1、2020 年河南省名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（年河南省名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1若全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，2，3，B3，4，5，则（UA）（UB） （ ） A B1，2，5 C1，2，4，5 D1，2，3，4，5 2若复数 z 满足（3i）z2+6i（i 为虚数单位），则|z|（ ） A1 B2 C3 D4 3已知 a30.9，b90.44，clog28.1，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Bbca Ccab Dcba 4在等比数列an中，已知 a1a34，a9256，则 a8（ ） A128 或1
2、28 B128 C64 或64 D64 5已知椭圆 C： 的离心率与双曲线 C： （b0）的离心率互为倒 数关系，则 b（ ） A B C4 D6 6“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图， M 为 ON 的一个靠近点 N 的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇 面（扇环）部分的概率是（ ） A B C D 7与圆 x2+y24y0 相交所得的弦长为 2，且在 y 轴上截距为1 的直线方程是（ ） A x+y+10 B xy10 C xy10 D xy10 8已知 t
3、an 是方程 x26x+10 的一根，则 （ ） A B C D 9宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹长两尺， 松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中 a 为 松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填（ ） Aaa+2a；ab Baa ；ab Caa+2a；ab Daa ；ab 10函数 f（x） 的大致图象是（ ） A B C D 11函数 f（x）sin（x+）（0，| ）的图象如图所示，先将函数 f（x）图象上 所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移 个单位 长度，得到函数 g（x）
4、的图象，则下列结论正确的是（ ） A函数 g（x）是奇函数 B函数 g（x）在区间2，0上单调递增 C函数 g（x）图象关于（3，0）对称 D函数 g（x）图象关于直线 x3 对称 12已知偶函数 f（x）在 R 上存在导函数 f（x），当 x0 时， f（x），且 f（2） 1，则不等式（x2x）f（x2x）2 的解集为（ ） A（，2）（1，+） B（2，+） C（，1）（2，+） D（1，2） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13有人批发黄豆 3000kg，验得黄豆内混有少量豌豆，两种豆子大小均匀、质量相等抽 样取豆一把 226 颗，数得豆内混有豌豆 3 颗，
5、则这批黄豆内混有豌豆约 kg（结 果精确到个位数） 14设向量 （m，2）， （1，3），若 （2 m ），则实数 m 15在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC120且 ABAC3，BB14，则此三棱柱外接 球的表面积为 16在ABC 中，若 tanAtanB+tanBtanC3tanAtanC，则 sinB 的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在递增的等差数列an中，a217，a1，a31，a6+3 成等比数列 （1）求数列an
6、的通项公式； （2）若 bn ，数列bn前 n 项和为 Sn，证明：Sn 182020 年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从 本区居民中随机抽取若干居民进行评分根据调查数据制成如下表格和频率分布直方 图已知评分在80，100的居民有 600 人 满意度评分 40，60） 60，80） 80，90） 90，100） 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 （1）求频率分布直方图中 a 的值及所调查的总人数； （2）定义满意指数 满意程度的平均分 ，若 0.8，则防疫工作需要进行大的调整， 否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？ （
7、3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在40，50），50，60） 中用分层抽样的方法抽取 6 名居民，倾听他们的意见，并从 6 人中抽取 2 人担任防疫工 作的监督员，求这 2 人中仅有一人对防疫工作的评分在40，50）内的概率 19如图，四边形 ABCD 为正方形，PACE，ABCE PA1，PA平面 ABCD （1）证明：PE平面 BDE； （2）求点 C 到平面 PBD 的距离 20已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 P（2，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A（x1，y1） 和 B（x2，y2）两点 （1）当 x1+x28 时，求直线 l 的方程； （2）若过
8、点 P（2，0）且垂直于直线 l 的直线 l与抛物线 C 交于 M，N 两点，记ABF 与MNF 的面积分别为 S1与 S2，求 S1S2的最小值 21已知函数 f（x）lnxmx+m（mR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）0 在 x（0，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下（提示：可以用第（2）问的结论），对任意的 0ab，证明： 1 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单
9、位长度建立 极坐标系，已知过点 A（1，2）且斜率为 1 的直线 l1与曲线 C： ， （ 是参数）交于 P，Q 两点，与直线 l2：cos+2sin+40 交于点 N （1）求曲线 C 的普通方程与直线 l2的直角坐标方程； （2）若 PQ 的中点为 M，比较|PQ|与|MN|的大小关系，并说明理由 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）3|x2|3 （1）求不等式 |x+1|的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）mx+m 恒成立，求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合
10、题目要求的 1若全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，2，3，B3，4，5，则（UA）（UB） （ ） A B1，2，5 C1，2，4，5 D1，2，3，4，5 【分析】称求出UA4，5，UB1，2，由此能求出（UA）（UB） 解：全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，2，3，B3，4，5， UA4，5，UB1，2， （UA）（UB）1，2，4，5 故选：C 2若复数 z 满足（3i）z2+6i（i 为虚数单位），则|z|（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】把已知等式变形，再由商的膜等于模的商求解 解：（3i）z2+6i， z ，则|z| | ， 故选：B 3已知 a30.9，b90.
11、44，clog28.1，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Bbca Ccab Dcba 【分析】可以得出 90.4430.93，log28.13，从而可得出 a，b，c 的大小关系 解：90.4430.8830.93，log28.1log283， bac 故选：A 4在等比数列an中，已知 a1a34，a9256，则 a8（ ） A128 或128 B128 C64 或64 D64 【分析】由已知结合等比数列的性质可求 a2，然后结合等比数列的通项公式即可求解 解：由等比数列的性质可得，a1a3 4， a22 或2， a9256，当 a22 时，q7128 即 q2，则 a8128
12、， 当 a22 时，q7128 即 q2，则 a8128， 故选：A 5已知椭圆 C： 的离心率与双曲线 C： （b0）的离心率互为倒 数关系，则 b（ ） A B C4 D6 【分析】求出椭圆的离心率，双曲线的离心率，利用已知条件求解即可 解：椭圆 C： 的离心率与双曲线 C： （b0）的离心率互为倒 数关系， 椭圆 C： 的离心率： ； 所以双曲线 C： （b0）的离心率： 2， 解得 b 故选：B 6“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图， M 为 ON 的一个靠近点 N 的三
13、等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇 面（扇环）部分的概率是（ ） A B C D 【分析】利用扇形的面积计算公式及几何概率计算公式即可得出 解：设 ONr，扇形的圆心角为 ， 则整个扇形的面积为 S r 2，扇环的面积为 S ， 由几何概率公式可得 p 故选：D 7与圆 x2+y24y0 相交所得的弦长为 2，且在 y 轴上截距为1 的直线方程是（ ） A x+y+10 B xy10 C xy10 D xy10 【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由弦长求得弦心距，设出直线方程 ykx 1，由点到直线的距离公式列式求得 k，则直线方程可求 解：化圆 x2+y24y0 为标准
14、方程 x2+（y2）24， 可得圆心坐标为（0，2），半径为 2 所求直线与圆相交所得弦长为 2，半径为 2， 弦心距为 由题意可知所求直线的斜率存在，设直线方程为 ykx1 即 kxy10 弦心距 d ，解得 k 所求直线方程为 y ，即 故选：A 8已知 tan 是方程 x26x+10 的一根，则 （ ） A B C D 【分析】由已知可得 tan26tan+10，利用同角三角函数基本关系式化简可得 sincos ，利用二倍角的正弦函数公式可求 sin2 的值，进而根据二倍角公式化简所 求即可求解 解：tan 是方程 x26x+10 的一根， tan26tan+10，则 6 10，可得 s
15、in 26sincos+cos20，可得 sincos ， sin22sincos ， 故选：C 9宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹长两尺， 松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中 a 为 松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填（ ） Aaa+2a；ab Baa ；ab Caa+2a；ab Daa ；ab 【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解 解：松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填 aa 何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填 ab 故选：B 10函数 f（x）
16、 的大致图象是（ ） A B C D 【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解 解：函数的定义域为 R，且 ， 函数 f（x）为偶函数，故排除 B 选项； 又 ，故排除 C 选项； 当|x|1 时，x2cosx，故当|x|1 时，f（x）0，故排除 D 选项 故选：A 11函数 f（x）sin（x+）（0，| ）的图象如图所示，先将函数 f（x）图象上 所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移 个单位 长度，得到函数 g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ） A函数 g（x）是奇函数 B函数 g（x）在区间2，0上单调递增 C函数 g（x）图
17、象关于（3，0）对称 D函数 g（x）图象关于直线 x3 对称 【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的伸缩变换和 平移变换的应用求出函数 g（x）的关系式，最后利用函数的性质的应用求出结果 解：根据 T ，所以 ， 由于函数的图象过（ ， ），所以 ， 由于| ，解得 ， 故 f（x）sin（2x ）， 先将函数 f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的 图象向左平移 个单位长度， 得到 g（x）sin 故函数 g（x）为偶函数，故错误 令 ， ，所以 x6k，3+6k，故2，06k，3+6k，故 错误 令 （kZ），解得 x （k
18、Z），所以函数的对称中心为 （ ， ）（kZ），故错误 令 解得 x3k，当 k1 时，x3，故正确 故选：D 12已知偶函数 f（x）在 R 上存在导函数 f（x），当 x0 时， f（x），且 f（2） 1，则不等式（x2x）f（x2x）2 的解集为（ ） A（，2）（1，+） B（2，+） C（，1）（2，+） D（1，2） 【分析】令 g（x）xf（x），根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为 g（x2x）g （2），即 x2x2，解出即可 解：令 g（x）xf（x），由于 f（x）是偶函数， 则 g（x）xf（x）xf（x）g（x），g（x）是奇函数， 当 x0 时， f（x），即 0
19、， g（x）f（x）+xf（x）0，g（x）在（0，+）递增， g（x）在 R 递增， f（2）1，g（2）2f（2）2， 又不等式（x2x）f（x2x）2， 则 g（x2x）g（2），x2x2，解得：x2 或 x1， 综上，x（，1）（2，+）， 故选：C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13有人批发黄豆 3000kg，验得黄豆内混有少量豌豆，两种豆子大小均匀、质量相等抽 样取豆一把 226 颗，数得豆内混有豌豆 3 颗，则这批黄豆内混有豌豆约 40 kg（结 果精确到个位数） 【分析】根据 226 粒内夹豌豆 3 粒，可得比例，即可得出结论 解：由题意，这批黄豆
20、内夹豌豆约为 3000 40kg， 故答案为：40 14设向量 （m，2）， （1，3），若 （2 m ），则实数 m 1 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得 m 的值 解：向量 （m，2）， （1，3），若 （2 m ）， 则若 （2 m ）2 m 2（m+6）m100， 则实数 m1， 故答案为：1 15在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC120且 ABAC3，BB14，则此三棱柱外接 球的表面积为 52 【分析】由题意可知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC3，BAC120，AA14， 底面 ABC 的小圆半径为 2， 连接两个底面中心的连线， 中点
21、与顶点的连线就是球的半径， 即可求出三棱柱的外接球的表面积 解：由题意可知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC3，BAC120，AA14， 底面小圆 ABC 的半径 r 满足：2r 6，即 r3， 连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为： R 三棱柱的外接球的表面积为：4 R252； 故答案为：52 16在ABC 中，若 tanAtanB+tanBtanC3tanAtanC，则 sinB 的最大值为 【分析】由已知切化弦，再三角公式化简，而后用正余弦定理得 5b23（a2+c2），进而 求出 cosB 与 a，c 的关系，利用均值不等式求最小值，再求 sinB
22、 的最大值 解 ： 由 tanAtanB+tanBtanC 3tanAtanC 得 ， 即 ， 所以 3sinAsinC，即 sin 2B3sinAsinCcosB，则 b23ac ， 即 5b23 （a2+c2） ， 所以 cosB ， 当且仅当 ac 时等号成立， 所以 sinB ，则 sinB 的最大值为 ， 故答案是： 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在递增的等差数列an中，a217，a1，a31，a6+3 成等比数列 （1）求数列a
23、n的通项公式； （2）若 bn ，数列bn前 n 项和为 Sn，证明：Sn 【分析】（1）递增的等差数列an的公差设为 d，d0，运用等比数列的中项性质和等 差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）求得 bn （ ），运用数列的裂项相消 求和，以及不等式的性质，即可得证 解：（1）递增的等差数列an的公差设为 d，d0， a217，即 a1+d17， a1，a31，a6+3 成等比数列， 可得 a1（a6+3）（a31）2， 即为 a1（a1+5d+3）（a11+2d）2， 化为（17d）（20+4d）（16+d）2， 解得 d6（负值舍去），a111， 所以 a
24、n11+6（n1）6n+5，nN*； （2）证明：bn （ ）， 可得 Sn （ （ ） （ ） ， 因为 0， 所以 Sn 182020 年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从 本区居民中随机抽取若干居民进行评分根据调查数据制成如下表格和频率分布直方 图已知评分在80，100的居民有 600 人 满意度评分 40，60） 60，80） 80，90） 90，100） 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 （1）求频率分布直方图中 a 的值及所调查的总人数； （2）定义满意指数 满意程度的平均分 ，若 0.8，则防疫工作需要进行大的调整， 否则不需要大调整
25、根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？ （3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在40，50），50，60） 中用分层抽样的方法抽取 6 名居民，倾听他们的意见，并从 6 人中抽取 2 人担任防疫工 作的监督员，求这 2 人中仅有一人对防疫工作的评分在40，50）内的概率 【分析】（1） 由频率分布直方图求出 a0.025， 设总共调查了 n 人， 则 （0.035+0.025） 10，由此能求出调查的总人数 （2）由频率分布直方图求出各段的频率，从而求出 0.8070.8，进而该区防疫工作 不需要大的调整 （3）求出不满意的人数在两段分别有 20，40，每段抽取人数为
26、 2 和 4，记在第一段的人 记作 a，b，在第二段的人为 A，B，C，D，抽取两人，利用列举法能求出这 2 人中仅有 一人对防疫工作的评分在40，50）内的概率 解：（1）由频率分布直方图得： （0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a）101， 10（0.075+a）1，解得 a0.025， 设总共调查了 n 人，则 （0.035+0.025）10，解得 n1000， 即调查的总人数为 1000 人 （2）由频率分布直方图知，各段的频率分别为： 0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25， （450.02+550.04+650.14+750.20+85
27、0.35+950.25）0.8070.8， 该区防疫工作不需要大的调整 （3）0.00210100020， 0.00410100040， 即不满意的人数在两段分别有 20，40， 每段抽取人数为 20 2.40 4， 记在第一段的人记作 a，b，在第二段的人为 A，B，C，D， 抽取两人的基本事件为： ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 15 个， 而仅有一人来自40，50）的基本事件有： aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共 8 个， 这 2 人中仅有一人对防疫工作的评分在40，50）内的概率为 P 19如图，四边形 A
28、BCD 为正方形，PACE，ABCE PA1，PA平面 ABCD （1）证明：PE平面 BDE； （2）求点 C 到平面 PBD 的距离 【分析】 （1） 连结 AC， 则 BDAC， 推导出 PABD，PAAD， 从而 BD平面 APEC， 进而 BDPE，推导出 PEDE，由此能证明 PE平面 DBE （2）连结 PC，设点 C 到平面 PBD 的距离为 h，由 VCPBDVPBCD，能求出 C 到平面 PBD 的距离 解：（1）证明：连结 AC，四边形 ABCD 为正方形，BDAC， PA平面 ABCD，PABD，PAAD， PAACA，BD平面 APEC， PE平面 APEC，BDPE
29、， ABCE 1，则 AD1，PA2，PD ， 同理，DE ，在梯形 PACE 中，PE ， PE2+DE2PD2，PEDE， 又 BDDED，PE平面 DBE （2）解：如图，连结 PC， ABCE ， 由勾股定理得 BD ，PBPD ， 则 SPBD ， 设点 C 到平面 PBD 的距离为 h， 则 VCPBDVPBCD， ， ，解得 h ， C 到平面 PBD 的距离为 20已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 P（2，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A（x1，y1） 和 B（x2，y2）两点 （1）当 x1+x28 时，求直线 l 的方程； （2）若过点 P（2，0）且垂直于
30、直线 l 的直线 l与抛物线 C 交于 M，N 两点，记ABF 与MNF 的面积分别为 S1与 S2，求 S1S2的最小值 【分析】（1）判断直线 l 的斜率一定不为 0，可设直线 l 的方程为 xmy+2，联立抛物线 的方程，运用韦达定理和直线方程，化简整理，解方程可得 m，进而得到所求直线方程； （2）设直线 l 的方程为 xmy+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的面积公 式，可得 S1，同理可得 S2，化简整理，由基本不等式，可得 S1S2的最小值 解：（1）直线 l 过定点 P（2，0），在 x 轴上，且直线 l 与抛物线相交，则斜率一定不 为 0， 可设直线 l 的方程为
31、xmy+2，联立抛物线的方程 y24x，可得 y24my80， 可得 y1+y24m，y1y28，所以 x1+x2my1+2+my2+2m（y1+y2）+44m2+4， 因为 x1+x28，所以 4m2+48，解得 m1， 所以直线 l 的方程为 xy20 或 x+y20； （2）设直线 l 的方程为 xmy+2，联立抛物线的方程可得 y24my80， 可得y1+y24m，y1y28，则S1 |PF|y1 y2 | 2 ， 因为直线 MN 与直线 l 垂直，且当 m0 时，直线 l 的方程为 x2，此时直线 l的方程为 x0， 但此时直线 l与抛物线 C 没有两个交点，所以不符题意，所以 m0
32、，所以直线 l 的斜率 为 ， 因此直线 MN 的斜率为m（m0），由点斜式方程可得直线 l的方程为 y0m（x 2），即 mx+y2m0， 联立抛物线的方程 y24x，消去 y，可得 m2x2（4m2+4）x+4m20， 设 M（x3，y3），N（x4，y4），可得 x3+x4 ，x3x44，则 y3y4m（2x3） m（2x4）m（x3x4）， 因此|y3y4|m| |x3x4|m| |m| ， 所以 S2 |PF| |y3y4 | 1 ， 所以S1S22 4 4 4 4 12， 当且仅当 2m2 即 m1 时等号恒成立， 所以 S1S2的最小值为 12 21已知函数 f（x）lnxmx+
33、m（mR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）0 在 x（0，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下（提示：可以用第（2）问的结论），对任意的 0ab，证明： 1 【分析】（1）求函数 f（x）的单调区间，可先求出导函数，再分类讨论，利用导数的正 负解出函数的单调区间； （2）若 f（x）0 在 x（0，+）上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数 的最大值，令最大值小于等于 0，即可得到关于 m 的不等式，解出 m 的取值范围； （3） 由 0ab 得 ， 由（2）得： ，即可证明出不等式 解：（1） ， ， 当 m0 时，f（x）0 恒成立
34、，则函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 m0 时，由 ，则 ， 则 f（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减 （2）由题意知：原题等价于 f（x）max0 由（1）得：当 m0 时显然不成立； 当 m0 时， ， 只需 mlnm10 即可 令 g （x） xlnx1， 则 ， 函数 g （x） 在 x 上单调递减， 在 y 上单调递增 O， 即 6 对 2 恒成立，也就是 2 对 m（0，+）恒成立，mlnm10 解得 m1 若 f（x）0 在 x（0，+）上恒成立，m1 证明：（3） 由 0ab 得 ，由（2）得： ， 则 ， 所以原不等式 成立 （二）选考题：共 10 分请考
35、生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立 极坐标系，已知过点 A（1，2）且斜率为 1 的直线 l1与曲线 C： ， （ 是参数）交于 P，Q 两点，与直线 l2：cos+2sin+40 交于点 N （1）求曲线 C 的普通方程与直线 l2的直角坐标方程； （2）若 PQ 的中点为 M，比较|PQ|与|MN|的大小关系，并说明理由 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数
36、关系式的应用和弦长公式的应用求出|MN|和|PQ|的长， 进一步比较出结果 解：（1）曲线 C： ， （ 是参数）转换为直角坐标方程为（x3）2+（y 4）216 直线 l2：cos+2sin+40 根据 转换为直角坐标方程为 x+2y+40 （2）已知过点 A（1，2）且斜率为 1 的直线 l1的直角坐标方程为 xy10 所以 ，整理得 x28x+90， 设点 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 所以中点 M（ ， ）， 根据一元二次方程根和系数关系式的应用， 解得 x1+x28，x1x29， 整理得：M（4，3） 联立 ，解得 ，即 N（ ， ）， 所以|MN| 根据弦长公式：|PQ|
37、由于 ， 所以|PQ|MN| 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）3|x2|3 （1）求不等式 |x+1|的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）mx+m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】（1）不等式 |x+1|化为|x2|x+1|，去掉绝对值求出 x 的取值范 围； （2） 画出函数 f （x） 与函数 ymx+m 的图象， 结合图象求出满足条件时 m 的取值范围 解：（1）由函数 f（x）3|x2|3，则不等式 |x+1|可化为 3|x2|3+3 |x+1|， 得|x2|x+1|， 等价于（x2）2（x+1）2， 整理得 6x3， 解得 x ， 所以所求不等式的解集为（， ）； （2）函数 f（x）3|x2|3 ， ， ； 画出函数 f（x） ， ， 与函数 ymx+m 的图象，如图所示； 由图象知函数 yf（x）图象的最低点 N（2，3）， 函数 ymx+m 可化为 ym（x+1），其图象恒过点 M（1，0）， 又直线 MN 的斜率为 1， 直线 ym（x+1）以 M（1，0）为中心，在直线 l 和 MN 之间转动时（含边界）满足 条件；否则不满足条件； 所以3m1， 即不等式 f（x）mx+m 恒成立时，实数 m 的取值范围是3，1
