1、 专题专题 10 用加减法二元一次方程组用加减法二元一次方程组 一、知识点 1 1、用加减法解二元一次方程组、用加减法解二元一次方程组 2 2、应用解二元一次方程组的有关知识，解决与二元一次方程相关联的问题。、应用解二元一次方程组的有关知识，解决与二元一次方程相关联的问题。 二、标准例题 例 1：用加减法解下列方程组： （1）4（ + 2) = 1 5 3( + 2) = 3 2 （2） 3;2 4 + 2;1 5 =2 3:6 4 2:4 5 = 1 【答案】 （1） = 1 = 3 ； （2） = 2 = 3 【解析】解： （1）4（ + 2) = 1 5 3( + 2) = 3 2 整理
2、得 5x+4y7，3x+2y3 2，得 x1， 将 x1 代入，得 y3， 所以原方程的解是 = 1 = 3 ； （2） 3x;2 4 + 2y;1 5 =2 3x:6 4 2y:4 5 = 1 ， 整理得 15x+8y54，15x8y=6， +，得 30x60，解得 x2， 将 x2 代入，得 y3， 所以原方程的解是 = 2 = 3 总结：本题考查了解二元一次方程组这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法基本过程总结：本题考查了解二元一次方程组这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法基本过程 例 2：对于有理数，规定新运算：xyaxbyxy，其中 a 、b 是常数，等式右边
3、的是通常的加法和乘法 运算。 已知：217 ，(3)33 ，求1 3b 的值. 【答案】61 3 . 【解析】解：21=7，得 2a+b+2=7 (-3)3=3，得-3a+3b-9=3 解得 = 1 3 = 13 3 则1 3b= 1 3a+b 2+1 3b = 1 3 1 3 + 13 3 13 3 + 13 9 =1 9+ 169 9 +13 9 =61 3 . 故答案为：61 3 . 总结：本题在定义新运算的基础上考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元总结：本题在定义新运算的基础上考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消元法，弄清
4、题中的新定义是解题关键法与加减消元法，弄清题中的新定义是解题关键 例 3：已知方程组 + 2 = + 1 2 = 4 的解 x，y 的和等于 2， 求 m 的值. 原方程组的解 【答案】m=1； = 2 = 0 【解析】 【分析】 由 x+y=2 变形得到 y=2-x，代入方程组中计算即可求出 m 的值再解方程组即可. 【详解】 将y=2x代入方程组得： + 2(2 ) = + 1 2 3(2 ) = 4， 整理得： + 4 = + 1 5 6 = 4， 解得： = 2 = 1. 当 = 2时， = 0. 原方程组的解为 = 2 = 0 例 4：阅读材料：善于思考的小军在解方程组 2 + 5
5、= 3 4 + 11 = 5 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程变形：4x+10y+y=5 即 2(2x+5y)+y=5，把方程代入得：23+y=5， y=-1，把 y=-1 代入得 x=4， 方程组的解为 = 4 = 1 . 请你模仿小军的“整体代换”法解方程组 3 2 = 5 9 4 = 19 【答案】 = 3 = 2 【解析】 3 25 9 419 将方程变形：3（3x-2y）+2y=19 将方程代入，得 35+2y=19y=2 把 y=2 代入得 x=3 方程组的解为 = 3 = 2 . 总结：整体代换思想是解决简化解题过程的一种重要思想，应该熟练掌握。总结：整体代换思想是
6、解决简化解题过程的一种重要思想，应该熟练掌握。 三、练习题 1方程组 2 + 3 = 3 + 5 = + 2 的解 x、y 的和为 5，则 m 的值为( ) A3 B5 C7 D9 【答案】C 【解析】 解： 2 + 3 = 3 + 5 = + 2 ， 由-得 x+2y=2 x+y=5， 由-得 y= -3， 把 y= -3 代入得 x=8， 把 x=8，y= -3 代入， 得 m=7. 故选：C. 2已知 x，y 满足方程组 + 6 = 12 3 2 = 8 ，则x + y的值为（ ） A3 B5 C7 D9 【答案】B 【解析】 解： + 6 = 12 3 2 = 8 ， +得：4x+4y
7、=20， 则 x+y=5 故选：B 3已知2 + 2 = 2, 4 = 4, 且3 2 = 0，则的值为（ ） A2 B0 C4 D5 【答案】B 【解析】 2 + 2 = 2, 4 = 4, +得3 2 = 2 = 0，解得 a=0. 故选 B. 4已知关于x，y的二元一次方程组5 7 = 3 4 + 5 = ，且 x，y满足x2y=0，则a的值为（ ） A2 B4 C0 D5 【答案】C 【解析】 方程组5 7 = 3 4 + 5 = ，两个方程相加可得：x2y=4a， x2y=0， 4a=0，解得a=0， 故选 C 5若方程组3 + 2 = 5 : 0， = 2 2 0 2 2 0 ，
8、解得：3 1， 即常数 a 的取值范围为：3 1 9方程组3 = + 2 + 5 = 的解 x、y 满足 x 是 y 的 2 倍，求 a 的值 【答案】a=7 . 【解析】 x 是 y 的 2 倍， x=2y， 代入方程组得：5 = + 2 7 = ， y= :2 5 = 7， 解得：a=7. 10满足方程组 3 + 5 = + 1 2 + 3 = 3 2 的 x和y的值之和是 2，求k的值 【答案】k3 5 【解析】 3 + 5 = + 1 2 + 3 = 3 2 ， 2得：x+y55k， 代入x+y2 得：55k2， 解得：k3 5 11 在解关于、的方程组 + ( 2) = 1 (2 1
9、) = 4 时， 可以用2-消去未知数，也可以用4+3 消去未知数，试求、的值. 【答案】a = 6，b = 13 2 【解析】 关于 x、y 的方程组 + ( 2) = 1 (2 1) = 4 可以用 2 消去未知数 x， 2a = 2b 1 可以用 4 + 3消去未知数 y， 4( 2) = 3 2 = 2 1 4( 2) = 3 解之， = 6 = 13 2 ， 所以a = 6，b = 13 2 12解决以下问题: (1)已知方程组2 = 7 + = 和方程组 + = 3 + = 8 有相同的解,求、的值； (2)已知甲、乙两人解关于、的方程组 + = 2 7 = 8 ，甲正确解出 =
10、3 = 2 ，而乙把抄错,结果解得 = 2 = 2 ，求 + + 的值. 【答案】 （1）a=1，b=2 （2）7 【解析】 （1）解：根据题意，方程组重新组合得， 2 = 7 3 + = 8 +得，5x=15， 解得 x=3， 把 x=3 代入得，23-y=7， 解得 y=-1， 方程组的解是 = 3 = 1 代入另两个方程得， 3 1 = 3 = 代入得，3-（3a-1）=a， 解得 a=1， 把 a=1 代入得，b=31-1=2， a、b 的值分别是 1，2 故答案为：a=1，b=2 （2）甲的计算结果正确，可将 = 3 = 2 代入 + = 2 7 = 8 中， 乙仅抄错了 c，故可将
11、 = 2 = 2 代入 + = 2中， 联立三个方程组可得 3 2 = 2 3 + 14 = 8 2 + 2 = 2 解得 = 4 = 5 = 2 a+b+c=4+5-2=7 故答案为 7 13解方程 (1)5 + = 4 = 3 + 4 (2) 2 = 5 7 3 = 20 . 【答案】 （1） = 1 = 1 ； （2） = 5 = 5 . 【解析】 (1)5x + y = 4 x = 3y + 4 ， 把代入，得：5(3y + 4) + y = 4， 解得y = 1， 将y = 1代入，得：x = 3 (1)+ 4 = 1， 所以方程组的解为y = 1 x1 ； (2) 2x y = 5
12、 7x 3y = 20 ， 3，得：x = 5， 将x = 5代入，得：10 y = 5， 解得y = 5， 所以方程组的解为y = 5 x5 14阅读下列解方程组的方法，然后回答问题 解方程组19 + 18 = 17 17 + 16 = 15 解：由得 2x+2y2 即 x+y1（3） （3）16 得 16x+16y16（4） （2）（4）得 x1，从而可得 y2 方程组的解是 = 1 = 2 （1）请你仿上面的解法解方程组2008 + 2007 = 2006 2006 + 2005 = 2004 （2） 猜测关于 x、 y 的方程组（ + 2) + ( + 1) = ( + 2) + (
13、+ 1) = (ab)的解是什么， 并利用方程组的解加以验证 【答案】 （1） = 1 = 2 （2） = = ，验证见解析. 【解析】 （1），得 2x+2y2，即 x+y1， 2005，得 2005x+2005y2005， 得 x1， 从而得 y2 方程组的解是 = 1 = 2 （2） = 1 = 2 验证把方程组的解代入原方程组， 得( + 2) + 2( + 1) = ( + 2) + 2( + 1) = ， 即 = = 方程组成立 15解二元一次方程组： （1）2 + = 9 = 1 ； （2） 2 = 2 3( + ) 2( ) = 3 【答案】 （1） = 10 3 = 7 3
14、； （2） = 2 = 1 【解析】(1)2 + = 9 = 1 ， +得：3x10， 解得：x10 3 ， 把 x10 3 代入得： 10 3 y1， 解得：y7 3， 方程组的解为： = 10 3 = 7 3 ； (2)原方程组可变形为： 2 = 4 + 5 = 3 ， 得：7y7， 解得：y1， 把 y1 代入得： x+24， 解得：x2， 方程组的解为： = 2 = 1 16已知方程组 + 3 = 2 3;6 与2 + = 4 5;2 的解相同，求 m、n的值 【答案】 = 1 = 1 5 【解析】 解：解方程组：2 + = 4 3;6 ， 解得： = 0 2 ， 根据题意得：10 =
15、 2 22 ， 解得： = 1 = 1 5 17对于实数，规定新运算：x y = ax + by，其中 a、b 是常数.已知2 1 = 7，1 3 = 1 (1)求 a、b 的值； (2)求1 5的值 【答案】(1)a = 20 7 ，b = 9 7；(2) 65 7 【解析】(1)根据题意得 a+ 3b = 1 2a:b7 ， 解得a = 20 7 ，b = 9 7； (2)由(1)得x*y = 20 7 x + 9 7y， 所以1*5 = 20 7 1 + 9 7 5 = 65 7 18已知二元一次方程组3 + 4 = 2 3 2 = 3 + 4 的解的和是 2，求 x、y、k 的值 【答
16、案】x=5,y=-3,k=3 【解析】 解：方程组3 + 4 = 2 3 2 = 3 + 4 得： = 14:13 11 = ;5;18 11 方程组的解的和为 2 14:13 11 + ;5;18 11 = 2， 解得：k=3，代入求得 x=5,y=-3 19已知关于 x，y 的方程组 + 2 = 6 + 3 2 = 2 + 1 的解互为相反数，求 m 的值 【答案】m1 2 【解析】 解：依题意得 x=-y，将其代入原方程组得： 6 = 3 2 + 3 = 1 ，用3+可得，20m=-10，解得 m=1 2， 20阅读下列材料并填空： （1）对于二元一次方程组4 + 3 = 54 + 3
17、= 36 我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表 ( 4 3 54 1 3 36)，求得一次方程组的解 = = ，用数可表示为( 1 0 0 1 )用数表可以简化表达 解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白： 从而得到该方程组的解为 = _ = _ （2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组2 + 3 = 6 + = 2 的过程 【答案】 （1） = 6 = 10 （2） = 0 = 2 【解析】试题分析： （1）下行-上行后将下行除以 3 将 y 的系数化为 1 即可得到方程的解； （2）类比（1）中方法通过加减法将 x、y 的系数化为 1 即可. 试题解析： （1）下行上行 ( 1 0 6 0 1 10)， = 6 = 10 （2） 从 而得到方程组成的解为 = 0 = 2
