1、3 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 2 （3 分）2019 年末到 2020 年 3 月 16 日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到 15 万人，将数据 15 万用科学记数表示为（ ） A1.5104 B1.5103 C1.5105 D1.5102 3 （3 分）下列主视图正确的是（ ） A B C D 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （x2）3x5 B （x3）5x15 Cx4x5x20 D（x3）2x6 5 （3 分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 6 （3 分）数据 2，4，8，5，3，5，5，4 的众数、中位数分别为（ ） A4
2、.5、5 B5、4.5 C5、4 D5、5 7 （3 分）已知 xy，则下列不等式不成立的是（ ） Ax6y6 B3x3y C2x2y D3x+63y+6 8 （3 分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D 第 2 页（共 24 页） 9 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取 值范围是（ ） Am3 Bm3 Cm3 Dm3 10 （3 分）如图，在ABCD 中，AB6，BC10，ABAC，点 P 从点 B 出发沿着 BA C 的路径运动，同时点 Q 从点 A 出发沿着 ACD 的路径以相同的速度运动，当点 P 到达点 C 时
3、，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，yPQ2，下列图象中大致反 映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 二二、填空题（本题共计、填空题（本题共计 7 小题，每题小题，每题 4 分，共计分，共计 28 分）分） 11 （4 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 12 （4 分）分解因式：2m22 13 （4 分）一个多边形的每一个外角为 30，那么这个多边形的边数为 14 （4 分）如图，在ABCD 中，AD2，AB4，A30，以点 A 为圆心，AD 的长为 半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 ） 15 （4 分）如图，A
4、，B，C，D 是O 上的四个点，若AOB58，则BDC 度 第 3 页（共 24 页） 16 （4 分）若代数式 a2a10，则代数式 3a23a8 17（4 分） 观察下面 “品” 字形中各数之间的规律， 根据观察到的规律得出 a 的值为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： （3.14）0|3|+4sin60 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 x+1 20 （6 分）如图，ABC 内接于O （1）作B 的平分线与O 交于点 D（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹） ； （2）在（1）中，连接
5、 AD，若BAC60，C66，求DAC 的大小 四、解答题（本大题四、解答题（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校 数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将 调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列 问题： （1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心 角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ ” ； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”
6、、 “支付宝” 、 “银行卡”三种支付方式中 选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方 式的概率 第 4 页（共 24 页） 22 （8 分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月份的 5000 元/m2下降到 5 月份的 4050 元/m2 （1）问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？ （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月分该市的商品房成交均价是 否会跌破 3000 元/m2？请说明理由 23 （8 分）已知：如图，平行四边形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，点 G 为 AD 的 中点，连接 CG，
7、CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD （1）求证：ABAF； （2）若 AGAB，BCD120，判断四边形 ACDF 的形状，并证明你的结论 五、解答题（本大题五、解答题（本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AO 是ABC 的角平分线以 O 为圆心， OC 为半径作O （1）求证：AB 是O 的切线 （2）已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD，求的值 （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长 第 5 页（共 24 页） 25 （10 分）如
8、图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6） ，并与 y 轴交于点 B（0，3） ，点 A 是对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求ABP 的面积的最大值； （3）如图所示，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，求出 D 点的坐 标；并探究：在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理由 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省惠州市六校联考中考数学一模试卷年广东省惠州市六校联考中考数学一模试卷 参
9、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 10 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1 （3 分）3 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解第一步列出绝对值的表达式；第二步根 据绝对值定义去掉这个绝对值的符号 【解答】解：3 的绝对值是 3 故选：A 【点评】此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个 负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 2 （3 分）2019 年末到 2020 年 3 月 16 日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到 15 万人，将数据
10、15 万用科学记数表示为（ ） A1.5104 B1.5103 C1.5105 D1.5102 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：15 万151041.5105 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）下列主视图正确的是（ ） A B 第
11、 7 页（共 24 页） C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形 故选：A 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （x2）3x5 B （x3）5x15 Cx4x5x20 D（x3）2x6 【分析】选项 A 与选项 B 根据幂的乘方运算法则判断；选项 C 根据同底数幂的乘法法则 判断；选项 D 根据积的乘方运算法则判断 【解答】解：Ax2）3x6，故本选项不合题意； B （x3）5x15，正确，故本选项符合题意； Cx4x5x9，故本选项不合题
12、意； D（x3）2x6，故本选项不合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则 是解答本题的关键 5 （3 分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误； B、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确； C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误； D、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的
13、概念：轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 第 8 页（共 24 页） 后与原图重合 6 （3 分）数据 2，4，8，5，3，5，5，4 的众数、中位数分别为（ ） A4.5、5 B5、4.5 C5、4 D5、5 【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可 【解答】解：数据中 5 出现的次数最多，所以众数为 5， 将数据重新排列为 2、3、4、4、5、5、5、8， 则中位数为4.5， 故选：B 【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将 一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中
14、间的那个数（最中间两个数的平均 数） ，叫做这组数据的中位数 7 （3 分）已知 xy，则下列不等式不成立的是（ ） Ax6y6 B3x3y C2x2y D3x+63y+6 【分析】分别根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、xy，x6y6，故本选项错误； B、xy，3x3y，故本选项错误； C、xy，xy，2x2y，故选项错误； D、xy，3x3y，3x+63y+6，故本选项正确 故选：D 【点评】本题考查的是不等式的基本性质，解答此题的关键注意不等式的两边同时乘以 或除以一个负数时，不等号的方向要改变 8 （3 分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D
15、 【分析】化简得到结果，即可做出判断 【解答】解：A、，本选项不合题意； B、，本选项不合题意； C、，本选项不合题意； D、不能化简，符号题意； 第 9 页（共 24 页） 故选：D 【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键 9 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取 值范围是（ ） Am3 Bm3 Cm3 Dm3 【分析】 根据关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根可得 （ 2）24m0，求出 m 的取值范围即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实
16、数根， （2）24m0， m3， 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）的根的判别式 b24ac当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等 的实数根；当0 时，方程没有实数根 10 （3 分）如图，在ABCD 中，AB6，BC10，ABAC，点 P 从点 B 出发沿着 BA C 的路径运动，同时点 Q 从点 A 出发沿着 ACD 的路径以相同的速度运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，yPQ2，下列图象中大致反 映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 第 10 页（
17、共 24 页） 【分析】在 RtABC 中，利用勾股定理可求出 AC 的长度，分 0x6、6x8 及 8x 14 三种情况找出 y 关于 x 的函数关系式，对照四个选项即可得出结论 【解答】解：在 RtABC 中，BAC90，AB6，BC10， AC8 当 0x6 时，AP6x，AQx， yPQ2AP2+AQ22x212x+36； 当 6x8 时，APx6，AQx， yPQ2（AQAP）236； 当 8x14 时，CP14x，CQx8， yPQ2CP2+CQ22x244x+260 故选：B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及勾股定理，分 0x6、6x8 及 8x 14 三种情况找出 y
18、关于 x 的函数关系式是解题的关键 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 7 小题，每题小题，每题 4 分，共计分，共计 28 分）分） 11 （4 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解 【解答】解：依题意，得 x20， 解得：x2， 故答案为：x2 【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数 是非负数 12 （4 分）分解因式：2m22 2（m+1） （m1） 【分析】先提取公因式 2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式 【解答】解：2m22， 2（m21） ， 2（m+1）
19、 （m1） 故答案为：2（m+1） （m1） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平 方差公式进行二次因式分解 第 11 页（共 24 页） 13 （4 分）一个多边形的每一个外角为 30，那么这个多边形的边数为 12 【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求 出外角的度数根据任何多边形的外角和都是 360，利用 360除以外角的度数就可以 求出外角和中外角的个数，即多边形的边数 【解答】解：多边形的边数：3603012， 则这个多边形的边数为 12 故答案为：12 【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求
20、正多边形的边数，是常见 的题目，需要熟练掌握 14 （4 分）如图，在ABCD 中，AD2，AB4，A30，以点 A 为圆心，AD 的长为 半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 3 （结果保留 ） 【分析】过 D 点作 DFAB 于点 F可求ABCD 和BCE 的高，观察图形可知阴影部 分的面积ABCD 的面积扇形 ADE 的面积BCE 的面积，计算即可求解 【解答】解：过 D 点作 DFAB 于点 F AD2，AB4，A30， DFADsin301，EBABAE2， 阴影部分的面积： 41212 41 3 故答案为：3 【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本
21、题的关键是理解阴影部分的面 积ABCD 的面积扇形 ADE 的面积BCE 的面积 第 12 页（共 24 页） 15 （4 分）如图，A，B，C，D 是O 上的四个点，若AOB58，则BDC 29 度 【分析】根据BDCBOC 求解即可； 【解答】解：连接 OC ， AOBBOC58， BDCBOC29， 故答案为 29 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 16 （4 分）若代数式 a2a10，则代数式 3a23a8 5 【分析】由 a2a10 可知 a2a1，由等式的性质可知 3a23a3，然后代入计算 即可 【解答】
22、解：移项得：a2a1， 两边同时乘 3 得：3a23a3， 3a23a8385 故答案为：5 【点评】本题主要考查的是求代数式的值，利用等式的性质得到 3a23a3 是解题的关 键 17 （4 分） 观察下面 “品” 字形中各数之间的规律， 根据观察到的规律得出 a 的值为 75 第 13 页（共 24 页） 【分析】本题要注意观察同等位置数字的变化规律，以及每个图形中各位置数字变化规 律 【解答】解：观察每个图形最上边正方形中数字规律为 1，3，5，7，9，11左下角数字 变化规律依次乘 2 为：2，22，23，24，25，26所以，b26观察数字关系可以发现， 右 下角数字等于前同图形两个
23、数字之和所以 a26+1175 故答案为：75 【点评】本题为规律探究题，考查学生的数感解答时要注意，各图同等位置数字之间 数量关系，并将其用代数式表示出来 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： （3.14）0|3|+4sin60 【分析】本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点针 对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解： （3.14）0|3|+4sin60 123+2 2 【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题
24、目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考 点的运算 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 x+1 【分析】根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把 x 的值代入进行 计算即可 【解答】解：原式 ， 当 x+1 时，原式 第 14 页（共 24 页） 【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化 已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要 转化问题，然后再代入求值 20 （6 分）如图，ABC 内接于O （1）作B 的平分线与O 交于点 D（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕
25、迹） ； （2）在（1）中，连接 AD，若BAC60，C66，求DAC 的大小 【分析】 （1）根据角平分线的尺规作图即可得； （2）根据三角形的内角和得出ABC180BACC54，由作图可知 BD 平 分ABC，从而得出DACDBCABC27 【解答】解： （1）如图所示，BD 即为所求 （2）BAC60、C66， ABC180BACC54， 由作图可知 BD 平分ABC， DACDBCABC27 【点评】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及 其性质、圆周角定理等知识点 四、解答题（本大题四、解答题（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24
26、分）分） 21 （8 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校 数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将 调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列 第 15 页（共 24 页） 问题： （1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心 角的度数为 81 ； （2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ 微信 ” ； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “银行卡”三种支付方式中 选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方
27、法，求出两人恰好选择同一种支付方 式的概率 【分析】 （1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再 用 360乘以“支付宝”人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的 定义求解可得； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同 一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）（115%30%）200 人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 36081， 故答案为：200、81； （2）微信人数为 20030
28、%60 人，银行卡人数为 20015%30 人， 补全图形如下： 第 16 页（共 24 页） 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信” ， 故答案为：微信； （3）将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C， 画树状图如下： 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种， 两人恰好选择同一种支付方式的概率为 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与 总情况数之比 22 （8 分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月份的 5000 元/m2下降到 5 月份的 4050 元/m2 （1）问 4、5 两月平均
29、每月降价的百分率是多少？ （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月分该市的商品房成交均价是 否会跌破 3000 元/m2？请说明理由 【分析】 （1） 设 4、 5 两月平均每月降价的百分率是 x， 那么 4 月份的房价为 5000 （1x） ， 5 月份的房价为 5000（1x）2，然后根据 5 月份的 4050 元/m2即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出 7 月份商品房成交均价，然后和 3000 元/m2进行比较 即可作出判断 【解答】解： （1）设两月平均每月降价的百分率是 x，根据题意得： 第 17 页（共 24 页） 5000（1x）24050
30、， （1x）20.81， 解得：x110%，x21.9（不合题意，舍去） 答：4、5 两月平均每月降价的百分率是 10%； （2）不会跌破 3000 元/m2 如果按此降价的百分率继续回落，估计 7 月份该市的商品房成交均价为： 4050（1x）240500.9232803000 由此可知 7 月份该市的商品房成交均价不会跌破 3000 元/m2 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意， 找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键 23 （8 分）已知：如图，平行四边形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，点 G 为 AD 的 中点，连接 CG
31、，CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD （1）求证：ABAF； （2）若 AGAB，BCD120，判断四边形 ACDF 的形状，并证明你的结论 【分析】 （1）只要证明 ABCD，AFCD 即可解决问题； （2）结论：四边形 ACDF 是矩形根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， AFCDCG， GAGD，AGFCGD， AGFDGC， AFCD， ABAF 第 18 页（共 24 页） （2）解：结论：四边形 ACDF 是矩形 理由：AFCD，AFCD， 四边形 ACDF 是平行四边形， 四边形
32、 ABCD 是平行四边形， BADBCD120， FAG60， ABAGAF， AFG 是等边三角形， AGGF， AGFDGC， FGCG，AGGD， ADCF， 四边形 ACDF 是矩形 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 五、解答题（本大题五、解答题（本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AO 是ABC 的角平分线以 O 为圆心， OC 为半径作O （1）求证：AB 是O 的切线 （2）已知
33、AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD，求的值 （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长 【分析】 （1）由于题目没有说明直线 AB 与O 有交点，所以过点 O 作 OFAB 于点 F， 然后证明 OCOF 即可； 第 19 页（共 24 页） （2）连接 CE，先求证ACEODC，然后可知ACEADC，所以，而 tan D； （3）由（2）可知，AC2AEAD，所以可求出 AE 和 AC 的长度，由（1）可知，OFB ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得 AB 的长度 【解答】 （1）如图，过点 O 作 OFAB 于点 F， AO 平分CAB， OCA
34、C，OFAB， OCOF， AB 是O 的切线； （2）如图，连接 CE， ED 是O 的直径， ECD90， ECO+OCD90， ACB90， ACE+ECO90， ACEOCD， OCOD， OCDODC， ACEODC， CAECAE， ACEADC， ， tanD， ， ； 第 20 页（共 24 页） （3）由（2）可知：， 设 AEx，AC2x， ACEADC， ， AC2AEAD， （2x）2x（x+6） ， 解得：x2 或 x0（不合题意，舍去） ， AE2，AC4， 由（1）可知：ACAF4， OFBACB90， BB， OFBACB， ， 设 BFa， BC， BOBCO
35、C3， 在 RtBOF 中， BO2OF2+BF2， （3）232+a2， 解得：a或 a0（不合题意，舍去） ， ABAF+BF 第 21 页（共 24 页） 【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明ACEADC本题涉及勾股定 理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题， 对学生综合能力要求较高 25 （10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6） ，并与 y 轴交于点 B（0，3） ，点 A 是对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象
36、限，连接 BP，AP，求ABP 的面积的最大值； （3）如图所示，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，求出 D 点的坐 标；并探究：在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意可设抛物线解析式为 ya（x3）2+6，将 B（0，3）代入可得 a ，则可求解析式； （2）连接 PO，设 P（n，n2+2n+3） ，分别求出 SBPOn，SAPOn2+3n+， 第 22 页（共 24 页） SABO，所以 SABPSBOP+SAOPSABOn2+n（n）2+，当 x时，SABP的最大值为； （3）设 D 点的坐标
37、为（t，t2+2t+3） ，过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G，则 DGt 3，CG6（t2+2t+3）t22t+3，在 RtCGD 中，CGDG，所以（t 3）t22t+3，求出 D（3+3，3） ，所以 AG3，GD3，连接 AD，在 Rt ADG 中，ADAC6，CAD120，在以 A 为圆心，AC 为半径的圆与 y 轴的交点 为 Q 点， 此时， CQDCAD60， 设 Q （0， m） ， AQ 为圆 A 的半径， AQ2OA2+QO2 9+m236，求出 m3或 m3，即可求 Q 【解答】解： （1）抛物线顶点坐标为 C（3，6） ， 可设抛物线解析式为 ya（x3）2+6， 将
38、B（0，3）代入可得 a， yx2+2x+3； （2）连接 PO， BO3，AO3， 设 P（n，n2+2n+3） ， SABPSBOP+SAOPSABO， SBPOn， 第 23 页（共 24 页） SAPOn2+3n+， SABO， SABPSBOP+SAOPSABOn2+n（n）2+， 当 x时，SABP的最大值为； （3）存在，设 D 点的坐标为（t，t2+2t+3） ， 过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G， 则 DGt3，CG6（t2+2t+3）t22t+3， ACD30， 2DGDC， 在 RtCGD 中， CGDG， （t3）t22t+3， t3+3或 t3（舍） D（3+3，3） ， AG3，GD3， 连接 AD，在 RtADG 中， AD6， ADAC6，CAD120， 第 24 页（共 24 页） 在以 A 为圆心，AC 为半径的圆与 y 轴的交点为 Q 点， 此时，CQDCAD60， 设 Q（0，m） ，AQ 为圆 A 的半径， AQ2OA2+QO29+m2， AQ2AC2， 9+m236， m3或 m3， 综上所述：Q 点坐标为（0，3）或（0，3） 【点评】本题考查二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角 三角形和圆的知识综合解题是关键
