1、小学数学总复习专题讲解及训练（八）小学数学总复习专题讲解及训练（八） 主要内容主要内容 正比例和反比例 学习目标学习目标 1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两 种相关联的量是否成正比例或反比例。 2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在 方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个 量的数值。 3、 使学生在认识成正比例、 反比例的量的过程中， 初步体会数量之间相依互变的关系， 感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。 4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系
2、，增强探索数学知识和规律的意识， 养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。 考点分析考点分析 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两 个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关 系叫做正比例关系。 如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可 以用这样的式子来表示： x y = K（一定） 。 2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根 据一种量的值，估计另一种量相对应的值。 3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两 个数
3、的乘积一定， 这两种量就叫做成反比例的量， 它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的积，反比例关系可以 用这样的式子来表示： = K（一定） 。 4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反 比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。 典型例题典型例题 例例 1 1、 （正比例的意义）、 （正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？ 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/千米 120 240 360 480 600 720 例例 2 2、 （判断是否成正比例）、 （判断是否成正比例） 练习本的单
4、价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？ 例例 3 3、 （正比例的图像）、 （正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 时间/分 1 2 3 4 5 6 7 路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 （1）图中的点 A 表示时间为 1 分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描 出其他各点。 （2）连接各点，它们在一条直线上吗？ 例例 4 4、 （辨析）、 （辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？ 例例 5 5、 （反比例的意义）、 （反比例的意义） 下表是王师傅加工一批零件时， 每小时加工零件个数随时间变化的情况。 这两种量
5、有什 么关系？ 每小时加工零件的个数/个 20 30 40 60 80 加工的时间/时 12 8 6 4 3 例例 6 6、 （判断是否成反比例）、 （判断是否成反比例） 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？ 例例 7 7、 （辨析）、 （辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。 例例 8 8、 （综合题、 （综合题 1 1） （1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？ （2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？ 小学数学总复习专题讲解及训练（八）小学数学总复习专题讲解及训练（八） 模拟试题 1 1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么
6、关系？为什么？、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格 1 数量/本 1 3 6 8 10 20 总价/元 4 12 24 32 40 80 表格 2 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 总价/元 6 8 12 16 20 24 表格 3 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表： 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 数量/本 40 30 20 15 12 10 2、用一批纸装订练习本，每本 25 页，可以装订 400 本。如果要装订 500 本，每本有 X 页。 题中（ ）量一定，关系式： （ ）（ ）（ ） （一定） ， （ ）和
7、（ ） 成（ ）比例。 3、一间会客室地面用边长 0.3 米的正方形地砖铺，需要 640 块。如果改用边长 0.4 米的正 方形地砖，需要 Y 块。 题中（ ）量一定，关系式： （ ）（ ）（ ） （一定） ， （ ） 和（ ）成（ ）比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时， （ ）与（ ）成（ ）比例； 当高一定时， （ ）与（ ）成（ ）比例； 当侧面积一定时， （ ）与（ ）成（ ）比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中，、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ ）一定时， （ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时，
8、（ ）与（ ）成反比例； 6、当、当 a b c（ a、b、c 为三种量，且均不为为三种量，且均不为 0） 。） 。 ( )一定， （ ）与（ ）成（ ）比例； （ ）一定， （ ）与（ ）成（ ）比例； （ ）一定， （ ）与（ ）成（ ）比例； 7 7、判断。、判断。 （1） 、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 （ ） （2） 、图上距离和实际距离成正比例。 （ ） （3） 、X 和 Y 表示两种变化的相关联的量，同时 5X7Y0，X 和 Y 不成比例。 （ ） （4） 、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ） （5） 、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。
9、 （ ） （6） 、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ） （7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( ) （8）在 400 米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( ) （9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( ) （10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( ) （11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( ) （12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( ) 8 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。 （1） 、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ ） 。 （2
10、） 、正方形的边长和周长（ ） 。 （3） 、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ ） 。 （4） 、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ ） 。 （5） 、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ ） 。 （6） 、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ ） 。 9、思考：明明三岁时体重 12 千克，十一岁时体重 44 千克。于是小张就说： “明明的体重和 身高成正比例。 ”你认为小张的说法对吗？为什么？ 来源:学_科_网 1 10 0、某造纸厂每小时造纸、某造纸厂每小时造纸 1.51.5 吨，吨，2 2 小时、小时、3 3 小时各造纸多少吨？小时各造
11、纸多少吨？ （1）把下表填写完整。 造纸时间/时 1 2 3 4 造纸吨数/吨 1.5 （2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数/吨 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时 （3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ （4）根据图像判断， 5 小时造纸多少吨？ 参考答案：参考答案： 1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格 1 数量/本 1 来 源 : 学 _ 科 _ 网 Z_X_X_K 3 6 8 10 20 总价/元 4 12 24 32 40 80 1 4 = 4， 3 12 =
12、 4， 6 24 = 4 因为 数量 总价 = 单价（一定） ，所以单价一定时，总价和数量成正比例。 表格 2 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 总价/元 6 8 12 16 20 24 5 . 1 6 = 4， 2 8 = 4， 3 12 = 4 因为 单价 总价 = 数量（一定） ，所以数量一定时，总价和单价成正比例。 表格 3 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表： 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 数量/本 40 30 20 15 12 10 1.5 40 = 60 ，2 30 = 60 ，4 15 = 60 因为单价 数量 = 总价（一定） ，所以总价
13、一定时，单价和数量成反比例。 2、用一批纸装订练习本，每本 25 页，可以装订 400 本。如果要装订 500 本，每本有 X 页。 题中 （ 纸的总页数 ） 量一定， 关系式： （ 每本页数 ） （ 装订本数 ） （ 纸 的总页数 ） （一定） ， （ 每本页数 ）和（ 装订本数 ）成（ 反 ）比例。 3、一间会客室地面用边长 0.3 米的正方形地砖铺，需要 640 块。如果改用边长 0.4 米的正 方形地砖，需要 Y 块。 题中（ 会客室地面面积 ）量一定，关系式： （ 每块砖的面积 ）（ 砖的块数 ） （ 会客室地面面积 ）（一定） ，（ 每块砖的面积 ） 和 （ 砖的块数 ） 成 （
14、反 ） 比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时， （ 侧面积 ）与（ 高 ）成（正）比例； 当高一定时， （ 侧面积 ）与（ 底面周长 ）成（正）比例； 当侧面积一定时， （ 底面周长 ）与（ 高 ）成（ 反 ）比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（ 除数 ）一定时， （ 被除数 ）与（ 商 ）成正比例； 当（ 被除数 ）一定时， （ 除数 ）与（ 商 ）成反比例； 6、当 a b c（ a、b、c 为三种量，且均不为 0） 。 ( c )一定， （ a ）与（ b ）成（ 反 ）比例； （ a ）一定， （ c ）与（ b ）成（ 正 ）比例； （ b
15、 ）一定， （ c ）与（ a ）成（ 正 ）比例； 7 7、判断。、判断。 （1） 、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 （ ） （2） 、图上距离和实际距离成正比例。 （ ） （3） 、 X 和 Y 表示两种变化的相关联的量， 同时 5X7Y0， X 和 Y 不成比例。（ ） （4） 、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ） （5） 、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ ） （6） 、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ） （7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( ) （8）在 400 米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。
16、( ) （9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( ) （10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( ) （11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( ) （12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( ) 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。 （1） 、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ 反比例 ） 。 （2） 、正方形的边长和周长（ 正比例 ） 。 （3） 、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ 反比例 ） 。 （4） 、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ 反比例 ） 。 （5） 、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（
17、反比例 ） 。 （6） 、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ 正比例 ） 。 9、思考：明明三岁时体重 12 千克，十一岁时体重 44 千克。于是小张就说： “明明的体重和 身高成正比例。 ”你认为小张的说法对吗？为什么？ 答：小张的说法是错误的，体重和身高不是两种相关联的量，体重和身高不成比例。 10、某造纸厂每小时造纸 1.5 吨，2 小时、3 小时各造纸多少吨？ （1）把下表填写完整。 造纸时间/时 1 2 3 4 造纸吨数/吨 1.5 3 4.5 6 （2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。 吨数/吨 6 5 4 3 2 1 0
18、1 2 3 4 5 6 7 时间/时 （3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ 因为 造纸时间 造纸吨数 = 每小时造纸吨数（一定） ，所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与 造纸时间成正比例。 (4) 根据图像判断，5 小时造纸多少吨？ 根据图像判断，5 小时造纸 7.5 吨。 典型例题典型例题 例例 1 1、 （正比例的意义）、 （正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？ 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/千米 120 240 360 480 600 720 分析与解：分析与解： （1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。 （2）从左往右看，时间扩大，
19、路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也 缩小。所以它们是两种相关联的量。 （3） 路程和时间的比值始终不变， 1 120 = 120， 2 240 = 120， 3 360 = 120 这个比值就是火车的行驶速度。 通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时 间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和 对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：时间 路程 = 速度（一定） 。 具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关 系；行驶的路程和时间成正比例的量。 点评：点评：判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是
20、不是相关联的两种量；二是看 一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比 值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母和分别表示两种相关联的量， 用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： x y = K（一定） 。 例例 2 2、 （判断是否成正比例）、 （判断是否成正比例） 练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？ 分析与解：分析与解： 根据正比例的意义， 看两个变量的比值是否一定， 如果两个变量的比值一定， 那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量， 它们与练习本的单价有下面的关 系： 数量
21、 买练习本的总价 = 练习本的单价（一定） 所以练习本的数量和总价成正比例。 例例 3 3、 （正比例的图像）、 （正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 时间/分 1 2 3 4 5 6 7 路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 （1）图中的点 A 表示时间为 1 分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描 出其他各点。 （2）连接各点，它们在一条直线上吗？ （3）根据图像判断，列车运行 2 分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶 30 千米大约 需要几分钟？ 路程/千米 42 35 28 21 14 7 A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分
22、 分析与解：分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间相 对应的数的比值都是 7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条 直线。对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的 值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。 （1）描点、连线如图。 路程/千米 42 35 28 21 14 7 A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分 （2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。 （3）根据图像，列车运行 2 分半钟时，行驶的路程是 17.5 千米；行驶 30 千米大约需 要 4.3 分钟。 例例 4 4、 （辨析）、 （辨
23、析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？ 分析与解：分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。 半径/cm 1 2 3 4 5 6 直径/cm 2 4 6 8 10 12 周长/cm 6.28 12.56 18.84来源:25.12 31.4 37.68 学科网 ZXXK 面积/cm 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 圆的周长和直径的相对应的数的比值都是 3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆 的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不
24、成正比例。 例例 5 5、 （反比例的意义）、 （反比例的意义） 下表是王师傅加工一批零件时， 每小时加工零件个数随时间变化的情况。 这两种量有什 么关系？ 每小时加工零件的个数/个 20 30 40 60 80 加工的时间/时 12 8 6 4 3 分析与解：分析与解： （1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。 （2） 从左往右看， 每小时加工零件的个数扩大， 加工的时间反而缩小； 从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所 以它们是两种相关联的量。 （3）每小时加工零件的个数和相对应的加 工的时间的积都始终不变，如 20 12 = 240，30
25、 8 = 240，40 6 = 240而这个积就是这批零件的总个数。 通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时 间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而 变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系： 每小时加工零件的个数 加工的时间 = 零件的总个数（一定） 。 所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的 关系叫做反比例关系。 点评：点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的 两种量； 二是看一种量变化， 另一种量是不是也随着变化； 满足了前面两个条件， 再看它们的乘积是否一定，进行判断。不
26、要省去任何一步。如果用字母和分 别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来 表示： = K（一定） 。 例例 6 6、 （判断是否成反比例）、 （判断是否成反比例） 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？ 分析与解：分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定， 那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。 每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系： 每公顷的产量 公顷数 = 总产量（一定） 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。来源:学|科|网 Z|X|X|K 例例 7 7、 （辨析）、 （辨析）和
27、一定，一个加数和另一个加数成反比例。 分析与解：分析与解：判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显， 和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。 和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。 点评：点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一 定，也 不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度 和身高；减数一定，被减数和差等。 例例 8 8、 （综合题、 （综合题 1 1） （1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？ （2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？ 分析与解：分析与解：判断
28、时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。 （1） 因为长方形的长 宽 = 长方形的面积 （一定） ， 所以长和宽成反比例。 （2）长方形的周长 = （长+宽） 2 ，长方形的周长一定，长+宽的和一定， 但不是积一定，所以长和宽不成反比例。 例例 9 9、 （综合题、 （综合题 2 2） 分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。 （1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数； （2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数； （3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。 分析与解：分析与解： 在大米的总千克数、 每天吃的千克数和天数这三种量中， 当某一种量一定时， 另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。可以根据数量关系式 来判断。 （1）因为每天吃的千克数 天数 = 大米的总千克数（一定） ，所以大米的总千克数 一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。 （2） 因为 天数 大米的总千克数 = 每天吃的千克数 （一定） ， 所以每天吃的千克数一定时， 大米的总千克数和天数成正比例。 （3）因为 每天吃的千克数 大米的总千克数 = 天数（一定） ，所以天数一定时，大米的总千克数和
