1、已知集合 Ay|yx23，By|y5x2，则 AB（ ） A1 B（2，1） ， （2，1） C3，5 D （，35，+） 2 （5 分）设复数 z 满足（1i）z2i，则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3 （5 分） 庄子天下篇中有一句话： “一尺之锤，日取其半，万世不竭” 如果经过 n 天， 取得木锤的总长度为 an（尺） ，则 an与 n 的关系为（ ） A B C D 4 （5 分）已知命题 p：x0，ex1 或 sinx1，则p 为（ ） Ax0，ex1 且 sinx1 Bx0，ex1 或 sinx1 Cx0，ex1 且 sinx1 Dx0，ex1 或 sinx1 5
2、 （5 分）3 个红球与 3 个黑球随机排成一行，从左到右依次在球上标记 1，2，3，4，5，6， 则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）使得（nN*）的展开式中含有常数项的最小的 n 是（ ） A4 B5 C6 D7 7 （5 分）定义在区间（0，）上的函数 y6cosx 与 y5tanx 的图象交点为 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1与 ysinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2的长度为 （ ） A B C D 8（5 分） 某多面体的三视图如图所示， 网格小正方形的边长为 1， 则该多面体的体积为 （ ） 第
3、2 页（共 26 页） A10 B6 C D 9 （5 分）如图是函数的部分图象，则 （ ） A2 B C2 D 10 （5 分）已知 A（a，0） ，C（0，c） ，|AC|2，|BC|1，0，O 为坐标原点，则 |OB|的取值范围是（ ） A （0， B （0， C， D，+） 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（1）2，对任意的实数 x1，x2且 x1x2， f（x1）f（x2）x1x2，则不等式 f（x1）x 的解集为（ ） A （，2） B （2，+） C （，1）（1，+） D （，2）（2，+） 12 （5 分）在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由二个半圆
4、弧围成曲边三角形，作两个 内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是 同样大小的，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，他称此为“皮匠刀定理” 如图， 若 AC2CB，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ） 第 3 页（共 26 页） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知狄利克雷函数 D（x）则 D（D（x） ） 14 （5 分）设 l，m 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 l，m给出下 列三个论断； lm； l；以其中一个论断作为条件，余下两个论断
5、作为结论，写出 一个真命题： （用论断序号和推出符号“”作答） 15 （5 分）双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，若以线段 F1F2为直径的圆与S的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点， 则S的离心率为 16 （5 分）已知数列an满足，则 a1+a2020的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）演算步骤） 17 （12 分）已知三角形 ABC 的面积为，D 在边 BC 上，内角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c当 AD 最大时，求 a，b，c 18 （12 分） 2019 年 9 月 24 日国家统计
6、局在庆祝中华人民共和国成立 70 周年活动新闻中心 举办新闻发布会指出，1952 年2018 年，我国 GDP 从 679.1 亿元跃升至 90.03 万亿元， 实际增长 174 倍；人均 GDP 从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍全国各族人民， 砥砺奋进， 顽强拼搏， 实现了经济社会的跨越式发展 如图是全国 2010 年至 2018 年 GDP 总量 y（万亿元）的折线图 注：年份代码 19 分别对应年份 20102018 （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与年份代码的关系，请用相关系数加以 说明； （2）建立 y 关于的回归方程（系数精确到 0.01） ，
7、预测 2019 年全国 GDP 的总量 附注： 参考数据：yi582.01， 64.67，tiyi3254.8 345.90 第 4 页（共 26 页） 参考公式：相关系数：r 回 归 方 程t中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ， 19 （12 分）如图，楔形几何体 EFABCD 由一个三棱柱截去部分后所得，底面 ADE侧 面 ABCD，AED90，楔面 BCF 是边长为 2 的正三角形，点 F 柱侧面 ABCD 的射影 是矩形 ABCD 的中心 O，点 M 在 CD 上，且 CMDM （1）证明：BF平面 AMF； （2）求楔面 BCF 与侧面 ABCD
8、 所成二面角的余弦值 20 （12 分）已知函数，f（x）为 f（x）的导数 （1）证明：f（x）在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在 x1x2，使 f（x1）f（x2） ，证明：x1x24 21 （12 分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为 第 5 页（共 26 页） （1）求 C 的标准方程； （2）若动点 M 为 C 外一点，且 M 到 C 的两条切线相互垂直，求 M 的轨迹 D 的方程； （3）设 C 的另一个焦点为 F2，过 C 上一点 P 的切线与（2）所求轨迹 D 交于点 A，B， 求证：|PA|PB|PF1|PF2| 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，
9、并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多如果多 做，则按所做的第一題计分做，则按所做的第一題计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面宜角坐标系 xOy 中， A， B 是曲线段（t 是参数，） 的左、右端点，P 是 C 上异于 A，B 的动点，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q （1）建立适当的极坐标系，写岀点 Q 轨迹的极坐
10、标方程； （2）求|PA|PQ|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）（x2）|xa|（aR） ，若关于 x 的不等式 f（x）6 的解集为（4，5） （8，+） （1）求 a； （2）关于 x 的方程 f（x）b 的方程有三个相异实根 x1，x2，x3，求 x1+x2+x3的取值范 围 第 6 页（共 26 页） 2019-2020 学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科） （四）（四） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共
11、分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Ay|yx23，By|y5x2，则 AB（ ） A1 B（2，1） ， （2，1） C3，5 D （，35，+） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ay|y3，By|y5， AB3，5 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，二次函数的值域，交集的定义及运算，考查 了计算能力，属于基础题 2 （5 分）设复数 z 满足（1i）z2i，则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】根据所给的等式两
12、边同时除以 1i，得到 z 的表示式，进行复数的除法运算， 分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果 【解答】解：复数 z 满足 z（1i）2i， z1+i 故选：A 【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送 分题目，注意数字的运算 3 （5 分） 庄子天下篇中有一句话： “一尺之锤，日取其半，万世不竭” 如果经过 n 天， 取得木锤的总长度为 an（尺） ，则 an与 n 的关系为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件，判断数列是等比数列然后求解通项公式 第 7 页（共 26 页） 【解答】 解： 该木锤剩余的长度为一个首项为， 公比
13、为的等比数列， 所以， 故选：D 【点评】本题考查数列的性质，数列的判断，是基本知识的考查 4 （5 分）已知命题 p：x0，ex1 或 sinx1，则p 为（ ） Ax0，ex1 且 sinx1 Bx0，ex1 或 sinx1 Cx0，ex1 且 sinx1 Dx0，ex1 或 sinx1 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论 【解答】解：命题是全称命题，所以命题 p：x0，ex1 或 sinx1，则p 为：x0， ex1 且 sinx1 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定为特称命题，注意： （pq）（p）（q） ，（pq）（p）（q） 5 （5 分）
14、3 个红球与 3 个黑球随机排成一行，从左到右依次在球上标记 1，2，3，4，5，6， 则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为（ ） A B C D 【分析】法一：全部数字之和为 1+2+3+4+5+621，为奇数，从而红球上数字之和与黑 球上数字之和不可能相等，红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于 黑球上数字之和是“对等”的，各占一半，由此能求出结果 法二：红球与黑球上标记数字情况用表格列举得到共种情况，红球与黑球上数字 之和均不相等，红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字 之和是“对等”的，各占一半，由此能求出结果 【解答】解：方法一：全部数
15、字之和为 1+2+3+4+5+621，为奇数， 因此红球上数字之和与黑球上数字之和不可能相等， 又红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字之和是 “对等” 的， 各占一半，故所求概率为 故选：D 方法二：红球与黑球上标记数字情况用表格列举如下： 第 8 页（共 26 页） 红球 1，2， 3 1，2， 4 1，2， 5 1，2， 6 1，3， 4 1，3， 5 1，3， 6 1，4， 5 1，4， 6 1，5， 6 黑球 黑球 4，5， 6 3，5， 6 3，4， 6 3，4， 5 2，5， 6 2，4， 6 2，4， 5 2，3， 6 2，3， 5 2，3， 4 红球
16、共种情况，红球与黑球上数字之和均不相等， 红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字之和是“对等” 的，各占一半， 故所求概率为 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 6 （5 分）使得（nN*）的展开式中含有常数项的最小的 n 是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 n 和 r 的关系，即可求 得 n 的最小值 【解答】解：（nN*）的展开式的通项公式为 Tr+1， 令 n0，可得 n，故当 r2 时，n 取得最小值为 5， 故选：B 【点评】本题主要考查二项
17、式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质， 属于基础题 7 （5 分）定义在区间（0，）上的函数 y6cosx 与 y5tanx 的图象交点为 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1与 ysinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2的长度为 （ ） A B C D 【分析】 先将求 P1P2的长转化为求 sinx 的值， 再由 x 满足 6cosx5tanx 可求出 sinx 的值， 从而得到答案 第 9 页（共 26 页） 【解答】解：作出对应的图象如图， 则线段 P1P2的长即为 sinx 的值， 且其中的 x 满足 6cosx5tanx，即 6cosx，
18、 即 6cos2x5sinx， 即 66sin2x5sinx， 即 6sin2x+5sinx60， 解得 sinx即线段 P1P2的长为 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键 8（5 分） 某多面体的三视图如图所示， 网格小正方形的边长为 1， 则该多面体的体积为 （ ） A10 B6 C D 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体体积即可 【解答】解：多面体的直观图如图 2 所示，其体积等于三棱柱 ADEA1D1E1和四棱锥 C DD1E1E 的体积之和，四棱锥 C DD1E1E 的 高 即 C 到 平 面 DD1E1E 的 距 离
19、 d ， 等 于 C 到 DE 的 距 离 ， ，得，所以 f（x1）f（x2） ，所以 第 10 页（共 26 页） 该几何体的体积为， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何 体的形状，是中档题 9 （5 分）如图是函数的部分图象，则 （ ） A2 B C2 D 【分析】利用图象可得函数的 A， 从而确定函数的解析式得到答案 【解答】解：由函数的部分图象，可得振 幅 A2， （），即 T，所以 2， 所以 f（x）2sin（2x+） ，又因为函数过点（，2） ， 将此点坐标代入函数解析式可得 22sin（2+） ， 解得 2+2k，kZ， +
20、2k，kZ，根据 的范围可得 ， 所以函数的解析式为：， 第 11 页（共 26 页） 所以， 故选：B 【点评】本题考察利用三角函数的部分图象确定函数的解析式，考察诱导公式，属于中 档题 10 （5 分）已知 A（a，0） ，C（0，c） ，|AC|2，|BC|1，0，O 为坐标原点，则 |OB|的取值范围是（ ） A （0， B （0， C， D，+） 【分析】根据题意，运用几何意义求解即可 【解答】解：将 A，C 视为定点，OAOC，O 视为以 AC 为直径的圆 M 上的动点，如图， 由图易知，当 O 位于 O1时，|OB|最小，为；当 O 位于 O2时，|OB|最大，为； 故选：C 【
21、点评】本题考查平面向量的综合运用，旨在考查数形结合思想的运用，属于中档题 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（1）2，对任意的实数 x1，x2且 x1x2， f（x1）f（x2）x1x2，则不等式 f（x1）x 的解集为（ ） A （，2） B （2，+） C （，1）（1，+） D （，2）（2，+） 【分析】根据题意，设 F（x）f（x）x1，由单调性的定义分析可得 F（x）为增函 数，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，设 F（x）f（x）x1，则 F（x1）f（x1）x，F（1） f（1）110， 对任意的 x1，x2且 x1x2，f（x1）f（x2）x1x
22、2，得 f（x1）x11f（x2）x2 1，即 F（x1）F（x2） ，所以 F（x）在 R 上是增函数， 不等式 f（x1）x，变形可得：f（x1）（x1）10， 即为 F（x1）F（1） ，则有 x11，解可得 x2， 第 12 页（共 26 页） 即不等式的解集为（2，+） ； 故选：B 【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，注意构造新函数 F（x） ，属于基础题 12 （5 分）在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由二个半圆弧围成曲边三角形，作两个 内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是 同样大小的，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，他称此
23、为“皮匠刀定理” 如图， 若 AC2CB，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ） A B C D 【分析】建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，再由阿基米德“皮匠刀定理” 即可求出结果 【解答】解：设 BC2r，则 AC4r，AB6r，建立如图 3 所示的坐标系，C（0，0） ， O1（2r，0） ，k1k21，O2（r，0） ，设 O3（a，t） ，O4（b，v） ，则（2r+a）2（2r a）2t2，得，所以，由圆 O 与圆 O3内切，得 ， 解得 同理 （r+b） 2 （rb）2v2， 得 ， 由圆 O 与圆 O4内切，得，解得，于是阿基米德“皮 匠刀定理”得 证 ，所以 ， 第 13
24、 页（共 26 页） 故选：B 【点评】本题主要考查了扇形面积公式，是基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知狄利克雷函数 D（x）则 D（D（x） ） 1 【分析】根据题意，分析可得 D（x）0 或 1，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，D（x），则 D（x）0 或 1， 则 D（D（x） ）1； 故答案为：1 【点评】本题考查分段函数的求值，涉及实数的分类，属于基础题 14 （5 分）设 l，m 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 l，m给出下 列三个论断； lm； l；以其中一个论断
25、作为条件，余下两个论断作为结论，写出 一个真命题： （用论断序号和推出符号“”作答） 【分析】由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理推导出 【解答】解：l，m 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 l，m lm； l； 由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理得： 故答案为： 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 15 （5 分）双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，若以线段 F1F2为直径的圆与 S 的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则 S 的离心率为 2 【分析】利用已知条件求出渐近线的斜率，然后求解双曲线
26、的离心率即可 【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2， 若以线段 F1F2为直径的圆与 S 的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，可得 第 14 页（共 26 页） ，得，所以 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识 的考查 16 （5 分）已知数列an满足，则 a1+a2020的最大值为 1+ 【分析】由题意， ， 于 是 ， 得 （an+2an）（an+2+an1） 0， 因为， 分两种情况 a，a，分析 a1+a2020 【解答】解：由题意， ， 于是， 得（an+2an） （an+2+an1）0， 因为， 当时，an+11，
27、 此时； 当时，an+an+21， an+2+an10， 此时 anan+2， 数列an是周期数列，周期为 2 a1+a2020a1+a2， 于是，由有 设 a1+a2t，根据， 第 15 页（共 26 页） 得，2t24t+10， 得， 当且仅当时，取等号， 所以 a1+a2的最大值为 综上，a1+a2的最大值为 故答案为：1+ 【点评】本题考查数列的递推关系，基本不等式，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知三角形 ABC 的面积为，D 在边 BC 上，内角 A， B，C
28、 的对边分别为 a，b，c当 AD 最大时，求 a，b，c 【分析】设 ADd，利用三角形的面积公式，基本不等式可求得， 当且仅当，即 c2 时，d 取得最大值 1，可求此时 b 的值，根据余弦定理可求 a 的 值 【解答】解：如图，设 ADd， ， 得， ， 联立，得，当且仅当，即 c2 时，d 取得最大值 1， 此时， 在ABC 中，由余弦定理，得， 所以 第 16 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式，余弦定理在解三角形中的综 合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分） 2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中华人民共和国成
29、立 70 周年活动新闻中心 举办新闻发布会指出，1952 年2018 年，我国 GDP 从 679.1 亿元跃升至 90.03 万亿元， 实际增长 174 倍；人均 GDP 从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍全国各族人民， 砥砺奋进， 顽强拼搏， 实现了经济社会的跨越式发展 如图是全国 2010 年至 2018 年 GDP 总量 y（万亿元）的折线图 注：年份代码 19 分别对应年份 20102018 （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与年份代码的关系，请用相关系数加以 说明； （2）建立 y 关于的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2019 年全国
30、GDP 的总量 附注： 参考数据：yi582.01， 64.67，tiyi3254.8 345.90 参考公式：相关系数：r 回 归 方 程t中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ， 【分析】 （1）由折线图中的数据求得 ，结合已知数据及相关系数公式求得 r 的近似值， 第 17 页（共 26 页） 即可说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系； （2）求出 与 的值，得到线性回归方程，将 2019 年对应的代码 t10 代入回归方程求 得 y 值即可 【解答】解： （1）由折线图中的数据和附注中参考数据得： ，
31、， r， y 与 t 的相关系数近似为 0.997，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系； （2）由已知及（1）得， ， y 关于 t 的回归方程为 将 2019 年对应的代码 t10 代入回归方程得 预测 2019 年全国 GDP 总量约为 93.42 万亿元 【点评】本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题 19 （12 分）如图，楔形几何体 EFABCD 由一个三棱柱截去部分后所得，底面 ADE侧 面 ABCD，AED90，楔面 BCF 是边长为 2 的正三角形，点 F 柱侧面 ABCD 的射影 是矩形 ABCD 的
32、中心 O，点 M 在 CD 上，且 CMDM （1）证明：BF平面 AMF； （2）求楔面 BCF 与侧面 ABCD 所成二面角的余弦值 第 18 页（共 26 页） 【分析】 （1）连接 MO 交 AB 于 N，连接 FN，MB证明平面 FMN平面 ABCD，结合 平面 ADE平面 ABCD，推出平面 ADE平面 FMN证明 BFAF，BFMF即可证 明 BF平面 AMF （2）法一：以 O 为坐标原点，ON，OF 所在直线分别为 x 轴、z 轴，建立如图 6 所示的 空间直角坐标系， 求出平面 BCF 的一个法向量，平面 ABCD 的一个法向量，利用空间向量的数量积，求解 平面 BCF 与
33、侧面 ABCD 所成二面角的余弦值即可 法二：几何法：取 BC 的中点 G，连接 OG，GFOGF 即为平面 BCF 与侧面 ABCD 所 成二面角的平面角通过求解三角形求解即可 【解答】（1） 证明： 如图5， 连接MO交AB于N， 连接FN， MB 则 N 是 AB 的中点，ADNMBC2 因为 FO平面 ABCD，所以平面 FMN平面 ABCD， 图 5 又平面 ADE平面 ABCD， 所以平面 ADE平面 FMN 根据题意，四边形 ABFE 和 DCFE 是全等的直角梯形， 三角形 ADE 和 NMF 是全等的等腰直角三角形， 所以，OF1 在直角三角形 BFN 中， 所以，AF2，
34、于是 AF2+BF2AB2，MF2+BF2MB2， 所以 BFAF，BFMF 因为 AF，MF平面 AMF，AFMFF， 第 19 页（共 26 页） 所以 BF平面 AMF （2）解：法一：以 O 为坐标原点，ON，OF 所在直线分别为 x 轴、z 轴，建立如图 6 所 示的空间直角坐标系， 图 6 则，F（0，0，1） ， 设平面 BCF 的一个法向量为， 则取， 平面 ABCD 的一个法向量为， 所以， 所以楔面 BCF 与侧面 ABCD 所成二面角的余弦值为 法二：几何法：如图 7，取 BC 的中点 G，连接 OG，GF OGF 即为平面 BCF 与侧面 ABCD 所成二面角的平面角
35、图 7 在直角三角形 OGF 中， 所以， 所以楔面 BCF 与侧面 ABCD 所成二面角的余弦值为 【点评】本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判断定理以及性质定理的 第 20 页（共 26 页） 应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 20 （12 分）已知函数，f（x）为 f（x）的导数 （1）证明：f（x）在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在 x1x2，使 f（x1）f（x2） ，证明：x1x24 【分析】 （1）求出，判断函数的单调性，说明在定义域（0，+） 存在唯一 x0，使 f（x0）0 且 x0（1，2） ；当 0xx0时，f（x）0；当 xx0时，f
36、（x）0，推出结果 （2） 存在 x1x2， 使 f （x1） f （x2） ， 即， 得设 g（x）xsinx，利用代换是判断函 数 的 单 调 性 推 出， 结 合 对 数 均 值 不 等 式 ，推出 x1x24 【解答】证明： （1）， 当 x2 时， ， “”不能同时取到，所以 f（x）0； 当 0x2 时，所以 f（x）在（0，2）上递减， 因为， 所以在定义域（0，+）存在唯一 x0，使 f（x0）0 且 x0（1，2） ； 当 0xx0时，f（x）0；当 xx0时，f（x）0， 所以 x0是 f（x）在定义域（0，+）上的唯一极值点且是极大值点 （2） 存在 x1x2， 使 f
37、（x1） f （x2） ， 即， 得 设 g（x）xsinx，则 g（x）1cosx0，g（x）在（0，+）上递增， 不妨设 x1x20，则 g（x1）g（x2） ，即 x1sinx1x2sinx2，x1x2sinx1sinx2， 第 21 页（共 26 页） 所 以， 得 ， 根据对数均值不等式，可得，x1x24 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化 思想以及计算能力，是难题 21 （12 分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为 （1）求 C 的标准方程； （2）若动点 M 为 C 外一点，且 M 到 C 的两条切线相互垂直，求 M 的轨迹 D 的方程；
38、（3）设 C 的另一个焦点为 F2，过 C 上一点 P 的切线与（2）所求轨迹 D 交于点 A，B， 求证：|PA|PB|PF1|PF2| 【分析】 （1）由离心率及焦点坐标和 a，b，c 的关系求出椭圆的标准方程； （2）设过 M 与椭圆相切的直线，联立椭圆的方程，用判别式等于零整理成关系 k 的方 程，由题意得两根之积为1，得到关于 M 的坐标之间的关系，即 M 的轨迹方程； （3）由圆的相交弦定理得结论 【解答】 （1）解：设 a2b2c2（c0） ， 由题设，得，所以 a4，b29， 所以 C 的标准方程为； （2）解：如图，设 M（m，n） ，切点分别为 P1，P2， 当 m4 时，
39、设切线方程为 ynk（xm） ， 联立方程，得 消去 y，得（16k2+9）x2+32k（nkm）x+16（nkm）21440， 关于 x 的方程的判别式， 第 22 页（共 26 页） 化简，得（16m2）k2+2mnk+9n20， 关于 k 的方程的判别式， 因为 M 在椭圆外， 所以，即 9m2+16n21440，所以20 关于 k 的方程有两个实根 k1，k2分别是切线 MP1，MP2的斜率， 因为 MP1MP2，所以 k1k21，即，化简为 m2+n225， 当 m4 时，可得 n3，满足 m2+n225， 所以 M 的轨迹方程为 x2+y225； （3）证明：如图，设 P（x0，y
40、0） ，先求|PA|PB| 方法一：由相交弦定理，得 方法二：切线 AB 的参数方程为（t 为参数） ， 图 9， 代入圆 x2+y225，整理得， 因为点 P（x0，y0）在圆 x2+y225 内， 所以上述方程必有两个不等实根 t1，t2，且， 所以， 当 y00 时，x04，仍有 再求|PF1| |PF2|. 第 23 页（共 26 页） ， 因为点 P（x0，y0）在椭圆 C 上，所以，即， 所以， 所以|PA|PB|PF1|PF2| 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把
41、所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多如果多 做，则按所做的第一題计分做，则按所做的第一題计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面宜角坐标系 xOy 中， A， B 是曲线段（t 是参数，） 的左、右端点，P 是 C 上异于 A，B 的动点，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q （1）建立适当的极坐标系，写岀点 Q 轨迹的极坐标方程； （2）求|PA|PQ|的最大值 【分析】
42、（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求 出结果 （2）利用相交弦定理的应用求出结果 第 24 页（共 26 页） 【解答】解： （1）如图 10， 曲线段 C 即为抛物线上一段， 端点， 在 A 处的切线斜率为，与 y 轴的交点坐标为 因为 QAQB，所以 Q 的轨迹是以线段 AB 为直径的圆弧（不含端点） ， 以线段 AB 的中点为极点，射线 MB 为极轴，建立极坐标系， 则 Q 点轨迹的极坐标方程为 （2）设直线 PM 与以为圆心，为半径的圆交于两点 E，F， 则， 由相交弦定理， 得， ， 当 t0，即 P（0，0）时，|PA|PQ|最大，最大值为 【点评
43、】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，相交弦的定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于 基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）（x2）|xa|（aR） ，若关于 x 的不等式 f（x）6 的解集为（4，5） （8，+） （1）求 a； （2）关于 x 的方程 f（x）b 的方程有三个相异实根 x1，x2，x3，求 x1+x2+x3的取值范 围 【分析】 （1）分类讨论，再验证是否满足题意即可； 第 25 页（共 26 页） （2）运用数形结合思想，容易得解 【解答】解： （1）当 a2 时， 当 a2
44、 时， 当 a2 时， 若关于 x 的不等式 f（x）6 的解集为（4，5）（8，+） ， 观察上述三种情况的图象如图， 可知 a2，且 4，5 是 xa 时，（x2） （xa）6 的两根，得 a7， 检验：当 a7 时，不等式 f（x）6，即或 即得 4x5 或 x8，符合题意； （2）不妨设 x1x2x3，据（1）得图象如图， y（x2） （x7） （x7）的顶点为， 所以， x1， x2关于抛物线 y （x2） （x7） 的对称轴对称， 所以 x1+x2 9， 第 26 页（共 26 页） 图 12 由，得， 所以， 所以， 即 x1+x2+x3的取值范围为 【点评】本题考查不等式的解法，旨在考查学生的分类讨论思想及数形结合思想，属于 中档题
