山东省泰安市2020年6月高三全真模拟(三模)数学试题(含答案)

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1、 1 2020 年高考全真模拟题 数 学 考生注意: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 2 450 ,10Ax xxBxxAB,则 A.1, B.11 , C.15 , D.05, 2.设复数z满足 2

2、1=52izi,则 z 的虚部为 A.1 B.i C. 5 2 D. 5 2 i 3.已知函数 24 xx x f x ,则函数 1 1 f x x 的定义域为 A.,1 B., 1 C., 11,0 D., 11,1 4.已知抛物线 2 :4C xy的准线恰好与圆 22 2 :340Mxyrr相切,则 r A.3 B.4 C.5 D.6 5.设 p:实数x满足 2 1005xaxaa其中,q:实数x满足ln2x,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 2 D.既不充分也不必要条件 6.我国古代数学名著九章算术中记载: “刍甍者,下有 袤有广,而上有袤无广.刍

3、,草也.甍,屋盖也.”今有底面为 正方形的屋脊形状的多面体(如图所示) ,下底面是边长为 2 的正方形,上棱 3 2 EF ,EF/平面 ABCD,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,该刍甍的体积为 A.6 B.11 3 C. 31 4 D.12 7.函数 3cos sin 2 x f xxx在,的图象大致为 8.如图,已知双曲线 22 2 1 2 xy C aa :的左、右焦点分别为 12 ,F F M是 C 上位于第一象限内的一点,且直线 2 F My与 轴的正半轴交于 A 点, 1 AMF的内切圆在边 1 MF上的切点 为 N,若=2MN,则双曲线 C 的离心率为 A. 5 2 B.5

4、 C.2 D.2 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.已知向量2, 1 ,3,2 ,1,1abc ,则 A./ab B.abc C.abc D.53cab 10.某院校教师情况如下表所示 3 关于 2016 年、2017 年、2018 年这 3 年该院校的教师情况,下面说法正确的是 A.2017 年男教师最多 B.该校教师最多的是 2018 年 C.2017 年中年男教师比 2016 年多 80 人 D.2016 年到 2018 年,该校青年年龄段

5、的男教师人数增长率为 220% 11.若 2009 232009 01232009 1 2xaa xa xa xaxxR,则 A. 0 1a B. 2009 1352009 31 2 aaaa C. 2009 0242008 31 2 aaaa D. 1232009 232009 1 2222 aaaa 12.已知函数 cos cos nx f xnN x ,则下列结论正确的是 A. f x是周期函数 B. f x的图象是轴对称图形 C. f x的图象关于点,0 2 对称 D. f xn 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知直线yxb是曲线3 x ye的一条

6、切线,则b. 14.已知2sin2cossin,cos 2 2 2 且 , ,则. 15.甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛,每个同学只能参加一科 竞赛,若每个同学可以自由选择,则不同的选择种数是;若甲和乙不参加同一科,甲 和丙必须参加同一科,且这三科都有人参加,则不同的选择种数是.(用数字作答) (本 题第一空 2 分,第二空 3 分) 16.已知球 O 是正三棱锥PABC的外接球,3,2 3ABPA,点 E 是线段 AB 的中 4 点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积的最小值是. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

7、17.(10 分) 在 2 n Snn, 3535 16 ,42aaSS, 1 7 1, 56 n n an S an 这三个条件中任 选一个补充在下面的问题中,并加以解答. 设等差数列 n a的前n项和为 n S, 数列 n b为等比数列, _, 12 112 , 2 a a ba b. 求数列 1 n n b S 的前n项和 n T. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(12 分) ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为, ,a b c,已知cos2cos22sinsin1ABAB cos2C. (1)求角 C. (2)设 D 为边 AB 的中点,ABC的面积为 2

8、,求 2 CD的最小值. 19.(12 分) 在四棱锥PABCDPAB中,为等边三角形, 四边形 ABCD 为矩形, E 为 PB 的中点, DEPB. (1)证明:平面ABCD平面 PAB. (2)设二面角A PCB的大小为,求的取值范围. 20(12 分) 某水果批发商经销某种水果(以下简称 A 水果),购入价为 300 元/袋,并以 360 元袋的 价格售出,若前 8 小时内所购进的 A 水果没有售完,则批发商将没售完的 A 水果以 220 元袋的价格低价处理完毕(根据经验,2 小时内完全能够把 A 水果低价处理完,且当天 不再购进)该水果批发商根据往年的销量,统计了 100 天 A 水

9、果在每天的前 8 小时内的 销售量,制成如下频数分布条形图 5 现以记录的 100 天的 A 水果在每天的前 8 小时内的销售量的频率作为 A 水果在一天的前 8 小时内的销售量的概率,记 X 表示 A 水果一天前 8 小时内的销售量,n表示水果批发 商一天批发 A 水果的袋数 (1)求 X 的分布列; (2)以日利润的期望值为决策依据,在1516nn与中选其一,应选用哪个? 21(12 分) 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右顶点为 A,上顶点为 B,O 为坐标原原点,点 O 到 直线 AB 的距离为 2 5 5 ,OAB的面积为 1 (1)求榷圆的标准方程; (2)直线l与

10、椭圆交于 C, D 两点, 若直线/l直线 AB, 设直线 AC, BD 的斜率分别为 12 ,k k 证明: 12 k k为定值 22(12 分) 已知函数 ln1f xxax有两个零点 (1)求 a 的取值范围; (2)设 12 ,x x是 f x的两个零点,证明: 12 1fx xa 6 2020 年高考全真模拟题 数学参考答案 1.B【解析】本题考查集合交集运算,考查运算求解能力. 因为1,5 ,11,1ABAB ,所以. 2.C【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力. 22 525252255 1 2222 1 i iiii zi ii i ,则z的虚部为 5 2 . 3.

11、D【解析】本题考查函数的定义域,考查运算求解能力. 令241 xxx ,即2,解得 1 0. 1 f x x x 若有意义,则 10, 10 x x , 即, 1x 1,1 . 4.C【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与圆的位置关系,考查数形结合的思想. 抛物线 2 :4C xy的准线方程为1y ,则4 15r . 5.A【解析】本题考查充分必要条件,不等式的解法,考查运算求解能力,逻辑推理能力. 设 2 1010 ,ln20Ax xaxax xxaBxxxx 2 e,因为05a,所以A B ,所以pq是的充分不必要条件. 6.B【解析】本题考查空间几何体的体积,考查空间想象能力和运算求解

12、能力. 如图,作 FN/AE,FM/ED,则多面体被分割为棱柱与棱锥部分,则该刍甍的体积为 13 2 32 F MNBCADE MNFMNBC VVSS 直截面 132 2311 =222= 32223 . 7.A【解析】本题考查函数图象的应用,考查逻辑推理能力. 由 fxf x ,所以 f x是奇函数,排除 B,D;由 3 33 , 3322 f 7 3 2213 3322 f ,可知 2 33 ff ,结合图象可知选 A. 8.D【解析】本题考查双曲线的定义以及内切圆的应用,考查数形结合的思想以及转化与 化归的思想. 设 1 AMF的内切圆在边 1, AF AM的切点分别为 E,G,则 1

13、1 ,AEAG EFFN MNMG.又 12 2MFMFa,则 12 2EFMGMFa,由对称性可知 12 AFAF,化简可得MNa,则2,24aa,所以双曲线 C 的离心率为 2 24 2 2 . 9.BD【解析】本题考查平面向量的坐标运算,考查运算求解能力. 1,1 ,1 10ababcabc ,故 .设 1212 ,cabR ,则 121212 1,12, 13,223,2,则 12 12 231, 21, 所以 1 2 5, 3, 所以53cab. 10.BCD【解析】本题考查统计知识,考查数据处理能力. 由题意知,2018 年的男教师最多,A 错误;将表中各年度人数横向求和可知,20

14、18 年共 有 1720 人, 为人数最多的一年, B 正确; 2017 年中年男教师比 2016 年多320 24080 (人) , 故 C 项正确; 20162018 青年男教师增加了 220 人, 增长率为220 100220%, 故 D 正确. 11.ACD【解析】本题考查二项式定理的应用,考查运算求解的能力. 由题意,当 2009 0 011,xa时, 当1x 时, 2009 01232009 11aaaaa , 当1x时, 2009 01232009 3aaaaa, 所以 20092009 13520090242008 3131 , 22 aaaaaaaa , 22009 1220

15、09 122009 22009 111 222222 aaa aaa , 8 当 22009 0122009 1111 = 2222 xaaaa 时,0 所以 22009 1220090 111 1 222 aaaa . 12.AB【解析】 由于 cos2cos2cos 2 cos2cos2cos n xn nxnnx f xf x xxx , 所以 f x是周 期函数,故 A 正确; 由 coscos coscos nxnx fxf x xx , 从而 f x为偶函数, 其图象关于0x对称, 故 B 正确; 由于 2cos coscos cos coscos 0 nx n nnxnx xf

16、xfx xx n 为奇数 , 为偶数 , 从而当n为奇 数时, f x的图象不一定关于点0 2 ,对称,故 C 不正确; 当 2 2cos111 22coscos coscos5 x nf xxx xx 时,令,则此时 2f x , 故 D 不正确. 13.4【解析】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力. 设 3 x f xe,切点为 0 3 0, x xe ,因为 x fxe,所以 00 0 1,3 xx ebex , 4b 则. 14. 1 4 【解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解的能力. 由 1 2sin2cos4sincoscos ,sin, 2 24 ,则因为, ,故 9

17、15 0,.cossin= 242 由,可得,所以 1 cos 2sin 4 . 15.243;30【解析】本题考查排列组合的应用,考查逻辑推理能力. 若每个同学可以自由选择,由乘法原理可得,不同的选择种数是 5 3243; 因为甲和乙不参加同一科,甲和丙必须参加同一科,所以有 2、2、1 和 3、1、1 两种分 配方案. 当分配方案为 2、2、1 时,共有 23 33 18C A 种; 当分配方案为 3、1、1 时,共有 13 23 12C A 种; 所以不同的选择和数是18 1230. 16. 9 4 【解析】本题考查空间几何体的外接球,考查空间想象能力. 设 三 棱 锥 的 外 接 球

18、半 径 为 R , 正 三 角 形 ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 O , 则 2 2 2 3,33P ORR ,解得2,1R OO ,因为过 E 作球 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面圆的半径最小,所以当截面与 OE 垂直时,截面圆的面积有最小值.在 3 3 2 Rt COOCOOE中,所以.在Rt EOO中, 2 37 1 22 OE , 所以 22 3 2 2 rOE,所以截面面积 2 9 4 Sr . 17.解:选 当 11 1,2naS时,1 分 当 1 22 nnn naSSn 时,2 分 又1n 满足2 n an,所以2 n an.4 分 设 n b的公比为 q,又因

19、为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b,由,5 分 得 1 2,2bq,所以2n n b .6 分 10 由数列 n b的前 n 项和为 1 1 22 22 1 2 n n ,7 分 可知 2 11111 11 n Snnn nnn ,8 分 数列 1 n S 的前n项和为 111111 11 22311nnn ,9 分 故 11 11 22 121 11 nn n T nn .10 分 选 设公差为d,由 1 3535 1 2616, 16,42 81342, ad aaSS ad ,得2 分 解得 1 2, 2, a d 所以 2 2 , nn an Snn.4 分 设

20、n b的公比为 q,又因为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b由,5 分 得 1 2,2bq,所以2n n b .6 分 由数列 n b的前n项和为 1 1 22 22 1 2 n n ,7 分 可知 2 11111 11 n Snnn nnn ,8 分 数列 1 n S 的前n项和为 111111 11 22311nnn ,9 分 故 11 11 22 121 11 nn n T nn .10 分 选 11 由 111 1 1 11 nnnn n n anaaaa aa n annnn ,得,所以,即,2 分 7411 728562Saaa,所以,3 分 所以 2 2 ,

21、nn an Snn.4 分 设 n b的公比为 q,又因为 12 12112 2,4, 2 a a aaba b由,5 分 得 1 2,22n n bqb,所以.6 分 由数列 n b的前n项和为 1 1 22 22 1 2 n n ,7 分 可知 2 11111 11 n Snnn nnn ,8 分 数列 1 n S 的前 n 项和为 111111 11 22311nnn ,9 分 故 11 11 22 121 11 nn n T nn .10 分 18.解: (1)由已知可得故 222 1 2sin1 2sin2sin sin1 1 2sinABABC ,2 分 得 222 ababc,3

22、 分 所以 222 1 cos= 223 abc CC ab ,所以.5 分 (2)由 1138 3 sin2=, 2223 ABC SabCabab ,即所以.7 分 由 22211 2 24 CDCACBCDCACBCA CB,所以, 9 分 12 则 22222 111 2cos22 3 444 CDbaabCbaababab,当且仅当 ab时取等号,所以 2 CD的最小值为2 3.12 分 19.(1)证明:连接 AE,因为PAB为等边三角形,所以AEPB,1 分 又,DEPB AEDEEPB,所以平面 ADE,2 分 所以PBAD.3 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以ADABA

23、BBPB,且, 所以AD 平面 PAB.4 分 因为AD 平面 ABCD, 所以平面ABCD平面 PAB.5 分 ( 2 ) 解 : 以 A 为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系Axyz, 不 妨 设 10,1,PBABPACn , , 则 3 1 0,0,0 ,0 ,0,1,0 22 APB , 13 由空间向量的坐标运算可得 3 13 131 ,0 ,0 222222 PCnAPBP . 6 分 设平面 BPC 的法向量为 111 ,mx y z, 则 0, 0, m PC m BP 代入可得 111 11 31 0, 22 31 0, 22 xynz xy

24、令 111 13,0xyz,则,所以 1, 3,0m .7 分 设平面 PAC 的法向量为 222 ,nx y z 则 0, 0, n PC n AP 代入可得 222 22 31 0, 22 31 0, 22 xynz xy 令 222 3 13,xyz n ,则,所以 3 1,3,n n .8 分 二面角A PCB的大小为,由图可知,二面角为锐二面角, 所以 2 1 3 cos 3 1 31 3 m n m n n 2 11 0, 23 4 n ,10 分 所以, 3 2 .12 分 20.解: (1)由题意知 A 水果在每天的前 8 小时内的销售量为 14,15,16,17 的频率分 别

25、是 0.2,0.3,0.4 和 0.1,2 分 14 所以 X 的分布列为 4 分 (2)当15n时,设 Y 为水果批发商的日利润,则 Y 的可能取值为 760,900,5 分 7600.2,9000.8P YP Y , 760 0.2900 0.8872E Y ,7 分 当16n时,设 Z 为水果批发商的日利润,则 Z 的可能取值为 680,820,960,8 分 6800.2,8200.3,9600.5P ZP ZP Z , 680 0.2 820 0.3 960 0.5862E Z .10 分 综上可知, 当15n时的日利润期望值大于16n时的日利润期望值, 故选15n.12 分 21.

26、解: (1)直线 AB 的方程为1 xy ab ,即0bxayab,1 分 则 22 2 5 5 ab ab .2 分 因为三角形 OAB 的面积为 1,所以 1 12 2 abab,即,3 分 解得2,1ab,4 分 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y.5 分 (2)直线AB的斜率为 1 2 ,设直线l的方程为 1122 1 , 2 yx t C x yD x y,6 分 代入 2 222 12210 4 x yytyt ,得,7 分 15 则 2 1212 1 , 2 t yyt y y ,8 分 所以 12121 1 2 12122 1 22 yyy yy k k xxx xx

27、 ,9 分 所以 2 12212212122 2444x xxtytytytt yyy yty 2 12121212122121 44yyyyyyy yyyyy yy ,11 分 所以 1 2 1 4 k k 为定值.12 分 22.解:(1) 由题意, 可得 1 ln x a x , 转化为函数 1 ln x g x x 与直线0ya在 , 上有两个不同交点.1 分 2 ln 0 x gxx x ,故当 0,1x 时, 0g x;当1,x,时, 0g x. 故 g x在0,1上单调递增,在1,上单调递减, 所以 max 11g xg.3 分 又 1 0g e ,故当 1 0,x e 时, 0

28、g x ;当 1 ,x e 时, 0g x . 可得0,1a.5 分 (2) 1 fxa x , 由(1)知 12 ,x x是ln10xax 的两个根, 故 12 1122 12 lnln ln10,ln10 xx xaxxaxa xx .7 分 要证 12 1fx xa ,只需证 12 1x x ,即证 12 lnln0xx, 16 即证 12 110axax,8 分 即证 12 2 a xx ,即证 12 1212 lnln2xx xxxx .9 分 不妨设 1 122 1 12 1 212 2 21 2 0ln 1 x xxxx xx x xxx x ,故, 令 2 1 22 2 21114 0,1 ,ln,0 1 11 ttx th tth t xtt tt t ,11 分 则 01h t 在 ,上单调递增,则 10h th,故 式成立,即要证不等式得证. 12 分

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