1、如图的程序框图的算法思路源于我国数学名著 九章算术 中的 “中国剩余定理” 若 正整数 N 除以正整数 m 后得余数 r，则记为 Nr（modm） ，如：82（mod3） ，则执行 该程序框图翰输出的 n 等于（ ） A5 B6 C7 D8 5 （5 分）根据如下样本数据得到的回归直线方程，则（ ） x 2 3 4 5 6 第 2 页（共 25 页） y 4.0 2.5 0.5 0.5 2 A 0，0.94 B 0，40.9 C 0，0.94 D 0，40.9 6 （5 分）在ABC 中，D 在边 AC 上满足，E 为 BD 的中点，则（ ） A B C D 7 （5 分）已知实数 x，y 满
2、足约束条件，则 z2 2x+y 的最大值是（ ） A2 B1 C D1 8 （5 分）的展开式中，含 x2的项的系数是（ ） A40 B25 C25 D55 9 （5 分）函数 yln|x|在4，4的图象大致是（ ） A B C D 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过 点 F 倾斜角为的直线 l与抛物线交于不同的两点 A，B（其中点 A 在第一象限） ，过点 A 作 AMl，垂足为 M 且|MF|2，则抛物线的方程是（ ） Ay2x By23x Cy2x Dy22x 11 （5 分）已知 alog0.36，blog26， （ ）
3、 Ab2aabb+2a Bb2ab+2aab Cb+2ab2aab Dabb2ab+2a 第 3 页（共 25 页） 12（5 分） 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90且 BB14 设其外接球的球心为 O 已 知三棱锥 OABC 的体积为 2，则球 O 的表面积的最小值是（ ） A B28 Cl6 D32 二、填空题（共二、填空题（共 20 分）分） 13 （5 分）已知 f（x），则 f（1）的值为 14 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 3S42S3+S5，a24，则 a6 15 （5 分）函数 f（x）2sinxcos2x，x，0的单调递增区间为 16 （5
4、 分）设三次函数（a，b，c 为实数且 a0）的导数为 f （x） ，g（x）f（x） ，若对任意 xR，不等式 f（x）g（x）恒成立，则的 最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，cosABD，cosCBD （1）求ABC； （2）若ABC 的外接圆的面积 3，且，求ABC 的周长 18 （12 分）某冰糖橙，甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称该橙按照等级可分 为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱有 5kg）某采购商打算采购一批橙子销往省外， 并
5、从采购的这批橙子中随机抽取 100 箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如表 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 （1）若将频率视为概率，从这 100 箱橙子中有放回地随机抽取 4 箱，求恰好抽到 2 箱是 一级品的概率； （2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为 27 元/kg； 第 4 页（共 25 页） 方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下等级珍品特级优级售价（元/kg） 等级 珍品 特级 优级 ：级 售价（元/kg） 36 30 24 18 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3） 用分层抽样的方法从
6、这 100 箱橙子中抽取 10 箱， 再从抽取的 10 箱中随机抽取 3 箱， X 表示抽取的是珍品等级，求 X 的分布列及数学期望 E（X） 19 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，N 为 CD 的中点，M 是 AC 上一点 （1）若 M 为 AC 的中点，求证：AD平面 BMN； （2）若 AM2MC，平面 ABD平面 BCD，ABBC，ABADBCBD，求直线 AC 与平面 BMN 所成的角的余弦值 20 （12 分）已知椭圆的离心率，短轴长为轴 4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 过点（2，0）且与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，直线 x6 与 x 轴交于
7、 点 D，E 是直线 x6 上异于 D 的任意一点，当时，直线 BE 是否恒过 x 轴上的 定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由 21 （12 分）函数 （1）当时，求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）定义在 R 上的函数 g（x）满足 g（x）+g（x）2x2，当 x0 时，g（x）2x， 若存在 x0满足不等式 g（x）+1g（1x）+2x 且 x0是函数 yf（x）2x 的一个零点， 求实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清一题计分，作答
8、时请写清 楚题号楚题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 25 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，曲线 C1：（ 为参数） ，将曲线 C1上 的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线 C2以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程 （1）求曲线 C2的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； （2） 设直线 l 与曲线 C1交于不同的两点 A， B， 点 M 为抛物线的焦点， 求|MA| |MB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 f（x）|x+2|+|x2|f（x）6
9、 的解集为 M （1）求 M； （2）证明：若 a，bM 时，3|a+b|9+ab| 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年云南师大附中高三 （上） 第二次月考数学试卷 （理学年云南师大附中高三 （上） 第二次月考数学试卷 （理 科） （科） （9 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|ylg（x+3），则 AB（ ） Ax|3x1 Bx|x3 Cx|3x1 或 x3 Dx|1x3 【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x22x30x|x
10、3 或 x1， Bx|ylg（x+3）x|x3， ABx|3x1 或 x3 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）设 z，则 z 的虚部是（ ） A1 Bi C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z， z 的虚部是 1 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该 双曲线的离心率是（ ） A B C或 D或 【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为 2x2y2m（m0）
11、，再讨论 m0，m0， 运用离心率公式计算即可得到 【解答】解：由于一条渐近线方程为， 第 7 页（共 25 页） 可设双曲线的方程为 2x2y2m（m0） ， 当 m0 时，双曲线方程即为， 离心率 e； 当 m0 时，双曲线方程即为， 离心率 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，离心率的求 法，考查分类讨论的思想方法，属于基础题和易错题 4（5 分） 如图的程序框图的算法思路源于我国数学名著 九章算术 中的 “中国剩余定理” 若 正整数 N 除以正整数 m 后得余数 r，则记为 Nr（modm） ，如：82（mod3） ，则执行 该程序框图翰输出
12、的 n 等于（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】根据程序框图，模拟执行循环，得出对应 n、M 的值， 从而求得满足第一个条件和第二个条件时 n 的值 【解答】解：由题意，根据程序框图知， 第 8 页（共 25 页） 第一次执行循环得 n3，M15， 此时 150（mod5） ，不满足第一个条件，M1526 不满足第二个条件； 第二次执行循环体得 n5，M20， 此时 200（mod5） ，不满足第一个条件，M2026 不满足第二个条件； 第三次执行循环体得 n7，M27， 此时 272（mod5） ，且 M2726，既满足第一个条件，又满足第二个条件，退出循环； 则执行该程序框图后输出的
13、n7 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题 5 （5 分）根据如下样本数据得到的回归直线方程，则（ ） x 2 3 4 5 6 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2 A 0，0.94 B 0，40.9 C 0，0.94 D 0，40.9 【分析】由表格中的数据判断 0，结合 x2 时，y0，可知当 x0 时， 0；再求 出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得，则答案可求 【解答】 解： 由表格中的数据可知， y 随 x 的增大而趋于减小， 可知回归直线方程 的斜率 0， 则当 x0 时， 0； ， 样本点的中心的坐标为（4，0.9） ， 线性回归方程恒过样本点的中心，
14、 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 第 9 页（共 25 页） 6 （5 分）在ABC 中，D 在边 AC 上满足，E 为 BD 的中点，则（ ） A B C D 【分析】根据题意表示出，再由，可得，则 【解答】解：因为点 E 为 BD 的中点，所以， 又因为，所以， 则， 故选：B 【点评】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题 7 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2 2x+y 的最大值是（ ） A2 B1 C D1 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解
15、的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：实数 x，y 满足约束条件的可行域如图所示： 联立，解得 A（1，1） 化目标函数 t2x+y 为 y2x+t， 由图可知，当直线 y2x+t 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，t 有最大值1 则 z2 2x+y 的最大值为， 故选：C 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 8 （5 分）的展开式中，含 x2的项的系数是（ ） A40 B25 C25 D55 【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项和含 x2项，再求 结果即可 【解答】解：二项式的展开式中，通项公式为
16、Tr+1x6 r （1）rx6 2r， 令 62r0，解得 r3，此时为 （1）320； 令 62r2，解得 r2，此时 （1）2x215x2； 所以展开式中含 x2的项的系数是 115+2（20）25 故选：B 【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题 9 （5 分）函数 yln|x|在4，4的图象大致是（ ） A B 第 11 页（共 25 页） C D 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合特殊值的对应性进行排除即可 【解答】解：函数的定义域为x|x0， f（x）ln|xln|x|，则函数 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴 对称， 排除 C，D， 当 x时，f
17、（）lnln0，排除 B， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及特殊值法 进行排除是解决本题的关键 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过 点 F 倾斜角为的直线 l与抛物线交于不同的两点 A，B（其中点 A 在第一象限） ，过点 A 作 AMl，垂足为 M 且|MF|2，则抛物线的方程是（ ） Ay2x By23x Cy2x Dy22x 【分析】求得抛物线的焦点 F 和准线 l 的方程，设直线 l 与 x 轴交于点 N，连接 MF，运 用抛物线的定义和等边三角形的性质，以及直角三角形的锐角
18、三角函数的定义，可得 p， 进而得到抛物线的方程 【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（，0） ，准线为 l：x， 设直线 l 与 x 轴交于点 N，连接 MF，因为直线 l的倾斜角为，即MAF， 又|AF|AM|，所以AMF 为等边三角形，即AFM，则MFN， 在直角三角形 MNF 中，|MF|2，所以|NF|，即 p， 则抛物线的方程为 y22x， 故选：D 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查等边三角形的性质，考查转化思想 和运算能力，属于中档题 11 （5 分）已知 alog0.36，blog26， （ ） Ab2aabb+2a B
19、b2ab+2aab Cb+2ab2aab Dabb2ab+2a 【分析】容易判断出 a0，b0，从而得出 ab0，并可得出，从而 得出 b+2aab，并容易得出 b2ab+2a，从而得出 b2ab+2aab 【解答】解：alog0.360，blog260， ab0， ， ， b+2aab，又（b2a）（b+2a）4a0 b2ab+2aab 故选：B 【点评】考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等 式的性质 12（5 分） 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90且 BB14 设其外接球的球心为 O 已 知三棱锥 OABC 的体积为 2，则球 O 的表面积的最
20、小值是（ ） A B28 Cl6 D32 【分析】首先求出球心的位置，进一步利用球的半径和球心的位置的应用和基本不等式 第 13 页（共 25 页） 的应用求出结果 【解答】解：在 RtABC 中，设 ABc，ACb，则：， 取 BC，B1C1的中点分别为 O2和 O1，则 O2和 O1分别为 RtABC 和 RtA1B1C1的外接 圆的圆心， 连接 O2O1，又直三棱柱 ABCA1B1C1中的外接球的球心为 O， 则 O 为 O2O1的中点，连接 OB，则 OB 为三棱柱外接球的半径， 设半径为 R， 因为直三棱柱 ABCA1B1C1中，所以 BB1O2O14 所以三棱锥 OABC 的高为
21、2， 即 O2O12，由于三棱锥 OABC 的体积为 2， 所以，解得 bc6 在 RtOO2B 中，+4， 所以（b2+c2）+162bc+1612+1628 当且仅当 bc 时，等号成立， 最小面积为 28 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：球的体积和表面积公式的应用，球心的确定的应用，三 棱柱和球的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 二、填空题（共二、填空题（共 20 分）分） 13 （5 分）已知 f（x），则 f（1）的值为 4 【分析】由 12，得 f（1）f（1+1）f（2） ，由此能求出结果 第 14 页（共 25 页） 【解答】解：f（x）， 1
22、2， f（1）f（1+1）f（2）224 故答案为：4 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 14 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 3S42S3+S5，a24，则 a6 64 【分析】由已知可得，2S42S3S5s4，从而可求公比 q，然后结合等比数列的通项公 式即可求解 【解答】解：等比数列an中，3S42S3+S5， 2S42S3S5s4， 2a4a5， q2， a24， a12， 则 a622564， 故答案为：64 【点评】本题主要考查了等比是数列的通项公式的简单应用，属于基础试题 15 （5 分）函数 f（x）2sin
23、xcos2x，x，0的单调递增区间为 （，） 和（ 【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可 【解答】解：函数的导数 f（x）2cosx+2sin2x2cosx（1+2sinx） ， 由 f（x）0 得或， 得或，得x0 或x， 第 15 页（共 25 页） 故函数 f（x）的单调递增区间为（，）和（， 故答案为： （，）和（ 【点评】本题主要考查函数单调区间的的求解，结合函数单调性和导数之间的关系，利 用导数是解决本题的关键 16 （5 分）设三次函数（a，b，c 为实数且 a0）的导数为 f （x） ，g（x）f（x） ，若对任意 xR，不等式 f（x）g（x）恒成
24、立，则的 最大值为 2 【分析】由对 f（x）求导得到 g（x）的解析式，再利用不等式 f（x）g（x）恒成立， 得到 a，b，c 的关系，最后利用变量集中求得最值即可 【解答】解：， f（x）ax2+bx+c， f（x）2ax+b，即 g（x）2ax+b， 因为对任意 xR，不等式 f（x）g（x）恒成立， 所以 ax2+bx+c2ax+b 恒成立， 即 ax2+（b2a）x+cb0 恒成立， 所以（b2a）24a（cb）0 且 a0， 即 b24ac4a2， 所以 4ac4a20， 所以 ca0， 所以， 令，则 t1， 当 t1 时，ac，b0； 当 t1 时， 第 16 页（共 25
25、页） ，当且仅当时， 取得最大值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，cosABD，cosCBD （1）求ABC； （2）若ABC 的外接圆的面积 3，且，求ABC 的周长 【分析】 （1）根据三角恒等变换求出 cosABC 与ABC 的值； （2）求出ABC 外接圆的半径 R，再利用正弦定理求边长 AC 的值，利用平面向量的数 量积和余弦定理求出 AB+BC 的值即可 【解答】解： （1）
26、平面四边形 ABCD 中，cosABD，ABD（0，） ， 所以 sinABD； 又 cosCBD，同理 sinCBD； 所以 cosABCcos（ABDCBD） cosABDcosCBD+sinABDsinCBD + ， 又ABC（0，） ， 所以ABC； （2）设ABC 外接圆的半径为 R，则外接圆的面积为 R23，解得 R； 第 17 页（共 25 页） 所以2R，AC2RsinB2sin3； 又，即 BCBAcosB，解得 BCBA9； 又 AC2AB2+BC22ABBCcosB（AB+BC）23ABBC9， 所以 AB+BC6， 所以ABC 的周长为 9 【点评】本题考查了三角恒等变
27、换与和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题 18 （12 分）某冰糖橙，甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称该橙按照等级可分 为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱有 5kg）某采购商打算采购一批橙子销往省外， 并从采购的这批橙子中随机抽取 100 箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如表 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 （1）若将频率视为概率，从这 100 箱橙子中有放回地随机抽取 4 箱，求恰好抽到 2 箱是 一级品的概率； （2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为 27 元/kg； 方案二：分等级卖出，分等级
28、的橙子价格如下等级珍品特级优级售价（元/kg） 等级 珍品 特级 优级 ：级 售价（元/kg） 36 30 24 18 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3） 用分层抽样的方法从这 100 箱橙子中抽取 10 箱， 再从抽取的 10 箱中随机抽取 3 箱， X 表示抽取的是珍品等级，求 X 的分布列及数学期望 E（X） 【分析】 （1）设“从这 100 箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件 A，可 得 P（A）现有放回地随机抽取 4 箱，设抽到一级品的个数为 ，可得 B （4，）即可恰好抽到 2 箱是一级品的概率 P（2） （2）设方案二的单价为：，可得 E（） ，经过比较即
29、可得出结论 （3）用分层抽样的方法从这 100 箱橙子中抽取 10 箱，其中珍品 4 箱，非珍品 6 箱，则 现从中抽取 3 箱，则珍品等级数量 X 服从超几何分布则 X 的所有可能取值为 0，1，2， 第 18 页（共 25 页） 3P（Xk），即可得出分布列与数学期望 【解答】解： （1）设“从这 100 箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件 A， 则 P（A） 现有放回地随机抽取 4 箱，设抽到一级品的个数为 ，则 B（4，） 恰好抽到 2 箱是一级品的概率 P（2） （2）设方案二的单价为：，则 E（）36+30+24+1829.4 E（）29.427， 从采购商的角度考虑，
30、应该采用方案二 （3）用分层抽样的方法从这 100 箱橙子中抽取 10 箱，其中珍品 4 箱，非珍品 6 箱，则 现 从中抽取 3 箱， 则珍品等级数量 X 服从超几何分布 则 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3 P （Xk）， 可得 P（X0），P（X1），P（X2），P（X3） 可得 X 0 1 2 3 P（X） E（X）0+1+2+3 【点评】本题考查了超几何分布分布列与数学期望、相互独立与对立事件的概率计算公 式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，N 为 CD 的中点，M 是 AC 上一点 （1）若 M 为 AC 的中点，求证
31、：AD平面 BMN； （2）若 AM2MC，平面 ABD平面 BCD，ABBC，ABADBCBD，求直线 AC 与平面 BMN 所成的角的余弦值 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）连结 MN，推导出 MNAD，由此能证明 AD平面 BMN （2）取 BD 的中点 O，连结 AO，推导出 AOBD，ABBC，从而 BC平面 ABO，BC BO，连结 ON，则 ONBC，ONBO，以 O 为原点，ON 为 x 轴，OD 为 y 轴，OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AC 与平面 BMN 所成的角的余弦值 【解答】解： （1）证明：如图，在ACD 中，M，N 分
32、别为 AC，CD 的中点，连结 MN， MNAD，又 AD平面 BMN，MN平面 BMN， AD平面 BMN （2）解：取 BD 的中点 O，连结 AO，ABAD，AOBD， ABBC，AOABA， BC平面 ABO，BO平面 ABO，BCBO， 连结 ON，ONBC，ONBO， 以 O 为原点，ON 为 x 轴，OD 为 y 轴，OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ABADBCBD2，则 AO， AM2MC， A（0，0，） ，B（0，1，0） ，C（2，1，0） ，N（1，0，0） ， （2，1，） ，（） ， M（，） ，则（，） ，（1，1，0） ， 设平面 BMN 的一个法向
33、量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，） ， 设直线 AC 与平面 BMN 所成角为 ， 则 sin|cos|， 第 20 页（共 25 页） 0，cos 直线 AC 与平面 BMN 所成的角的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆的离心率，短轴长为轴 4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 过点（2，0）且与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，直线 x6 与 x 轴交于 点 D，E 是直线 x6 上异于 D 的任意一点，当时，直线
34、 BE 是否恒过 x 轴上的 定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由 【分析】 （1）由条件可得 b2，再结合 a、b、c 关系以及离心率可求得 a； （2）由条件判断出 AEDE，分表考虑 l 斜率存在与不存在时的情况，先考虑不存在时 过定点（4，0） ，再证明斜率存在时过定点（4，0） 【解答】解： （1）由题意得，解得 a2，b2，所以椭圆的方程为 ； （2）因为，所以 AEDE，又因为直线 l 过点（2，0） ， 当直线 l 的斜率不存在时， 则直线 l 的方程为 x2， 此时 A （2，） ， B （2， ） ， 则 E（6，） 所以直线 BE 方程为：y，所以直线 BE 过定
35、点（4，0） ； 当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设 l：xmy+2（m0） ， 第 21 页（共 25 页） A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，所以 E（6，y1） ，则直线 BE：yy1，令 y0， 得 x6， 即 x6+4，即证 2（y1+y2）my1y20， 联立，整理得（m2+3）y2+4my80， 因为 （2， 0） 在 C 内， 所以直线 l 与 C 恒有两个交点， 且有 y1+y2， y1y2， 代入得 2（y1+y2）my1y2，所以直线 BE 过定点（4，0） ， 综上，直线 BE 过 x 轴上定点（4，0） 【点评】本题是直线与椭圆方程的综合，由斜率不存在时过
36、定点去证明斜率存在时过该 点是关键，属于中档题 21 （12 分）函数 （1）当时，求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）定义在 R 上的函数 g（x）满足 g（x）+g（x）2x2，当 x0 时，g（x）2x， 若存在 x0满足不等式 g（x）+1g（1x）+2x 且 x0是函数 yf（x）2x 的一个零点， 求实数 a 的取值范围 第 22 页（共 25 页） 【分析】 （1）当 a时，求出 f（x）解析式，在求出导函数 f（x） ，利用切点处的导函 数值即为切线斜率，从而求出切线方程 （2）构造函数 h（x）g（x）x2，易得 h（x）为奇函数，再结合题目条件得到
37、h（x） 在 R 上单调递减，把 x0满足的不等式转化为 h（x）满足的不等式，利用 h（x）的单调 性求出 x0的范围再构造函数 （x）f（x）2x，分析 （x）的零点情况，从而列出不 等式求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a时，因为 f（x）2ex+2（1）x1， 所以 f（x）2ex+2（1） ， 所以 f（0）2+2（1）42，又 f（0）1， 故函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y1（42） （x0） ， 即： （42）xy+10； （2）令 h（x）g（x）x2，因为函数 g（x）满足 g（x）+g（x）2x2， 所以 h（x）+h（x）g（x）x
38、2+g（x）（x）2g（x）+g（x）2x20， 故 h（x）为奇函数， 当 x0 时，h（x）g（x）2x0， 所以 h（x）在0，+）上单调递减，又因为 h（x）为奇函数， 所以 h（x）在 R 上单调递减， 又 x0满足不等式 g（x）+1g（1x）+2x，即 g（x0）+1g（1x0）+2x0， 所以 h（x0）+x02+1h（1x0）+（1x0）22x0， 化简得：h（x0）h（1x0） ， 所以：x01x0，即 x0， 令 （x）f（x）2x2ex+2（1）x2a2x2ex2x2a （x） ， 因为 x0是函数 yf（x）2x 的一个零点， 所以 （x）在 x时有一个零点， 当 x
39、时，（x）2ex22e20，所以 （x）在（，上单调递 减， 第 23 页（共 25 页） 又 a0，又因为 （）2e2（）2a2e 0， 所以要使 （x） 在 x时有一个零点， 只需 （） 2e2a0， 解得 a， 所以实数 a 的取值范围为，+） 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处切线方程，构造函数利用其单调性 研究函数零点问题，是难题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分
40、）在平面直角坐标系 x0y 中，曲线 C1：（ 为参数） ，将曲线 C1上 的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线 C2以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程 （1）求曲线 C2的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； （2） 设直线 l 与曲线 C1交于不同的两点 A， B， 点 M 为抛物线的焦点， 求|MA| |MB|的值 【分析】 （1）将曲线 C1化为普通方程，然后经过伸缩变换得到曲线 C2的方程，再将 C2 的直角坐标方程转化为极坐标方程，对直线 l 根据其极坐标方程直接转化为直角坐标方 程即可 （2）根据条件得到直线 l
41、的参数方程，然后由直线参数方程的几何意义求出|MA|MB| 的值 【解答】解： （1）将曲线 C1：（ 为参数） ，消参得 x2+y216， 经过伸缩变换，后得曲线 C2：， 化为极坐标方程为， 第 24 页（共 25 页） 将直线 l 的极坐标方程，化为直接坐标方程为； （2）由题意知 M（，0）在直线 l 上，又直线 l 的倾斜角为， 所以直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 将直线 l 的参数方程代入 x2+y216 中，得， 由韦达定理，得， 所以|MA|MB| 【点评】本题考查了曲线的伸缩变换，极坐标与直角坐标的转化，参数方程和普通方程
42、 的转化和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 f（x）|x+2|+|x2|f（x）6 的解集为 M （1）求 M； （2）证明：若 a，bM 时，3|a+b|9+ab| 【分析】 （1）第一问主要考察绝对值不等式的解法：零点分段法； （2）第二问主要考察 比较大小的方法：作差比较法，先比较平方差，再利用可开方性得出结论 【解答】解： （1）由题可得：， 不等式 f（x）6 等价于或或， 解得3x3，故不等式 f（x）6 的解集为 M（3，3） ； （2）由（1）知 M（3，3） ，由于 a，bM， 所以3a3，3b3， 所以 a290，b290， 由于（3|a+b|）2|9+ab|29a2+9b281a2b29（a29）b2（a29）（a29） （b29）0， 第 25 页（共 25 页） 即（3|a+b|）2|9+ab|2， 所以 3|a+b|9+ab| 【点评】第一问用零点分段法需要注意每种情况与各种情况间范围的关系，第二问也可 用分析法进行处理
