1、2020 年云南师大附中中考数学一模试卷年云南师大附中中考数学一模试卷 一、填空题 12020 的绝对值是 2已知AOB2542，则AOB 的补角为 3在函数 y中，自变量的取值范围 4已知 A（2，y1），（3，y2）是反比列函数 y（k0）的两点，则 y1 y2 5如图，一张扇形纸片 OAB 中，半径 OA 为 2，点 C 是的中点，现将这张扇形纸片沿着 弦 AB 折叠，点 C 恰好与圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积为 6 如图， 在ABC 中， C90， ACBC1， P 为ABC 内一个动点， PABPBC， 则 CP 的最小值为 二.选择题（每小题 4 分，满分 32 分） 7如
2、图是由六个棱长为 1 的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为（ ） A3 B4 C5 D6 8近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠 状病毒感染肺炎多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施， 表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款截止 2 月 5 日中午 12 点， 武汉市慈善总会接收捐赠款约 3230000000 元.14 亿中国人民众志成城、行动起来、战斗 起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将 3230000000 用科学记数法表示应为（ ） A323107 B32.3108 C3.23109 D3.231010 9
3、估算的值是在（ ） A5 和 6 之间 B6 和 7 之间 C7 和 8 之间 D8 和 9 之间 10A，B 两地相距 180km，新修的高速公路开通后，在 A，B 两地间行驶的长途客车平均 车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h若设原来的平均车速为 xkm/h，则 根据题意可列方程为（ ） A 1 B 1 C 1 D 1 11 关于 x 的一元二次方程 ax22x+10 有两个不相等的实数根， 则 a 的取值范围是 （ ） Aa1 Ba1 Ca1 且 a0 Da1 且 a0 12下列运算正确的是（ ） A（xm）2xm+2 B（2x2y）38x5y3 Cx6x3x2
4、Dx3 x2x5 13如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3 个五边形，要完成这一圆环还需 （ ）个五边形 A6 B7 C8 D9 14如图，RtABC 中，BCA90，ACBC，点 D 是 BC 的中点，点 F 在线段 AD 上， DFCD，BF 交 CA 于 E 点，过点 A 作 DA 的垂线交 CF 的延长线于点 G，下列结论： CF2EF BF；AG2DC；AEEF；AF ECEF EB其中正确的结论有 （ ） A B C D 三、解答题（共 9 小题，满分 73 分） 15（1）计算：（）2 |2|+2cos45（3）0； （2）先化简，再求值：，其中 x+1 16如图，A
5、BCD 中，E 为 BC 边的中点，连 AE 并与 DC 的延长线交于点 F，求证：DC CF 17如图，在平面直角坐标系中，A（1，4），B（4，0），C（1，0） （1）A1B1C1与ABC 关于原点 O 对称，画出A1B1C1并写出点 A1的坐标； （2）A2B2C2是ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90得到的，画出A2B2C2并写出点 A2 的坐标； （3）连接 OA、OA2，在ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90得到的A2B2C2的过程中，计 算 A 变换到 A2过程中的路径是多少？（直接写出答案） 18为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进 A、B 两种纪念品若购进 A
6、 种纪念品 7 件，B 种纪念品 4 件，需要 760 元；若购进 A 种纪念品 5 件B 种纪念品 8 件，需要 800 元 （1）求购进 A、B 两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共 100 件考虑市场需求和资金周转，这 100 件纪 念品的资金不少于 7000 元，但不超过 7200 元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售 A 种纪念品每件可获利润 30 元，B 种纪念品每件可获利润 20 元，用（2） 中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？ 19某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学 生一周的课外
7、阅读时间， 并将结果绘制成两幅不完整的统计图， 请你根据统计图 （如图） 的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生总数为 人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是 小时，众数是 小时； （2）请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为 5 小时的扇形的圆心角度 数是 ； （3）若全校九年级共有学生 700 人，估计九年级一周课外阅读时间为 6 小时的学生有多 少人？ （4）若学校需要，从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，恰好是一男一女的 概率？（列表或树状图） 20某次台风来袭时，一棵笔直大树树干 AB（假定树干 AB 垂直于水平地面）被刮倾斜 7 （即BAB7） 后折断倒在地
8、上， 树的顶部恰好接触到地面 D 处， 测得CDA37， AD5 米，求这棵大树 AB 的高度（结果保留根号）（参考数据：sin370.6，cos37 0.8，tan370.75） 21某厂按用户需求生产一种产品，成本每件 20 万元，规定每件售价不低于成本，且不高 于 40 万元经市场调查，每年的销售量 y（件）与每件售价 x（万元）满足一次函数关 系，部分数据如下表： 售价 x（万元/件） 25 30 35 销售量 y（件） 50 40 30 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）设商品每年的总利润为 W（万元），求 W 与 x 之间的函数表达式（利润收入 成本）； （3）试说明
9、（2）中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时 获得最大利涧，最大利润是多少？ 22 如图，在 RtABC 中，A90，点 D、E 分别在 AC、BC 上， 且 CD BCAC CE， 以 E 为圆心，DE 长为半径作圆，E 经过点 B，与 AB、BC 分别交于点 F、G （1）求证：AC 是E 的切线 （2）若 AF4，CG5， 求E 的半径； 若 RtABC 的内切圆圆心为 I，则 IE 23如图，抛物线 yx2+mx+n 与直线 yx+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点， 连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0） （）求抛物线的解析式
10、和 tanBAC 的值； （）在（）条件下： （1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问： 是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似？若存在，请求出所有符合 条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒个单位的速度运动到 A 后 停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？ 参考答案 一.填空题（每小题 3 分，满分 18 分） 12020
11、的绝对值是 2020 【分析】根据绝对值的定义直接进行计算 解：根据绝对值的概念可知：|2020|2020， 故答案为：2020 2已知AOB2542，则AOB 的补角为 15418 【分析】根据补角的定义求解即可 解：AOB 的补角为：180254215418 故答案为：15418 3在函数 y中，自变量的取值范围 x 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案 解：要使函数 y有意义，则 25x0， 解得 x， 故答案为：x 4已知 A（2，y1），（3，y2）是反比列函数 y（k0）的两点，则 y1 y2 【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的横坐标，即可得到答 案 解：
12、反比列函数 y的 k0， x0 时，y 随着 x 的增大而增大， 23， y1y2， 故答案为： 5如图，一张扇形纸片 OAB 中，半径 OA 为 2，点 C 是的中点，现将这张扇形纸片沿着 弦 AB 折叠，点 C 恰好与圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积为 2 【分析】连接 OC 交 AB 于点 P，根据折叠的性质求出 OPPC1，根据勾股定理求出 AP，根据垂径定理求出 AB，根据扇形的面积公式和三角形的面积求出即可 解：连接 OC 交 AB 于点 P， 由题意知，OCAB，且 OPPC21， 在 RtAOP 中，OA2，OP1， cosPOA， POA60， 同理BOP60， AOB1
13、20， AP ， 由垂径定理得：AB2AP2， 阴影部分的面积S扇形AOB2SAOB221 2， 故答案为：2 6 如图， 在ABC 中， C90， ACBC1， P 为ABC 内一个动点， PABPBC， 则 CP 的最小值为 1 【分析】首先求得APB135，点 P 在以 AB 为弦的O 上，然后可求得 OC， OP1，当点 O、P、C 在一条直线上时，PC 有最小值 解：如图所示： 在ABC 中，C90，ACBC1， CABCBA45 又PABPBC， PAB+PBA45 APB135 点 P 在以 AB 为弦的O 上 APB135， AOB90 OABOBA45 CAO90 四边形 A
14、CBO 为矩形 OAOB， 四边形 AOBC 为正方形 OAOB1 OP1，OC 当点 O、P、C 在一条直线上时，PC 有最小值， PC 的最小值OCOP1 故答案为：1 二.选择题（每小题 4 分，满分 32 分） 7如图是由六个棱长为 1 的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形， 看分别得到几个面，据此解答即可 解：从上面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4 故选：B 8近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠 状病毒感染肺炎多国政府官员及机构
15、高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施， 表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款截止 2 月 5 日中午 12 点， 武汉市慈善总会接收捐赠款约 3230000000 元.14 亿中国人民众志成城、行动起来、战斗 起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将 3230000000 用科学记数法表示应为（ ） A323107 B32.3108 C3.23109 D3.231010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数
16、；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：3 230 000 0003.23109， 故选：C 9估算的值是在（ ） A5 和 6 之间 B6 和 7 之间 C7 和 8 之间 D8 和 9 之间 【分析】首先得出的取值范围，进而得出答案 解：， 56， 的值是在：7 和 8 之间 故选：C 10A，B 两地相距 180km，新修的高速公路开通后，在 A，B 两地间行驶的长途客车平均 车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h若设原来的平均车速为 xkm/h，则 根据题意可列方程为（ ） A 1 B 1 C 1 D 1 【分析】直接利用在 A，B 两地间行驶的长途客车平均车速提
17、高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h，利用时间差值得出等式即可 解：设原来的平均车速为 xkm/h，则根据题意可列方程为： 1 故选：A 11 关于 x 的一元二次方程 ax22x+10 有两个不相等的实数根， 则 a 的取值范围是 （ ） Aa1 Ba1 Ca1 且 a0 Da1 且 a0 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 a0 且（2）24a0， 然后求出两不等式的公共部分即可 解：根据题意得 a0 且（2）24a0， 解得 a1 且 a0 故选：D 12下列运算正确的是（ ） A（xm）2xm+2 B（2x2y）38x5y3 Cx6x3x2 Dx3 x2
18、x5 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案 解：A、（xm）2x2m，故此选项错误； B、（2x2y）38x6y3，故此选项错误； C、x6x3x3，故此选项错误； D、x3 x2x5，正确 故选：D 13如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3 个五边形，要完成这一圆环还需 （ ）个五边形 A6 B7 C8 D9 【分析】 先根据多边形的内角和公式 （n2） 180求出正五边形的每一个内角的度数， 再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据 周角等于 360求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去 3 即可
19、得解 解：五边形的内角和为（52） 180540， 所以正五边形的每一个内角为 5405108， 如图， 延长正五边形的两边相交于点 O， 则1360108336032436， 3603610， 已经有 3 个五边形， 1037， 即完成这一圆环还需 7 个五边形 故选：B 14如图，RtABC 中，BCA90，ACBC，点 D 是 BC 的中点，点 F 在线段 AD 上， DFCD，BF 交 CA 于 E 点，过点 A 作 DA 的垂线交 CF 的延长线于点 G，下列结论： CF2EF BF；AG2DC；AEEF；AF ECEF EB其中正确的结论有 （ ） A B C D 【分析】根据等边
20、对等角的性质求出DCFDFC，然后求出 DFDB，根据等边对 等角求出DBFDFB，然后求出BFC 是直角，根据直角三角形的性质求出BCF 和CEF 相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到正确；根据互余关系 求出GACG，再根据等角对等边的性质求出 AGAC，然后求出 AGBC，从而判 断正确；根据角的互余关系可以求出EAF+ADC90，AFE+DFC90再 根据ADC 的正切值为 2 可知ADC60， 然后求出FDCDFC， 然后求出EAF EFA，从而得到 AEEF，判断出错误；根据根据直角三角形的性质求出CEF 和BCE 相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出 EC2EF
21、EB，再根据全等三 角形对应边相等可得 AFCE，从而判断出正确 解：DFCD， DCFDFC， ACBC，点 D 是 BC 的中点， DFDBDC， DBFDFB， 又DBF+DFB+DFC+DCF180， BFC18090， CFBE， RtBCFRtCEF， ， CF2EF BF，故正确； AGAD， G+AFG90， 又ACG+DCF90，DCFDFCAFG， GACG， AGAC， ACBC， AGBC， 点 D 是 BC 的中点， BC2DC， AG2DC，故正确； 根据角的互余关系，EAF+ADC90，AFE+DFC90， tanADC2， ADC60， DCFDFC， FDCD
22、FC， EAFEFA， AEEF，故错误； ACB90，CFBE， CEFBCE， ， EC2EF EB， BCEAGF（已证）， AFEC， AF ECEF EB，故正确； 所以，正确的结论有 故选：B 三、解答题（共 9 小题，满分 73 分） 15（1）计算：（）2 |2|+2cos45（3）0； （2）先化简，再求值：，其中 x+1 【分析】（1）根据有理数的乘方法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂 的运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式的分母有理化法则计算，得到 答案 解：（1）原式2+21 2+1 +2； （2）原式 ， 当 x+1
23、时，原式 16如图，ABCD 中，E 为 BC 边的中点，连 AE 并与 DC 的延长线交于点 F，求证：DC CF 【分析】欲证明 DCCF，只要证明ABEFCE 即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BAECFE； E 为 BC 中点， EBEC， 在ABE 与FCE 中， ， ABEFCE（AAS）， ABCF， DCCF 17如图，在平面直角坐标系中，A（1，4），B（4，0），C（1，0） （1）A1B1C1与ABC 关于原点 O 对称，画出A1B1C1并写出点 A1的坐标； （2）A2B2C2是ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90得到的，画出A
24、2B2C2并写出点 A2 的坐标； （3）连接 OA、OA2，在ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90得到的A2B2C2的过程中，计 算 A 变换到 A2过程中的路径是多少？（直接写出答案） 【分析】（1）根据网格即可画出A1B1C1并写出点 A1的坐标； （2）根据网格即可画出A2B2C2并写出点 A2的坐标； （3）根据弧长公式即可计算 A 变换到 A2过程中的路径 解：如图， （1）A1B1C1即为所求， 点 A1的坐标为（1，4）； （2）A2B2C2即为所求， 点 A2的坐标为（4，1）； （3）A 变换到 A2过程中的路径为： 18为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进
25、A、B 两种纪念品若购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 4 件，需要 760 元；若购进 A 种纪念品 5 件B 种纪念品 8 件，需要 800 元 （1）求购进 A、B 两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共 100 件考虑市场需求和资金周转，这 100 件纪 念品的资金不少于 7000 元，但不超过 7200 元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售 A 种纪念品每件可获利润 30 元，B 种纪念品每件可获利润 20 元，用（2） 中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设购进 A 种纪念品每件需要 x 元，购进 B 种纪
26、念品每件需要 y 元，根据购 买商品的数量及价格之间的关系建立方程组求出其解即可； （2）设该商店购进 A 种纪念品 a 件，则购进 B 种纪念品（100a）套，根据条件中的不 相等关系建立不等式组求出其解即可； （3）设总利润为 W 元，根据总利润A 种纪念品的利润+B 种纪念品的利润就可以表示 出 W 与 a 的关系式，由一次函数的性质求出其解即可 解：（1）设购进 A 种纪念品每件需要 x 元，购进 B 种纪念品每件需要 y 元，由题意，得 ， 解得： 答：进 A 种纪念品每件需要 80 元，购进 B 种纪念品每件需要 50 元； （2）设该商店购进 A 种纪念品 a 件，则购进 B 种
27、纪念品（100a）套，由题意，得 ， 解得：66a73 a 为整数， a67，68，69，70，71，72，73 该商店共有 7 种进货方案； （3）设总利润为 W 元，由题意，得 W30a+20（100a）10a+2000 k100， W 随 x 的增大而增大， 该商店购进 A 种纪念品 73 件， 购进 B 种纪念品 27 套， W最大1073+20002730 元 19某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学 生一周的课外阅读时间， 并将结果绘制成两幅不完整的统计图， 请你根据统计图 （如图） 的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生总数为 50 人
28、，被调查学生的课外阅读时间的中位数是 4 小 时，众数是 5 小时； （2）请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为 5 小时的扇形的圆心角度 数是 144 ； （3）若全校九年级共有学生 700 人，估计九年级一周课外阅读时间为 6 小时的学生有多 少人？ （4）若学校需要，从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，恰好是一男一女的 概率？（列表或树状图） 【分析】（1）用阅读时间为 3 小数的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计 算出阅读时间为 6 小时的男生人数，然后根据中位数、众数的定义求解； （2）先利用阅读时间为 6 小时的男生人数补全条形统计图，然后用 360
29、乘以阅读时间 为 5 小时的人数所占的百分比得到课外阅读时间为 5 小时的扇形的圆心角度数； （3）用 700 乘以样本中阅读时间为 6 小数的人数的百分比即可； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好是一男一女的结果数，然后根 据概率公式求解 解：（1）（6+4）20%50， 所以本次调查的学生总数为 50 人， 课外阅读时间为 6 小时的男生人数为 5010162031， 所以被调查学生的课外阅读时间的中位数是 4 小时，众数是 5 小时； （2）课外阅读时间为 5 小时的扇形的圆心角度数360144， 补全条形统计图为： 故答案为 50；4；5；144； （3）7005
30、6， 所以估计九年级一周课外阅读时间为 6 小时的学生有 56 人； （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为 8， 所以恰好是一男一女的概率 20某次台风来袭时，一棵笔直大树树干 AB（假定树干 AB 垂直于水平地面）被刮倾斜 7 （即BAB7） 后折断倒在地上， 树的顶部恰好接触到地面 D 处， 测得CDA37， AD5 米，求这棵大树 AB 的高度（结果保留根号）（参考数据：sin370.6，cos37 0.8，tan370.75） 【分析】 过点 A 作 AECD 于点 E， 解 RtAED， 求出 DE 及 AE 的长度， 再解 RtAEC， 得
31、出 CE 及 AC 的长，进而可得出结论 解：过点 A 作 AECD 于点 E，则AECAED90 在 RtAED 中，ADC37， cos370.8， DE4， sin370.6， AE3 在 RtAEC 中， CAE90ACE906030， CEAE， AC2CE2， ABAC+CE+ED2+43+4（米） 答：这棵大树 AB 原来的高度是（3+4）米 21某厂按用户需求生产一种产品，成本每件 20 万元，规定每件售价不低于成本，且不高 于 40 万元经市场调查，每年的销售量 y（件）与每件售价 x（万元）满足一次函数关 系，部分数据如下表： 售价 x（万元/件） 25 30 35 销售量
32、 y（件） 50 40 30 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）设商品每年的总利润为 W（万元），求 W 与 x 之间的函数表达式（利润收入 成本）； （3）试说明（2）中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时 获得最大利涧，最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意可以设出 y 与 x 之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可 求得 y 与 x 之间的函数表达式； （2）根据题意可以写出 W 与 x 之间的函数表达式； （3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每件 20 万元，规定每 件售价不低于成本， 且不高于 40 万元， 即
33、可得到利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况， 以及售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少 解：（1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b（k0）， ， 解得， 即 y 与 x 之间的函数表达式是 y2x+100； （2）由题意可得， W（x20）（2x+100）2x2+140x2000， 即 W 与 x 之间的函数表达式是 W2x2+140x2000； （3）W2x2+140x20002（x35）2+450，20x40， 当 20x35 时，W 随 x 的增大而增大，当 35x40 时，W 随 x 的增大而减小， 当 x35 时，W 取得最大值，此时 W450， 答：当 2
34、0x35 时，W 随 x 的增大而增大，当 35x40 时，W 随 x 的增大而减小， 售价为 35 万元时获得最大利润，最大利润是 450 万元 22 如图，在 RtABC 中，A90，点 D、E 分别在 AC、BC 上， 且 CD BCAC CE， 以 E 为圆心，DE 长为半径作圆，E 经过点 B，与 AB、BC 分别交于点 F、G （1）求证：AC 是E 的切线 （2）若 AF4，CG5， 求E 的半径； 若 RtABC 的内切圆圆心为 I，则 IE 【分析】（1）证明CDECAB，得EDCA90，所以 AC 是E 的切线； （2）如图 1，作辅助线，构建矩形 AHED，设E 的半径为
35、 r，表示 BH 和 EC 的长， 证明BHEEDC， 列比例式代入 r 可得结论； 如图 2，作辅助线，构建直角IME，分别求 IM 和 ME 的值，利用勾股定理可求 IE 的长 【解答】证明：（1）CD BCAC CE， ， DCEACB， CDECAB， EDCA90， EDAC， 点 D 在E 上， AC 是E 的切线； （2）如图 1，过 E 作 EHAB 于 H， BHFH， AAHEADE90， 四边形 AHED 是矩形， EDAH，EDAB， BDEC， 设E 的半径为 r，则 EBEDEGr， BHFHAHAFDEAFr4， ECEG+CGr+5， 在BHE 和EDC 中，
36、BDEC，BHEEDC90， BHEEDC， ，即， r20， E 的半径为 20； 如图 2，过 I 作 IMBC 于 M，过 I 作 IHAB 于 H， 由得：FHBHr420416，ABAF+2BH4+21636， BC2r+5220+545， AC27， I 是 RtABC 的内心， IM9， AHIM9， BHBM36927， EM27207， 在 RtIME 中，由勾股定理得：IE， 故答案为： 23如图，抛物线 yx2+mx+n 与直线 yx+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点， 连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0） （）求抛物线的解析式和 tanB
37、AC 的值； （）在（）条件下： （1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问： 是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似？若存在，请求出所有符合 条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒个单位的速度运动到 A 后 停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？ 【分析】 （）只需把 A、C 两点的坐标代入 yx2+mx+n，就可得到抛物线的
38、解析式， 然后求出直线 AB 与抛物线的交点 B 的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形 ABC 是 直角三角形， 从而得到ACB90， 然后根据三角函数的定义就可求出tanBAC的值； （）（1）过点 P 作 PGy 轴于 G，则PGA90设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x0，则 PGx，易得APQACB90若点 G 在点 A 的下方，当 PAQCAB 时，PAQCAB此时可证得PGABCA，根据相似三角形的性 质可得 AG3PG3x则有 P（x，33x），然后把 P（x，33x）代入抛物线的解析 式，就可求出点 P 的坐标当PAQCBA 时，PAQCBA，同理，可求出
39、点 P 的坐标；若点 G 在点 A 的上方，同理，可求出点 P 的坐标；（2）过点 E 作 ENy 轴于 N，如图 3易得 AEEN，则点 M 在整个运动中所用的时间可表示为 + DE+EN作点 D 关于 AC 的对称点 D，连接 DE，则有 DEDE，DCDC， DCADCA45，从而可得DCD90，DE+ENDE+EN根据两点之间 线段最短可得：当 D、E、N 三点共线时，DE+ENDE+EN 最小此时可证到四边 形 OCDN 是矩形，从而有 NDOC3，ONDCDC然后求出点 D 的坐标， 从而得到 OD、ON、NE 的值，即可得到点 E 的坐标 解：（）把 A（0，3），C（3，0）代
40、入 yx2+mx+n，得 ， 解得： 抛物线的解析式为 yx2x+3 联立， 解得：或， 点 B 的坐标为（4，1） 如图 1 C（3，0），B（4，1），A（0，3）， AB220，BC22，AC218， BC2+AC2AB2， ABC 是直角三角形， ACB90， tanBAC； （）方法一： （1）存在点 P，使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似 过点 P 作 PGy 轴于 G，则PGA90 设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x0，则 PGx PQPA，ACB90， APQACB90 若点 G 在点 A 的下方， 如图 2，当PAQCAB 时，则PAQCA
41、B PGAACB90，PAQCAB， PGABCA， AG3PG3x 则 P（x，33x） 把 P（x，33x）代入 yx2x+3，得 x2x+333x， 整理得：x2+x0 解得：x10（舍去），x21（舍去） 如图 2，当PAQCBA 时，则PAQCBA 同理可得：AGPGx，则 P（x，3x）， 把 P（x，3x）代入 yx2x+3，得 x2x+33x， 整理得：x2x0 解得：x10（舍去），x2 ， P（，）； 若点 G 在点 A 的上方， 当PAQCAB 时，则PAQCAB， 同理可得：点 P 的坐标为（11，36） 当PAQCBA 时，则PAQCBA 同理可得：点 P 的坐标为
42、P（，） 综上所述：满足条件的点 P 的坐标为（11，36）、（，）、（，）； 方法二： 作APQ 的“外接矩形”AQGH，易证AHPQGP， ， 以 A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似， 或， 设 P（2t，2t25t+3），A（0，3），H（2t，3）， ，|， 2t1，2t2 ， ，|3 2t111，2t21，（舍）， 满足题意的点 P 的坐标为（11，36）、（，）、（，）； （2）方法一： 过点 E 作 ENy 轴于 N，如图 3 在 RtANE 中，ENAE sin45AE，即 AEEN， 点 M 在整个运动中所用的时间为+DE+EN 作点 D 关于 AC 的对称点 D，连接
43、 DE， 则有 DEDE，DCDC，DCADCA45， DCD90，DE+ENDE+EN 根据两点之间线段最短可得： 当 D、E、N 三点共线时，DE+ENDE+EN 最小 此时，DCDDNONOC90， 四边形 OCDN 是矩形， NDOC3，ONDCDC 对于 yx2x+3， 当 y0 时，有x2x+30， 解得：x12，x23 D（2，0），OD2， ONDCOCOD321， NEANAOON312， 点 E 的坐标为（2，1） 方法二： 作点 D 关于 AC 的对称点 D，DD交 AC 于点 M，显然 DEDE， 作 DNy 轴，垂足为 N，交直线 AC 于点 E，如图 4， 在 Rt
44、ANE 中，ENAE sin45AE，即 AEEN， 当 D、E、N 三点共线时，DE+ENDE+EN 最小， A（0，3），C（3，0）， lAC：yx+3， M（m，m+3），D（2，0）， DMAC，KDMKAC1， 1， m，M（，）， M 为 DD的中点， D（3，1）， EYDY1， E（2，1） 方法三：如图，5，过 A 作射线 AFx 轴，过 D 作射线 DFy 轴，DF 与 AC 交于点 E A（0，3），C（3，0）， lAC：yx+3 OAOC，AOC90， ACO45， AFOC， FAE45 EFAE sin45 当且仅当 AFDF 时， DE+EF 取得最小值， 点 M 在整个运动中用时最少为： t+ DE+EF， 抛物线的解析式为 yx2x+3，且 C（3，0）， 可求得 D 点坐标为（2，0） 则 E 点横坐标为 2，将 x2 代入 lAC：yx+3，得 y1 所以 E（2，1）
