1、2020 年高考（理科）数学模拟试卷（年高考（理科）数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1 已知全集 UZ， MxZ|x2+2x30， NxR|x22x， 则 M （UN） （ ） A3，1，2 B3，1，0 C3，0，1 D3，1，2 2若复数 （i 是虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数 a（ ） A1 B1 C D 3函数 的图象大致是（ ） A B C D 4已知双曲线 的离心率是 3，F1，F2分别是其左、右焦点，过点 F2且与 双曲线的渐近线平行的直线方程是（ ） A8x+y240 B C D 5执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ） A4
2、 B C D 6设 m0，把函数 f（x）sinxcosx 的图象向左平移 m 个单位长度后，得到函数 yf （x）的图象（f（x）是 f（x）的导函数），则 m 的值可以为（ ） A B C D 7 天然气已经进入了千家万户， 某市政府为了对天然气的使用进行科学管理， 节约气资源， 计划确定一个家庭年用量的标准为此，对全市家庭日常用气的情况进行抽样调查，获 得了部分家庭某年的用气量（单位：立方米）将统计结果绘制成下面的频率分布直方 图 （如图所示） 由于操作失误， 横轴的数据丢失， 但可以确定横轴是从 0 开始计数的 若 以各组区间中点值代表该组的取值，则估计全市家庭年均用气量约为（ ） A
3、6.5 立方米 B5 立方米 C4.5 立方米 D2.5 立方米 8数列Fn：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是由十三世纪意 大利数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”， 该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列Fn的前 n 项和为 Sn，则 下列结论中正确的是（ ） AS2020F2022+1 BS2020F20221 CS2020F2021+1 DS2020F20211 9已知函数 f（x）1x2， ，若存在 x1，x20，1，使 得 f（x1）g（x2）成立，则 m 的取值范围是（ ） A（0，1 B1，4） C1
4、，+） D（0，4） 10设抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，点 M（x0，1）在 C 上，且|MF|3，若过 C 上一个定点 P（m，n）（m0）引它的两条弦 PS，PT，直线 PS，PT 的斜率存在且倾斜 角互为补角，则直线 ST 的斜率是（ ） A B C D 11设 O 是ABC 所在平面上一点，点 H 是ABC 的垂心，满足 ，且 ，则角 A 的大小是（ ） A B C D 12在四面体 ABCD 中，棱 ，其余各条棱长均为 2，则四面体 ABCD 外接球的 表面积是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线
5、上. 13设（x2）8+441x5a0+a1x+a2x2+a8x8，则 a5 14已知圆锥的顶点为 A，过母线 AB、AC 的截面面积是 若 AB、AC 的夹角是 60， 且 AC 与圆锥底面所成的角是 30，则该圆锥的体积为 15若等差数列an的首项 a10，Sn是其前 n 项和，a2019+a20200，a2019 a20200，则使 Sn0 成立的最大正整数 n 是 16已知函数 f（x）（2x+1）ex+1+ax（aR，e 是自然对数的底数）若有且仅有 3 个负 整数 x1，x2，x3，使得 f（x1）0，f（x2）0，f（x3）0，则 a 的最小值是 三、解答题：本大题共 5 小题，
6、共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应 写在答题卡上的指定区域内. 17在ABC 中，三内角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，bcosC+ccosB+2cosA0，且 a 1 （）求角 A 的大小； （）若ABC 的面积是 ，求ABC 的周长 18如图所示，在多面体 ABCDE 中，DC平面 ABC，BECD，点 M 在 CD 上，点 N 是 AE 的中点，且 ABACBCBE2，且 （）证明：MN平面 ABE； （）求二面角 NDEC 的余弦值 19某公司为了了解一种新产品的销售情况，对该产品 100 天的销售数量做调查，统计数据 如图所示： 销售 数量 （件）
7、 48 49 n 52 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 天数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 经计算，上述样本的平均值 64，标准差4.8 （）求表格中字母 n 的值； （）为评判该公司的销售水平，用频率近似估计概率，从上述 100 天的销售业绩中随 机抽取 1 天，记当天的销售数量为 X，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概 率）； P（X+）0.6827；P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9973 评判规则是：若同时满足上述三个不等式，则销售水平为优秀；仅满足其中两个，则等 级为良好；若仅满足其中一个，则等级
8、为合格；若全部不满足，则等级为不合格试判 断该公司的销售水平； （）从上述 100 天的样本中随机抽取 2 个，记样本数据落在（2，+2内的数 量为 Y，求 Y 的分布列和数学期望 20已知定圆 A：（x+1）2+y28，动圆 M 过点 B（1，0），且和圆 A 相切 （）求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程； （）若直线 l：ykx+m（k0）与轨迹 E 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线经过 点 ， ，求实数 m 的取值范围 21设 aR，函数 f（x）aln（x）+（a+1）x2+1 （）讨论函数 f（x）在定义域上的单调性； （）若函数 f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线
9、与直线 8x+y20 平行，且 对任意 x1，x2（，0），x1x2，不等式 恒成立，求实数 m 的取 值范围 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧 方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题 的首题进行评分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标 系中取相同的长度单位，已知曲线 C 的极坐标方程为 2sin，直线 l 的参数方程为 （t 为参数， 为直线的倾斜角） （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）若
10、直线 l 与曲线 C 有唯一的公共点，求直线 l 倾斜角的大小 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，b0，且 a2+b21 （）若对于任意的正数 a，b，不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围； （）证明： 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1 已知全集 UZ， MxZ|x2+2x30， NxR|x22x， 则 M （UN） （ ） A3，1，2 B3，1，0 C3，0，1 D3，1，2 【分析】可以求出集合 M，N，然后进行交集和补集的运算即可 解：MxZ|3x13，2，1，0，1，N1，2
11、，UZ， M（UN）3，1，0 故选：B 2若复数 （i 是虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数 a（ ） A1 B1 C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为 0 求解 解： ， ， 解得 故选：D 3函数 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，可以排除 C、D，令 x，可得 f（） 0，排除 B，即可得答案 解：根据题意， ，其定义域为 R，有 f（x）f（x），即函数 f（x） 为奇函数， 排除 C，D；当 x 时，sinx0，则有 f（）0，排除 B； 故选：A 4已知双曲线 的离心率是 3，F1，F2分别是其左、
12、右焦点，过点 F2且与 双曲线的渐近线平行的直线方程是（ ） A8x+y240 B C D 【分析】利用双曲线的离心率，求出 b，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求 解直线方程即可 解：由 得，b28双曲线 的右焦点是 F2（3，0）， 经过第一、三象限的渐近线方程是 于是所求的直线方程是 ， 即 故选：C 5执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ） A4 B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 k0 时，s4； k1 时， ； k2
13、时， ； k+133 时，此时退出循环，输出的 故选：C 6设 m0，把函数 f（x）sinxcosx 的图象向左平移 m 个单位长度后，得到函数 yf （x）的图象（f（x）是 f（x）的导函数），则 m 的值可以为（ ） A B C D 【分析】先对函数 f（x）求导得 f（x），再分别利用辅助角公式将函数 f（x）和 f（x） 变形为正弦型函数，然后利用三角函数的平移变换法则即可得 m 的值 解： ， ， 只要把函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度就可以得到函数 yf（x）的图象，即 m 故选：D 7 天然气已经进入了千家万户， 某市政府为了对天然气的使用进行科学管理， 节约气资源，
14、 计划确定一个家庭年用量的标准为此，对全市家庭日常用气的情况进行抽样调查，获 得了部分家庭某年的用气量（单位：立方米）将统计结果绘制成下面的频率分布直方 图 （如图所示） 由于操作失误， 横轴的数据丢失， 但可以确定横轴是从 0 开始计数的 若 以各组区间中点值代表该组的取值，则估计全市家庭年均用气量约为（ ） A6.5 立方米 B5 立方米 C4.5 立方米 D2.5 立方米 【分析】由频率分布直方图中各小长方形面积总和为 1，解得 m2由此能估计全市家 庭年均用气量 解：设各小长方形的宽度为 m， 由频率分布直方图中各小长方形面积总和为 1 可得： （0.08+0.10+0.14+0.12
15、+0.04+0.02）m1，解得 m2 各小组依次是0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12， 其中点分别是 1， 3， 5， 7， 9， 11， 对应的频率分别为 0.16， 0.20， 0.28， 0.24， 0.08， 0.04， 故估计全市家庭年均用气量为： 10.16+30.2+50.28+70.24+90.08+110.045（立方米） 故选：B 8数列Fn：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是由十三世纪意 大利数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”， 该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该
16、数列Fn的前 n 项和为 Sn，则 下列结论中正确的是（ ） AS2020F2022+1 BS2020F20221 CS2020F2021+1 DS2020F20211 【分析】本题先根据题意写出斐波那契数列的递推关系式为 Fn+2Fn+1+Fn（nN*），然 后分别将 n1，2，2020 分别代入，各项相加后化简整理即可得到 S2020与 F2022的关 系式，得到正确选项 解：由题意，可知： 斐波那契数列的递推关系式为 Fn+2Fn+1+Fn（nN*）， F3F2+F1， F4F3+F2， F2022F2021+F2020， 将上述各式两边相加，可得： F3+F4+F2022F2+F3+F
17、2021+（F1+F2+F2020）， 化简整理，得 F2022F2+S2020， F21， F20221+S2020，即 S2020F20221 故选：B 9已知函数 f（x）1x2， ，若存在 x1，x20，1，使 得 f（x1）g（x2）成立，则 m 的取值范围是（ ） A（0，1 B1，4） C1，+） D（0，4） 【分析】由题意可得 f（x）maxg（x）min，运用正弦函数的单调性可得 g（x）的值域， 由二次函数的性质，可得 f（x）的值域，进而得到 m 的不等式，解不等式可得所求范围 解：存在 x1，x20，1，使得 f（x1）g（x2）成立， 就是 f（x）maxg（x）m
18、in 因为 0x1，所以 ，可得 0sin（ x） ， 即有 ， 即 ， 当 0x1 时，f（x）1x20，1， 因此 f（x）maxg（x）min就是 12m， 解得 m1 故选：C 10设抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，点 M（x0，1）在 C 上，且|MF|3，若过 C 上一个定点 P（m，n）（m0）引它的两条弦 PS，PT，直线 PS，PT 的斜率存在且倾斜 角互为补角，则直线 ST 的斜率是（ ） A B C D 【分析】利用点在抛物线上，结合抛物线的性质求出 p，得到抛物线方程，设出 S、T 的 坐标，代入抛物线方程，结合直线的斜率存在且倾斜角互为补角，转化求解直线
19、ST 的斜 率即可 解：因为点 M（x0，1）在 C 上，且|MF|3，所以 ，p4 抛物线方程为 x28y 设 S（x1，y1），T（x2，y2）， 则有 m28n， ， 于是 ， 所以 x1+x22m因此直线 ST 的斜率 故选：A 11设 O 是ABC 所在平面上一点，点 H 是ABC 的垂心，满足 ，且 ，则角 A 的大小是（ ） A B C D 【分析】由 ，可得 ，即 ， ，即 （点 D 是边 AB 的中点），可得点 O 在 边AB的中垂线上 点O是ABC的外心 设ABC外接圆的半径是R. ，进而得出结论 解：因为 ，所以 ， 即 ， ，即 （点 D 是边 AB 的中 点），所以点
20、 O 在边 AB 的中垂线上 同理点 O 在边 BC 的中垂线上因此点 O 是ABC 的外心 设ABC 外接圆的半径是 R. 故选：D 12在四面体 ABCD 中，棱 ，其余各条棱长均为 2，则四面体 ABCD 外接球的 表面积是（ ） A B C D 【分析】先求出 AB，CD 的公垂线段 EF 的长，把问题转化为：EF 上是否存在一点 O， 使得 OAOC 即可，进而求得半径即可求出结论 解：如图，设 E、F 分别是 AB，CD 的中点， 易证 EF 是线段 AB，CD 的公垂线段，得到 问题转化为：EF 上是否存在一点 O，使得 OAOC 即可 设 OEx， 则 ， ， 于是 ，解得 于
21、是四面体 ABCD 外接球的表面积是 故选：A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上. 13设（x2）8+441x5a0+a1x+a2x2+a8x8，则 a5 7 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出 a5的值 解：（x2）8的展开式中，含 x5项的系数是 ， 因此，（x2）8+441x5的展开式中含 x5项的系数 a5448+4417， 故答案为：7 14已知圆锥的顶点为 A，过母线 AB、AC 的截面面积是 若 AB、AC 的夹角是 60， 且 AC 与圆锥底面所成的角是 30，则该圆锥的体积为 【分析】设圆锥的母线长是 l，则 ，
22、 由此能求出高和圆锥底 面半径，进而能求出该圆锥的体积 解：设圆锥的母线长是 l， 则 ， 则高是 ， 圆锥底面半径是 于是该圆锥的体积为 故答案为： 15若等差数列an的首项 a10，Sn是其前 n 项和，a2019+a20200，a2019 a20200，则使 Sn0 成立的最大正整数 n 是 4038 【分析】等差数列an的首项 a10，a2019+a20200，a2019 a20200，可得 a20190，a2020 0再利用求和公式及其性质即可得出 解：等差数列an的首项 a10，a2019+a20200，a2019 a20200， a20190，a20200 于是 ， 使 Sn0
23、成立的最大正整数 n 是 4038 故答案为：4038 16已知函数 f（x）（2x+1）ex+1+ax（aR，e 是自然对数的底数）若有且仅有 3 个负 整数 x1，x2，x3，使得 f（x1）0，f（x2）0，f（x3）0，则 a 的最小值是 【分析】由 f（x）0 可得（2x+1）ex+1ax构造函数 g（x）（2x+1）ex+1，h（x） ax，通过函数的导数，求出 g（x）的极值得到函数图象然后判断 a 的符号，列出 不等式组，转化求解即可 解：由 f（x）0 可得（2x+1）ex+1ax 令 g（x）（2x+1）ex+1，h（x）ax， g（x）（2x+3）ex+1， 是极小值点，
24、 g（x）的图象如图所示 显然，当 a0 时满足 f（x）0 的负整数 x 有无数个，因此 a0 此时必须满足 ，即 ， 解得 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应 写在答题卡上的指定区域内. 17在ABC 中，三内角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，bcosC+ccosB+2cosA0，且 a 1 （）求角 A 的大小； （）若ABC 的面积是 ，求ABC 的周长 【分析】（）根据正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合 sinA0，可 得 cosA ，可求 A （）由已知利用三角形的面积公式可求 bc 的值
25、，由余弦定理可求 b+c ，从而可 得ABC 的周长 解：（）将 12RsinA，b2RsinB，c2RsinC， 代入 bcosC+ccosB+2cosA0 中，得到：sinBcosC+sinCcosB+2sinAcosA0， 即 sin（B+C）2sinAcosA， 因为 B+CC， 所以 sin（B+C）sinA0， 于是 cosA ， 可得 A （）因为 SABC bcsinA， 所以 bcsin ， 可得 bc 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，得，1b2+c2+bc（b+c）2bc， 即 1b2+c2+bc（b+c）2 ， 所以 b+c 于是ABC 的周长是 b+c+a 1
26、 18如图所示，在多面体 ABCDE 中，DC平面 ABC，BECD，点 M 在 CD 上，点 N 是 AE 的中点，且 ABACBCBE2，且 （）证明：MN平面 ABE； （）求二面角 NDEC 的余弦值 【分析】（）取 AB 的中点为 I，连接 NI、IC推导出 CIABCDCI从而 CI BE进而 CI平面 ABE推导出四边形 NICM 是平行四边形，MNCI，由此能证明 MN 平面 ABE （） 以点 C 为坐标原点， 以 CA 的垂线， CD 为坐标轴， 建立空间直角坐标系 Cxyz 利 用向量法能求出二面角 NDEC 的余弦值 解：（）证明：如图，取 AB 的中点为 I，连接 N
27、I、IC 在ABC 中，因为 ACBC，所以 CIAB 因为 CD平面 ABC，CI平面 ABC， 所以 CDCI而 BECD，所以 CIBE 由于 ABBEB，所以 CI平面 ABE 点 N、I 是边 AE、AB 的中点， 所以 NIBE，NI 又因为 CMBE，CM1，所以 NI CM 因此四边形 NICM 是平行四边形，MNCI， 故 MN平面 ABE （）解：如图，以点 C 为坐标原点，以 CA 的垂线，CD 为坐标轴，建立空间直角坐标 系 Cxyz 则 E（1， ，2），D（0，0，3），A（2，0，0），N（ ， ， ），B（1， ，0） 于是 （1， ，1）， （ ， ， ） 设
28、 （a，b，c）是平面 NDE 的一个法向量， 则 ，取 x3，得 （3， ，2） 同理可求出平面 DEBC 的一个法向量 （ ， ， ） 于是 cos ， 故二面角 NDEC 的余弦值是 19某公司为了了解一种新产品的销售情况，对该产品 100 天的销售数量做调查，统计数据 如图所示： 销售 数量 （件） 48 49 n 52 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 天数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 经计算，上述样本的平均值 64，标准差4.8 （）求表格中字母 n 的值； （）为评判该公司的销售水平，用频率近似估计概率，从上述 100
29、天的销售业绩中随 机抽取 1 天，记当天的销售数量为 X，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概 率）； P（X+）0.6827；P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9973 评判规则是：若同时满足上述三个不等式，则销售水平为优秀；仅满足其中两个，则等 级为良好；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格试判 断该公司的销售水平； （）从上述 100 天的样本中随机抽取 2 个，记样本数据落在（2，+2内的数 量为 Y，求 Y 的分布列和数学期望 【分析】（）由样本的平均值 64，频数分布表能求出 n （） 由题意得 59.2， +68.8， 254.4，
30、 +273.6， 349.6， +378.4利用古典概型，结合频数分布表分别求出 P（X+），P（ 2X+2），P（3X+3），从而得到该公司的销售水平为合格 （）Y 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 Y 的分布列和数学期 望 解：（）由样本的平均值 64，依题意知： 481+491+3n+525+636+6419+653396618+674+684+692+701+71 2+7316400， 解得 n51 （） 由题意得 59.2， +68.8， 254.4， +273.6， 349.6， +378.4 于是由表格得到，P（X+） 0.840.6827， P（2X+2
31、） 0.900.9545， P（3X+3） 0.980.9973 故该公司的销售水平为合格 （）根据题意，Y 的可能取值为 0，1，2， 所以 P（Y0） ，P（Y1） ， P（Y2） 因此 Y 的分布列是： Y 0 1 2 P 故 E（Y） 20已知定圆 A：（x+1）2+y28，动圆 M 过点 B（1，0），且和圆 A 相切 （）求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程； （）若直线 l：ykx+m（k0）与轨迹 E 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线经过 点 ， ，求实数 m 的取值范围 【分析】（）由几何条件得动点 M 满足到两定点（1，0），（1，0）距离和等于常 数 2 ，所以
32、轨迹是椭圆，方程可求 （）由直线与椭圆有两交点，及弦 AB 的垂直平分线经过点 ， ，找出对 m 的 限制条件，解不等式即可 解：（）圆 A 的圆心为 A（1，0），半径 r12 ， 设动圆 M 的半径为 r2，依题意有 r2|MB|由|AB|2，可知点 B 在圆 A 内，从而圆 M 内切于圆 A， 故|MA|r1r2，即|MA|+|MB|2 2 所以动点 M 的轨迹 E 是以 A、B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆 因为 a ，c1，所以 b2a2c21于是 E 的方程是 y 21 （）设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 消去 y 得到， x2+2（kx+m）220，即（1+2k2）
33、x2+4kmx+2m220 则 x1+x2 ，y 1+y2k（x1+x2 ）+2m ， 弦 AB 中点 M 的坐标是（ ， ） 由16k2m28（m21）（1+2k2）0 得，1+2k2m2 另一个方面，直线 NM 的方程是 y x 点 M（ ， ）在此直线上， 得到 （ ） ，整理得，2m1+2k 2 代入 1+2k2m2中，得 m22m0，0m2 又 2m1+2k21，由于 k0，所以 2m1，m 故实数 m 的取值范围（ ，2） 21设 a一、选择题，函数 f（x）aln（x）+（a+1）x2+1 （）讨论函数 f（x）在定义域上的单调性； （）若函数 f（x）的图象在点（1，f（1）处
34、的切线与直线 8x+y20 平行，且 对任意 x1，x2（，0），x1x2，不等式 恒成立，求实数 m 的取 值范围 【分析】（）f（x）的定义域是（，0）求出原函数的导函数，可得 a1 时， f（x）0，f（x）的定义域（，0）内递增；当1a0 时，求得导函数的零点， 分段分析导函数的符号，可得原函数的单调性；当 a0 时，f（x）0，f（x）的定义 域（，0）内递减； （）由题意可得 f（1）8，解得 a2得到原函数的解析式，结合（）知， a2 时，f（x）的定义域为（，0）内递减不妨设 x2x10，则 |f（x1）f（x2）|m|x1x2|，即 f（x2）+mx2f（x1）+mx1恒成立
35、构 造函数 g（x）f（x）+mx，x0，利用导函数恒小于等于 0 求得 m 的范围 解：（）f（x）的定义域是（，0） f（x） （1）当 a1 时，f（x）0，f（x）的定义域（，0）内递增； （2）当1a0 时，由 2（a+1）x2+a0，得 x 此时 f（x）在（， ）内递增，在（ ，0）内递减； （3）当 a0 时，f（x）0，f（x）的定义域（，0）内递减 （）函数 f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线与直线 8x+y20 平行， f（1）8，即 ，解得 a2 此时 f（x）2ln（x）+3x2+1 由（）知，a2 时，f（x）的定义域为（，0）内递减 不妨设 x2x10，则
36、|f（x1）f（x2）|m|x1x2|， 即 f（x2）+mx2f（x1）+mx1恒成立 令 g（x）f（x）+mx，x0，则 g（x）在（，0）内单减，即 g（x）0 ，m ，x0 而 ，当且仅当 x 时， 取得最小值 ， m 故实数 m 的取值范围是（，4 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧 方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题 的首题进行评分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标 系中取相同的长度单位，已知曲线
37、C 的极坐标方程为 2sin，直线 l 的参数方程为 （t 为参数， 为直线的倾斜角） （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 有唯一的公共点，求直线 l 倾斜角的大小 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 当 时，直线 l 的普通方程为 x0； 当 ，直线 l 的普通方程为 yxtan1， 曲线 C 的极坐标方程为 2sin，由 整理得，所以 x2+y22y0 （）把 代入 x 2+y22y0，整理得 t24s
38、int+30 由16sin2120 得， ，所以 因为 0，），所以 或 故直线 l 倾斜角 或 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，b0，且 a2+b21 （）若对于任意的正数 a，b，不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围； （）证明： 【分析】（）由 a2+b21，可得 （a 2+b2）（ ），展开后运用基本 不等式可得最小值，即有|2x1|x1| ，再由绝对值的意义，零点分区间法，解不等 式，求并集，可得所求范围； （）对不等式的左边展开后，运用基本不等式或柯西不等式，化简计算，即可得证 解：（）因为 a2+b21，所以 （a 2+b2）（ ） 2 2 ，即 ， 当且仅当 a ，b 时取等号， 因此 的最小值是 于是|2x1|x1| ， 上式等价为 或 或 ， 解得 1x 或 x1 或 x ， 综上可知，实数 x 的取值范围是 ， ； （）证明：由 a0，b0，且 a2+b21， 可得（ ）（a5+b5）a4+b4 （a 2+b2）2 2a 2b2（a2+b2） 2 +2 2a 2b2（a2+b2）21， 当且仅当 ab 时取等号， 故（ ）（a 5+b5）1 或直接运用二维柯西不等式：（ ）（a 5+b5）（ ）2（a2+b2） 21， 当且仅当 ab 时取等号， 故（ ）（a 5+b5）1
