故所求直线不存在 19. (本小题满分 16 分) 已知数列 n a满足奇数项 21n a 成等差，公差为d，偶数项 2n a成等 比，公比为q，且数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a =， 2 2a =. ( )1若 545 2Saa=+， 934 aaa=+.求数列 n a的通项公式； 若 12mmm
26、 a aa + =，求正整数m的值； ( )2若1d =，1q ，对任意给定的q，是否存在实数，使得 21 2 n n a a 对任意 * nN恒成立？ 若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 1 HA k= 1 2 HB k= HB 1 2 0 (4,)My 3 (P x 3) y 4 (Q x 4) y 0303 111 | () 222 MPE SFEyFEyFEyy= 34 11 |,| () 22 PFEQFE SFEy SFEy= PFEMPEQFE SSS=+ 034 2yyy=+ :1(0)l xmym=4x = 0 5 y m = 34 5 2yy m += 1xmy
27、= 2 2 1 2 x y+= 22 (2)210mymy+ = 34 2 2 2 m yy m += + 34 2 1 2 y y m = + 3 2 52 2 m y mm = + 4 2 45 2 m y mm = + 222 52451 ()() 222 mm mmmmm = + 42 19500mm+= l 解：( )1因为 545 2Saa=+， 934 aaa=+，所以 1234 aaaa+=， 934 aaa=+，即 42 32 dq dq += = 解得2d =，3q =. 当n为奇数时，设21nk=，则() 211 121 nk aaakdkn =+= = 当n为偶数时，设
28、2nk=，则 1 1 2 22 2 3 n k nk aaa q = 综上 1 2 ,21 2 3,2 n n n nk a nk = = = ， * kN . 当m为奇数时， 12mmm a aa + =，即 1 2 2 32 m mm =+ ，即 1 2 2 2 31 m m = +，当1m =时，不合 题意；当3m 时，右边小于 2，左边大于 2，等式不成立； 当m为偶数时， 12mmm a aa + =，13m+ =,所以2m =.综上，2m =. ( )2当0=时，由于 21n an =， 1 2 2 n n aq =各项，所以 21 2 0 n n a a ，所以0=符合题意； 当
29、0时，假设 21 2 n n a a 对任意 * nN恒成立，即 1 2 n n q 对任意 * nN恒成立， 所以 2 n n qq ，令 0 2 q =，即 0 n n q 对任意 * nN恒成立 先证：ln x x 对任意0x 恒成立， 令( )lnfxxx=，则( ) 112 22 x fx xxx =， 所以( )fx在()0,4上递减，在() 4,+上递增， 所以( )( ) min 42ln40fxf=，即ln x x 对任意0x 恒成立，所以lnn n ， 所以() 2 lnlnln2lnln2ln2 n qnnqnnqnnnq=，所以当 2 4 ln n q 时， 2n qn
30、,即 0 2n nn nq ，解得 0 1 n ， 所以当 0 1 n 且 2 4 ln n q 时， 0 2 1 n nn qnn = 这与 0 n n q 对任意 * nN恒成立矛盾，所以当 0时不合题意；综上的取值范围为 0. 20(本小题满分 16 分)已知函数 1 ( )ln()()f xxx x =+R （1）当1x 时，不等式 ( )0f x 恒成立，求的最小值； （2）设数列an满足 1 () n an n = * N，其前n项和为 n S，证明： 2 ln2 4 n nn a SS+ 【解析】【解析】（1）由 1 ( )ln()()f xxx x =+R，得 2 2 ( )
31、xx fx x + =， 当 1 2 时， 方程 2 0xx+=的 2 140= ， 因式 2 xx+在区间(1, )+上恒为负数， 所以1x 时， ( )0fx ，函数 ( )f x在区间(1,)+上单调递减， 又f（1）0=，所以函数 ( )0f x 在区间(1, )+上恒成立； 当 1 0 2 时 ， 方 程 2 0xx+=有 两 个 不 等 实 根 ， 且 满 足 22 12 114114 1 22 xx + = ， 所以函数 ( )f x 的导函数 ( )fx 在区间 2 114 (1,) 2 + 上大于零，所以函数 ( )f x 在区间 2 114 (1,) 2 + 上单调递增，
32、又f（1）0=，所以函数 ( )f x在区间 2 114 (1,) 2 + 上恒大于零，不满足题意； 当0时，在区间() 1,+上 1 ( )ln()lnf xxxx x =+， 函数 lnyx= 在区间(1, )+上恒为正数， 所以在区间(1, )+上( )f x恒为正数，不满足题意； 综上可知：当1x 时，不等式 ( )0f x 恒成立，的最小值为 1 2 （2）由（1）知：当1x 时， 1 1(1)(1) ln() 22 xx xx xx + =， 若n * N，则 11 (1)1 (1)1 121 ln(1) 1 2 (1) 2(1) n nn nn n n + + += + + ，
33、即 11 ln(1)ln 22(1) nn nn + + 成立， 将n换成1n +，得 11 ln(1)1ln(1) 2(1)2(1)1 nn nn + + 成立， 即 11 ln(2)ln(1) 2(1)2(2) nn nn + + ， 以此类推，得 11 ln(3)ln(2) 2(2)2(3) nn nn + + ， 11 ln2ln(21) 2(21)4 nn nn + ， ， 上述各式相加，得 11111 ln2lnln2 212214 nn nnnnn =+ + ， 又 2 1111 12212 nn SS nnnn =+ + ， 所以 2 ln2 4 n nn a SS+ 第第 I
34、I 卷（附加题，共卷（附加题，共 40 分）理科附加题分）理科附加题 21已知点A在变换 3 : xxxy T yyy + = 作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B.若 点B的坐标为()4,3，求点A的坐标. 【答案】()9,4 【解析】设(),A x y，则A在变换 T下的坐标为()3 ,xy y+，又绕原点逆时针旋转90对应的矩阵 为 01 10 ， 所以 0134 1033 xyy yxy + = + ，得 4 33 y xy = += ，解得 9 4 x y = = 所以点A的坐标为()9,4. 22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数） ，以坐标原点为 极点，轴正半轴为极
35、轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为 （1）求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程； （2）若，是曲线上两点，当时，求的取值 范围 【解析】【解析】 （1）将曲线的参数方程转化成普通方程为：， 由， 得点的直角坐标为，代入曲线得， 曲线的普通方程为， 可化为，即， 曲线的极坐标方程为， （2）将点，代入曲线的极坐标方程， 得， 1 C 1cos (0 sin xr r yr = + = O x 1 C (2,) 3 P 2 C 22 1xy= 1 C 2 C 1 (A) 2 (B ) 6 2 C (0,) 4 22 11 |OAOB + 1 C 222 (1)xyr+= cosx=si
36、ny= (2,) 3 P(1, 3) 1 C 2 3r = 1 C 22 (1)3xy+= 2 C 2222 cossin1= 2 cos21= 2 C 2 cos21= 1 (A) 2 (B ) 6 2 C 2 1 cos21= 2 2 cos(2)1 3 = 2222 12 1111 cos2cos(2) |3OAOB +=+=+ 33 cos2sin23sin(2) 223 =+=+ 当时， 于是 所以的取值范围是 23如图，平面EFBA 平面ABCD，四边形EFBA为矩形，四边形ABCD为等腰梯形，AB CD， M，N分别为FC，AC的中点，45ADC=，33DCAB=，2AE = （
37、1）证明：MN平面EFBA； （2）求二面角FACD的正弦值； （3）线段ED上是否存在点P，使得PN 平面MAC，若存在，求出EP的长；若不存在，说 明理由 【解析】【解析】 （1）连接AF，M，N分别为FC，AC的中点，MNAF， MN 平面EFBA，AF 平面EFBA， MN平面EFBA （2） 过点A作AHCD， 垂足为H， 以A为坐标原点， 分别以AH，AB，AE所在直线为x， y，z轴建立空间直角坐标系 Axyz 如图所示， 则 (0A ，0，0)， (1C ，2，0)， (0F ，1，2)， (1D ，1，0)，(1AC =，2，0)， (0AF =，1，2)， (0,) 4 5
38、 2(,) 336 + 3 3sin(2)(,3 32 + 22 11 |OAOB + 3 (,3 2 设平面FAC的一个法向量为， 则，令，得，2， 平面的一个法向量为， ， 二面角的正弦值为 （3）假设存在这样一个点，设， 设，即， ， ，平面的法向量为，2， 平面， ，且且，即不存在这样的， 故不存在点，使得平面 (x=n y ) z 20 20 ACxy AFyz =+= =+= n n 2y =( 4= n1) ACD(0,0,1)=m 1 cos, | |21 = m n m n mn 2 202 105 sin,1cos, 2121 =m nm n FACD 2 105 21 P
39、 ( P x y ) z EPED= (x y 2)(1z = 1 2) x=y = 22z = (P22 ) 1 ( 2 PN=1+22)MAC( 4= n1) PN MACPNn 1 122 2 421 + = 5 2 = 3 5 = 17 18 = PPN MAC 242019 年 12 月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家 组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传 染， 可以通过与患者的密切接触进行传染 我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者， 每位密切接触者被感染后即被称为患者已知每位密切接触者在接
40、触一个患者后被感染的概率 为， 某位患者在隔离之前， 每天有位密切接触者， 其中被感染的人数为， 假设每位密切接触者不再接触其他患者 （1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望； （2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传 播的最佳时间， 设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者， 从某一名患者被感染， 按 第 1 天算起，第天新增患者的数学期望记为 求数列的通项公式，并证明数列为等比数列； （） 若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率， 降低后的患病概率 当取 最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口
41、罩的必要 性 （取 （结果保留整数，参考数据：， 【解析】【解析】 （1）由题意， 则， （2）第天被感染人数为，第天被感染人数为， 由题目中均值定义得： (01)ppa(0)XXa X()P XapX a n(2) n En i（ ） n E n E 2 ln(1) 3 ppp =+p p 6 E p 6 E 10)a = ln51.6ln31.1 12 ln20.7,0.3,0.7) 33 ( , )XB a p ()C(1) xxax a P Xpp = EXap= (i)n(1) n ap+1n 1 (1)nap + 11 (1)(1)(1) nnn n Eapapapap =+=+
42、，且， 是以为首项，为公比的等比数列 令，则， 在上单调递增，在，上单调递减， 则当， ， ， ， 戴口罩很有必要 1 1 n n E ap E = + 1 Eap= n E ap 1ap+ (ii) 2 ( )ln(1) 3 f ppp=+ 1221 ( ) 133(1) p fp pp + = + ( )f p 1 (0,) 2 1 ( 2 1) max 1311 ( )( )lnln3ln21.10.70.30.1 2233 f pf= 10a = 1 10 (110 )n n Epp =+ 5 6 100.1 (1100.1)32E = += 5 6 100.5(1100.5)38880E =+= 66 EE
