1、我国是较早认识负数的国家，南宋数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示 负数，如“32”写成“” ，下列算筹表示负数的是（ ） A B C D 2 （4 分） “浮云游子意，明月故乡情” ，4 月疫情期间温州支援意大利口罩达 2700000 只， 其中 2700000 用科学记数法表示为（ ） A2.7106 B27105 C2.7105 D0.27107 3 （4 分）小明家购买了一款新型吹风机如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构 成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（ ） A B C D 4 （4 分）计算 x3+x3的结果是（ ） Ax6 Bx9 C2x6 D2x3
2、5 （4 分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差 如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ） 甲 乙 丙 丁 （环） 8 9 9 8 S2（环 2） 1 1.2 1 1.2 A甲 B乙 C丙 D丁 第 2 页（共 26 页） 6 （4 分）不等式2xx+2 的解在数轴上的表示正确的是（ ） A B C D 7 （4 分）一款便携式音箱以锂电池作为电源，该电池的电压为定值，工作时电流 I（单位： A） 与电阻 R （单位： ） 之间的函数关系如图所示， 则当电阻 R 为 4 时， 电流 I 为 （ ） A6A BA C1A DA 8 （4
3、 分）为美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木，其中甲种花木每棵 100 元，乙种花 木每棵 80 元，若甲种花木的数量是乙种花木的 3 倍，且两种花木共花费 19000 元设购 买甲种花木 x 棵，乙种花木 y 棵，根据题意，可列方程组（ ） A B C D 9 （4 分）在ABC 中，BC5，AC12，C90，以点 B 为圆心，BC 为半径作圆弧， 与 AB 交于 D，再分别以 A，D 为圆心，大于AD 的长为半径作圆弧交于点 M，N，作 直线 MN，交 AC 于 E，则 AE 的长度为（ ） A4 B4 C D5 10 （4 分）已知函数 y1ax22ax+c（a0） ，y2ax2+2ax
4、+c，当 0x2 时，2y13， 则当 0x2 时，y2的最大值是（ ） 第 3 页（共 26 页） A3 B2 C3 D4 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）因式分解：m225 12 （5 分）在不透明的袋子里装入 3 个红球和 2 个白球（除颜色不同外其余均相同） ，从中 随机摸出一个球为白球的概率是 13 （5 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，若AOCB，则D 的度数为 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC8，E 为 BC 中点，将ABE 沿 AE 翻折后，得到 AEF， 再将 CE 折
5、向 FE， 使点 C 与点 F 重合， 折痕为 EG 若 CG3， 则 AG 15 （5 分）如图，已知点 A（5，0） ，在直线 yx+上取点 B，过点 B 作 x 轴的平行线， 交直线 yx+b 于点 C若四边形 OACB 为菱形，则 b 16 （5 分）将折叠书架画出侧面示意图，AB 为面板架，CD 为支撑架，EF 为锁定杆，F 可 在 CD 上移动或固定已知 BCCE8cm如图甲，将面板 AB 竖直固定时（ABBD） ， 点 F 恰为 CD 的中点如图乙，当 CF17cm 时，EFAB，则支撑架 CD 的长度为 cm 第 4 页（共 26 页） 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8
6、 小题，共小题，共 80 分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17 （8 分） （1）计算：2sin30+（1）0+； （2）解方程： （x1）22x+1 18 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，连结 AD， DE已知12，ADDE （1）求证：ABDDCE （2）若 BD2，CD5，求 AE 的长 19 （10 分）某学校为了解疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干学 生进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题， （1）本次调查共
7、抽取 名学生 （2）抽查结果中，B 组有 人 （3）在抽查得到的数据中，中位数位于 组（填组别） （4）若这所学校共有学生 1200 人，则估计平均每日锻炼超过 20 分钟有多少人？ 组别 平均每日体育锻炼时间（分） 人数 A 0x10 18 B 10x20 C 20x30 42 D x30 24 第 5 页（共 26 页） 20 （8 分）如图，在 55 的方格纸中，点 A，B 均在格点上，请按要求画图 （1）在图 1 中画个面积为 2 的格点ABC （2）在图 2 中画一个格点 RtADE，使 AB 是ADE 的中线 21 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 yax2+2bx
8、+2ba（a0） （1）当 x1 时，求 y 的值 （2）将抛物线向左平移 2 个单位后，恰经过点（1，0） ，求 b 的值 22 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，B90，以 AD 为直径的O 交 AB 于点 E，与 BC 相切于点 C，连结 CE （1）求证：CDCE （2）若 AE3，tanD，求O 的半径 23 （12 分）某商店准备采购甲、乙两种消毒水进行售卖，每瓶的进价与利润如表： 甲 乙 每瓶进价（元） a a+20 每瓶利润（元） 20 30 已知进货成本 1500 元采购甲种消毒水的数量和 2500 元买乙种消毒水的数量相等 第 6 页（共 26 页） （1）求 a 的
9、值 （2）若该商店准备拿出 12000 元全部用来进货，由于仓库存放限制，总数量不多于 300 瓶，问如何进货能使消毒水全部售出后利润最大，最大利润是多少元？ （3）在（2）获得最大利润的进货方案下，该商店预留了甲、乙两种消毒水各若干瓶供 店内消毒使用， 剩余的消毒水被抢购一空， 共获得利润 7350 元， 求商店共预留了多少瓶？ 24 （14 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，CD 上的点，且 AECF，M，N 分别是 EF，EB 的中点，延长 AN 交 BF 于点 K （1）小明通过画图探究得到以下数据，根据题意，将表格补充完整 FBC 10 20 40 EBF 70
10、 BNK 20 写出EBF 与BNK 的数量关系，并给出证明 （2）当四边形 MNKF 中有一条边是 NK 的 2 倍时，求 cosEBF 的值 （3）直线 MN 分别交 AB，CD 于点 P，Q，延长 EF 交射线 BC 于点 G，当点 G 关于直 线 BF 的对称点落在直线 MN 上时，直接写出的值 第 7 页（共 26 页） 2020 年浙江省温州市中考数学一模试卷年浙江省温州市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每小题只有一个选项是正确的，不分，每小题只有一个选项是正确
11、的，不 选、多选、错选，均不给分）选、多选、错选，均不给分） 1 （4 分）我国是较早认识负数的国家，南宋数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示 负数，如“32”写成“” ，下列算筹表示负数的是（ ） A B C D 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案 【解答】解：在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“32”写成“” ， 算筹表示负数的是选项 B： 故选：B 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键 2 （4 分） “浮云游子意，明月故乡情” ，4 月疫情期间温州支援意大利口罩达 2700000 只， 其中 2700000 用科学记数法表示为（ ）
12、 A2.7106 B27105 C2.7105 D0.27107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：27000002.7106 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （4 分）小明家购买了一款新型吹风机如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构
13、成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（ ） 第 8 页（共 26 页） A B C D 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答 【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项 C 故选：C 【点评】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体 正面、左面和上面看所得到的图形 4 （4 分）计算 x3+x3的结果是（ ） Ax6 Bx9 C2x6 D2x3 【分析】根据合并同类项法则计算即可得出正确选项 【解答】解：x3+x32x3 故选：D 【点评】本题主要考查了合并同类项，在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不 变 5
14、 （4 分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差 如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ） 甲 乙 丙 丁 （环） 8 9 9 8 S2（环 2） 1 1.2 1 1.2 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答 【解答】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好， 第 9 页（共 26 页） 由于 S2乙S2丙，故乙的方差大，波动大 故选：C 【点评】本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组 数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立 6 （4 分）不等式2xx+
15、2 的解在数轴上的表示正确的是（ ） A B C D 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为 1 可得 【解答】解：2xx+2， 2x+x2， 则x2， x2， 将不等式解集表示在数轴上如下： 故选：B 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是 关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 7 （4 分）一款便携式音箱以锂电池作为电源，该电池的电压为定值，工作时电流 I（单位： A） 与电阻 R （单位： ） 之间的函数关系如图所示， 则当电阻 R 为 4 时， 电流 I 为 （ ） A6A BA C1A DA
16、 【分析】根据函数图象可用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为 I，再把（2，3）代入 可得 k 的值，进而可得函数解析式，然后代入 R4 求得电流 I 即可 【解答】解：设用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为 I， 第 10 页（共 26 页） 反比例函数图象过（2，3） ， k326， I， 当 R4 时，I， 故选：B 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经 过的点必能满足解析式 8 （4 分）为美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木，其中甲种花木每棵 100 元，乙种花 木每棵 80 元，若甲种花木的数量是乙种花木的 3 倍，且两种花木共花费
17、19000 元设购 买甲种花木 x 棵，乙种花木 y 棵，根据题意，可列方程组（ ） A B C D 【分析】根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列 出相应的方程组 9 （4 分）在ABC 中，BC5，AC12，C90，以点 B 为圆心，BC 为半径作圆弧， 与 AB 交于 D，再分别以 A，D 为圆心，大于AD 的长为半径作圆弧交于点 M，N，作 直线 MN，交 AC 于 E，则 AE 的长度为（ ） A4 B4 C D5 第 11 页（共 26 页） 【分
18、析】由作图可得，BDBC5，AD1358，MN 垂直平分 AD，依据勾股定理 即可得到 AB 的长，再根据相似三角形的性质，即可得到 AE 的长 【解答】解：由作图可得，BDBC5，AD1358，MN 垂直平分 AD， AFAD4， BC5，AC12，C90， AB13， AFEACB90，AA， AFEACB， ，即， 解得 AE， 故选：C 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三 角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图 形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图 形对图形进行分解、
19、组合 10 （4 分）已知函数 y1ax22ax+c（a0） ，y2ax2+2ax+c，当 0x2 时，2y13， 则当 0x2 时，y2的最大值是（ ） A3 B2 C3 D4 【分析】由 0x2 时，2y13，求出 a、c 的值，即可求解 【解答】解：由题意得：当 0x2 时，函数 y1在对称轴 x1 时取得最小值，即 y1a 2a+c2， 函数 y1在 x2 时，取得最大值，即 y14a4a+c3， 联立并解得：， 第 12 页（共 26 页） 故 y2ax2+2ax+cx2+2x+3， 当 0x2 时，y2在对称轴处取得最大值， 当 x1 时，y4， 故最大值是 4， 故选：D 【点评
20、】本题考查的是二次函数与不等式（组）和二次函数的最值问题，解题的关键在 于通过 y1的信息，确定 a、c 的值，进而求解 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）因式分解：m225 （m+5） （m5） 【分析】原式利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式（m+5） （m5） ， 故答案为： （m+5） （m5） 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 12 （5 分）在不透明的袋子里装入 3 个红球和 2 个白球（除颜色不同外其余均相同） ，从中 随机摸出一个球为白球的概率是 【分析
21、】用白球的个数除以球的总个数即可得 【解答】解：从中随机摸出一个球共有 5 种等可能结果，其中摸出一个球为白球的有 2 种结果， 所以摸出一个球为白球的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除 以所有可能出现的结果数 13 （5 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，若AOCB，则D 的度数为 60 第 13 页（共 26 页） 【分析】根据圆周角定理得到AOC2D，根据题意得到B2D，根据圆内接四 边形的对角互补列式计算，得到答案 【解答】解：由圆周角定理得，AOC2D， AOCB， B2D， 四边形 ABCD 内接于O，
22、D+B180， D+2D180， 解得，D60， 故答案为：60 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互 补是解题的关键 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC8，E 为 BC 中点，将ABE 沿 AE 翻折后，得到 AEF， 再将 CE 折向 FE， 使点 C 与点 F 重合， 折痕为 EG 若 CG3， 则 AG 【分析】由折叠的性质可得 ABAF，BAFE90，FGCG3，CEFG 90，可证点 A，点 F，点 G 三点共线，由勾股定理可求 AB 的长，即可求解 【解答】解：将ABE 沿 AE 翻折后，得到AEF，再将 CE 折向 FE，使
23、点 C 与点 F 重合， ABAF，BAFE90，FGCG3，CEFG90， AFE+GFE180， 点 A，点 F，点 G 三点共线， AD2+DG2AG2， 64+（AB3）2（AB+3）2， AB， 第 14 页（共 26 页） AGAF+FG， 故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出 AB 的长是本 题关键 15 （5 分）如图，已知点 A（5，0） ，在直线 yx+上取点 B，过点 B 作 x 轴的平行线， 交直线 yx+b 于点 C若四边形 OACB 为菱形，则 b 12 【分析】由题意设 B（a，a+） ，根据勾股定理得出 a2+（a+）2
24、52，解方程求得 a3，即可求得 C 的坐标，根据图象上点的坐标特征，代入 yx+b 中，即可求得 b 的 值 【解答】解：点 A（5，0） ， OA5， 四边形 OACB 为菱形， OBOA5， 根据题意设 B（a，a+） ， a2+（a+）252， 整理得 a2+2a150， 解得 a3 或 a5（不合题意，舍去） ， B（3，4） ， C（8，4） ， 直线 yx+b 经过点 C， 48+b，解得 b12， 故答案为 12 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题意得到关于 a 的方程是解题的关键 第 15 页（共 26 页） 16 （5 分）将折叠书架画出侧面示
25、意图，AB 为面板架，CD 为支撑架，EF 为锁定杆，F 可 在 CD 上移动或固定已知 BCCE8cm如图甲，将面板 AB 竖直固定时（ABBD） ， 点 F 恰为 CD 的中点 如图乙， 当 CF17cm 时， EFAB， 则支撑架 CD 的长度为 2 cm 【分析】根据勾股定理得出 EF 的长，进而利用勾股定理得出 CF，进而得出 CD 的长即 可 【 解 答 】 解 ： EF AB ， CF 17cm ， BC CE 8cm ， EFcm， 过 F 作 FGAB， ABBD， FGBD， 点 F 恰为 CD 的中点， CGBC4cm， EG8+412cm， EF15cm， CGcm，
26、BD2CG18cm， 第 16 页（共 26 页） CD， 故答案为：2 【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出 EF 的长解答 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 80 分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17 （8 分） （1）计算：2sin30+（1）0+； （2）解方程： （x1）22x+1 【分析】 （1）根据零指数幂和特殊角的三角函数值计算； （2）先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）原式2+1+3 1+1+3 5； （2）x24x0， x（x4）0
27、， x0 或 x40， 所以 x10，x24 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出 方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了实数 的运算 18 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，连结 AD， DE已知12，ADDE （1）求证：ABDDCE （2）若 BD2，CD5，求 AE 的长 【分析】 （1）根据 AAS 可证明ABDDCE； （2）得出 ABDC5，CEBD2，求出 AC5，则 AE 可求出 【解答】 （1）证明：ABAC， BC， 第 17 页（共 26 页） 又
28、12，ADDE， ABDDCE（AAS） ； （2）解：ABDDCE， ABDC5，CEBD2， ACAB， AC5， AEABEC523 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角 形的判定方法是解题的关键 19 （10 分）某学校为了解疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干学 生进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题， （1）本次调查共抽取 120 名学生 （2）抽查结果中，B 组有 36 人 （3）在抽查得到的数据中，中位数位于 C 组（填组别） （4）若这所学校共有学生 1200 人，则估计平均每日锻炼
29、超过 20 分钟有多少人？ 组别 平均每日体育锻炼时间（分） 人数 A 0x10 18 B 10x20 36 C 20x30 42 D x30 24 【分析】 （1）用 D 组的人数除以其所占百分比可得； （2）总人数减去其他类别人数即可求得 B 组的人数； （3）根据中位数的多余即可求解； （4）用总人数乘样本中平均每日锻炼超过 20 分钟的人数所占比例即可求解 第 18 页（共 26 页） 【解答】解： （1）2420120（名） 故本次调查共抽取 120 名学生 （2）12018422436（人） 故 B 组有 36 人 （3）在抽查得到的数据中，第 60 个和第 61 个数据都在 C
30、组，故中位数位于 C 组 （4）1200660（人） 答：这所学校平均每日锻炼超过 20 分钟大约有 660 人 故答案为：120；36；C；36 【点评】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键 是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 20 （8 分）如图，在 55 的方格纸中，点 A，B 均在格点上，请按要求画图 （1）在图 1 中画个面积为 2 的格点ABC （2）在图 2 中画一个格点 RtADE，使 AB 是ADE 的中线 【分析】 （1）利用数形结合的思想解决问题即可 （2）根据三角形的中线的定义画出图形即可 【解答】解： （1）如图 1 中，AB
31、C 即为所求（答案不唯一） （2）如图 2 中，ADE 即为所求（答案不唯一） 第 19 页（共 26 页） 【点评】本题考查作图应用与设计，三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 21 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 yax2+2bx+2ba（a0） （1）当 x1 时，求 y 的值 （2）将抛物线向左平移 2 个单位后，恰经过点（1，0） ，求 b 的值 【分析】 （1）把 x1 代入 yax2+2bx+2ba，即可求得； （2）根据题意原抛物线经过（1，0） ，代入解析式解方程即可求得 【解答】解： （1）当 x1 时，ya2
32、b+2ba0； （2）将抛物线向左平移 2 个单位后，恰经过点（1，0） 原抛物线经过（1，0） ， 把（1，0）代入解析式可得：0a+2b+2ba， b0 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换， （2） 求得原抛物线经过的点的坐标是解题的关键 22 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，B90，以 AD 为直径的O 交 AB 于点 E，与 BC 相切于点 C，连结 CE （1）求证：CDCE （2）若 AE3，tanD，求O 的半径 【分析】 （1）如图，连结 DE，OC 交于点 F，若证明 CDCE，则可转化为证明 第 20 页（共 26 页） 即可；
33、（2）连结 AC，设 BE3x，则 BC4x，CE5x，由圆周角定理和圆的内接四边形定理 可得 tanACBtanCBEtanADC， 再利用勾股定理可求出 AD 的长， 进而可求出O 的半径 【解答】解： （1）证明：如图，连结 DE，OC 交于点 F BC 切O 于点 C， OCB90， B90， OCAB， AD 是圆的直径， DEAFEB90， OCDE， ， CDCE； （2）如图，连结 AC， 四边形 ABCD 内接于圆， CEBADC， ， DACCAB， ADCACB tanACBtanCBEtanADC， 设 BE3x，则 BC4x，CE5x， ， 解得：x， CD， AD，
34、 OA 第 21 页（共 26 页） 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用 等知识点解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 23 （12 分）某商店准备采购甲、乙两种消毒水进行售卖，每瓶的进价与利润如表： 甲 乙 每瓶进价（元） a a+20 每瓶利润（元） 20 30 已知进货成本 1500 元采购甲种消毒水的数量和 2500 元买乙种消毒水的数量相等 （1）求 a 的值 （2）若该商店准备拿出 12000 元全部用来进货，由于仓库存放限制，总数量不多于 300 瓶，问如何进货能使消毒水全部售出后利润最大，最大利润是多少元？ （3）在（
35、2）获得最大利润的进货方案下，该商店预留了甲、乙两种消毒水各若干瓶供 店内消毒使用， 剩余的消毒水被抢购一空， 共获得利润 7350 元， 求商店共预留了多少瓶？ 【分析】 （1）根据表格提供的有效信息和题干中的条件：进货成本 1500 元采购甲种消毒 水的数量和 2500 元买乙种消毒水的数量相等，可建立关于 a 的分式方程，解方程求出 a 的值即可； （2）设甲种买了 x 瓶，则乙种买了瓶，由题意可求出 x 的取值范围，再设 设利润为 y，可得 y 与 x 的一次函数关系式，利用一次函数的增减性即可求出最大利润； （3）设甲种保留了 a 瓶，乙种保留了 b 瓶，则 20a+30b150，求
36、出二元一次方程的所 有正整数解即可得到该商店共预留了多少瓶 【解答】解： （1）由题可得：， 解得 a30， 经检验 a30 是方程的解， 所以 a 的值为 30； 第 22 页（共 26 页） （2）设甲种买了 x 瓶，则乙种买了瓶， 由题意可得：x+300， 解得 x150， 设利润为 y，可得 y20x+30， 即 y2x+7200， k20， y 随 x 增大而增大 当 x150 y 有最大值为 7500， 答：最大利润为 7500 元； （3）75007350150（元） 设甲种保留了 a 瓶，乙种保留了 b 瓶，20a+30b150， 该方程的正整数解为或， 答：商家共预留了 6
37、瓶或 7 瓶 【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、 一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关 系，列出方程和不等式组求解 24 （14 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，CD 上的点，且 AECF，M，N 分别是 EF，EB 的中点，延长 AN 交 BF 于点 K （1）小明通过画图探究得到以下数据，根据题意，将表格补充完整 FBC 10 20 40 EBF 70 50 10 BNK 20 40 80 写出EBF 与BNK 的数量关系，并给出证明 （2）当四边形 MNKF 中有一条边是 NK 的
38、 2 倍时，求 cosEBF 的值 （3）直线 MN 分别交 AB，CD 于点 P，Q，延长 EF 交射线 BC 于点 G，当点 G 关于直 线 BF 的对称点落在直线 MN 上时，直接写出的值 第 23 页（共 26 页） 【分析】 （1）利用直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质解决问题即可 证明ABEBCF（SAS）可得结论 （2）分三种情形：当 MN2NK 时当 KF2NK 时当 MF2NK 时，分别求 解即可解决问题 （3）如图 2 中，连接 BG，GG，延长 GE 交 BA 的延长线于 H，过点 E 作 EJPQ 交 AB 于 J利用三角形的中位线定理证明 EJ2PN，再利用全
39、等三角形的性质证明 EJ MQ 即可解决问题 【解答】解： （1）根据CBFABE，直角三角形斜边中线的性质可知：当FBC 20时，EBF50，BNK40， 当FBC40时，EBF10，BNK80， 故答案为 50，10，40，80 结论：EBF+BNK90 理由：在正方形 ABCD 中， ABBC，BADC90， AECF， ABEBCF（SAS） ， CBFABE，BEBF， EBF902ABN， N 是 BE 的中点， ANBN， BNK2ABN， EBF+BNK90 第 24 页（共 26 页） （2）当 MN2NK 时， MNBFBEBN， BN2NK， EBF30， cosEBF
40、当 KF2NK 时， BNBE（BK+KF） ，NKKF， BN 2BK 2+NK 2， 3BK2KF4NK， 设 BK4m，则 NK3m，BN5m， cosEBF 当 MF2NK 时，过点 M 作 MGBF 于点 G（如图 1 中） MNBF， MGKGMNNKG90， 四边形 MNKG 是矩形， MGNK， MF2MG， MFBBEF30， EBF12090， 此情况不存在 第 25 页（共 26 页） （3）如图 2 中，连接 BG，GG，延长 GE 交 BA 的延长线于 H，过点 E 作 EJPQ 交 AB 于 J BNNE，PNEJ， BPPJ， EJ2PN， G，G关于 BP 对称， BF 垂直平分线段 GG， BFPG， FGFM， BEBF， BEFBFE， BEHBFG， BEBF，HBEGBF， HBEGBF（AAS） ， EHFG，BHBG， EHFM，HG45， FCG90， CFGMFQ45， EJPM， EEJHMPFMQ， HEJFMQ（ASA） ， 第 26 页（共 26 页） EJMQ， EJ2PN， MQ2PN 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三 角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅 助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题
