1、2020 年嘉兴市高考数学模拟试卷（年嘉兴市高考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题（共 10 小题）. 1已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，A1，2，3，B4，5，6，则（UA） （UB）等于（ ） A1，2，3 B4，5，6 C1，2，3，4，5，6 D7，8 2双曲线 1 的渐近线方程为（ ） Ay2x By x Cy x Dy x 3复数 （i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A B1i C D1+i 4已知 m，n 表示两条不同的直线， 表示平面，则下列说法正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，mn，则 n
2、5 已知 a， bR， 则 “a1” 是 “直线 ax+y10 和直线 x+ （a22） y10 垂直” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6若直线 y2x 上不存在点（x，y）的坐标满足条件 ， ， ， 则实数 m 的最小值 为（ ） A B1 C D2 7已知数列an，满足 a1a 且 ， ， ， ， ， 设 Sn是数列an 的前 n 项和，若 S20201，则 a 的值为（ ） A B C D1 8分别将椭圆 C1的长轴、短轴和双曲线 C3的实轴、虚轴都增加 m 个单位长度（m0）， 得到椭圆 C2和双曲线 C4记椭圆 C1，C2和双
3、曲线 C3，C4的离心率分别是 e1，e2，e3， e4，则（ ） Ae1e2，e3e4 Be1e2，e3与 e4的大小关系不确定 Ce1e2，e3e4 De1e2，e3与 e4的大小关系不确定 9将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，使得二面角 ABDC 的平面角的大小 为 ，若点 E，F 分别是线段 AC 和 BD 上的动点，则 的取值范围为（ ） A1，0 B ， C ， D ， 10设函数 f（x）lnx+cosx 的极值点从小到大依次为 a1，a2，a3，an，若 cnan+1 an，dnf（a n+1）f（an），则下列命题中正确的个数有（ ） （1）数列cn为单
4、调递增数列 （2）数列dn为单调递减数列 （3）存在常数 R，使得对任意正实数 t，总存在 ，当 nn0时，恒有|cn|t （4）存在常数 R，使得对任意正实数 t，总存在 ，当 nn0时，恒有|dn|t A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11已知函数 ，则其最小正周期 T ， 12某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的所有侧面中，直角三角形共 有 个，该几何体的体积是 cm3 13二项式 的展开式中，常数项为 ，所有项的系数之和为 14已知随机变量 的分布列如表： 1 2 3 P a2
5、则 a ，方差 D（） 15将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，若 A，B，C 均互不相邻且 A，B 在 C 的同 一侧，则不同的排法有 种（用数字作答） 16 已知函数 ， ， ， ，若 f （f （a） ） 0， 则实数 a 的取值范围为 17四面体 PABC 中， ，其余棱长都为 2，动点 Q 在ABC 的内部（含边界）， 设PAQ，二面角 PBCA 的平面角的大小为 ，APQ 和BCQ 的面积分别为 S1，S2，且满足 ，则 S2 的最大值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为
6、 a，b，c，且 （）求角 A 的大小； （）若 a1，求 的取值范围 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 PAPB2，若点 E，F 分别为 AB 和 CD 的中点 （）求证：平面 ABCD平面 PEF； （） 若二面角 PABC 的平面角的余弦值为 ， 求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 公比大于 0 的等比数列bn的首项为 b1 1，且 b2+b320 （）求an和bn的通项公式； （）若 ，求证： ，（nN *） 21设点 P（s，t）为抛物线 C：y22px（p0）上的动点，F 是抛物线的焦点
7、，当 s1 时， （）求抛物线 C 的方程； （）过点 P 作圆 M：（x2）2+y21 的切线 l1，l2，分别交抛物线 C 于点 A，B当 t 1 时，求PAB 面积的最小值 22定义两个函数的关系：函数 m（x），n（x）的定义域分别为 A，B，若对任意的 x1A， 总存在 x2B，使得 m（x1）n（x2），我们就称函数 m（x）为 n（x）的“子函数”已 知函数 ，g（x）x 4+ax3+bx2+ax+3，a，bR （）求函数 f（x）的单调区间； （）若 f（x）为 g（x）的一个“子函数”，求 a2+b2的最小值 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 4
8、0 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，A1，2，3，B4，5，6，则（UA） （UB）等于（ ） A1，2，3 B4，5，6 C1，2，3，4，5，6 D7，8 【分析】由补集的运算求出UA，UB，再由交集的运算求出结果 解：由已知：UA4，5，6，7，8，UB1，2，3，7，8， （UA）（UB）7，8， 故选：D 【点评】本题考查了交、补集的混合运算，属于基础题 2双曲线 1 的渐近线方程为（ ） Ay2x By x Cy x Dy x 【分析】由双曲线的渐近线方程 y x 即可得到答案 解：双曲线方程为 ， 其渐近线方程
9、为：y x x， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的渐近线方程，属于基础题 3复数 （i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A B1i C D1+i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 解： ， 复数 的共轭复数是 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 4已知 m，n 表示两条不同的直线， 表示平面，则下列说法正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，mn，则 n 【分析】根据空间线面位置关系的性质与判定举反例进行说明即可 解：对于 A，若 m
10、，n，则 m 与 n 可能平行，可能相交，可能异面，故 A 错误； 对于 B，若 m，mn，则 n 与 可能平行，可能相交，有可能 n 在平面 内，故 B 错误 对于 C，由项目垂直的性质定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知 C 正确； 对于 D，若 m，mn，则当 n 时，显然结论错误，故 D 错误；故选：C 【点评】本题考查了空间线面位置关系的性质与判定，属于中档题 5 已知 a， bR， 则 “a1” 是 “直线 ax+y10 和直线 x+ （a22） y10 垂直” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 直线 ax+y1
11、0 和直线 x+ （a22） y10 垂直， 可得： a+a220， 解得 a 即 可判断出关系 解：直线 ax+y10 和直线 x+（a22）y10 垂直，可得：a+a220，解得 a1 或2 “a1”是“直线 ax+y10 和直线 x+（a22）y10 垂直”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题 6若直线 y2x 上不存在点（x，y）的坐标满足条件 ， ， ， 则实数 m 的最小值 为（ ） A B1 C D2 【分析】根据 ，确定交点坐标为（1，2）要使直线 y2x 上存在点（x，y） 满足约束
12、条件 ， ， ， 则 m1，由此可得结论 解：由题意， ，可求得交点坐标为（1，2） 要使直线 y2x 上存在点（x，y）满足约束条件 ， ， ， ，如图所示可得 m 1 实数 m 的最大值为 1 故选：B 【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题 7已知数列an，满足 a1a 且 ， ， ， ， ， 设 Sn是数列an 的前 n 项和，若 S20201，则 a 的值为（ ） A B C D1 【分析】根据数列的递推关系得到数列an的奇数项均为 a；偶数项均为： a；再结合 S20201 即可求解结论 解：因为数列an，满足 a1a 且 ， ， ， ， ， 则 a2a
13、1+1 a1 a； a3a2+12a2a； a4a3+1 a3 a； 即数列an的奇数项均为 a；偶数项均为： a； 故 S20201010a+1010 a1a 故选：C 【点评】 本题主要考查数列递推关系式的应用， 根据递推关系式求出其规律是解题关键 8分别将椭圆 C1的长轴、短轴和双曲线 C3的实轴、虚轴都增加 m 个单位长度（m0）， 得到椭圆 C2和双曲线 C4记椭圆 C1，C2和双曲线 C3，C4的离心率分别是 e1，e2，e3， e4，则（ ） Ae1e2，e3e4 Be1e2，e3与 e4的大小关系不确定 Ce1e2，e3e4 De1e2，e3与 e4的大小关系不确定 【分析】分
14、别求出原椭圆与双曲线的离心率，再求出轴变化后的离心率，结合不等式的 性质比较大小即可 解：设椭圆 C1的长轴、短轴分别为 2a，2b，则其半焦距 ， 其离心率 ，其长轴与短轴各增加 m 个单位长度， 则椭圆 C2的长半轴为 a ，短半轴为 b ，则 ， 其离心率 ， 由不等式的性质可得 ，则 e1e2； 双曲线 C3的实轴、虚轴分别为 2a，2b，则其半焦距 ， 其离心率 ，其实轴、虚轴都增加 m 个单位长度， 则双曲线 C4的实半轴长为 a ，虚半轴为 b ，则 ， 其离心率 ， 由不等式的性质可得由于双曲线中 a，b 的关系不确定， 若 ba，则 ，则 e3e4 若 ba，同理可得 e3e
15、4 故选：B 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题 9将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，使得二面角 ABDC 的平面角的大小 为 ，若点 E，F 分别是线段 AC 和 BD 上的动点，则 的取值范围为（ ） A1，0 B ， C ， D ， 【分析】 推导出 （ ） （ ） （ ），由此能求出 的值 解：如图， （ ） （ ） 0（ ）+0 （ ）， ， ， ， OCOA ，二面角 ABDC 的平面角的大小为 ， ， ， 1， 故选：B 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量 的数量积关系等基础知识，考查推理
16、论证能力，是中档题 10设函数 f（x）lnx+cosx 的极值点从小到大依次为 a1，a2，a3，an，若 cnan+1 an，dnf（a n+1）f（an），则下列命题中正确的个数有（ ） （1）数列cn为单调递增数列 （2）数列dn为单调递减数列 （3）存在常数 R，使得对任意正实数 t，总存在 ，当 nn0时，恒有|cn|t （4）存在常数 R，使得对任意正实数 t，总存在 ，当 nn0时，恒有|dn|t A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】求出函数 f（x）的导函数，在同一坐标系内作出函数 y 与 ysinx 的图象， 可得极值点的情况，得到 c1c2，c2c3，故（1）
17、错误；再由 ，判断（3） 正确；作出 f（x）lnx+cosx 的图象的大致形状，可得 d10，d20，d30，判断（2） 错 误 ； 再 由 dn lnan+1 lnan+cosan+1 cosan ， 结 合 ，cosan+1cosan2（或2），判断（4）错误 解：由 f（x）lnx+cosx，得 f（x） ， 分别作出函数 y 与 ysinx 的图象如图， c1a2a1，c2a3a2，c3a4a3， c1c2，c2c3，故（1）错误； ，故（3）正确； 函数 f（x）lnx+cosx 的图象如图， d10，d20，d30，（2）错误； dnlnan+1lnan+cosan+1cosan
18、 ，cosan+1cosan2（或2），（4）错误 综上，仅有（3）正确 故选：D 【点评】本题考查命题的真假判断，其中涉及到数列的增减性，函数的求导以及对函数 极值点的理解，考查数形结合的解题思想方法，难度较大 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11已知函数 ，则其最小正周期 T ， 【分析】根据三角函数的周期公式以及三角函数的关系进行化简计算即可 解：由三角函数的周期公式得函数的周期 T ， f（ ）2sin（ ）2sin 2 ， 故答案为：， 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的周期以及三角公式是解 决本题的关键比较
19、基础 12某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的所有侧面中，直角三角形共 有 3 个，该几何体的体积是 2 cm3 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和直角三角形的个数 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体 如图所示： 所以该几何体中有三个直角三角形，ABE，ADE，ABC 该几何体的体积为 V 故答案为：3；2 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 13二项式 的展开式中，常数项为 4 ，所有项的系数之和为 16 【分析】写出展开
20、式的通项，令 x 的指数为 0，求出常数项；利用赋值法，令 x1，可 得所有项系数之和 解：展开式的通项为： ， 令 124k0 得，k3，故常数项为 对原式，令 x1，得所有项系数和 2416 故答案为：4，16 【点评】本题考查二项展开式的通项以及赋值法研究系数的问题，同时考查学生运用转 化思想解决问题的能力，要注意计算的准确性属于基础题 14已知随机变量 的分布列如表： 1 2 3 P a2 则 a ，方差 D（） 【分析】利用分布列的性质，求解 a，求出期望，然后求解方差即可 解：由题意可知： ，a（0，1），解得 a ， 所以：E D（）（1 ） 2 （2 ） 2 （3 ） 2 故答
21、案为： ； 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望与方差的求法，是基本知识 的考查 15将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，若 A，B，C 均互不相邻且 A，B 在 C 的同 一侧，则不同的排法有 96 种（用数字作答） 【分析】先排 D、E、F，再利用插空法排 A，B，C 且 C 只能插在 A、B 的同侧，根据乘 法原理计算出结果 解：先排 D、E、F，有 A 种排法；再利用插空法排 A，B，C 且 C 只能插在 A、B 的同 侧，有 C C A 种排法； 所以有 A C C A 96 种排法 故填：96 【点评】本题主要考查排列组合中的乘法原理的应用，属于基础题 1
22、6 已知函数 ， ， ， ，若 f （f （a） ） 0， 则实数 a 的取值范围为 log 23， 0 ，e 【分析】根据题意，根据 a 的取值范围分 4 种情况讨论a1，1a0，0 a1，a1，每种情况下求出 f（f（a）的解析式，结合指数对数不等式的解法求 出 a 的取值范围，综合 4 种情况即可得答案 解：根据题意，分 4 种情况讨论： 当 a1 时，f（a）（ ） a20，此时 f（f（a）ln（ ） a2）， 若 f（f（a）0，即 ln（ ） a2）0，则有 0（ ） a21， 解可得：log23a1； 当1a0 时，f（a）（ ） a20，此时 f（f（a） ， 若 f（f（a
23、）0，即 0，则有（ ） a2， 解可得：1a0； 当 0a1 时，f（a）lna0，此时 f（f（a）（ ） lna2， 若 f（f（a）0，即（ ） lna20，解可得 a1， 当 a1 时，f（a）lna0，此时 f（f（a）ln（lna）， 若 f（f（a）0，即 ln（lna）0，则有 0lna1， 解可得：1ae， 综合可得：log23a0 或 ae，即 a 的取值范围为log23，0 ，e； 故答案为：log23，0 ，e 【点评】本题考查分段函数的应用，涉及指数、对数不等式的解法，属于基础题 17四面体 PABC 中， ，其余棱长都为 2，动点 Q 在ABC 的内部（含边界），
24、 设PAQ，二面角 PBCA 的平面角的大小为 ，APQ 和BCQ 的面积分别为 S1，S2，且满足 ，则 S2 的最大值为 4 6 【分析】面体 PABC 中， ，其余棱长都为 2，取 BC 的中点 D，连接 PD，AD， 则 PDBC，ADBC，故BDA 为二面角 PBCA 的平面角 ，求出 ，设 Q 到 BC 的距离为 h，根据面积之比，求出 AQh， 得到 Q 的轨迹方程，与直线联立求出 AB 与圆弧的交点，得到 h 的最大值，再求出 S2面 积的最大值 解：四面体 PABC 中， ，其余棱长都为 2， 取 BC 的中点 D，连接 PD，AD，则 PDBC，ADBC， 故BDA 为二面
25、角 PBCA 的平面角 ， 因为等边三角形 PBC，ABC，故 PDAD PA， 故 60， 设 Q 到 BC 的距离为 h， 则 ， 化简得，AQh， 故点 Q 的轨迹为以点 A 为焦点，以 BC 为准线的抛物线在三角形 ABC 内部的一段弧， 如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为 ，A（0， ）， 直线 AB 的方程为： ， 由 ，得 ， 故圆弧与 AB 的交点横坐标为 x ， 则 Q 到 BC 的最大距离 h ， 故 S2的最大值为 故答案为：4 6 【点评】本题考查二面角，动点的轨迹方程，求面积的最大值等，考查运算能力和应用 能力，中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解
26、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （）求角 A 的大小； （）若 a1，求 的取值范围 【分析】（）由正弦定理化简已知等式，结合 sinB0，利用同角三角函数基本关系式 可求 tanA ，结合范围 A（0，），可求 A 的值 （）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 2sin（B ），由范围 B ， ，可得 B （ ， ），利用正弦函数的图象和性质即可求解其取值范 围 解：（） ，即 asinBbcosA， 由正弦定理可得 sinAsinBsinBcosA， sinB0， sinAcosA，即 tanA ， A（0，），
27、 A ； （）A ，a1， 由正弦定理 2，可得 b2sinB，c2sinC2sin（ B）， 2 sinB2sin（ B）2 sinB2（ sinB） sinBcosB 2sin（B ）， B ， ，B （ ， ）， sin（B ）（ ，1， 可得 2sin（B ）（1，2 【点评】 本题主要考查了正弦定理， 三角函数恒等变换的应用， 正弦函数的图象和性质， 考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 PAPB2，若点 E，F 分别为 AB 和 CD 的中点 （）求证：平面 ABCD平面 PEF； （） 若二面角 PA
28、BC 的平面角的余弦值为 ， 求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值 【分析】（）利用线面垂直，将问题转化为证 AB 与平面 PEF 垂直的问题； （）先利用二面角 PABC 的平面角的余弦值为 ，求出 OP，然后利用空间直角 坐标系，将问题转化为 与平面 PAB 法向量夹角的问题求解 解：（）PAPB，ABPE 而 ABEF，所以 AB平面 PEF，又 AB平面 PEF， 所以平面 ABCD平面 PEF （）结合（）可知，PEF 即为二面角 PABC 的平面角 如图，作 POEF 于 O，则 ， ， ，则 如图建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 P
29、AB 的法向量为 ， ， ，则 ，则 ， 令 z1，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 【点评】本题考查空间位置关系的判定和空间角的计算问题主要是运用转化思想实现 空间位置关系的证明，而角的计算问题，主要是通过建系设点，将空间角转化为向量间 的夹角问题求解属于中档题 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 公比大于 0 的等比数列bn的首项为 b1 1，且 b2+b320 （）求an和bn的通项公式； （）若 ，求证： ，（nN *） 【分析】第（）题对于数列an运用公式 an ， ， 可计算出数列a n的 通项公式，对于数列bn可设等比
30、数列bn的公比为 q（q0），然后根据已知条件可写 出关于 q 的一元二次方程，解出 q 的值，即可得到等比数列bn的通项公式； 第（） 题先根据第 （） 题的结果计算出数列cn的通项公式， 然后计算出当 n2 时， 关于 n 的表达式并进行放缩，进一步可将数列cn放缩到一个等比数列 cn（ ） n 2，注意 n1 时要另外计算，再在求和时放缩成等比数列求和的性质，计算出结果并加 以放缩可证明不等式成立 【解答】（）解：由题意，当 n1 时，a1S1 1， 当 n2 时，anSnSn1 n， 当 n1 时，a11 也满足上式， ann，nN* 设等比数列bn的公比为 q（q0），则 b2b1q
31、q，b3b1q2q2， 故 b2+b3q+q220， 整理，得 q2+q200， 解得 q5（舍去），或 q4， bn1 4n14n1，nN* （）证明：由（）知， ， 当 n2 时， ， 即 cn+1 cn， c1c21，c3 ， 当 n2 时，cn（ ） n2， c1+c2+c3+cn 1+1 （ ） 2+（ ） n2， 1 1 1（ ） n1 1 ，（nN *） 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，以及数列求和的不等式证 明问题考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，放缩法，不等式的运算能 力，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题 21设点 P（s，t）为抛
32、物线 C：y22px（p0）上的动点，F 是抛物线的焦点，当 s1 时， （）求抛物线 C 的方程； （）过点 P 作圆 M：（x2）2+y21 的切线 l1，l2，分别交抛物线 C 于点 A，B当 t 1 时，求PAB 面积的最小值 【分析】（）当 s1 时， ，由抛物线的焦半径公式可得 1 ，得 p ， 则抛物线方程可求； （）由点 P（s，t）为抛物线 C：y2x 上的动点，得 t2s，可设过点 P（t2，t）的切 线为 xm （yt） +t2， 利用圆心到直线的距离等于半径可得 ， 得 （t 21） m2+2t（2t2）m+（2t2）210，由根与系数的关系得 ， 设 A（ ， ），B
33、（ ， ），则直线 l1： ，与 抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得 ，即 y1m1t，同理 y2m2 t，再设直线 AB：x（y1+y2）yy1y2，利用弦长公式求弦长，由点到直线的距离公式 求 P 到直线 AB 的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式与二次函数求最 值 解：（）当 s1 时， ，即 1 ，得 p 抛物线 C 的方程为 y2x； （）点 P（s，t）为抛物线 C：y2x 上的动点，则 t2s， 设过点 P（t2，t）的切线为 xm（yt）+t2， 则 ，得（t 21）m2+2t（2t2）m+（2t2）210（*） m1，m2是方程（*）的两个根， ， 设 A（
34、， ），B（ ， ）， 直线 l1： 与抛物线 C：y2x 交于点 A， 则 ，得 ， （根与系数的关系），即 y1m1t，同理 y2m2t 设直线 AB：x（y1+y2）yy1y2， 则 ，d ， 又 ， 令 ut210，则 当且仅当 u2，即 t 时 SPAB取得最小值 【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用， 考查整体运算思想方法，考查计算能力，属难题 22定义两个函数的关系：函数 m（x），n（x）的定义域分别为 A，B，若对任意的 x1A， 总存在 x2B，使得 m（x1）n（x2），我们就称函数 m（x）为 n（x）的“子函数”已 知函数 ，g（
35、x）x 4+ax3+bx2+ax+3，a，b一、选择题 （）求函数 f（x）的单调区间； （）若 f（x）为 g（x）的一个“子函数”，求 a2+b2的最小值 【分析】（I） ，x（0，+），f（x） 即可得出单调性 （II）由（I）可得：f（x）2，+）x+时，g（x）+，且 g（x）为连续函数， 因此只需 g（x）min2 即 g（x）2 有实数解即 x4+ax3+bx2+ax+10，x0， x2+ax+b+a 0，令 tx （，22，+）即 t 2+at+b20 在（，2 2， +） 上有实数解， 将 （a， b） 看成直线 ta+b+t220， 令 u ， 则 umin ， （t24）
36、，过换元利用函数的单调性即可得出 解 ： （ I ） ， x （ 0 ， + ） ， f （ x ） 函数 f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为3，+） （II）由（I）可得：x3 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（3）2f（x）2， +） x+时，g（x）+，且 g（x）为连续函数，因此只需 g（x）min2即 g（x）2 有实数解 即 x4+ax3+bx2+ax+10，x0， 则 x2+ax+b+a 0，令 tx （，22，+），即 t 2+at+b20 在 （，22，+）上有实数解 将（a，b）看成直线 ta+b+t220，令 u ，则 umin ，（t 24） 令 s s ，（t 24） a2+b2的最小值为 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、等价转化方法、 方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
