1、阿波罗尼斯（约公元前 262190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距 离之比为常数 k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平 面内两定点 A，B 间的距离为 2，动点 P 满足，则 PA2+PB2的最小值为（ ） A B C D 2 （3 分）函数 g（x）的图象如图所示，则方程 g（g（x3） ）0 的实数根个数为（ ） A3 B6 C9 D12 3 （3 分）四边形 ABDC 是菱形，BAC60，AB，沿对角线 BC 翻折后，二面角 A BCD 的余弦值为，则三棱锥 DABC 的外接球的体积为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 2 小题，每
2、小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 6 分）分） 4 （3 分）边长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 为上底面 A1B1C1D1的中心，N 为 下底面 ABCD 内一点，且直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角的正切值为 2，则点 N 的轨 迹围成的封闭图象的面积为 5 （3 分）设 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，M 为 C 上点，MF1F2的内心 I 的纵坐标为，则F1MF2的余弦值为 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 0 分）分） 6某调研机构，对本地22，50岁的人群随机抽取 200 人进行了一次生活习惯是否符合低 碳观念的调查，将生活
3、习惯符合低碳观念的称为“低碳族” 否则称为“非低碳族” ，结 果显示，有 100 人为“低碳族” 该 100 人的年龄情况对应的频率分布直方图如图 第 2 页（共 15 页） （1）根据频率分布直方图，估计这 100 名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在30，34） ，34，38）的两组人群中，用分层抽样的方法抽 取 30 人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？ 7在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 （1）求角 B 的大小； （2）若 D 为 AC 的中点，且 BD1，求 SABC的最大值 8如图甲，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，A
4、BBC，CD2AB2BC4，过 A 点作 AE CD，垂足为 E，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC取 AD 的中点 F，连接 BF， CF，EF，如图乙 （1）求证：BC平面 DEC； （2）求二面角 CBFE 的余弦值 9已知抛物线 E：y22px（p0） ，过其焦点 F 的直线与抛物线相交于 A（x1，y1） ，B（x2， y2）两点，满足 y1y24 （）求抛物线 E 的方程； （）已知点 C 的坐标为（2，0） ，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，求+ 的最小值 第 3 页（共 15 页） 10已知 f（x）ex，g（x）lnx，若点 A 为函数 f（x）上的任意
5、一点，点 B 为函数 g（x） 上的任意一点 （1）求 A，B 两点之间距离的最小值； （2）若 A，B 为函数 f（x）与函数 g（x）公切线的两个切点，求证：这样的点 B 有且仅 有两个，且满足条件的两个点 B 的横坐标互为倒数 选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 11在平面直角坐标系 x0y 中，曲线 C1：（ 为参数） ，将曲线 C1上的所有点 的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线 C2以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程 （1）求曲线 C2的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； （2） 设直线 l 与曲线 C1
6、交于不同的两点 A， B， 点 M 为抛物线的焦点， 求|MA| |MB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 12已知函数 f（x）|xa|+|x1| （1）若不等式 f（x）3 的解集为x|0x3，求实数 a 的值； （2）当 a2 时，若 f（x）4n2n+12 对一切实数 x 恒成立，求实数 n 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科） （一）（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 3 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满
7、分 9 分）分） 1 （3 分）阿波罗尼斯（约公元前 262190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距 离之比为常数 k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平 面内两定点 A，B 间的距离为 2，动点 P 满足，则 PA2+PB2的最小值为（ ） A B C D 【分析】建立直角坐标系，设出 P 的坐标，求出轨迹方程，然后推出 PA2+PB2的表达式， 转化求解最小值即可 【解答】解：以经过 A，B 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴， 建立直角坐标系，则 A（l，0） ，B（1，0） ， 设 P（x，y） ， ， 两边平方并整理得 x2+y26
8、x+10（x3）2+y28， 所以 P 点的執迹是以（3，0）为圆心，为半径的圆， y28（x3）2，3x3+2， 则有2x2+182（x3）212x3624， 则 PA2+PB2的最小值为 3624 故选：A 【点评】本题考查轨迹方程的求法，表达式的最值的求法，考查转化思想以及计算能力 2 （3 分）函数 g（x）的图象如图所示，则方程 g（g（x3） ）0 的实数根个数为（ ） 第 5 页（共 15 页） A3 B6 C9 D12 【分析】利用换元法，结合函数的图象，求解方程的解的个数即可 【解答】解：令 tx3，ug（t） ，则由 g（g（x3） ）0，有 g（u）0， 由图象知有三个根
9、 u1，u2，u3， 分别令 u1g（t） ，u2g（t） ，u3g（t） ， 解出有 9 个 t 符合方程， 在令 tx3解出相应 x 的根的个数为 9 个， 故选：C 【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合以及计算能力 3 （3 分）四边形 ABDC 是菱形，BAC60，AB，沿对角线 BC 翻折后，二面角 A BCD 的余弦值为，则三棱锥 DABC 的外接球的体积为（ ） A B C D 【分析】取 BC 的中点为 M，设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 01，在平面 BCD 内的射 影为 O2，则二面角 ABCD 的平面角为AMD，设AMD2，解得 tan
10、，球 O 的半径，然后求解外接球的体积 【解答】解：如图，取 BC 的中点为 M， 设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 01， 第 6 页（共 15 页） 在平面 BCD 内的射影为 O2， 则二面角 ABCD 的平面角为AMD，AB， 所以 DM，DO21，O2M， 设AMD2，则，解得 tan， ，球 O 的半径， 所求外接球的体积为， 故选：B 【点评】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的外接球的体积的求法，考查空间想 象能力以及计算能力 二、填空题（共二、填空题（共 2 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 6 分）分） 4 （3 分）边长为 1 的正方体 ABCDA1
11、B1C1D1中，点 M 为上底面 A1B1C1D1的中心，N 为 下底面 ABCD 内一点，且直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角的正切值为 2，则点 N 的轨 迹围成的封闭图象的面积为 【分析】画出图形，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O，连接 ON，可得 MNO 即为直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角， 说明 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 0 为圆心，以为半径的圆，然后求解面积即可 【解答】解：如图，由题意知，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O，连接 ON， 则MNO 即为直线 MN 与底面 ABCD 所成线面角， 所以 t
12、anMNO2，则 NO， 所以 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 0 为圆心，以为半径的圆， 则 N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 S 第 7 页（共 15 页） 故答案为： 【点评】本题考查轨迹的判断，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算 能力 5 （3 分）设 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，M 为 C 上点，MF1F2的内心 I 的纵坐标为，则F1MF2的余弦值为 0 【分析】求出内切圆的半径，利用焦点三角形的面积公式转化求解即可 【解答】解：如图，由题意知MF1F2的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半 径， 即， 又 由 焦 点 三 角 形 的 面 积 ， 所 以，
13、 所 以 ， 所以 cosF1MF20 故答案为：0 【点评】本题考查椭圆的简单性质，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结 合思想的应用，考查计算能力，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 0 分）分） 6某调研机构，对本地22，50岁的人群随机抽取 200 人进行了一次生活习惯是否符合低 碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” 否则称为“非低碳族” ，结 第 8 页（共 15 页） 果显示，有 100 人为“低碳族” 该 100 人的年龄情况对应的频率分布直方图如图 （1）根据频率分布直方图，估计这 100 名“低碳族”年龄的平均值，中位数
14、； （2）若在“低碳族”且年龄在30，34） ，34，38）的两组人群中，用分层抽样的方法抽 取 30 人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？ 【分析】 （1）根据频率分布直方图，能估计这 100 名“低碳族”年龄的平均值，中位数 （2）先求出年龄段30，34） ，34，38）的频率，由此能估算每个年龄段应各抽取多少人 【解答】解： （1）100 位“低碳族”的年龄平均值 x 为 x240.04+280.08+320.16+360.44+400.16+440.1+480.0235.9236， 中位数为（0.50.040.080.16）0.11+3436 （2）年龄段30，34） ，34，38）的
15、频率分别为 0.0440.16，0.1140.44， 因为 0.16：0.444：11，所以人数分别为 8 人，22 人 【点评】本题考查平均数、中位数的求法，考查各年龄段应抽取人数的求法，考查频率 分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 （1）求角 B 的大小； （2）若 D 为 AC 的中点，且 BD1，求 SABC的最大值 【分析】 （1）由正弦定理及，得， 由 A（0，） ，可得 sinA0，展开，利用弦化切即可得出 （2）如图，由，又 D 为 AC 的中点，可得，利 用数量积运算性质即可得出 【解答】
16、解： （1）由正弦定理及得， 由 A（0，） ，所以 sinA0， 第 9 页（共 15 页） 则， tanB， 又 B（0，） ， 所以 B （2）如图，由 又 D 为 AC 的中点，则， 所以， 则，当且仅当 ac 时取等号， 所以ABC 的面积最大值为 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、数量积运算性质、三角形面积计算公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 8如图甲，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，CD2AB2BC4，过 A 点作 AE CD，垂足为 E，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC取 AD 的中点 F，连接 BF， CF，EF，如图乙 （1）求证：BC
17、平面 DEC； （2）求二面角 CBFE 的余弦值 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明 FG平面 BCD； （2）建立空间坐标系，利用向量法即可二面角 CBFE 的余弦值 第 10 页（共 15 页） 【解答】解： （1）证明：如图，DEEC，DEAE， DE平面 ABCE， 又BC平面 ABCE， DEBC， 又BCEC，DEECE， BC平面 DEC （2）如图，以点 E 为坐标原点，分别以 EA，EC，ED 为 x，y，z 轴建立空间坐标系 E xyz， E（0，0，0） ，C（0，2，0） ，B（，2，0） ，D（0，0，2） ，A（2，0，0） ，F（1，0， ） ， 设
18、平面 EFB 的法向量， 由， 所以有， 取 x11，得平面 EFB 的一个法向量， 由， 所以有， 取 y21，得平面 BCF 的一个法向量， 设二面角 CBFE 的大小为 ， 则 第 11 页（共 15 页） 【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定，以及二面角的求解，综合考查学生 的计算能力 9已知抛物线 E：y22px（p0） ，过其焦点 F 的直线与抛物线相交于 A（x1，y1） ，B（x2， y2）两点，满足 y1y24 （）求抛物线 E 的方程； （）已知点 C 的坐标为（2，0） ，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，求+ 的最小值 【分析】 （1）利用已知条件求
19、出 p，即可得到抛物线方程 （2）设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，转化求解直线的斜率关系的表达式， 然后求解最小值 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （1）因为直线过焦点，所以有 y1y2p24， 解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x （2）由（1）知抛物线的焦点坐示为 F（l，0） ，设直线 AB 的方程为 xmy+1， 联立抛物线的方程 y24my40，所以 y1+y24m，y1y24， 则有， 因此 第 12 页（共 15 页） 所以当且仅当 m0 时，有最小值 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化 思想以及计算能力 1
20、0已知 f（x）ex，g（x）lnx，若点 A 为函数 f（x）上的任意一点，点 B 为函数 g（x） 上的任意一点 （1）求 A，B 两点之间距离的最小值； （2）若 A，B 为函数 f（x）与函数 g（x）公切线的两个切点，求证：这样的点 B 有且仅 有两个，且满足条件的两个点 B 的横坐标互为倒数 【分析】 （1）求出 f（x）在点（0，1）处的切线为 yx+1，g（x）在点（1，0）的切线 为 yx1，由于 f（x）ex与 g（x）lnx 互为反函数，即函数图象关于 yx 对称，可 得 A，B 两点间的距离的最小值即为（0，1）与（1，0）之间的距离； （2）设 A，B（x2，lnx2
21、）求出 f（x）在 A处的切线方程，g（x） 在 B（x2，lnx2）处的切线方程，可得，则 1+x2（x21）lnx2， 把证这样的点 B 有且仅有两个，转化为证 1+x2（x21）lnx2有且有两个解，构造函数 h（x）（x1）lnxx1，然后利用导数证明 【解答】 （1）解：由 f（x）ex，得 f（x）在点（0，1）处的切线为 yx+1， 又 g（x）lnx，则 g（x）在点（1，0）的切线为 yx1， 由于 f（x）ex与 g（x）lnx 互为反函数，即函数图象关于 yx 对称，如图， 故而 A，B 两点间的距离的最小值即为（0，1）与（1，0）之同的距离， A，B 两点间的距离的最
22、小值为； （2）证明：设 A，B（x2，lnx2） 第 13 页（共 15 页） 则 f （x） 在 A处的切线为， 即； g（x）在 B（x2，lnx2）处的切线为，即 ，则 1+x2（x21）lnx2， 要证这样的点 B 有且仅有两个，需证上式有且有两个解， 令 h（x）（x1）lnxx1，下面证 h（x）0，有且有两个解 由， ylnx 单调递增，单调递减，h（x）单调递增， 又 h（1）10，故存在唯一的 x0（1，2） ，使得 h（x0） 0， 故而 x（0，x0）时，h（x0）0，h（x）单调递减； 当 x（x0，+）时，h（x0）0，h（x）单调递增 又 h（x0）h（1）2，h
23、（e2）e230， h（x）0 在（x0，+）上有唯一的根 记 h（）0，由 x01，则， 又， 故是 h（x）0 在（0，x0）上有唯一的根， h（x）0，有且仅有两个解 综上所述，这样的点 B 有且仅有两个，且满足条件的两个点 B 的横坐标互为倒数 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的 单调性，考查函数零点的判定，体现了数学转化思想方法，属难题 选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 第 14 页（共 15 页） 11在平面直角坐标系 x0y 中，曲线 C1：（ 为参数） ，将曲线 C1上的所有点 的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来
24、的后得到曲线 C2以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程 （1）求曲线 C2的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程； （2） 设直线 l 与曲线 C1交于不同的两点 A， B， 点 M 为抛物线的焦点， 求|MA| |MB|的值 【分析】 （1）将曲线 C1化为普通方程，然后经过伸缩变换得到曲线 C2的方程，再将 C2 的直角坐标方程转化为极坐标方程，对直线 l 根据其极坐标方程直接转化为直角坐标方 程即可 （2）根据条件得到直线 l 的参数方程，然后由直线参数方程的几何意义求出|MA|MB| 的值 【解答】解： （1）将曲线 C1：（ 为参数） ，消参得
25、 x2+y216， 经过伸缩变换，后得曲线 C2：， 化为极坐标方程为， 将直线 l 的极坐标方程，化为直接坐标方程为； （2）由题意知 M（，0）在直线 l 上，又直线 l 的倾斜角为， 所以直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 将直线 l 的参数方程代入 x2+y216 中，得， 由韦达定理，得， 所以|MA|MB| 第 15 页（共 15 页） 【点评】本题考查了曲线的伸缩变换，极坐标与直角坐标的转化，参数方程和普通方程 的转化和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 12已知函数 f（x
26、）|xa|+|x1| （1）若不等式 f（x）3 的解集为x|0x3，求实数 a 的值； （2）当 a2 时，若 f（x）4n2n+12 对一切实数 x 恒成立，求实数 n 的取值范围 【分析】 （1）根据绝对值的几何意义，利用 f（x）3 的解集求得 a 的值； （2）利用绝对值不等式求出 a2 时 f（x）的最小值，把问题化为关于 n 的不等式，利 用换元法求出不等式的解集，即可得出 n 的取值范围 【解答】解： （1）由绝对值的几何意义知， f（x）|xa|+|x1|表示在数紬上，动点 x 到定点 a 和 1 的距高之和， 当且仅当 a2 时，f（x）3 的解集为x|0x3， 所以 a2； （2）当 a2 时，f（x）|x2|+|x1|x2x+1|1 恒成立， 又 f（x）4n2n+12 对一切实数 x 恒成立， 所以 14n2n+12， 令 2nt，化简得 t22t30，解得 t3， 所以 nlog23， 即实数 n 的取值范围是（，log23 【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是中档题
