1、第五讲 抽屉原理二 本讲知识点汇总： 一、 最不利原则： 为了保证保证 能完成一件事情， 需要考虑在最倒霉 （最不利） 的情况下， 如何能达到目标 二、 抽屉原理： 形式 1：把个苹果放到 n 个抽屉中，一定有 2 个苹果放在一个抽屉里； 形式 2：把个苹果放到 n 个抽屉中，一定有个苹果放在一个抽屉 里 例1 中国奥运代表团的 173 名运动员到超市买饮料， 已知超市有可乐、 雪碧、 芬达、 橙汁、 味全和矿泉水 6 种饮料， 每人各买两种不同的饮料， 那么至少多少人买的饮料完全相同？ 分析分析本题的“抽屉”是饮料的选法， “苹果”是 173 名运动员 练习 1、中国奥运代表团的 83 名运
2、动员到超市买饮料超市有可乐、雪碧、芬达和橙 汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？ 例2 国庆嘉年华共有 5 项游艺活动，每个学生至多参加 2 项，至少参加 1 项那么至少有 多少个学生，才能保证至少有 4 个人参加的活动完全相同？ 分析分析本题的“抽屉”是参加活动的方法 练习 2、高思运动会共有 4 个项目，每个学生至多参加 3 项，至少参加 1 项那么至少 有多少个学生，才能保证至少有 5 个人参加的活动完全相同？ 1m 1m n 1n 例3 从 1 到 50 这 50 个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是 50？ 分析分析思考一下：哪两个数的
3、和是 50？ 练习 3、从 1 到 35 这 35 个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的 和为 34？ 例4 从 1 到 100 这 100 个自然数中， 至少选出多少个数才能保证其中 一定有两个数的和是 7 的倍数？如果要保证是 6 的倍数呢？ 分析分析两个数的和是 7 的倍数，这两个数除以 7 的余数要符合什么条件哪？ 练习 4、从 1 至 99 这 99 个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是 5 的倍数，至少要取多少个？ 例5 至少取出多少个正整数， 才能保证其中一定有两个整数的和或差 是 100 的倍数？ 分析分析 从余数角度思考一下：什么样的两个数
4、的和或差是 100？ 例6 在边长为 2 的正六边形中，放入 50 个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选 出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于 1 分析分析通过把正六边形均分，来构造“抽屉” 四大发明之印刷术 印刷术是中国古代的四大发明之一， 是中国古代汉族劳动人民经过长期实践和研究 才发明的 活字印刷的方法是先制成单字的阳文反文字模， 然后按照稿件把单字排列在 字盘内涂墨印刷 自从汉朝发明纸以后，书写材料比起过去用的甲骨、简牍、金石和缣帛要轻便、经 济多了，但是抄写书籍还是非常费工的，远远不能适应社会的需要至迟到东汉末年的 熹平年间（公元 172178 年） ，出现了摹印和拓印石碑
5、的方法大约在公元 600 年前后 的隋朝，人们从刻印章中得到启发，在人类历史上最早发明了雕版印刷术 雕版印刷是在一定厚度的平滑的木板上， 粘贴上抄写工整的书稿， 薄而近乎透明的 稿纸正面和木板相贴，字就成了反体，笔划清晰可辨雕刻工人用刻刀把版面没有字迹 的部分削去，就成了字体凸出的阳文，和字体凹入的碑石阴文截然不同印刷的时候， 在凸起的字体上涂上墨汁，然后把纸覆在它的上面，轻轻拂拭纸背，字迹就留在纸上 了到了宋朝，雕版印刷事业发展到全盛时期雕版印刷对文化的传播起了重大作用， 但是也存在明显缺点：第一，刻版费时费工费料；第二，大批书版存放不便；第三，有 错字不容易更正 北宋平民发明家毕昇总结了历
6、代雕版印刷的丰富的实践经验， 经过反复试验， 在宋 仁宗庆历年间（公元 10411048）制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一 项重大的革命 毕昇的方法是这样的：用胶泥做成一个个规格一致的毛坯，在一端刻上反体单字， 字划突起的高度象铜钱边缘的厚度一样，用火烧硬，成为单个的胶泥活字为了适应排 版的需要，一般常用字都备有几个甚至几十个，以备同一版内重复的时候使用遇到不 常用的冷僻字，如果事前没有准备，可以随制随用为便于拣字，把胶泥活字按韵分类 放在木格子里，贴上纸条标明排字的时候，用一块带框的铁板作底托，上面敷一层用 松脂、蜡和纸灰混合制成的药剂，然后把需要的胶泥活字拣出来一个个排进框内
7、排满 一框就成为一版，再用火烘烤，等药剂稍微熔化，用一块平板把字面压平，药剂冷却凝 固后， 就成为版型 印刷的时候， 只要在版型上刷上墨， 覆上纸， 加一定的压力就行了 为 了可以连续印刷，就用两块铁板，一版加刷，另一版排字，两版交替使用印完以后， 用火把药剂烤化，用手轻轻一抖，活字就可以从铁板上脱落下来，再按韵放回原来木格 里，以备下次再用毕昇还试验过木活字印刷，由于木料纹理疏密不匀，刻制困难，木 活字沾水后变形，以及和药剂粘在一起不容易分开等原因，所以毕昇没有采用毕昇的 胶泥活字版印书方法，如果只印二三本，不算省事，如果印成百上千份，工作效率就极 其可观了，不仅能够节约大量的人力物力，而且
8、可以大大提高印刷的速度和质量，比雕 版印刷要优越得多 现代的凸版铅印， 虽然在设备和技术条件上是宋朝毕昇的活字印刷 术所无法比拟的，但是基本原理和方法是完全相同的活字印刷术的发明，为人类文化 做出了重大贡献这中间，中国的平民发明家毕昇的功绩是不可磨灭的可是关于毕昇 的生平事迹，我们却一无所知，幸亏毕昇创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北 宋著名科学家沈括的名著梦溪笔谈里但是除开西夏文字的几本推测为活字印刷的 佛经外，中原地区无发现活字印刷的中文印刷品！ 作业 1. （1）一个班有 37 个人，那么至少有多少人是同一星座的？ （2）一副扑克牌，共 54 张，那么至少从中摸出多少张牌，才能保证
9、至少有 6 张牌的花 色相同？ 2. 动物王国举行运动会，共有 101 位运动员，有短跑、跳高、跳远、10 米跳台、3 米跳板 五个项目，每位运动员最多选三个项目，最少选一个项目那么至少有多少位运动员所 选的项目都相同？ 3. 1 至 70 这 70 个自然数中， 最多可以取出多少个数， 使得其中每两个数的差都不等于 6？ 4. 1 至 40 这 40 个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不是 4 的 倍数？ 5. 在半径为 1 的圆内，画 13 个点，其中任意 3 点不共线请证明：一定存在 3 个点，以 它们为顶点的三角形面积小于 6 第五讲 抽屉原理二 例7 答案：12
10、 解答：共有 2 6 15C 种不同的选择方式，而173 15118，所以至少有 12 个人买的饮料完全相同 例8 答案：46 解答：共有 21 55 15CC种参加方法，所以至少15 3 146 人 例9 答案：27 解答：可构造出 26 个组数： （1，49） 、 （2，48） 、 （24，26） 、 （25） 、 （50） 所以至少要取 27 个数 才能保证取到一组和为 50 的数 例10 答案：46，37 解答：由题意可知，如果取出的数没有两个数的和是 7 的倍数，则：除以 7 余 1 的数与除以 7 余 6 的 数不能共存，除以 7 余 2 的数与除以 7 余 5 的数不能共存，除以
11、 7 余 3 的数与除以 7 余 4 的数不能共 存而除以 7 余 0 的数只能取 1 个，且10014 72，所以最不利的情况是取尽余 1、余 2、余 3 和 一个余 0 的数，共 45 个数，所以至少选出 46 个数才可满足要求同理至少选出 37 个数才能保证是 6 的倍数 （注意此时除以 6 余 3 和余 0 的数都只能选 1 个） 例11 答案：52 解答：可构造出 51 个组数： （1，8） 、 （2，9）（7，14） ； （15，22） 、 （16，23）（21，28） ； （85，92） 、 （86，93）（91，98） ； （99） 、 （100） 每组数中的两数的差为 7只取
12、出每个数组中较 小的数显然不能满足要求，所以至少要取出 52 个数，这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两 个数 例12 解答：先将正六边形分割成 6 个边长为 2 的正三角形，再将每个三角形等分成 4 个边长为 1 的 正三角形，这样就把正六边形分割成 24 个边长为 1 的正三角形，则由抽屉原理知，必有 3 点在一个 等边三角形中，以它们为顶点的三角形面积显然不大于 1 （边长是 1 的等边三角形面积小于 1） 练习 1、答案：14 简答：共有 2 4 6C 种不同的选择方式，而836 135，所以至少有 14 个人买的饮料完全相同 练习 2、答案：57 简答：共有 321 444 14
13、CCC种参加方法，所以至少144157 人 练习 3、答案：20 简答：可构造出 19 个组数： （1，33） 、 （2，32） 、 （16，18） 、 （17） 、 （34） 、 （35） 所以至少要取 20 个数才能保证取到一组和为 34 的数 练习 4、答案：42 简答：199 这 99 个数中除以 5 余 1 的有 20 个，余 2 的有 20 个，余 3 的有 20 个，余 4 的有 20 个， 余 0 的有 19 个，选出余 1 和余 2 的数，再选一个余 0 的数，再任选一个数一定符合题意， 2020 1 142 个 作业 6. 答案： （1）4 个； （2）23 张 简答： （
14、1）抽屉原理； （2）最不利原则 7. 答案：5 位 简答： 首先运动员的项目有 123 555 25CCC种可能， 根据抽屉原理， 至少有 5 位运动员的项目相同 8. 答案：36 个 简答：每 12 个数中最多取出 6 个 9. 答案：12 个 简答：将 140 按照除以 4 的余数分为四组： A 组：1，5，37； B 组：2，6，38； C 组：3，7，39； D 组：4，8，40 首先，B、D 组最多取一个取了 A 组就不能取 C 组 所以最多能取 12 个 10. 证明：将半径为 1 的圆六等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是 6 根据抽屉原理，至少有三个点 在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即 6
