1、已知集合 M1，0，1，N0，1，2，则 MN（ ） A1，0，1，2 B1，0，1 C1，0，2 D0，1 2 （5 分）复数 z在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）下列四个结论： 在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好； 某学校有男教师 60 名、女教师 40 名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽 取 20 名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样； 线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强； 在回归方程中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 增加 0.5 个单 位 其中正确
2、的结论是（ ） A B C D 4 （5 分）已知an是正项等比数列，若 a1是 a2，a3的等差中项，则公比 q（ ） A2 B1 C0 D1，2 5 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若，则向量 与 的夹角为（ ） A B C D 6 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行 B若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行 D若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行 7 （5 分）小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口 遇到红灯
3、的概率为 0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为 0.5，在两个路口连续遇到红灯 第 2 页（共 23 页） 的概率是 0.2某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的 概率是（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 8 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，O 是坐标原点，点 P 是抛物线 C 在第一象限内 的一点，若点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到抛物线 C 的焦点的距离的一半，则直线 OP 的 斜率为（ ） A B C2 D3 9 （5 分）设 f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时，f（x）x2x， 则 f（x）在（1，f（1）
4、）处的切线方程为（ ） Axy10 Bx+y10 Cxy+10 Dx+y+10 10 （5 分）已知函数，g（x）f（x）+x，若 g（x）有且仅有一个 零点，则 a 的取值范围是（ ） A （，1） B1，+） C （，0） D0，+） 11 （5 分）直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 C 的方程为 x2+y2+2x+4y+m0，则 m（ ） A3 B3 C D 12（5 分） 在三棱锥 ABCD 中， BACBDC60， 二面角 ABCD 的余弦值为， 当三棱锥 ABCD 的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ） A5 B6 C7 D8 二、填空题（本大题共二
5、、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为 14 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，Sn2（an+1） ，则 a4 15 （5 分）用数字 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字且为 5 的倍数的四位数，把所组成的 全部四位数从小到大排列起来，则 3125 是第 个数 16 （5 分）下列关于函数 f（x）2|sinx|+|cosx|的描述中，正确的是 （填写正确命 题的序号） 第 3 页（共 23 页） 是 f（x）的一个周期；f（x）是偶函数；yf（x） ，x0， 与 y
6、2 有且只有 2 个公共点 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）如图，在平面四边形中，AB14， （1）求对角线 BD 的长； （2）若四边形 ABCD 是圆的内接四边形，求BCD 面积的最大值 18 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 是边长为 2 的正三角形，D 是 CC1 的中点，E 是 A1B1的中点 （1）证明：DE平面 A1BC； （2）若，求直线 A1C1与平面 A1BC 所成角的正弦值 19 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，短轴的一个端点到焦点
7、的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点在直线 上，求直线 l 与 y 轴交点纵坐标的最小值 20 （12 分） 某工厂抽取了一台设备 A 在一段时间内生产的一批产品， 测量一项质量指标值， 绘制了如图所示的频率分布直方图 （1）计算该样本的平均值 ，方差 s2； （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从 正态分布 N（，2） ，其中 近似为样本平均值，2近似为样本方差 s2任取一个产 第 4 页（共 23 页） 品，记其质量指标
8、值为 X若|X|，则认为该产品为一等品；|X|2，则 认为该产品为二等品；若|X|2，则认为该产品为不合格品已知设备 A 正常状态 下每天生产这种产品 1000 个 （i）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过 3%？ （ii）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足 50 万元即可用设备 A 换得生产相同产品 的改进设备 B经测试，设备 B 正常状态下每天生产产品 1200 个，生产的产品为一等品 的概率是 70%，二等品的概率是 26%，不合格品的概率是 4%若工厂生产一个一等品可 获得利润 50 元，生产一个二等品可获得利润 30 元，生产一个不合格品亏损 40 元，试为
9、工厂做出决策，是否需要换购设备 B？ 参考数据：P（X+）0.6826；P（2X+2）0.9544； P（3X+3）0.9974， 21 （12 分）已知函数 f（x）xln（ax+1） （a0） （1）若 f（x）0，求 a 的值； （2）已知某班共有 n 人，记这 n 人生日至少有两人相同的概率为 P（n） ，n365，将一 年看作 365 天 （i）求 P（n）的表达式； （ii）估计 P（60）的近似值（精确到 0.01） 参考数值：， 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目
10、的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参数方程数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2+2cos 30 第 5 页（共 23 页） （1）写出直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 M 的坐标为，若点 M 是曲线 C 截直线 l 所得线段的中点，求
11、 l 的斜 率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对xR，f（x）1 成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年云南师大附中高三学年云南师大附中高三 （下） 第八次月考数学试卷 （理（下） 第八次月考数学试卷 （理 科） （科） （5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一
12、项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 M1，0，1，N0，1，2，则 MN（ ） A1，0，1，2 B1，0，1 C1，0，2 D0，1 【分析】由题意和并集的运算直接求出 MN 即可 【解答】解：因为集合 M1，0，1，N0，1，2， 所以 MN1，0，1，2， 故选：A 【点评】本题考查并集及其运算，属于基础题 2 （5 分）复数 z在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方 差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐
13、标， 得到位置 【解答】解：z+i， 复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题， 在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具 3 （5 分）下列四个结论： 在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好； 某学校有男教师 60 名、女教师 40 名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽 取 20 名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样； 线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强； 第 7 页（共 23 页） 在回归方程中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 增
14、加 0.5 个单 位 其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】根据回归分析的知识，对 4 个选项分别进行判断，即可得出正确的结论 【解答】解：对于，比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小， 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，所以错误； 对于，总体是由差异比较明显的男教师和女教师两部分组成， 宜采用的抽样方法是分层抽样，因此正确； 对于，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，所以错误； 对于，回归方程中， 当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 增加 0.5 个单位，因此正确； 综上，以上正确的结论是 故选：D 【点评】本题考查了“残差
15、”和相关指数的意义与应用问题，也考查了回归方程应用问 题，是基础题 4 （5 分）已知an是正项等比数列，若 a1是 a2，a3的等差中项，则公比 q（ ） A2 B1 C0 D1，2 【分析】由题意得，2a1a2+a3，结合等比数列的通项公式即可求解 【解答】解：由题意得，2a1a2+a3， q2+q20，解得 q2 或 q1， an是正项等比数列，q0， q1 故选：B 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用是，属于基 础试题 5 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若，则向量 与 的夹角为（ ） 第 8 页（共 23 页） A B C D 【分析】根据平面向量的
16、数量积与模长和夹角公式，计算即可 【解答】解：由，得， 即， 设单位向量 与 的夹角为 ， 则有 1+44cos3， 解得， 又 0， 所以 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题 6 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行 B若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行 D若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行 【分析】由空间线、面的位置关系结合平面的基本性质及推论逐一判断即可得解 【解答】解：对于选项 A，考虑正方体过同一顶点的三个
17、平面，可知 A 错误； 对于选项 B，考虑圆锥的两条母线与底面，可知 B 错误； 对于选项 C，若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则该平面内有两条相交直 线与另一个平面平行，所以这两个平面平行，故 C 正确； 对于选项 D，当另一条直线不在该平面内时，结论成立；当另一条直线在该平面内时， 结论不成立，故 D 错误， 故选：C 【点评】本题考查了空间线、面的位置关系，属基础题 7 （5 分）小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口 遇到红灯的概率为 0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为 0.5，在两个路口连续遇到红灯 的概率是 0.2某天早上小明在第一个路口
18、遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的 第 9 页（共 23 页） 概率是（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 【分析】由条件概率的求法得：，得解 【解答】解：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件 A， “小明在第二个路口遇到红灯” 为事件 B， 则 P（A）0.4，P（B）0.5，P（AB）0.2， 所以， 故选：D 【点评】本题考查了条件概率的求法，属基础题 8 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，O 是坐标原点，点 P 是抛物线 C 在第一象限内 的一点，若点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到抛物线 C 的焦点的距离的一半，则直线 OP 的 斜率为（ ） A B
19、 C2 D3 【分析】 设点 P 为 （x0，y0） ，由抛物线的定义知点 P 到抛物线 C 的焦点的距离为， 同时由题知这个距离也等于 2x0，可得，解得 x0，y0，即可得出 kOP 【解答】解：设点 P 为（x0，y0） ， 则由抛物线的定义知点 P 到抛物线 C 的焦点的距离为，同时由题知这个距离也等 于 2x0， 所以，解得，y0p， 于是 kOP2， 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 9 （5 分）设 f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时，f（x）x2x， 则 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方
20、程为（ ） Axy10 Bx+y10 Cxy+10 Dx+y+10 【分析】由偶函数的定义可得 x0 时 f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由 第 10 页（共 23 页） 点斜式方程可得所求切线方程 【解答】解：由 f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数， 当 x0 时，f（x）f（x）（x）2（x）x2+x， 则 f（x）2x+1，可得 f（1）1，f（1）0， 故 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 y0（x+1） ，即 x+y+10， 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和函数的导数的运用：求切线方程，考查方程思 想和运算能力，属于基础题 10 （5 分）已知
21、函数，g（x）f（x）+x，若 g（x）有且仅有一个 零点，则 a 的取值范围是（ ） A （，1） B1，+） C （，0） D0，+） 【分析】g（x）有且仅有一个零点等价于 f（x）x 有且仅有一个零点，然后根据图象 可得 a 的取值范围 【解答】解：如图，g（x）有且仅有一个零点等价于 f（x）x 有且仅有一个零点， 结合 yf（x）的图象与 yx 的图象可知， 当 e0+a0，即 a1 时，yf（x）的图象与 yx 的图象有唯一交点， 故选：B 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和数形结合思想，属 基础题 11 （5 分）直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，
22、以 AB 为直径的圆 C 的方程为 x2+y2+2x+4y+m0，则 m（ ） A3 B3 C D 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由题意知 C（1，2） ，C 为 AB 的中点，由点 第 11 页（共 23 页） 差法得 kAB1，直线 l：yx1 与双曲线联立，解得或，所以 ，可得 m3 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 x2+y2+2x+4y+m0，可得（x+1）2+（y+2）25m， C（1，2） ， C 为 AB 的中点， x1+x22，y1+y24， ， 相减可得（x1+x2） （x1x2）（y1+y2） （y1y2）0， 即（x1x
23、2）（y1y2）0， kAB1， 直线直线 l：yx1， 联立方程组可得 解得或， 所以|AB|4， 5m（2）2， 可得 m3， 故选：A 【点评】本题考查了圆的方程，直线方程，直线和双曲线的关系，考查了运算求解能力， 属于中档题 12（5 分） 在三棱锥 ABCD 中， BACBDC60， 二面角 ABCD 的余弦值为， 当三棱锥 ABCD 的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ） 第 12 页（共 23 页） A5 B6 C7 D8 【分析】由球的体积及表面积，可得球 O 的半径，从而求出外接球 的表面积 【解答】 解：如图，设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 O1，在平面 BC
24、D 内的射影为 O2， 则二面角 ABCD 的平面角为AMD， 点 A 在截面圆 O1上运动，点 D 在截面圆 O2上运动， 由图知当 ABAC，BDCD 时，三棱锥 ABCD 的体积最大，此时ABC 与BDC 是 等边三角形， 设 BCa，则， ， 解得，所以，DO21， 设AMD2，则，解得， 所以 OO2O2M，又 O2M，所以 OO2， 则球 O 的半径， 所求外接球的表面积为 S4R26， 故选：B 【点评】本题考查了球的体积及表面积，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约
25、束条件，则 z2x+y 的最小值为 3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：x，y 满足约束条件，的可行域如图，平移 z2x+y，当目标函 数经过（1，1）时取得最小值，z2x+y 的最小值在点（1，1）处取得，所以 z 的最小值 为 3 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 14 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，Sn2（an+1） ，则 a4 16 【分析】由数列的递推式和等比数列的通项公式，计算可得所求值 【解答】解：由 Sn2（an+1） ，
26、得 Sn12（an1+1） ， 两式相减得 an2an2an1， 即 an2an1，由 a12（a1+1） ，得 a12， 可得 an2n， 所以 a416 故答案为：16 【点评】本题考查数列的通项公式和运用，考查数列的递推式和化简运算能力，属于基 础题 15 （5 分）用数字 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字且为 5 的倍数的四位数，把所组成的 全部四位数从小到大排列起来，则 3125 是第 54 个数 【分析】由排列组合中的分类原理逐步讨论各数位上的数字即可得解 【解答】解： （1）当千位上数字为 1 时，此四位数为 5 的倍数的四位数有24 个， （2）当千位上数字为 2 时，此
27、四位数为 5 的倍数的四位数有24 个， （3）当千位上数字为 3 时， 第 14 页（共 23 页） 当百位上数字为 0 时，此四位数为 5 的倍数的四位数有3 个， 当百位上数字为 1 时，此四位数为 5 的倍数且小于 3125 的四位数为 3105、3120 共 2 个， 综合（1） 、 （2） 、 （3）得： 则 3125 是第 24+24+3+2+154 个数， 故答案为：54 【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题 16 （5 分）下列关于函数 f（x）2|sinx|+|cosx|的描述中，正确的是 （填写正 确命题的序号） 是 f（x）的一个周期；f（x）是偶函数；
28、yf（x） ，x0， 与 y2 有且只有 2 个公共点 【分析】利用周期的定义判断的正误；函数的极限的定义判断的正误；三角函数的 有界性判断的正误；通过数形结合判断的正误； 【解答】解：f（x+）2|sin（x+）|+|cos（x+）|2|sinx|+|cosx|f（x） ，故正确； 因为 f（x）2|sin（x）|+|cos（x）|2|sinx|+|cosx|f（x） ，所以 f（x）为偶函数， 故正确； 由得 f（x）在 R 上的值域与其在上的值域相同，当时， ，角 的终边过点，故 ，所以 f（x）的值域 为，故正确； yf（x） ，x0，的图象如图，所以 yf（x） ，x0，与 y2 有
29、且只有 3 个公共点， 故错误 故答案为： 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的简单性质以及数形结合的应用， 第 15 页（共 23 页） 考查计算能力 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）如图，在平面四边形中，AB14， （1）求对角线 BD 的长； （2）若四边形 ABCD 是圆的内接四边形，求BCD 面积的最大值 【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，sinABD 的值，根据诱导 公式，两角和的正弦函数公式可求 sinADB 的值，由正弦定理可
30、求得 BD 的值 （ 2 ） 由 已 知 可 求， 在 BCD 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 基 本 不 等 式 可 求 ，根据三角形的面积公式即可计算得解 【解答】解： （1）由于，可得：sinA，sinABD， 可得在ABD 中，sinADBsin（A+ABD） ）sin（A+ABD） ， 由正弦定理得， 可得 （2）由已知得，CA， 所以， 在BCD 中，由余弦定理可得 BC2+DC22BCDCcosCBD2169， 则，即， 所以， 当且仅当时取等号 第 16 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正弦函数公式， 正弦定理，余弦定理，基本
31、不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查 了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 是边长为 2 的正三角形，D 是 CC1 的中点，E 是 A1B1的中点 （1）证明：DE平面 A1BC； （2）若，求直线 A1C1与平面 A1BC 所成角的正弦值 【分析】 （1）取 BB 的中点 F，连结 DF，EF，推导出 DFBC，EFA1B，从而平面 DEF 平面 A1BC，由此能证明 DE平面 A1BC （2）取 AB 中点 O，连结 CO，OE，则 CO，AB，OE 两两垂直，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OE 为 y 轴
32、，OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出直线 A1C1与平面 A1BC 所成角的正弦值 【解答】证明： （1）取 BB 的中点 F，连结 DF，EF， D 是 CC1的中点，E 是 A1B1的中点，DFBC，EFA1B， DFEFF，BCA1BB， 平面 DEF平面 A1BC， DE平面 DEF，DE平面 A1BC 解： （2）取 AB 中点 O，连结 CO，OE，则 CO，AB，OE 两两垂直， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OE 为 y 轴，OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系， A1（1，2，0） ，C1（0，2，） ，B（1，0，0） ，C（0，0，） ， （1，0，
33、） ，（2，2，0） ，（1，0，） ， 第 17 页（共 23 页） 设平面 A1BC 的法向量 （x，y，z） ， 则， 取 x，得 （，1，） ， 设直线 A1C1与平面 A1BC 所成角为 ， 则 sin 直线 A1C1与平面 A1BC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中 档题 19 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，短轴的一个端点到焦点 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段
34、 AB 的中点在直线 上，求直线 l 与 y 轴交点纵坐标的最小值 【分析】 （1）利用已知条件求出 a，b，即可求椭圆 C 的方程； （2） 设直线 l 的方程为 ykx+m， 则直线 AB 与 y 轴交点的纵坐标为 m， 设点 A （x1， y1） ， B（x2，y2） ，将直线 AB 的方程与椭圆方程联立并化简，得（2k2+1）x2+4kmx+2m220， 利用韦达定理结合线段 AB 的中点在直线上 第 18 页（共 23 页） ，得到 4km2k2+1，然后利用基本不等式求解直线 l 与 y 轴交点纵坐标的最小值 【解答】解： （1）由已知得椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为
35、 ， 解得，b1， 所以椭圆 C 的方程为 （2）设直线 l 的方程为 ykx+m，则直线 AB 与 y 轴交点的纵坐标为 m， 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 将直线 AB 的方程与椭圆方程联立并化简，得（2k2+1）x2+4kmx+2m220， 由韦达定理得， 16k2m24（2k2+1） （2m22）0，化简得 m22k2+1 由线段 AB 的中点在直线上，得 x1+x21， 故，即 4km2k2+1， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时 m22k2+1，满足0， 因此，直线 l 与 y 轴交点纵坐标的最小值为 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应
36、用，考查转化思想 以及计算能力 20 （12 分） 某工厂抽取了一台设备 A 在一段时间内生产的一批产品， 测量一项质量指标值， 绘制了如图所示的频率分布直方图 （1）计算该样本的平均值 ，方差 s2； （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从 正态分布 N（，2） ，其中 近似为样本平均值，2近似为样本方差 s2任取一个产 品，记其质量指标值为 X若|X|，则认为该产品为一等品；|X|2，则 认为该产品为二等品；若|X|2，则认为该产品为不合格品已知设备 A 正常状态 下每天生产这种产品 1000 个 （i）用
37、样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过 3%？ 第 19 页（共 23 页） （ii）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足 50 万元即可用设备 A 换得生产相同产品 的改进设备 B经测试，设备 B 正常状态下每天生产产品 1200 个，生产的产品为一等品 的概率是 70%，二等品的概率是 26%，不合格品的概率是 4%若工厂生产一个一等品可 获得利润 50 元，生产一个二等品可获得利润 30 元，生产一个不合格品亏损 40 元，试为 工厂做出决策，是否需要换购设备 B？ 参考数据：P（X+）0.6826；P（2X+2）0.9544； P（3X+3）0.9974， 【分析】（1
38、） 由频率分布直方图中每一个小矩形中点的横坐标乘以频率得样本的平均值 ； 再由方差公式求方差； （2） （i）由（1）得，求出质量指标值在（165，175） 和（225，235）的频率得答案； （ii）设 W1，W2分别为设备 A，B 一天为工厂创造的利润，分别求期望，作差得答案 【解答】解： （1）由频率分布直方图可得： +2100.24+2200.08+2300.02 200， s2 （30） 20.02+ （20）20.09+ （10）20.22+020.33+1020.24+2020.08+302 0.02150； （2） （i）由（1）得， 由图可得质量指标值在（165，175）和（
39、225，235）的频率为 0.02+0.020.040.03， 该工厂一天生产的产品中不合格品超过 3%； （ii）设 W1，W2分别为设备 A，B 一天为工厂创造的利润， 则 E（W1）1000（500.6826+300.2718400.0456）1000（34.13+8.154 1.824）40460， E（W2）1200（500.7+300.26400.04）1200（35+7.81.6）49440 采用新设备利润每天增加 E（W）E（W2）E（W1）49440404608980， 第 20 页（共 23 页） 因此，只需 56 天使用设备 B 产生的利润就超过使用设备 A 产生的利润和
40、换购费用总和， 从长远来看，应该换购设备 B 【点评】本题考查由频率分布直方图求平均数与方差，考查正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义，考查计算能力，是基础题 21 （12 分）已知函数 f（x）xln（ax+1） （a0） （1）若 f（x）0，求 a 的值； （2）已知某班共有 n 人，记这 n 人生日至少有两人相同的概率为 P（n） ，n365，将一 年看作 365 天 （i）求 P（n）的表达式； （ii）估计 P（60）的近似值（精确到 0.01） 参考数值：， 【分析】 （1）当 a0 时，f（x）的定义域为；当 a0 时，f（x）的定义域 为，又 f（0）0，且 f（x）0，说
41、明 x0 是 f（x）的极小值点，故 f（0） 0利用函数的导数求解 a，然后验证即可 （2） （i）由于 n 人生日都不相同的概率为，故 n 人生日至少有两人相同的概率为 （ii）由（1）可得当 x1 时，xln（x+1）0，即 ln（1+x）x，当且仅当 x0 时 取等号，利用（i）记，利用放缩法，结合数列求和 推出结果 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （1）由题得，当 a0 时，f（x）的定义域为； 当 a0 时，f（x）的定义域为， 又 f（0）0，且 f（x）0， 所以 x0 是 f（x）的极小值点，故 f（0）0 而，于是 1a0，解得 a1 下面证明当 a1 时，f（x
42、）0 第 21 页（共 23 页） 当 a1 时，f（x）xln（x+1） ，x1， 所以当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递增；当1x0 时，f（x）0，f（x）单调 递减， 所以 f（x）f（0）0，即 a1 符合题意 综上，a1 （2） （i）由于 n 人生日都不相同的概率为， 故 n 人生日至少有两人相同的概率为 （ii）由（1）可得当 x1 时，xln（x+1）0，即 ln（1+x）x，当且仅当 x0 时 取等号， 由（i）得 记， 则 ，即， 由参考数值得，于是 P（60）1t10.00790.9921， 故 P（60）0.99 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及
43、构造法，概率以及放缩法，考查 分析问题解决问题的能力 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
44、建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2+2cos 30 （1）写出直线 l 的直角坐标方程； 第 22 页（共 23 页） （2）设点 M 的坐标为，若点 M 是曲线 C 截直线 l 所得线段的中点，求 l 的斜 率 【分析】 （1）直接对 分类消参可得直线 l 的直角坐标方程； （2）求出点 M 的直角坐标，化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程，把 代入曲线 C 的直角坐标方程，得到 t2+2（sin+cos）t20，利用根与系数的关系列式 求解 l 的斜率 【解答】解： （1）当时，直线 l 的直角坐标方程为 x0； 当时，直线 l 的直角坐标方程为 yxtan+1； （2）点 M
45、的极坐标为，则点 M 的直角坐标为（0，1） ， 曲线 C 的极坐标方程为 2+2cos30，得 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2+2x30， 把代入曲线 C 的直角坐标方程， 化简得 t2+2（sin+cos）t20， 由 t1+t20，得 sin+cos0， tan1， 直线 l 的斜率为1 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中此时 t 的几何意义，是 中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对xR，f（x）1 成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入 f（x）中去绝对值，然后分别解不等式即可； （2）利用绝对值不等式的几何意义直接得结果 【解答】解： （1）当 a1 时， 因为 f（x）4， 第 23 页（共 23 页） ，或，或， 解得或， 不等式的解集为：x|或； （2）f（x）|xa|+|x+2|表示数轴上的点到 a 和
