1、江苏省江苏省 20202020 年高考数学压轴卷（含解析）年高考数学压轴卷（含解析） 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1已知集合 |02Axx， |1Bx x，则AB _ 2已知复数(1)(2),zii则z 3某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级 的学生中应抽取的人数为_. 4根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_ 5在平面直角坐标亲xOy中，若双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的离心率为 3 2 ，则
2、该双曲线的渐近线方程为_. 6某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在 同一个食堂用餐的概率为_ 7已知点P在抛物线 2 8yx上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为(5,2)，则 PAPF的最小值是_ 8已知, 都是锐角， 45 sin,cos() 513 ，则sin=_ 9在体积为 9 的斜三棱柱 ABCA1B1C1中，S 是 C1C 上的一点，SABC 的体积为 2，则三 棱锥 SA1B1C1的体积为_ 10在等差数列 n a中， 912 1 6 2 aa，则数列 n a的前 11 项和 11 S_. 11 三棱锥PABC中， 已知PA 平面ABC，A
3、BC是边长为2的正三角形，E为PC 的中点，若直线AE与平面PBC所成角的正弦值为 42 7 ，则PA的长为_. 12 如图， 在四边形ABCD中，1ABCD， 点,M N分别是边,AD BC的中点， 延长BA 和CD交NM的延长线于不同 的两点,P Q，则 ()PQ ABDC的值为_ 13 已知函数 ln ,1 1,1 2 x x f x x x ， 若 1F xf f xm 有两个零点 12 ,x x， 则 12 x x 的取值范围_. 14在ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则 2 2 S abc 的 最大值为_. 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分
4、. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 15 在ABC中， 角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 已知 2 A ，sin26cossinbAAB. （1）求a的值； （2）若 3 A ，求ABC周长的取值范围. 16如图，在直三棱柱 111 ABCABC 中，BC AC ，D,E分别是AB,AC的中点 （1）求证： 11 BC 平面 1 ADE ； （2）求证：平面 1 ADE 平面 11 ACC A 17如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边 形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分点处（靠近B点） ， 3
5、BC 百米，BCCD，120ABC， 21EA 百米，60AED o . （1）求ABE区域的面积； （2）为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求水管CH最短时的 长 18已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 1 2 ，点P 是椭圆C上的一个动点，且 12 PFF面积的最大值为 3. （1）求椭圆C的方程； （2）设斜率不为零的直线 2 PF与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于 点 1 (0, ) 8 T，求直线PQ的斜率. 19已知数列 n a的前n项和记为 n A，且 1 2 n n n a
6、a A ，数列 n b是公比为q的等比 数列， 它的前n项和记为 n B.若 11 0ab， 且存在不小于 3 的正整数k，m， 使得 km ab. （1）若 1 1a ， 3 5a ，求 2 a的值； （2）求证：数列 n a是等差数列； （3）若2q =，是否存在整数m，k，使得86 km AB，若存在，求出m，k的值；若不 存在，请说明理由. 20已知 22 ln 12 x f xx xa ，0a. （1）当2a时，求函数 f x图象在1x 处的切线方程； （2）若对任意1,x，不等式 0f x 恒成立，求a的取值范围； （3）若 f x存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值
7、范围. 数学附加题数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分若多做，则 按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 A. (选修 42：矩阵与变换) 求椭圆 22 :1 164 xy C在矩阵 1 0 4 1 0 2 A 对应的变换作用下所得曲线 C 的方程. B. (选修 44：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 32 42 xcos ysin ， （ 为参数） ，以原点为 极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的
8、极坐标方程； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，A（2，0） ，B（0，2） ，M 是曲线 C 上任意一点，求ABM 面积的最小值 C. (选修 45：不等式选讲) 已知 x，y，z 均为正数，且 1113 112xyyz ，求证：4910xyz. 【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤 22厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也 需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品 （1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 0.7，从中任意取出 3 件 进行检验
9、，求至少有2 件是合格品的概率； （2）若厂家发给商家20 件产品，其中有4不合格，按合同规定 商家从这20 件产品中任 取2件，都进行检验，只有2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验 出的不合格产品的件数 的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率 23 已知数列 n a满足 123 *123 23 ,N 2222 n nnnn n n n CCCC amn ， 其中m为常数， 2 4a . （1）求 1 , m a的值 （2）猜想数列 n a的通项公式，并证明. 参考答案及解析参考答案及解析 1.【答案】 |1 2xx 【解析】 因为集合 |02Axx， |1Bx x， 所以
10、|12ABxx. 故答案为： |12xx 2 【答案】10 【解析】 122510zii 3 【答案】8 【解析】 设样本容量为N，则 30 6,14, 70 NN 高二所抽人数为 40 148 70 . 故答案为：8 4 【答案】205 【解析】 模拟程序语言，运行过程，可得1I , 满足条件100I ，执行循环体3,9IS； 满足条件100I ，执行循环体5,13IS； 满足条件100I ，执行循环体 99,201IS ； 满足条件100I ，执行循环体 101,2 101 3205IS ， 此时，不满足条件100I ，退出循环，输出 S 的值为205， 故答案为 205. 5 【答案】
11、5 2 yx 【解析】 由已知可知离心率 3 2 c e a ， 222 22 9 4 cab aa ，即 2 2 5 4 b a . 双曲线 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上 该双曲线的渐近线方程为 b yx a ，即 5 2 yx . 故答案为： 5 2 yx . 6 【答案】 1 4 【解析】 由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2 2 28 （种） ，其中 他们在同一个食堂用餐的情况有 2 种， 根据古典概型概率的计算公式得， 所求概率为 21 84 . 7 【答案】7 【解析】 PAPF5527 2 A L P d 8 【答案】 16 65 【解析】
12、, 都是锐角，(0, )， 又 45 sin,cos() 513 ， 3 cos 5 ， 12 sin() 13 ， sinsin()sin()coscos()sin 1235416 13513565 故答案为 16 65 9 【答案】1 【解析】 设三棱柱 111 ABCABC的底面积为 S，高为h， 则 9 9S hS h ， 再设S到底面ABC的距离为 h，则 1 2 3 S h ，得 1 9 2 3 h h ， 所以 2 3 h h ， 则S到上底面 111 ABC的距离为 1 3 h， 所以三棱锥 111 SABC的体积为 111 91 339 Sh 故答案为 1 10 【答案】13
13、2 【解析】 由 a9 1 2 a12+6，得 2a9a1212， 即 2a1+16da111d12，a1+5d12，a612 则 S1111a61112132 故答案为：132 11 【答案】2 或3 【解析】 设F是BC的中点，连接sincos210kk ， PA 平面ABC，PABC， ABC为正三角形，BCAF， BC平面PAF， 在平面PAF内作AHPF， 则BCAH，AH平面PBC， 连接EH，则AEH是AE与平面PBC所成的角， 设PAm，在直角三角形PAF中，AH PFPA AF， 求得 2 3 3 PA AFm AH PF m ， 2 11 4 22 AEPCm， AE平面P
14、BC所成的角的正弦值为 42 7 ， 2 2 3 42 3 sin 1 7 4 2 m AH m AEH AE m , 解得2m或3m ，即PA的长为 2 或 3，故答案为 2 或3. 12 【答案】0 【解析】 如图，连 AC，取 AC 的中点 E，连 ME，NE，则,ME NE分别为,ADCCAB的中位线，所 以 11 , 22 ENAB MEDC, 所以 1 () 2 MNMEENDCAB 由PQ与MN共线， 所以()PQMNR， 故()()() () 2 PQABDCMNABDCABDCABDC 22 ()0 2 ABDC 答案：0 13 【答案】, e 【解析】 当1x 时, ( )
15、ln0f xx , ( ) 1 1f x , ( ) 1ln( ( ) 1)f f xf x, 当 13 1( )1( ) 1 ( ) 1ln( ( ) 1) 222 x xf xf xf f xf x ，, 综上可知： 1ln( ( ) 1)0F xff xmf xm, 则( ) 1 m f xe ，( )1 m f xe有两个根 1 x， 2 x,(不妨设 12 xx, 当1x 时, 2 ln1 m xe，当1x时, 1 11 2 m x e, 令 1 1 2 m te ,则 2 ln xt， 2 t xe， 1 1 2 x t， 1 22xt， 12 (22 ) t x xet， 1 2
16、 t , 设( )(22 ) t g tet， 1 2 t , 所以( )2 t g tte , 1 ,( )0 2 tg t ， ，函数( )g t单 调递减, 1 ( ) 2 g tge , ( )g x 的值域为(,)e, 12 x x取值范围为( ,)e, 故答案为：(,)e. 14 【答案】 3 12 【解析】 因为 2 2 S abc 22 1 1 2 222 22 bcsinA sinA bc bcbccosAbc cosA cb 1 42 sinA cosA (当且仅当bc时取得等号) 令,sinAy cosAx， 故 2 2 S abc 1 42 y x ，因为 22 1xy
17、，且 0y ， 故可得点, x y表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示： 目标函数 2 y z x ，表示圆弧上一点到点2,0A点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点 13 , 22 H ，即60A时，取得最小值 3 3 ； 故可得 3 ,0) 23 y z x ， 又 2 2 S abc 1 42 y x ，故可得 2 2 S abc 133 4312 . 当且仅当60 ,Abc，也即三角形为等边三角形时，取得最大值. 故答案为： 3 12 . 15 【答案】 （1）3； （2）6,9. 【解析】 （1）由sin26cossinbAAB及二倍角公式得sin3sinbAB， 又 s
18、insin ab AB 即sinsinbAaB，所以3a ； （2）由正弦定理得 sin 2 3sin sin aB bB A ， sin 2 3sin sin aC cC A ABC周长： 2 32 3sin2 3sin32 3sin2 3sin() 3 abcBCBB 33 32 3sincos36sin 226 BBB ， 又因为 2 (0,) 3 B ，所以 1 sin( ,1 2 B. 因此ABC周长的取值范围是6,9. 16 【答案】 （）详见解析（）详见解析 【解析】 证明： （1）因为D,E分别是AB,AC的中点，所以 /DEBC， .2 分 又因为在三棱柱 111 ABCAB
19、C 中， 11/ BCBC ，所以 11/ BCDE . .4 分 又 11 BC 平 面 1 AD E ， DE 平面 1 AD E ， 所 以 11 BC 平 面 1 ADE . .6 分 （2）在直三棱柱 111 ABCABC 中， 1 CC 底面ABC， 又DE 底面ABC，所以 1 CCDE . .8 分 又BC AC ， /DEBC，所以DEAC ， 10 分 又 1, CC AC 平 面 11 ACC A ， 且 1 C CA CC ， 所 以 DE 平面 11 ACC A . .12 分 又DE 平面 1 ADE ，所以平面 1 ADE 平面 11 ACC A 14 分 17
20、【答案】 （1）3平方百米； （2） 5 7 7 百米. 【解析】 （1）由题知1,120 ,21BEABCEA， 在ABE中，由余弦定理得 222 2cosAEABBEAB BEABE，即 2 211ABAB ，所以4AB 百米 所以 113 sin4 13 222 ABE SAB BEABE （平方百米）. （2）记AEB，在ABE中， sinsin ABAE ABE ，即 421 sin3 2 ， 所以 2 2 721 sin,cos1 sin 77 ， 当CHDE时，水管CH最短， 在Rt ECH中， 222 sin2sin2sincos2cossin 333 CHCEHEC = 5
21、7 7 百米. 18 【答案】 （1） 22 1 43 xy （2） 1 2 或 3 2 【解析】 (1)因为椭圆离心率为 1 2 ，当 P 为 C 的短轴顶点时， 12 PFF的面积有最大值 3. 所以 222 1 2 1 23 2 c a abc c b ，所以 2 3 1 a b c ，故椭圆 C 的方程为: 22 1 43 xy . （2）设直线PQ的方程为1yk x， 当0k 时，1yk x代入 22 1 43 xy ， 得: 2222 3484120kxk xk . 设 1122 ,P x yQ x y，线段PQ的中点为 00 ,N x y， 2 12 0 2 4 234 xxk
22、x k ， 12 00 2 3 1 234 yyk yk x k 即 2 22 43 , 3434 kk N kk 因为TNPQ，则 1 TNPQ kk ，所以 2 2 2 31 438 1 4 43 k k k k k ， 化简得 2 4830kk，解得 1 2 k 或 3 2 k =， 即直线PQ的斜率为 1 2 或 3 2 . 19 【答案】 （1） 2 3a （2）见解析（3）存在8,340mk满足题意。 【解析】 （1）当3n时， 13 3123 3 2 aa Aaaa ， 因为 13 1,5aa，所以 2 3a . （2）由 1 2 n n n aa A ，得 11 1 (1) 2
23、 n n naa A ， 两式相减，得 11 1 (1) 2 nn n anana a ，即 11 (1)0 nn nanaa ， 所以 211 (1)0 nn nanaa . 两式相减，得 12 2 nnn aaa ，所以数列 n a 为等差数列. （3）依题意： 1 1 2m km aba ，由86 km AB得： 11 86 21 km aaaqa k q ， 即 1 1111 2212 86 86,22 21 24 86 mm m aaaa k k ， 所以 1 516 344 21 m k . 因为 9 2512，且 3m，所以21 9m剟， 又因为5164 1294 3 43 ，且
24、 1 21 m 为奇数， 所以 1 21129 m 时， 1 516 21 m 是整数，此时17m ， 所以8,340mk. 20 【答案】 （1）210xy ； （2）1,； （3） 1 0, 2 . 【解析】 （1）当2a时， 22 ln 3 x f xx x ， 2 18 3 fx x x ，则 1 1 2 f. 又因为 10f，所以函数 f x图象在1x 处的切线方程为 1 1 2 yx， 即210xy . （2）因为 22 ln 12 x f xx xa 所以 2 14 12 a fx x xa 22 2 2441 1 2 xxaa x xa 2 2 2 144 1 2 xaa x
25、xa ， 且 10f.因为0a，所以1 21a. 当 2 440aa时，即1a ， 因为 0fx 在区间1,上恒成立，所以 f x在1,上单调递增. 当1,x时， 10f xf， 所以1a 满足条件. 当 2 440aa时，即01a时， 由 0fx ，得 2 1 1 20,1xaa ， 2 2 1 21,xaa 当 2 1,xx时， 0fx ，则 f x在 2 1,x上单调递减， 所以 2 1,xx时， 10f xf，这与1,x时， 0f x 恒成立矛盾. 所以01a不满足条件. 综上，a的取值范围为1,. （3）当1a 时， 因为 0fx 在区间0,上恒成立，所以 f x在0,上单调递增，
26、所以 f x不存在极值，所以1a 不满足条件. 当 1 1 2 a时，1 20a，所以函数 f x的定义域为0,， 由 0fx ，得 2 1 1 20,1xaa ， 2 2 1 21,xaa 列表如下： x 1 0,x 1 x 12 ,x x 2 x 2, x fx 0 - - 0 f x 极大值 极小值 由于 f x在 12 ,x x是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以 1 1 2 a不满足条件. 当 1 2 a 时，由 0fx ，得2x. 列表如下： x 0,2 2 2, fx - - 0 f x 极小值 此时 f x仅存在极小值，不合题意， 所以 1 2 a 不满足条件.
27、 当 1 0 2 a时，函数 f x的定义域为0,1 21 2 ,aa， 且 2 1 01 21 2xaaa ， 2 2 1212xaaa . 列表如下： x 1 0,x 1 x 1,1 2 xa 2 1 2 , a x 2 x 2, x fx 0 - - - - 0 f x 极大值 极小值 所以 f x存在极大值 1 f x和极小值 2 f x， 此时 12 f xf x 12 12 12 2222 lnln 1212 xx xx xaxa 12 1 212 4 ln 1212 a xxx xxaxa 因为 12 01 2xax ， 所以 1 2 ln0 x x ， 12 0xx， 1 1
28、20xa ， 2 1 20xa ， 所以 12 0f xf x，即 12 f xf x， 所以 1 0 2 a满足条件. 综上，所以a的取值范围为 1 0, 2 . 21 【答案】 22 1xy 【解析】 设,P x y是曲线 C 上的任一点，它是椭圆 22 :1 164 xy C上的点 1 ,P x y在矩阵 1 0 4 1 0 2 A 对应变换作用下的对应点，则 1 0 44 1 0 22 x xx yyy ， 即 4 2 x x y y ， 4 2 xx yy ，代入 22 1 164 xy 得： 22 1xy. 即曲线 C 的方程为 22 1xy. 22 【答案】 （1） 26cos8
29、sin+210 （2）92 2 【解析】 （1）曲线 C 的参数方程为 32 42 xcos ysin ,（ 为参数）,有 32 42 xcos ysin . 上下平方相加得曲线 C 的直角坐标方程为 22 (3)(4)4xy, 化简得 22 68210xyxy 将 xcos ysin 与 222 xy,代入得曲线 C 的直角坐标方程有： 2 6 cos8 sin210 （2）设点(32,42)Mcossin到直线 AB：x+y+20 的距离为 d, 则 2 29 2294 22 sin sincos d , 当 sin（ 4 ）1 时,d 有最小值 92 2 2 , 所以ABM 面积的最小值
30、 S 1 2 ABd92 2 23 【答案】见证明 【解析】 因为 x，y，z 均为正数，所以1,1,1xyz均为正数， 由柯西不等式得 2111 141911 2336 111 xyz xyz ， 当且仅当 222 14191xyz时，等式成立. 因为 1113 1112xyz ， 所以 2 1419136=24 3 xyz， 所以4910xyz. 24 【答案】 （1）0.784； （2）分布列见解析， 7 19 【解析】 （1）“从中任意取出 3 件进行检验，至少有 2 件是合格品”记为事件 A， 其中包含两个基本事件“恰有 2 件合格”和“3 件都合格”， 223 3 ( )(0.7)
31、0.3(0.7)0.784P AC； （2）该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为 0，1，2， 2 16 2 20 12 (0) 19 C P C ， 11 416 2 20 32 (1) 95 C C P C ， 2 4 2 20 3 (2) 95 C P C ， 的分布列为： 0 1 2 P 12 19 32 95 3 95 因为只有 2 件都合格时才接收这批产品， 故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取 2 件产品检验都合格， 记“商家拒收”为事件 B， 则 7 ( )1(0) 19 P BP ， 商家拒收这批产品的概率为 7 19 . 25 【答案】 （1）1m， 1 2a ；
32、（2）猜想： 2n n Nan ，证明见解析 【解析】 （1） 123 123 23 2222 n nnnn n n n CCCC am ， 12 34 2 34 24 CC amm， 解得：1m， 1 2 1 12 2 C amm . （2）由 1 2a ， 2 4a ， 3 8a 可猜想： 2n n Nan . 证明：当1n 时，由（1）知结论成立； 假设nk时，结论成立，则有 123 123 23 12 2222 k kkkkk k k k CCCC a ， 那么当1nk时， 1231 1 11 21 311 1 231 1 2222 k kkkkk k k CCCC a . 由 11
33、1 kkk nnn CCC 得： 10213211 11223311 1 231 1 22222 kkk kkkkkkk kk kkk k kk CCCCCCCCC a 01211 12311 231 2 22222 kk kkkkkkkk kk CCCCC = 1211 02311 1 121 1 2 22222 kk kkkk kkk k kk CCCC C 1211 0231111 1 121 1 2 22222 kkk kkkkkkkkk k kk CCCCC C 又 11 111 1 21 ! 22 21 !21 !1 1 2 !1 !1!1 !1 !1 !2 kk kkkk kk kkk CC kkkkkkk 1211 02311111 1 1211 1 2 222222 kkk kkkkkkkkk k kkk CCCCC C ， 于是 11 1 2 2 k kk aa ， 1 1 2k k a ，故1nk时结论也成立. 由得，2n n Nan .
