1、已知集合 A（x，y）|y2x，B（x，y）|y，则 AB 为（ ） A B1，2 C（1，2） D（1，2） 2 （5 分）复数 z 满足|z2+i|1，则|z|的最大值是（ ） A B C+1 D1 3 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 z的最小值是（ ） A B C D4 4 （5 分）运行如图所示的程序框图，若输入的 ai（i1，2，3，4）分别为 1，2，4，16， 则输出的值为（ ） A25 B5.5 C5 D4 5 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题： 若 mn，n，m，则 ； 若 ，m，nm，则 n 或 n； 若 m，mn，n，
2、则 或 ； 若 m，nm，n，n，则 n 且 n； 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 第 2 页（共 22 页） 6 （5 分）已知在ABCD 中，M，N 分别是边 BC，CD 的中点，AM 与 BN 相交于点 P，记 ， ，用 ， 表示的结果是（ ） A+ B+ C+ D+ 7 （5 分）已知正数 a，b 满足 a+2b+ab6，则 a+2b 的最小值为（ ） A2 B4 C6 D8 8 （5 分） “双 11”促销活动中，某商场为了吸引顾客，搞好促销活动，采用“双色球”定 折扣的方式促销，即：在红、黄的两个纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各 5 个， 每种颜色的 5 个球上标
3、有 1，2，3，4，5 等 5 个数字，顾客结账时，先分别从红、黄的 两个纸箱中各取一球，按两个球的数字之和为折扣打折，如 1+23，就按 3 折付款，并 规定取球后不再增加商品按此规定，顾客享有 6 折及以下折扣的概率是（ ） A B C D 9 （5 分）已知 x，y，z（0，1） ，且 log2xlog3ylog5z，则（ ） Axyz Byxz Cyzx Dzxy 10（5 分） 已知函数 f （x） （e 是自然对数的底数） ， 设 an， 数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4037的值是（ ） A2018 B2019 C D 11 （5 分）已知空间四边形 ABCD，BAC，A
4、BAC2，BD4，CD2， 且平面 ABC平面 BCD，则该几 何体的外接球的表面积为（ ） A24 B48 C64 D96 12 （5 分）设 F1，F2是双曲线y21 的左、右有两个焦点，若双曲线的左支上存在一 点 P， 使得 （+） 0 （O 为坐标原点） ， 设PF1F2， 则 tan 的值为 （ ） A6+ B5+2 C6 D52 第 3 页（共 22 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知数列an是等差数列，且 a2+a6+a7+2a1015，数列an的前 n 项和为 Sn， 则 S13
5、14 （5 分）函数，则 f（x1）f（x2）的最大 值是 15 （5 分）已知动直线 l： （m+1）x+（m+2）ym30 与圆 C1： （x2）2+（y+1）236 交于 A，B 两点，以弦 AB 为直径的圆为 C2，则圆 C2的面积的最小值是 16 （5 分）已知函数 f（x）f（）cosx+sinx，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处 的切线方程是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosA（bcosC+cc
6、osB） a （1）求角 A； （2）若 a1，ABC 的周长为+1，求ABC 的面积 18 （12 分）随着银行业的不断发展，市场竞争越来越激烈，顾客对银行服务质量的要求越 来越高，银行为了提高柜员，员工的服务意识，加强评价管理，工作中让顾客对服务作 出评价，评价分为满意、基本满意、不满意三种，某银行为了比较顾客对男女柜员员工 满意度评价的差异，在下属的四个分行中随机抽出 40 人（男女各半）进行分析比较对 40 人一月中的顾客评价“不满意“的次数进行了统计，按男、女分为两组，再将每组柜员 员工的月“不满意”次数分为 5 组：0，5） ，5，10） ，10，15） ，15，20） ，20，2
7、5， 得到如下频数分布表 分组 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20，25 女柜员 2 3 8 5 2 男柜员 1 3 9 4 3 （1）在答题卡所给的坐标系中分别画出男、女柜员员工的频率分布直方图；并求出男、 女柜员的月平均“不满意”次数的估计值，试根据估计值比较男、女柜员的满意度谁高？ （2）在抽取的 40 名柜员员工中，从“不满意”次数不少于 20 的柜员员工中随机抽取 3 人，求抽取的 3 人中，男柜员不少于女柜员的概率 第 4 页（共 22 页） 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 是棱长为 2 的正方形，E 为 AD 的中点，以 CE 为折痕把 DEC 折起
8、，使点 D 到达点 P 的位置，且点 P 的射影 O 落在线段 AC 上 （1）求； （2）求几何体 PABCE 的体积 20 （12 分）已知 F1，F2为椭圆 E：+y21 的左、右焦点，过点 P（2，0）的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T （1）求F1TF2的面积； （2）求证：光线被直线反射后经过 F2 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnx+2x1 （1）求 f（x）的极值； （2）若对任意的 x1，都有 f（x）k（x1）0（kZ）恒成立，求 k 的最大值 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点
9、M（1，2） ，曲线 C 的参数方 （其中 a 为参数） 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0（kR） （1）试写出曲线 C 的普通方程和曲线 l 的直角坐标方程 （2）设曲线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，试求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b 均为正实数 （1）若 ab3，求（a+b） （a3+b3）的最小值； （2）若 a2+b23，证明：a+b 第 5 页（共 22 页） 2018-2019 学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科
10、） （六） （六） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 A（x，y）|y2x，B（x，y）|y，则 AB 为（ ） A B1，2 C（1，2） D（1，2） 【分析】可得出 B（x，y）|yx1，x1，而解可得，由于 x 1，从而可得出 AB 【解答】解：B（x，y）|yx1，x1 解得； x1； AB 故选：A 【点评】考查描述法的定义，交集的定义及运算，以及空集的定义 2 （5 分）复数 z 满足|z2+i|1，则|z|的最大值是（ ） A B
11、C+1 D1 【分析】根据复数的几何意义，结合点到圆的距离的最值问题进行求解即可 【解答】解：|z2+i|1 得|z（2i）|1， 则 z 的几何意义是以 C（2，1）为圆心，半径为 1 的圆， |z|的几何意义是圆上的点到原点的距离， 则最大值为|OC|+1+1， 故选：C 【点评】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的几何意义转化为点与圆的最值问题 是解决本题的关键 3 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 z的最小值是（ ） 第 6 页（共 22 页） A B C D4 【分析】由约束条件作出可行域，z的几何意义是（x，y）与（1，2）连线的斜 率，数形结合得到 z的最小值 【解答
12、】解：由实数 x，y 满足约束条件，作出可行域如图，z的几 何意义是（x，y）与（1，2）连线的斜率 联立，解得 A（6，2） ， z的最小值为 故选：B 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 4 （5 分）运行如图所示的程序框图，若输入的 ai（i1，2，3，4）分别为 1，2，4，16， 则输出的值为（ ） 第 7 页（共 22 页） A25 B5.5 C5 D4 【分析】 分析程序的运行过程， 可得程序框图的功能是计算并输出的值， 由题意得出 k、 i 的值，计算即可得解 【解答】解：分析程序框图知， i1，k0 满足条件 i4，输入 a11，不满足条件
13、 a14，i2 满足条件 i4，输入 a22，不满足条件 a24，i3 满足条件 i4，输入 a34，满足条件 a14，k4，i4 满足条件 i4，输入 a416，满足条件 a14，k20，i5 不满足条件 i4，退出循环，输出4 故选：D 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，模拟程序的运行得程序框图的 功能是解题的关键，属于基础题 5 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题： 若 mn，n，m，则 ； 若 ，m，nm，则 n 或 n； 若 m，mn，n，则 或 ； 若 m，nm，n，n，则 n 且 n； 其中正确命题的序号是（ ） A B C
14、 D 【分析】在中，由面面垂直的判定定理得 ；在中，n 有可能与 ， 都不垂直； 在中， 与 有可能相交但不垂直；在中， 由线面平行的性质定理得 n 且 n 【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，知： 在中，若 mn，n，m，则由面面垂直的判定定理得 ，故正确； 在中，若 ，m，nm，则 n 有可能与 ， 都不垂直，故错误； 在中，若 m，mn，n，则 与 相交或平行，即 与 有可能相交但不垂直， 故错误； 在中，若 m，nm，n，n，则由线面平行的性质定理得 n 且 n， 故正确 第 8 页（共 22 页） 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线
15、面、面面间的位置关系，考查 运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 6 （5 分）已知在ABCD 中，M，N 分别是边 BC，CD 的中点，AM 与 BN 相交于点 P，记 ， ，用 ， 表示的结果是（ ） A+ B+ C+ D+ 【分析】添加辅助线 NEBC，利用线段比例关系得到，再结合平面向量基本 定理化简 即可得到答案 【解答】解：过点 N 作 BC 的平行线分别交 AB，AM 于点 E，F，则 EF， 因为 ENBC，所以， 所以 ， 则， 故选：D 【点评】本题关键在于添加平行线利用线段比例关系解题，考查平面向量基本定理，属 于中档题 7 （5 分）已知正数 a，b 满足 a+2b
16、+ab6，则 a+2b 的最小值为（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】依题意，6a+2b+aba+2b+a（2b）a+2b+，即（a+2b） 2+8（a+2b）480，解不等式即可 【解答】解：依题意，6a+2b+aba+2b+a（2b）a+2b+， 第 9 页（共 22 页） 即（a+2b）2+8（a+2b）480， 解得 a+2b12（舍）或者 a+2b4， 故 a+2b 的最小值为 4 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式，一元二次不等式的解法，属于基础题 8 （5 分） “双 11”促销活动中，某商场为了吸引顾客，搞好促销活动，采用“双色球”定 折扣的方式促销，即：在红、黄的两个
17、纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各 5 个， 每种颜色的 5 个球上标有 1，2，3，4，5 等 5 个数字，顾客结账时，先分别从红、黄的 两个纸箱中各取一球，按两个球的数字之和为折扣打折，如 1+23，就按 3 折付款，并 规定取球后不再增加商品按此规定，顾客享有 6 折及以下折扣的概率是（ ） A B C D 【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件总数为 25，满足条件 的事件可以通过列举得到事件数，根据古典概型公式得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件共有含有 5525 个 等可能基本事件 则两数之和为6 的事件有（1，1） （1，2
18、） （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，1） （2，2） （2，3） ， （2，4） （3，1） （3，2） ， （3，3） ， （4，1） ， （4，2） ， （5，1）共有 15 种结果， 故顾客享有 6 折及以下折扣的概率是， 故选：A 【点评】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古 典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件是一个 基础题 9 （5 分）已知 x，y，z（0，1） ，且 log2xlog3ylog5z，则（ ） Axyz Byxz Cyzx Dzxy 【分析】可设 log2xlog3ylog5zk
19、，从而可得出 x2k，y3k，z5k，从而得出 ，容易 31021556，且 k0，根据幂 第 10 页（共 22 页） 函数单调性即可得出 【解答】解：设 log2xlog3ylog5zk； x2k，y3k，z5k； ，； 21585，31095，215323，56253； 31021556； 又 x，y，z（0，1） ； k0； ； 故选：B 【点评】考查对数的定义，对数式和指数式的互化，分数指数幂的运算，以及幂函数的 单调性 10（5 分） 已知函数 f （x） （e 是自然对数的底数） ， 设 an， 数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4037的值是（ ） A2018 B2019
20、C D 【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得 f（），且 f（1） ，进而可得 f（x）+f（）1，结合数列的通项公式可得 S4037f（1）+f（2） +f（2019）+f（）+f（）+f（）f（1）+f（2）+f（）+f （3）+f（）+f（2019）+f（） ，进而分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x），则 f（），且 f（1） 第 11 页（共 22 页） ， 则有 f（x）+f（）+1， 又由 an， 则 S4037f（1）+f（2）+f（2019）+f（）+f（）+f（） f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（2019）+f（） +2018； 故选：C
21、【点评】本题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析 f（x）+f（）的值 11 （5 分）已知空间四边形 ABCD，BAC，ABAC2，BD4，CD2， 且平面 ABC平面 BCD，则该几 何体的外接球的表面积为（ ） A24 B48 C64 D96 【分析】由题意求出 BC 的长，可得三角形 BCD 为直角三角形，求出三角形 ABC 的外接 圆的圆心为几何体的外接球的球心，所以外接圆的半径等于几何体的外接球的半径，即 半径相等，在三角形 ABC 中求出半径，进而求出表面积 【解答】解：在三角形 ABC 中，BAC，ABAC2，由余弦定理可得 BC 6， 而在三角形 BCD 中，BD4
22、，CD2，BD2+CD2BC2，即BCD 为直角三角形， 且 BC 为斜边， 因为平面 ABC平面 BCD，所以几何体的外接球的球心为为三角形 ABC 的外接圆的圆 心，设外接球的半径为 R，则 2R4，即 R2， 所以外接球的表面积 S4R248， 故选：B 【点评】考查四面体的外接球半径与几何体的关系及球的表面积公式，属于中档题 第 12 页（共 22 页） 12 （5 分）设 F1，F2是双曲线y21 的左、右有两个焦点，若双曲线的左支上存在一 点 P， 使得 （+） 0 （O 为坐标原点） ， 设PF1F2， 则 tan 的值为 （ ） A6+ B5+2 C6 D52 【分析】求得双曲
23、线的 a，b，c，设|PF2|n，|PF1|m，由向量的加减运算和数量积的 性质，可得|，F1PF290，再由勾股定理和双曲线的定义，解方 程可得 m，n，结合直角三角形的正切函数定义，计算可得所求值 【解答】解：双曲线y21 的 a2，b1，c， 设|PF2|n，|PF1|m，由双曲线的定义可得 nm2a4， 由（+） 0，即为（+） （）0， 可得 220，即| |， 则F1PF290， 可得 m2+n24c220， 解得 m2，n+2， 则 tan5+2 故选：B 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量数量积的性质和直角三角形的 判定和性质，以及化简运算能力，属于中档题 二、
24、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知数列an是等差数列，且 a2+a6+a7+2a1015，数列an的前 n 项和为 Sn， 则 S13 39 【分析】利用等差数列通项公式推导出 a1+6d3，由此能求出 S13 【解答】解：数列an是等差数列，且 a2+a6+a7+2a1015， 第 13 页（共 22 页） a1+d+a1+5d+a1+6d+2（a1+9d）15， 整理得 a1+6d3， 数列an的前 n 项和为 Sn， 则 S13（a1+a13）13（a1+6d）13339 故答案为：39 【点评】本题
25、考查等差数列的前 13 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 14 （5 分）函数，则 f（x1）f（x2）的最大 值是 【分析】求 f（x1）f（x2）的最大值，本质上就是求 f（x）在区间0，上的最大值与 最小值，因此使用辅助角公式，将 f（x）转化成 Asin（x+）+b 的形式求解 【解答】解：，由 ， 则 f（x1）f（x2）的最大值为 故答案填 【点评】本题考察三角函数的值域，需要用到辅助角公式，属于基础题 15 （5 分）已知动直线 l： （m+1）x+（m+2）ym30 与圆 C1： （x2）2+（y+1）236 交于 A，B 两点，以弦 AB
26、 为直径的圆为 C2，则圆 C2的面积的最小值是 18 【分析】根据题意，由直线 l 的方程分析可得直线 l 恒过定点（1，2） ，设 M（1，2） ， 分析圆 C1的方程可得圆心 C1的坐标以及半径 r， 分析可得当|AB|最小时， 圆 C2的面积的 最小；结合直线与圆的位置关系可得当 MC1与直线 l 垂直，即 M 为 AB 的中点时，|AB| 最小，求出此时的值，由圆的面积公式即可得答案 【解答】解：根据题意，直线 l： （m+1）x+（m+2）ym30 即 m（x+y1）+（x+2y 3）0， ，解可得，则直线 l 恒过定点（1，2） ，设 M（1，2） ， 圆 C1： （x2）2+（
27、y+1）236，圆心 C1为（2，1） ，半径 r6，|MC1| 3， 第 14 页（共 22 页） 若直线 l 与圆 C1： （x2）2+（y+1）236 交于 A，B 两点，以弦 AB 为直径的圆为 C2， 当|AB|最小时，圆 C2的面积的最小； 当 MC1与直线 l 垂直，即 M 为 AB 的中点时，|AB|最小， 此时3， 此时圆 C2的面积 S（3）218， 故答案为：18 【点评】本题考查直线与圆的方程，涉及直线过定点的问题，属于基础题 16 （5 分）已知函数 f（x）f（）cosx+sinx，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处 的切线方程是 yx+1 【分析】求出 f
28、（）的值，求出 f（0）以及 f（0） ，求出切线方程即可 【解答】解：由题意得 f（0）f（） ， 又 f（x）f（）sinx+cosx， 将 x与 x0 代入， 得 f（）f（）+， f（0）f（）0+1， 故 f（）1，f（0）1， 故 f（0）f（）1， 故切线方程是：yx+1， 故答案为：yx+1 【点评】本题考查了求切线方程问题，考查导数的应用，是一道常规题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosA（bcosC+
29、ccosB） a （1）求角 A； （2）若 a1，ABC 的周长为+1，求ABC 的面积 【分析】 （1）由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求 cosA，进而可求 A； 第 15 页（共 22 页） （2）由已知可求 b+c，然后结合余弦定理 cos，可求 bc，进而由ABC 的面积 s可求 【解答】解： （1）2cosA（bcosC+ccosB）a 由正弦定理可得，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）sinA 2cosAsin（B+C）sinA， 即 2cosAsinAsinA， sinA0， cosA A 为三角形的内角， A； （2）a1，A， 又ABC 的周长为+1，
30、 b+c， 由余弦定理可得，cos， ， bc， ABC 的面积 s2 【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综 合应用，属于中档试题 18 （12 分）随着银行业的不断发展，市场竞争越来越激烈，顾客对银行服务质量的要求越 来越高，银行为了提高柜员，员工的服务意识，加强评价管理，工作中让顾客对服务作 出评价，评价分为满意、基本满意、不满意三种，某银行为了比较顾客对男女柜员员工 满意度评价的差异，在下属的四个分行中随机抽出 40 人（男女各半）进行分析比较对 40 人一月中的顾客评价“不满意“的次数进行了统计，按男、女分为两组，再将每组柜员 员工的月“不满意”
31、次数分为 5 组：0，5） ，5，10） ，10，15） ，15，20） ，20，25， 得到如下频数分布表 第 16 页（共 22 页） 分组 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20，25 女柜员 2 3 8 5 2 男柜员 1 3 9 4 3 （1）在答题卡所给的坐标系中分别画出男、女柜员员工的频率分布直方图；并求出男、 女柜员的月平均“不满意”次数的估计值，试根据估计值比较男、女柜员的满意度谁高？ （2）在抽取的 40 名柜员员工中，从“不满意”次数不少于 20 的柜员员工中随机抽取 3 人，求抽取的 3 人中，男柜员不少于女柜员的概率 【分析】 （1）分别列出女柜员、男
32、柜员的频率分布表，再画出女柜员、男柜员的频率分 布直方图；计算女柜员、男柜员员工的月平均“不满意”次数，比较即可得出结论 （2） “不满意”次数不少于 20 的柜员员工共有 5 人，其中女员工 2 人，男员工 3 人，从 “不满意”次数不少于 20 的柜员员工中随机抽取 3 人，基本事件总数 nC 10，抽取 的 3 人中，男柜员不少于女柜员包含的基本事件个数 m7，由此能求出抽 取的 3 人中，男柜员不少于女柜员的概率 【解答】解： （1）对于女柜员列出频率分布表如下， 分组 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20，25 女柜员 2 3 8 5 2 频率 0.1 0.15 0
33、.4 0.25 .0.1 对于男柜员列出频率分布表如下； 分组 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20，25 男柜员 1 3 9 4 3 男柜员 0.05 0.15 0.45 0.2 0.15 分别画出女柜员和男柜员的频率分布直方图，如图所示； 第 17 页（共 22 页） 设女柜员、男柜员员工的月平均“不满意”次数分别为 、 ， 则 （22.5+37.5+812.5+517.5+222.5）26013， （12.5+37.5+912.5+417.5+322.5）27513.75， 又 ，女柜员员工的满意度要高 （2）在抽取的 40 名柜员员工中， “不满意”次数不少于 20
34、的柜员员工共有 5 人，其中女员工 2 人，男员工 3 人， 从“不满意”次数不少于 20 的柜员员工中随机抽取 3 人， 基本事件总数 nC 10， 抽取的 3 人中，男柜员不少于女柜员包含的基本事件个数： m7， 抽取的 3 人中，男柜员不少于女柜员的概率 p 【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率的求法，考查频率分布直方图的性 质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 是棱长为 2 的正方形，E 为 AD 的中点，以 CE 为折痕把 DEC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且点 P 的射影 O 落在线段 AC 上 （1）求；
35、 （2）求几何体 PABCE 的体积 第 18 页（共 22 页） 【分析】 （1）利用 PO平面 ABC，结合三垂线定理作出 EC 的垂线 PF，OF，在AEC 中，求得 cosACE，以下就好解了； （2）几何体 PABCE 的体积 V 【解答】解： （1）过点 P 作 PFCE 于 F，连接 FO，则 OFCE， 在 RtPEC 中，PE1，PC2，则 EC， PF， CF， 在AEC 中， cosACE， 在 RtOFC 中，CO， AOACCO2， 2 （2）在 RtOFC 中， OF，PO， SABCESABCDSDEC223， 几何体 PABCE 的体积： V 【点评】本题考查两
36、线段的比值的求法，考查四棱锥的体积的求法，考查三垂线定理、 解三角形等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知 F1，F2为椭圆 E：+y21 的左、右焦点，过点 P（2，0）的直线 l 第 19 页（共 22 页） 与椭圆 E 有且只有一个交点 T （1）求F1TF2的面积； （2）求证：光线被直线反射后经过 F2 【分析】 （1）设过 P 的直线方程与椭圆联立，判别式等于零求出斜率，并求出 T 的坐标， 进而求出面积； （2）求出 F1关于直线 l 的对称点 F1，写出直线 F1T 的方程，则得出直线过 F2点 【解答】 解： （1） 由题意得， 直线 l 的斜率存在且
37、不为零， 设直线 l 的方程为： yk （x+2） ， 代入椭圆整理得： （1+2k2）x2+8k2x+8k220， 所以64k48（1+2k2） （4k21）8（12k2）0， 解得 k，则 x1， 所以 T（1，） ， 又 F（1，0） ，F2（1，0） ， 所以 S|F1F2|y|； （2） 证明： 由对称性， 设切点 T （1，） 此时直线 l 的方程为： y（x+1） ， 即 x+20， 设点 F1（1，0）关于 l 的对称点为 F1（x0，y0） ，则， 解得：所以 F1（，） ， 所以直线 F1T 的方程为：y（x+1） ， 即 yx+， 当 y0 时，x1， 所以光线被直线 l
38、 反射后经过 F2 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 第 20 页（共 22 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnx+2x1 （1）求 f（x）的极值； （2）若对任意的 x1，都有 f（x）k（x1）0（kZ）恒成立，求 k 的最大值 【分析】 （1）求导判断函数的单调性，由极值定义得解； （ 2 ） 问题 转 化为在 （ 1 ， + ） 上 恒成 立 ，构 造 函数 ，利用导数求函数 g（x）的范围，进而得到实数 k 的范围， 由此得到答案 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）lnx+3， 令 f（x）0，解得 xe 3， 当 x（0，
39、e 3）时，f（x）0，函数 f（x）递减； 当 x（e 3，+）时，f（x）0，函数 f（x）递增； 故 f（x）的极小值为 f（e 3）e31，无极大值； （2）原式可化为， 令，则， 令 h（x）x2lnx（x1） ，则， 故 h（x）在（1，+）上递增，故存在唯一的 x0（3，4） ，使得 h（x0）0，即 lnx0 x02， 且当 x（1，x0）时，h（x）0，g（x）0，g（x）递减；当 x（x0，+）时，h （x）0，g（x）0，g（x）递增； 故 g（x）ming（x0）x0+1， 故 kx0+1（4，5） ，所以实数 k 的最大值为 4 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调
40、性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题， 考查分离参数法及转化思想，考查逻辑推理能力，属于常规题目 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1，2） ，曲线 C 的参数方 （其中 a 为参数） 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0（kR） 第 21 页（共 22 页） （1）试写出曲线 C 的普通方程和曲线 l 的直角坐标方程 （2）设曲线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，试求的值 【分析】 （1）直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果 （
41、2）利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用向量的数量积的运算，利用一元二次方 程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方（其中 a 为参数） 转换为直角坐标方程为：x2+y22， 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0（kR） 转换为直角坐标方程为：ykx （2）曲线 l 与曲线 C 交于 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）两点， 则：， 整理得：， 所以：，x1+x20， 则：，y1+y20， 所以：（x11） （x21）+（y12） （y22）3 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量 的数量级向量的数量积的运算，一元二
42、次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运 算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b 均为正实数 （1）若 ab3，求（a+b） （a3+b3）的最小值； （2）若 a2+b23，证明：a+b 【分析】 （1）由 ab3，结合 a+b， （a3+b3）即可求解； （2）由可证明 第 22 页（共 22 页） 【解答】解：a，b 均为正实数 （1）ab3， a+b20， （a3+b3）60， （a+b） （a3+b3）36， 当且仅当 ab 时取最小值 36； 证明： （2）a2+b23， 又， a+b 【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用，属于基础试题
