1、 1 2020 年高考全真模拟题 数 学 考生注意： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 2 450 ,10Ax xxBxxAB，则 A.1， B.11 ， C.15 ， D.05， 2.设复数z满足 2
2、1=52izi，则 z 的虚部为 A.1 B.i C. 5 2 D. 5 2 i 3.已知函数 24 xx x f x ，则函数 1 1 f x x 的定义域为 A.,1 B., 1 C., 11,0 D., 11,1 4.已知抛物线 2 :4C xy的准线恰好与圆 22 2 :340Mxyrr相切，则 r A.3 B.4 C.5 D.6 5.设 p：实数x满足 2 1005xaxaa其中，q：实数x满足ln2x，则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 2 D.既不充分也不必要条件 6.我国古代数学名著九章算术中记载： “刍甍者，下有 袤有广，而上有袤无广.刍
3、，草也.甍，屋盖也.”今有底面为 正方形的屋脊形状的多面体（如图所示） ，下底面是边长为 2 的正方形，上棱 3 2 EF ，EF/平面 ABCD，EF 与平面 ABCD 的距离为 2，该刍甍的体积为 A.6 B.11 3 C. 31 4 D.12 7.函数 3cos sin 2 x f xxx在，的图象大致为 8.如图，已知双曲线 22 2 1 2 xy C aa ：的左、右焦点分别为 12 ,F F M是 C 上位于第一象限内的一点，且直线 2 F My与 轴的正半轴交于 A 点， 1 AMF的内切圆在边 1 MF上的切点 为 N，若=2MN，则双曲线 C 的离心率为 A. 5 2 B.5
4、 C.2 D.2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.已知向量2, 1 ,3,2 ,1,1abc ，则 A./ab B.abc C.abc D.53cab 10.某院校教师情况如下表所示 3 关于 2016 年、2017 年、2018 年这 3 年该院校的教师情况，下面说法正确的是 A.2017 年男教师最多 B.该校教师最多的是 2018 年 C.2017 年中年男教师比 2016 年多 80 人 D.2016 年到 2018 年，该校青年年龄段
5、的男教师人数增长率为 220% 11.若 2009 232009 01232009 1 2xaa xa xa xaxxR，则 A. 0 1a B. 2009 1352009 31 2 aaaa C. 2009 0242008 31 2 aaaa D. 1232009 232009 1 2222 aaaa 12.已知函数 cos cos nx f xnN x ，则下列结论正确的是 A. f x是周期函数 B. f x的图象是轴对称图形 C. f x的图象关于点,0 2 对称 D. f xn 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知直线yxb是曲线3 x ye的一条
6、切线，则b. 14.已知2sin2cossin,cos 2 2 2 且 ， ，则. 15.甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科 竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是；若甲和乙不参加同一科，甲 和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是.（用数字作答） （本 题第一空 2 分，第二空 3 分） 16.已知球 O 是正三棱锥PABC的外接球，3,2 3ABPA，点 E 是线段 AB 的中 4 点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
7、17.（10 分） 在 2 n Snn， 3535 16 ,42aaSS， 1 7 1, 56 n n an S an 这三个条件中任 选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 设等差数列 n a的前n项和为 n S， 数列 n b为等比数列， _， 12 112 , 2 a a ba b. 求数列 1 n n b S 的前n项和 n T. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分） ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为, ,a b c，已知cos2cos22sinsin1ABAB cos2C. （1）求角 C. （2）设 D 为边 AB 的中点，ABC的面积为 2
8、，求 2 CD的最小值. 19.（12 分） 在四棱锥PABCDPAB中，为等边三角形， 四边形 ABCD 为矩形， E 为 PB 的中点， DEPB. （1）证明：平面ABCD平面 PAB. （2）设二面角A PCB的大小为，求的取值范围. 20(12 分) 某水果批发商经销某种水果(以下简称 A 水果)，购入价为 300 元/袋，并以 360 元袋的 价格售出，若前 8 小时内所购进的 A 水果没有售完，则批发商将没售完的 A 水果以 220 元袋的价格低价处理完毕(根据经验，2 小时内完全能够把 A 水果低价处理完，且当天 不再购进)该水果批发商根据往年的销量，统计了 100 天 A 水
9、果在每天的前 8 小时内的 销售量，制成如下频数分布条形图 5 现以记录的 100 天的 A 水果在每天的前 8 小时内的销售量的频率作为 A 水果在一天的前 8 小时内的销售量的概率，记 X 表示 A 水果一天前 8 小时内的销售量，n表示水果批发 商一天批发 A 水果的袋数 (1)求 X 的分布列； (2)以日利润的期望值为决策依据，在1516nn与中选其一，应选用哪个? 21(12 分) 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右顶点为 A，上顶点为 B，O 为坐标原原点，点 O 到 直线 AB 的距离为 2 5 5 ，OAB的面积为 1 (1)求榷圆的标准方程； (2)直线l与
10、椭圆交于 C， D 两点， 若直线/l直线 AB， 设直线 AC， BD 的斜率分别为 12 ,k k 证明： 12 k k为定值 22(12 分) 已知函数 ln1f xxax有两个零点 (1)求 a 的取值范围； (2)设 12 ,x x是 f x的两个零点，证明： 12 1fx xa 6 2020 年高考全真模拟题 数学参考答案 1.B【解析】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力. 因为1,5 ,11,1ABAB ，所以. 2.C【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力. 22 525252255 1 2222 1 i iiii zi ii i ，则z的虚部为 5 2 . 3.
11、D【解析】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力. 令241 xxx ，即2，解得 1 0. 1 f x x x 若有意义，则 10, 10 x x ， 即, 1x 1,1 . 4.C【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与圆的位置关系，考查数形结合的思想. 抛物线 2 :4C xy的准线方程为1y ，则4 15r . 5.A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力. 设 2 1010 ,ln20Ax xaxax xxaBxxxx 2 e，因为05a，所以A B ，所以pq是的充分不必要条件. 6.B【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解
12、能力. 如图，作 FN/AE，FM/ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，则该刍甍的体积为 13 2 32 F MNBCADE MNFMNBC VVSS 直截面 132 2311 =222= 32223 . 7.A【解析】本题考查函数图象的应用，考查逻辑推理能力. 由 fxf x ，所以 f x是奇函数，排除 B,D；由 3 33 , 3322 f 7 3 2213 3322 f ，可知 2 33 ff ，结合图象可知选 A. 8.D【解析】本题考查双曲线的定义以及内切圆的应用，考查数形结合的思想以及转化与 化归的思想. 设 1 AMF的内切圆在边 1, AF AM的切点分别为 E,G，则 1
13、1 ,AEAG EFFN MNMG.又 12 2MFMFa，则 12 2EFMGMFa，由对称性可知 12 AFAF，化简可得MNa，则2,24aa，所以双曲线 C 的离心率为 2 24 2 2 . 9.BD【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力. 1,1 ,1 10ababcabc ，故 .设 1212 ,cabR ，则 121212 1,12, 13,223,2，则 12 12 231, 21, 所以 1 2 5, 3, 所以53cab. 10.BCD【解析】本题考查统计知识，考查数据处理能力. 由题意知，2018 年的男教师最多，A 错误；将表中各年度人数横向求和可知，20
14、18 年共 有 1720 人， 为人数最多的一年， B 正确； 2017 年中年男教师比 2016 年多320 24080 （人） ， 故 C 项正确； 20162018 青年男教师增加了 220 人， 增长率为220 100220%， 故 D 正确. 11.ACD【解析】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解的能力. 由题意，当 2009 0 011,xa时， 当1x 时， 2009 01232009 11aaaaa ， 当1x时， 2009 01232009 3aaaaa， 所以 20092009 13520090242008 3131 , 22 aaaaaaaa ， 22009 1220
15、09 122009 22009 111 222222 aaa aaa ， 8 当 22009 0122009 1111 = 2222 xaaaa 时，0 所以 22009 1220090 111 1 222 aaaa . 12.AB【解析】 由于 cos2cos2cos 2 cos2cos2cos n xn nxnnx f xf x xxx ， 所以 f x是周 期函数，故 A 正确； 由 coscos coscos nxnx fxf x xx ， 从而 f x为偶函数， 其图象关于0x对称， 故 B 正确； 由于 2cos coscos cos coscos 0 nx n nnxnx xf
16、xfx xx n 为奇数 ， 为偶数 ， 从而当n为奇 数时， f x的图象不一定关于点0 2 ，对称，故 C 不正确； 当 2 2cos111 22coscos coscos5 x nf xxx xx 时，令，则此时 2f x ， 故 D 不正确. 13.4【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力. 设 3 x f xe，切点为 0 3 0, x xe ，因为 x fxe，所以 00 0 1,3 xx ebex ， 4b 则. 14. 1 4 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解的能力. 由 1 2sin2cos4sincoscos ,sin, 2 24 ，则因为， ，故 9
17、15 0,.cossin= 242 由，可得，所以 1 cos 2sin 4 . 15.243；30【解析】本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理能力. 若每个同学可以自由选择，由乘法原理可得，不同的选择种数是 5 3243； 因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有 2、2、1 和 3、1、1 两种分 配方案. 当分配方案为 2、2、1 时，共有 23 33 18C A 种； 当分配方案为 3、1、1 时，共有 13 23 12C A 种； 所以不同的选择和数是18 1230. 16. 9 4 【解析】本题考查空间几何体的外接球，考查空间想象能力. 设 三 棱 锥 的 外 接 球
18、半 径 为 R ， 正 三 角 形 ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 O ， 则 2 2 2 3,33P ORR ，解得2,1R OO ，因为过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积有最小值.在 3 3 2 Rt COOCOOE中，所以.在Rt EOO中， 2 37 1 22 OE ， 所以 22 3 2 2 rOE，所以截面面积 2 9 4 Sr . 17.解：选 当 11 1,2naS时，1 分 当 1 22 nnn naSSn 时，2 分 又1n 满足2 n an，所以2 n an.4 分 设 n b的公比为 q，又因
19、为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b，由，5 分 得 1 2,2bq，所以2n n b .6 分 10 由数列 n b的前 n 项和为 1 1 22 22 1 2 n n ，7 分 可知 2 11111 11 n Snnn nnn ，8 分 数列 1 n S 的前n项和为 111111 11 22311nnn ，9 分 故 11 11 22 121 11 nn n T nn .10 分 选 设公差为d，由 1 3535 1 2616, 16,42 81342, ad aaSS ad ，得2 分 解得 1 2, 2, a d 所以 2 2 , nn an Snn.4 分 设
20、n b的公比为 q，又因为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b由，5 分 得 1 2,2bq，所以2n n b .6 分 由数列 n b的前n项和为 1 1 22 22 1 2 n n ，7 分 可知 2 11111 11 n Snnn nnn ，8 分 数列 1 n S 的前n项和为 111111 11 22311nnn ，9 分 故 11 11 22 121 11 nn n T nn .10 分 选 11 由 111 1 1 11 nnnn n n anaaaa aa n annnn ，得，所以，即，2 分 7411 728562Saaa，所以，3 分 所以 2 2 ,
21、nn an Snn.4 分 设 n b的公比为 q，又因为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b由，5 分 得 1 2,22n n bqb，所以.6 分 由数列 n b的前n项和为 1 1 22 22 1 2 n n ，7 分 可知 2 11111 11 n Snnn nnn ，8 分 数列 1 n S 的前 n 项和为 111111 11 22311nnn ，9 分 故 11 11 22 121 11 nn n T nn .10 分 18.解： （1）由已知可得故 222 1 2sin1 2sin2sin sin1 1 2sinABABC ，2 分 得 222 ababc，3
22、 分 所以 222 1 cos= 223 abc CC ab ，所以.5 分 （2）由 1138 3 sin2=, 2223 ABC SabCabab ，即所以.7 分 由 22211 2 24 CDCACBCDCACBCA CB，所以， 9 分 12 则 22222 111 2cos22 3 444 CDbaabCbaababab，当且仅当 ab时取等号，所以 2 CD的最小值为2 3.12 分 19.（1）证明：连接 AE，因为PAB为等边三角形，所以AEPB，1 分 又,DEPB AEDEEPB，所以平面 ADE，2 分 所以PBAD.3 分 因为四边形 ABCD 为矩形，所以ADABA
23、BBPB，且， 所以AD 平面 PAB.4 分 因为AD 平面 ABCD， 所以平面ABCD平面 PAB.5 分 （ 2 ） 解 ： 以 A 为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系Axyz， 不 妨 设 10,1,PBABPACn ， ， 则 3 1 0,0,0 ,0 ,0,1,0 22 APB , 13 由空间向量的坐标运算可得 3 13 131 ,0 ,0 222222 PCnAPBP . 6 分 设平面 BPC 的法向量为 111 ,mx y z， 则 0, 0, m PC m BP 代入可得 111 11 31 0, 22 31 0, 22 xynz xy
24、令 111 13,0xyz，则，所以 1, 3,0m .7 分 设平面 PAC 的法向量为 222 ,nx y z 则 0, 0, n PC n AP 代入可得 222 22 31 0, 22 31 0, 22 xynz xy 令 222 3 13,xyz n ，则，所以 3 1,3,n n .8 分 二面角A PCB的大小为，由图可知，二面角为锐二面角， 所以 2 1 3 cos 3 1 31 3 m n m n n 2 11 0, 23 4 n ，10 分 所以, 3 2 .12 分 20.解： （1）由题意知 A 水果在每天的前 8 小时内的销售量为 14，15，16，17 的频率分 别
25、是 0.2，0.3，0.4 和 0.1，2 分 14 所以 X 的分布列为 4 分 （2）当15n时，设 Y 为水果批发商的日利润，则 Y 的可能取值为 760，900，5 分 7600.2,9000.8P YP Y ， 760 0.2900 0.8872E Y ，7 分 当16n时，设 Z 为水果批发商的日利润，则 Z 的可能取值为 680，820，960，8 分 6800.2,8200.3,9600.5P ZP ZP Z ， 680 0.2 820 0.3 960 0.5862E Z .10 分 综上可知， 当15n时的日利润期望值大于16n时的日利润期望值， 故选15n.12 分 21.
26、解： （1）直线 AB 的方程为1 xy ab ，即0bxayab，1 分 则 22 2 5 5 ab ab .2 分 因为三角形 OAB 的面积为 1，所以 1 12 2 abab，即，3 分 解得2,1ab，4 分 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y.5 分 （2）直线AB的斜率为 1 2 ，设直线l的方程为 1122 1 , 2 yx t C x yD x y，6 分 代入 2 222 12210 4 x yytyt ，得，7 分 15 则 2 1212 1 , 2 t yyt y y ，8 分 所以 12121 1 2 12122 1 22 yyy yy k k xxx xx
27、 ，9 分 所以 2 12212212122 2444x xxtytytytt yyy yty 2 12121212122121 44yyyyyyy yyyyy yy ，11 分 所以 1 2 1 4 k k 为定值.12 分 22.解：（1） 由题意， 可得 1 ln x a x ， 转化为函数 1 ln x g x x 与直线0ya在 ， 上有两个不同交点.1 分 2 ln 0 x gxx x ，故当 0,1x 时， 0g x；当1,x，时， 0g x. 故 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减， 所以 max 11g xg.3 分 又 1 0g e ，故当 1 0,x e 时， 0
28、g x ；当 1 ,x e 时， 0g x . 可得0,1a.5 分 （2） 1 fxa x ， 由（1）知 12 ,x x是ln10xax 的两个根， 故 12 1122 12 lnln ln10,ln10 xx xaxxaxa xx .7 分 要证 12 1fx xa ，只需证 12 1x x ，即证 12 lnln0xx， 16 即证 12 110axax，8 分 即证 12 2 a xx ，即证 12 1212 lnln2xx xxxx .9 分 不妨设 1 122 1 12 1 212 2 21 2 0ln 1 x xxxx xx x xxx x ，故， 令 2 1 22 2 21114 0,1 ,ln,0 1 11 ttx th tth t xtt tt t ，11 分 则 01h t 在 ，上单调递增，则 10h th，故 式成立，即要证不等式得证. 12 分
