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小升初数学总复习专题讲解及训练8{解析版}

1、小学数学总复习专题讲解及训练(八)小学数学总复习专题讲解及训练(八) 主要内容主要内容 正比例和反比例 学习目标学习目标 1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量,能根据正、反比例的意义判断两 种相关联的量是否成正比例或反比例。 2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在 方格纸上画出相应的直线,能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个 量的数值。 3、 使学生在认识成正比例、 反比例的量的过程中, 初步体会数量之间相依互变的关系, 感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型,进一步提升思维水平。 4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系

2、,增强探索数学知识和规律的意识, 养成积极主动地参与学习活动的习惯,提高学好数学的信心。 考点分析考点分析 1、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两 个数的比的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们之间的关 系叫做正比例关系。 如果用字母和分别表示两种相关联的量,用表示它们的比值,正比例关系可 以用这样的式子来表示: x y = K(一定) 。 2、用“描点法”可以得到正比例的图像,正比例的图像是一条直线。对照图像,能根 据一种量的值,估计另一种量相对应的值。 3、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两 个数

3、的乘积一定, 这两种量就叫做成反比例的量, 它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母和分别表示两种相关联的量,用表示它们的积,反比例关系可以 用这样的式子来表示: = K(一定) 。 4、两个变量的比值一定,这两个变量成正比例;两个变量的积一定,这两个变量成反 比例;没有上述两种关系,这两个变量不成比例。 典型例题典型例题 例例 1 1、 (正比例的意义)、 (正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系? 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/千米 120 240 360 480 600 720 例例 2 2、 (判断是否成正比例)、 (判断是否成正比例) 练习本的单

4、价一定,买练习本的数量和总价是不是成正比例?为什么? 例例 3 3、 (正比例的图像)、 (正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。 时间/分 1 2 3 4 5 6 7 路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 (1)图中的点 A 表示时间为 1 分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描 出其他各点。 (2)连接各点,它们在一条直线上吗? 例例 4 4、 (辨析)、 (辨析)圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径成正比例? 例例 5 5、 (反比例的意义)、 (反比例的意义) 下表是王师傅加工一批零件时, 每小时加工零件个数随时间变化的情况。 这两种量

5、有什 么关系? 每小时加工零件的个数/个 20 30 40 60 80 加工的时间/时 12 8 6 4 3 例例 6 6、 (判断是否成反比例)、 (判断是否成反比例) 总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?为什么? 例例 7 7、 (辨析)、 (辨析)和一定,一个加数和另一个加数成反比例。 例例 8 8、 (综合题、 (综合题 1 1) (1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗?为什么? (2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗?为什么? 小学数学总复习专题讲解及训练(八)小学数学总复习专题讲解及训练(八) 模拟试题 1 1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?有什么

6、关系?为什么?、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?有什么关系?为什么? 表格 1 数量/本 1 3 6 8 10 20 总价/元 4 12 24 32 40 80 表格 2 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 总价/元 6 8 12 16 20 24 表格 3 用 60 元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表: 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 数量/本 40 30 20 15 12 10 2、用一批纸装订练习本,每本 25 页,可以装订 400 本。如果要装订 500 本,每本有 X 页。 题中( )量一定,关系式: ( )( )( ) (一定) , ( )和

7、( ) 成( )比例。 3、一间会客室地面用边长 0.3 米的正方形地砖铺,需要 640 块。如果改用边长 0.4 米的正 方形地砖,需要 Y 块。 题中( )量一定,关系式: ( )( )( ) (一定) , ( ) 和( )成( )比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时, ( )与( )成( )比例; 当高一定时, ( )与( )成( )比例; 当侧面积一定时, ( )与( )成( )比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中,、在被除数、除数、商这三种量中, 当( )一定时, ( )与( )成正比例; 当( )一定时,

8、( )与( )成反比例; 6、当、当 a b c( a、b、c 为三种量,且均不为为三种量,且均不为 0) 。) 。 ( )一定, ( )与( )成( )比例; ( )一定, ( )与( )成( )比例; ( )一定, ( )与( )成( )比例; 7 7、判断。、判断。 (1) 、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。 ( ) (2) 、图上距离和实际距离成正比例。 ( ) (3) 、X 和 Y 表示两种变化的相关联的量,同时 5X7Y0,X 和 Y 不成比例。 ( ) (4) 、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。 ( ) (5) 、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。

9、 ( ) (6) 、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。 ( ) (7)订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( ) (8)在 400 米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。 ( ) (9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。 ( ) (10)正方体的棱长和体积成正比例。 ( ) (11)被除数一定,除数和商成反比例。 ( ) (12)圆的周长和它的直径成正比例。 ( ) 8 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。 (1) 、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数( ) 。 (2

10、) 、正方形的边长和周长( ) 。 (3) 、水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间( ) 。 (4) 、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数( ) 。 (5) 、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数( ) 。 (6) 、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数( ) 。 9、思考:明明三岁时体重 12 千克,十一岁时体重 44 千克。于是小张就说: “明明的体重和 身高成正比例。 ”你认为小张的说法对吗?为什么? 来源:学_科_网 1 10 0、某造纸厂每小时造纸、某造纸厂每小时造纸 1.51.5 吨,吨,2 2 小时、小时、3 3 小时各造纸多少吨?小时各造

11、纸多少吨? (1)把下表填写完整。 造纸时间/时 1 2 3 4 造纸吨数/吨 1.5 (2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。 吨数/吨 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时 (3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?为什么? (4)根据图像判断, 5 小时造纸多少吨? 参考答案:参考答案: 1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?有什么关系?为什么? 表格 1 数量/本 1 来 源 : 学 _ 科 _ 网 Z_X_X_K 3 6 8 10 20 总价/元 4 12 24 32 40 80 1 4 = 4, 3 12 =

12、 4, 6 24 = 4 因为 数量 总价 = 单价(一定) ,所以单价一定时,总价和数量成正比例。 表格 2 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 总价/元 6 8 12 16 20 24 5 . 1 6 = 4, 2 8 = 4, 3 12 = 4 因为 单价 总价 = 数量(一定) ,所以数量一定时,总价和单价成正比例。 表格 3 用 60 元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表: 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 数量/本 40 30 20 15 12 10 1.5 40 = 60 ,2 30 = 60 ,4 15 = 60 因为单价 数量 = 总价(一定) ,所以总价

13、一定时,单价和数量成反比例。 2、用一批纸装订练习本,每本 25 页,可以装订 400 本。如果要装订 500 本,每本有 X 页。 题中 ( 纸的总页数 ) 量一定, 关系式: ( 每本页数 ) ( 装订本数 ) ( 纸 的总页数 ) (一定) , ( 每本页数 )和( 装订本数 )成( 反 )比例。 3、一间会客室地面用边长 0.3 米的正方形地砖铺,需要 640 块。如果改用边长 0.4 米的正 方形地砖,需要 Y 块。 题中( 会客室地面面积 )量一定,关系式: ( 每块砖的面积 )( 砖的块数 ) ( 会客室地面面积 )(一定) ,( 每块砖的面积 ) 和 ( 砖的块数 ) 成 (

14、反 ) 比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时, ( 侧面积 )与( 高 )成(正)比例; 当高一定时, ( 侧面积 )与( 底面周长 )成(正)比例; 当侧面积一定时, ( 底面周长 )与( 高 )成( 反 )比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中, 当( 除数 )一定时, ( 被除数 )与( 商 )成正比例; 当( 被除数 )一定时, ( 除数 )与( 商 )成反比例; 6、当 a b c( a、b、c 为三种量,且均不为 0) 。 ( c )一定, ( a )与( b )成( 反 )比例; ( a )一定, ( c )与( b )成( 正 )比例; ( b

15、 )一定, ( c )与( a )成( 正 )比例; 7 7、判断。、判断。 (1) 、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。 ( ) (2) 、图上距离和实际距离成正比例。 ( ) (3) 、 X 和 Y 表示两种变化的相关联的量, 同时 5X7Y0, X 和 Y 不成比例。( ) (4) 、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。 ( ) (5) 、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。 ( ) (6) 、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。 ( ) (7)订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( ) (8)在 400 米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。

16、( ) (9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。 ( ) (10)正方体的棱长和体积成正比例。 ( ) (11)被除数一定,除数和商成反比例。 ( ) (12)圆的周长和它的直径成正比例。 ( ) 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。 (1) 、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数( 反比例 ) 。 (2) 、正方形的边长和周长( 正比例 ) 。 (3) 、水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间( 反比例 ) 。 (4) 、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数( 反比例 ) 。 (5) 、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数(

17、反比例 ) 。 (6) 、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数( 正比例 ) 。 9、思考:明明三岁时体重 12 千克,十一岁时体重 44 千克。于是小张就说: “明明的体重和 身高成正比例。 ”你认为小张的说法对吗?为什么? 答:小张的说法是错误的,体重和身高不是两种相关联的量,体重和身高不成比例。 10、某造纸厂每小时造纸 1.5 吨,2 小时、3 小时各造纸多少吨? (1)把下表填写完整。 造纸时间/时 1 2 3 4 造纸吨数/吨 1.5 3 4.5 6 (2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。 吨数/吨 6 5 4 3 2 1 0

18、1 2 3 4 5 6 7 时间/时 (3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?为什么? 因为 造纸时间 造纸吨数 = 每小时造纸吨数(一定) ,所以每小时造纸吨数一定时,造纸吨数与 造纸时间成正比例。 (4) 根据图像判断,5 小时造纸多少吨? 根据图像判断,5 小时造纸 7.5 吨。 典型例题典型例题 例例 1 1、 (正比例的意义)、 (正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系? 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/千米 120 240 360 480 600 720 分析与解:分析与解: (1)从上表可以看出,表中有时间和路程两种量。 (2)从左往右看,时间扩大,

19、路程也扩大;从右往左看,时间缩小,路程也 缩小。所以它们是两种相关联的量。 (3) 路程和时间的比值始终不变, 1 120 = 120, 2 240 = 120, 3 360 = 120 这个比值就是火车的行驶速度。 通过观察和计算,我们对路程和时间的关系有两点发现:第一点路程和时 间是两种相关联的量,也就是时间变化,路程也随着变化;第二点路程和 对应的时间的比的比值(也就是速度)是一定的,有这样的关系:时间 路程 = 速度(一定) 。 具备了这两个条件,我们就可以得到结论:行驶的路程和时间成正比例关 系;行驶的路程和时间成正比例的量。 点评:点评:判断两种量是不是成正比例,分三步:一看它们是

20、不是相关联的两种量;二是看 一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的比 值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母和分别表示两种相关联的量, 用表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示: x y = K(一定) 。 例例 2 2、 (判断是否成正比例)、 (判断是否成正比例) 练习本的单价一定,买练习本的数量和总价是不是成正比例?为什么? 分析与解:分析与解: 根据正比例的意义, 看两个变量的比值是否一定, 如果两个变量的比值一定, 那么这两个变量就成正比例,反之,则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量, 它们与练习本的单价有下面的关 系: 数量

21、 买练习本的总价 = 练习本的单价(一定) 所以练习本的数量和总价成正比例。 例例 3 3、 (正比例的图像)、 (正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。 时间/分 1 2 3 4 5 6 7 路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 (1)图中的点 A 表示时间为 1 分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描 出其他各点。 (2)连接各点,它们在一条直线上吗? (3)根据图像判断,列车运行 2 分半钟时,行驶的路程是多少千米?行驶 30 千米大约 需要几分钟? 路程/千米 42 35 28 21 14 7 A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分

22、 分析与解:分析与解:根据提供的各组数据描出图像的许多个点,再依次连成直线。路程和时间相 对应的数的比值都是 7,即速度一定,路程和时间成正比例,图像是一条 直线。对照图像,可以根据时间的值估计出路程的值,也可以根据路程的 值估计出时间的值,估计时允许有一定的出入。 (1)描点、连线如图。 路程/千米 42 35 28 21 14 7 A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分 (2)在一条直线上,因为路程和时间成正比例,正比例的图像是一条直线。 (3)根据图像,列车运行 2 分半钟时,行驶的路程是 17.5 千米;行驶 30 千米大约需 要 4.3 分钟。 例例 4 4、 (辨析)、 (辨

23、析)圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径成正比例? 分析与解:分析与解:圆的周长和直径成正比例,而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。 半径/cm 1 2 3 4 5 6 直径/cm 2 4 6 8 10 12 周长/cm 6.28 12.56 18.84来源:25.12 31.4 37.68 学科网 ZXXK 面积/cm 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 圆的周长和直径的相对应的数的比值都是 3.14,所以圆的周长和直径成正比例。而圆 的面积和半径的相对应的数的比值是变化的,所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径却不

24、成正比例。 例例 5 5、 (反比例的意义)、 (反比例的意义) 下表是王师傅加工一批零件时, 每小时加工零件个数随时间变化的情况。 这两种量有什 么关系? 每小时加工零件的个数/个 20 30 40 60 80 加工的时间/时 12 8 6 4 3 分析与解:分析与解: (1)从上表可以看出,表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。 (2) 从左往右看, 每小时加工零件的个数扩大, 加工的时间反而缩小; 从右往左看,每小时加工零件的个数缩小,加工的时间反而扩大。所 以它们是两种相关联的量。 (3)每小时加工零件的个数和相对应的加 工的时间的积都始终不变,如 20 12 = 240,30

25、 8 = 240,40 6 = 240而这个积就是这批零件的总个数。 通过观察和计算,我们发现:每小时加工零件的个数和加工的时 间是两种相关联的量,每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而 变化,但无论它们怎么变化,相对应的积是一定的,有这样的关系: 每小时加工零件的个数 加工的时间 = 零件的总个数(一定) 。 所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量,它们之间的 关系叫做反比例关系。 点评:点评:判断两种量是不是成反比例,和正比例一样,分三步:一看它们是不是相关联的 两种量; 二是看一种量变化, 另一种量是不是也随着变化; 满足了前面两个条件, 再看它们的乘积是否一定,进行判断。不

26、要省去任何一步。如果用字母和分 别表示两种相关联的量,用表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来 表示: = K(一定) 。 例例 6 6、 (判断是否成反比例)、 (判断是否成反比例) 总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?为什么? 分析与解:分析与解:根据反比例的意义,看两个变量的乘积是否一定,如果两个变量的积一定, 那么这两个变量就成反比例,反之,则不成反比例。 每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量,它们与总产量有下面的关系: 每公顷的产量 公顷数 = 总产量(一定) 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。来源:学|科|网 Z|X|X|K 例例 7 7、 (辨析)、 (辨析)和

27、一定,一个加数和另一个加数成反比例。 分析与解:分析与解:判断两个变量是否成反比例,关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显, 和一定,两个加数的积是变化的,所以它们不成反比例。 和一定,一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。 点评:点评:有些相关联的量,虽然也是一种量变化,另一种量也随着变化,但它们不是积一 定,也 不是比值一定,它们就不成比例。像这样的还有:人的跳高高度 和身高;减数一定,被减数和差等。 例例 8 8、 (综合题、 (综合题 1 1) (1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗?为什么? (2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗?为什么? 分析与解:分析与解:判断

28、时可以用列表的方式列举数据,也可以根据计算的公式来推导。 (1) 因为长方形的长 宽 = 长方形的面积 (一定) , 所以长和宽成反比例。 (2)长方形的周长 = (长+宽) 2 ,长方形的周长一定,长+宽的和一定, 但不是积一定,所以长和宽不成反比例。 例例 9 9、 (综合题、 (综合题 2 2) 分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,每两种量的比例关系。 (1)大米的总千克数一定,每天吃的千克数和天数; (2)每天吃的千克数一定,大米的总千克数和天数; (3)天数一定,大米的总千克数和每天吃的千克数。 分析与解:分析与解: 在大米的总千克数、 每天吃的千克数和天数这三种量中, 当某一种量一定时, 另外两种量可能成正比例关系,也可能成反比例关系。可以根据数量关系式 来判断。 (1)因为每天吃的千克数 天数 = 大米的总千克数(一定) ,所以大米的总千克数 一定时,每天吃的千克数和天数成反比例。 (2) 因为 天数 大米的总千克数 = 每天吃的千克数 (一定) , 所以每天吃的千克数一定时, 大米的总千克数和天数成正比例。 (3)因为 每天吃的千克数 大米的总千克数 = 天数(一定) ,所以天数一定时,大米的总千克数和