1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）月份） 一、选择题 1已知集合 Ax|1x3，Bx|ylog2（x2），则集合 AB（ ） Ax|1x2 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|x2 2命题 P：“x（，0），2x3x”的否定形式p 为（ ） A ， ， B ， ， Cx（，0），2x3x Dx（，0），2x3x 3已知 i 是虚数单位，且 z ，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4已知条件 P：是奇函数；值域为 R；函数图象经过第一象限则下列函数中满足 条件 P 的是（ ） A B Cf（x）
2、sinx Df（x）2x2 x 5 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 （a+b） （sinAsinB） c （sinC+sinB） ， b1，c2，则ABC 的面积的值为（ ） A B C1 D 6已知实数 x，y 满足不等式 ，则 z 的最大值为（ ） A B C D 7在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 P（1，2），则 sin（ ） A B C D 8易 系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源， 其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背 中如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中
3、各取一数分别记为 a，b，则满 足|ab|2 的概率为（ ） A B C D 9某高校组织若干名学生参加自主招生考试（满分 150 分），学生成绩的频率分布直方图 如图所示，分组区间为80，90），90，100），100，110），110，120），120，130）， 130，140），140，150，其中 a，b，c 成等差数列且 c2a该高校拟以成绩的中位数 作为分数线来确定进入面试阶段学生名单，根据频率分布直方图进入该校面试的分数线 为（ ） A117 B118 C119 D120 10如图，在矩形 ABCD 中，AB2BC2，动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 则 的
4、最大值是（ ） A1 B5 C D 11 函数 ， 的相邻两条对称轴间的距离为 ， f （x） 的图象与 y 轴交点坐标为（0，1），则下列说法不正确的是（ ） A 是 f（x）的一条对称轴 B1 Cf（x）在 ， 上单调递增 D 12 已知函数f （x） 对于任意xR， 均满足f （x） f （2x） ， 当x1时， f （x） ， ， ， （其中 e 为自然对数的底数），若存在实数 a，b，c，d（abcd）满足 f（a）f（b） f（c）f（d），则（a+b+c+d）bea的取值范围为（ ） A（ 1，4） B 1， ） C（ ，4） D2ln21， ） 二、填空题 13 已知函数 f
5、（x） ax3ax （a0） 的图象在 x0 和x1 处的切线互相垂直， 则a 14已知曲线 C： ， 的焦点关于一条渐近线的对称点在 y 轴上，则 该双曲线的离心率为 15如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，ABAP2，PABPAD 60，则该四棱锥的外接球的表面积为 16已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）为抛物 线 C 上的三个动点，其中 x1x2x3且 y20，若 F 为P1P2P3的重心，记P1P2P3三边 P1P2， P1P3， P2P3的中点到抛物线 C 的准线的距离分别为 d1， d2， d3，
6、 且满足 d1+d22d2， 则 y2 ；P1P3所在直线的方程为 三、解答题（一）必考题 17 2019 年末， 武汉出现新型冠状病毒 （2019nCoV 肺炎疫情， 并快速席卷我国其他地区， 传播速度很快因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异 治疗方法防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉 市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、 无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格 化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为 A，B 两个小组，
7、排查工作期间社区随机抽取了 100 户已排查户，进行了对排查工作态度是否 满意的电话调查，根据调查结果统计后，得到如 22 的列联表 是否满意 组别 不满意 满意 合计 A 组 16 34 50 B 组 2 45 50 合计 21 79 100 （）分别估计社区居民对 A 组、B 组两个排查组的工作态度满意的概率； （）根据列联表的数据，能否有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排 查工作组别”有关？ 附表： P（K2k0） 0.100 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附： 18已知等差数列an的前
8、n 项和为 Sn，且 a3+a69，S621 （）求数列an的通项公式； （）设 ，求数列b n的前 n 项和 19如图 1，在 RtABC 中，C90，BCAC4，D，E 分别是 AC，AB 边上的中点， 将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CA1D，如图 2 （）求证：DEA1C； （）求点 C 到平面 A1BE 的距离 20已知点 A（2，0），椭圆 C： 的离心率为 ，F 和 B 分别是椭圆 C 的左焦点和上顶点，且ABF 的面积为 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 A 的直线 l 与 C 相交于 P，Q 两点，当 时，求直线 1 的方程 21已知函数 f（x）ex
9、+ax，aR，其中 e 为自然对数的底数 （）讨论 f（x）单调性； （）当 a3 时，设函数 g（x）f（x）m（mR）存在两个零点 x1，x2（x1x2）， 求证： （二）选考题选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），曲线 C2的参数方程为 ， （ 为参数），曲线 C1，C2交于 A、B 两点 （）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普通方程； （）已知 P 点的直角坐标为（ ， ），求|PA| |PB|的值 选修 4-5：不等式选讲 23函数 f（x）|2x1|+|
10、x+2| （）求函数 f（x）的最小值； （）若 f（x）的最小值为 M，a+2b2M（a0，b0），求证： 参考答案 一、选择题 1已知集合 Ax|1x3，Bx|ylog2（x2），则集合 AB（ ） Ax|1x2 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|x2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出集合 AB 解：集合 Ax|1x3， Bx|ylog2（x2）x|x2， 集合 ABx|2x3 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2命题 P：“x（，0），2x3x”的否定形式p 为（ ） A ， ， B ， ， Cx（，0），2x3x Dx（，0
11、），2x3x 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：“x（，0），2x3x”的否 定形式p 为： x0（，0），2 3 故选：A 【点评】 本题考查命题的否定， 特称命题与全称命题的否定关系， 是对基本知识的考查 3已知 i 是虚数单位，且 z ，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】先化简 z，然后求出其共轭复数，再确定其共轭复数对应的点所在象限 解：z （1i） i1i， ， z 的共轭复数 在复平面内对应的点为（1，1），位于第二象限 故选：B 【点评】本题考
12、查了复数的运算和几何意义，属基础题 4已知条件 P：是奇函数；值域为 R；函数图象经过第一象限则下列函数中满足 条件 P 的是（ ） A B Cf（x）sinx Df（x）2x2 x 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的性质，综合即可得答案 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，f（x） ，定义域不关于原点对称，不符合题意； 对于 B， f （x） x ， 虽然为奇函数， 但 x0 是 f （x） 2， 故 ， ， ，不符合题意； 对于 C，f（x）sinx1，1，其值域为1，1，不符合题意； 对于 Df（x）2x2x，其定义域为 R，有 f（x）f（x），故 f（x）2x2x为奇 函数，
13、值域为 R，图象也经过第一象限，符合题意 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性、值域以及图象的分析，注意常见函数的性质，属于基 础题 5 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 （a+b） （sinAsinB） c （sinC+sinB） ， b1，c2，则ABC 的面积的值为（ ） A B C1 D 【分析】 由已知结合正弦定理及余弦定理可求 A， 然后结合三角形的面积公式即可求解 解：根据正弦定理知（a+b）（sinAsinB）c（sinC+sinB）化为为（a+b）（ab） c（c+b）， 即 a2b2+c2+bc，故 ， 故 A ，则 因为 b1，c2
14、，ABC 的面积 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应 用，属于中档试题 6已知实数 x，y 满足不等式 ，则 z 的最大值为（ ） A B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论 解：如图，阴影部分为可行域， 目标函数 z ，表示可行域中点（x，y）与（3，0）连线的斜率， 由图可知点 P（1，3）与（3，0）连线的斜率最大， 故 z 的最大值为 ， 故选：C 【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域以及 转化为斜率是解决本题的关键 7在平面直角坐标系中，角 的终边经过点
15、P（1，2），则 sin（ ） A B C D 【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出 sin（ ）和 cos（ ），再利用两 角和与差的三角函数公式即可求出 sin 的值 解：由题意知 ， ， 则 ， 故选：A 【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及两角和与差的三角函数公式， 是基础题 8易 系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源， 其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背 中如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为 a，b，则满 足|ab|2 的概率为（ ） A B C D 【分析】阴数有
16、2，4，6，8，10，阳数有 1，3，5，7，9，从阴数和阳数中各取一数， 基本事件总数 n25， 利用列举法求出其差的绝对值为 1 包含的基本事件个数， 由此能求 出其差的绝对值大于等于 2 的概率 解：因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10， 所以从阳数和阴数中各取一数共有：5525 种情况： 满足|ab|1 有（1，2），（3，2），（3，4），（5，4），（5，6），（7，6），（7， 8），（9，8），（9，10），共 9 种情况， 故满足|ab|2 的情况有 16 种， 故根据古典概型得满足|ab|2 的概率为 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、
17、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 9某高校组织若干名学生参加自主招生考试（满分 150 分），学生成绩的频率分布直方图 如图所示，分组区间为80，90），90，100），100，110），110，120），120，130）， 130，140），140，150，其中 a，b，c 成等差数列且 c2a该高校拟以成绩的中位数 作为分数线来确定进入面试阶段学生名单，根据频率分布直方图进入该校面试的分数线 为（ ） A117 B118 C119 D120 【分析】利用频率分布直方图求出 a，b，c，从而求出前三个组的频率之和，第四个组的 频率，由此能求出中位数 解：由于 a+b+2c0.0
18、52，a+c2b，c2a， 解得 a0.008，b0.012，c0.016， 前三个组的频率之和为 0.04+0.12+0.160.32， 第四个组的频率为 0.2， 故中位数为 故选：C 【点评】 本题考查面试分数线的求法， 考查中位数、 频率分布直方图的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 10如图，在矩形 ABCD 中，AB2BC2，动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 则 的最大值是（ ） A1 B5 C D 【分析】 先根据条件求得 C 到 BD 的距离为 d， 再把所求转化为 ，进而求解结论 解： 因为在矩形 ABCD 中， AB2BC2， 动点 M 在以点
19、 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 故| | | ，设 C 到 BD 的距离为 d，则有 d ， 故 （ ） ， 其中 （ ） （ ）3， | | | |2， 当且仅当 与 同向时，等号成立， 故选：A 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 11 函数 ， 的相邻两条对称轴间的距离为 ， f （x） 的图象与 y 轴交点坐标为（0，1），则下列说法不正确的是（ ） A 是 f（x）的一条对称轴 B1 Cf（x）在 ， 上单调递增 D 【分析】由已知条件先求出 2， ，再把 代入函数解析式等于最大值，所以 A， B，D 正确，再检验 C 错 解：由题意知 f
20、（x）4cos2（x+）22cos（2x+2），由相邻两条对称轴间的距 离为 得周期为 ，知 1； 又因为 f（0）2cos21，由于 02，则 ，即 因为 f（ ）2， 函数取得最大值，则 A，B，D 正确，经验证，C 选项错误 故选：C 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，及三角函数的性质，属于中低档题 12 已知函数f （x） 对于任意xR， 均满足f （x） f （2x） ， 当x1时， f （x） ， ， ， （其中 e 为自然对数的底数），若存在实数 a，b，c，d（abcd）满足 f（a）f（b） f（c）f（d），则（a+b+c+d）bea的取值范围为（ ） A（ 1，4）
21、 B 1， ） C（ ，4） D2ln21， ） 【分析】 由已知画出分段函数的图象， 可得 a+b+c+d4 由 f （a） f （b） ， 得 ealnb+2， 因此（a+b+c+d）bea4blnb2由题意知， b ，令 g（b）4blnb2， （ b ），利用导数求最值，即可求得（a+b+c+d）be a 的取值范围 解：由函数 f（x）对于任意 xR，均满足 f（x）f（2x），可知 f（x）的对称轴方程 为 x1 又当 x1 时，f（x） ， ， ， 作出函数 f（x）的图象如图： 由图可知，a 与 d，b 与 c 关于直线 x1 对称，则 a+b+c+d4 又f（a）f（b），e
22、alnb+2， 因此（a+b+c+d）bea4blnb2 由题意知， b ， 令 g（b）4blnb2，（ b ）， 则 g（b）4 ，令 g（b）0， 得 b ，故 g（b）在 ， 上单调递减，在（ ， ）上单调递增 故 ， 由 ，g（ ） ，而 0 g（b）2ln21， ） 故选：D 【点评】本题考查分段函数的应用，考查利用导数求函数的最值，是中档题 二、填空题 13已知函数 f（x）ax3ax（a0）的图象在 x0 和 x1 处的切线互相垂直，则 a 【分析】求出原函数的导函数，再由 f（0） f（1）1 求解 a 值 解：f（x）ax3ax（a0），f（x）a（3x21）， 由 f（0
23、） f（1）1，得 2a21，解得 故答案为： 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的 关系，是基础题 14已知曲线 C： ， 的焦点关于一条渐近线的对称点在 y 轴上，则 该双曲线的离心率为 【分析】利用已知条件判断，渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可 解： 由题意曲线C： ， 的焦点关于一条渐近线的对称点在y轴上， 渐近线是一三象限，二四象限角的平分线， 该双曲线的渐近线的斜率为1，所以 ab，则 c ， 所以双曲线的离心率为：e ， 故离心率为 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 15如图，在四棱锥 P
24、ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，ABAP2，PABPAD 60，则该四棱锥的外接球的表面积为 8 【分析】结合已知先确定球的球心位置，然后再结合球的性质即可求解球的半径，进而 可求 解：过点 P 作 PE平面 ABCD，连结 BE，DE，因为 ABAPAD，PABPAD 60， 所以 PBPD， 故 EDEB， 因此ABEADE， 故BAEDAE， 因此 E 在 AC 上 过 E 作 EHAB，连结 PH， 因为 ABPE，ABHE，PEHEE， 故 AB平面 PEH，故 ABPH，所以 AH1， 在 RtAEH 中， ， EH1 因此 E 为 AC 中点，即也为 BD 中点在 RtP
25、EH 中， 所以 E 为四棱锥 PABCD 的外接球球心，半径为 ，球的表面积为 8 故答案为：8 【点评】本题主要考查了棱锥的外接球的半径的求解，解题的关键是球心的确定，属于 中档试题 16已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）为抛物 线 C 上的三个动点，其中 x1x2x3且 y20，若 F 为P1P2P3的重心，记P1P2P3三边 P1P2， P1P3， P2P3的中点到抛物线 C 的准线的距离分别为 d1， d2， d3， 且满足 d1+d22d2， 则 y2 4 ；P1P3所在直线的方程为 2xy20 【分析】利用已知条件求
26、出 d1，d2，d3，结合 d1+d32d2，推出 2x2x1+x3利用 F 为 P1P2P3的重心，求出 x22，然后推出 y24，求出 P1P3的中点坐标为（2，2），然后 求解直线方程 解：由题意知 ， ， ， 带入 d1+d32d2得 x1+2x2+x32（x1+x3），即 2x2x1+x3 由 F 为P1P2P3的重心， 则有 ， ， 即 2x26x2， 即 x22， 所以 y24，因此有 y1+y34 故 P1P3的中点坐标为（2，2）， 所在直线的斜率 ， 故 P1P3所在直线的方程为：2xy20 故答案为：4；2xy20 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，三角形
27、的重心的性质的应用， 直线方程的求法，考查发现问题解决问题的数学素养，是难度比较大的题目 三、解答题（一）必考题 17 2019 年末， 武汉出现新型冠状病毒 （2019nCoV 肺炎疫情， 并快速席卷我国其他地区， 传播速度很快因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异 治疗方法防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉 市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、 无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格 化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分
28、为 A，B 两个小组，排查工作期间社区随机抽取了 100 户已排查户，进行了对排查工作态度是否 满意的电话调查，根据调查结果统计后，得到如 22 的列联表 是否满意 组别 不满意 满意 合计 A 组 16 34 50 B 组 2 45 50 合计 21 79 100 （）分别估计社区居民对 A 组、B 组两个排查组的工作态度满意的概率； （）根据列联表的数据，能否有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排 查工作组别”有关？ 附表： P（K2k0） 0.100 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附： 【分
29、析】（）由频率可估算社区居民对 A、B 组排查工作态度满意的概率； （）根据题目所给的数据计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格，得出统计结论 解：（）由样本数据，A 组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为 ，因 此社区居民对 A 组排查工作态度满意的概率估计值为 0.68 B 组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为 ，因此社区居民对 B 组排查工 作态度满意的概率估计值为 0.9 （）假设“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”无关，根据列联表中的数 据，得到 7.2946.635， 因此有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关 故答案为：（） 社区居
30、民对A、 B组排查工作态度满意的概率估计值分别为0.68， 0.9（） 有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题 目 18已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a69，S621 （）求数列an的通项公式； （）设 ，求数列b n的前 n 项和 【分析】（I）设公差为 d，由 a3+a69，S621，联立解方程组，求出首项和公差，再 求出数列an的通项公式； （II）结合（I），由 ，得 ，再利用错位相消法求出数列bn的前 n 项和 解：（I）设公差为 d，由 a3+a69，S6
31、21， 得 ，得 a11，d1， 故数列an的通项公式为 ann； （II）根据（I），由 ，得 ， 数列bn的前 n 项和 ， 两边乘以 2 得， ， 作差化简得， ， 故数列bn的前 n 项和为 【点评】本题考查了等差数列性质，求通项公式，利用错位相消法求数列的前 n 项和， 考查运算能力，中档题 19如图 1，在 RtABC 中，C90，BCAC4，D，E 分别是 AC，AB 边上的中点， 将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CA1D，如图 2 （）求证：DEA1C； （）求点 C 到平面 A1BE 的距离 【分析】 （）在图 1ABC 中，D，E 为 AC，AB 边中点
32、，可得：DEBC又 ACBC， 可得 DEAC在图 2 中，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论 （） 由 （） 知 DE平面 A1CD， 且 DE平面 BCDE， 利用线面垂直的判定定理可得： 平面 A1CD平面 BCDE，在正A1CD 中，过 A1作 A1OCD，垂足为 O，再利用面面垂 直的判定定理可得：A1O平面 BCDEA1O 即为三棱锥 A1BCE 底面上的高，通过等 积变形 三棱锥 三棱锥 ，即可得出 【解答】（）证明：在图 1ABC 中，D，E 为 AC，AB 边中点 所以 DEBC 又 ACBC，所以 DEAC 在图 2 中 DEA1D，DEDC，且 A1DDCD，则
33、 DE平面 A1CD 又因为 A1C平面 A1CD，所以 DEA1C （）解：由（）知 DE平面 A1CD，且 DE平面 BCDE， 所以平面 A1CD平面 BCDE， 且平面 A1CD平面 BCDEDC， 在正A1CD 中，过 A1作 A1OCD，垂足为 O， 所以 A1O平面 BCDEA1O 即为三棱锥 A1BCE 底面上的高， 在A1 CD 中， 在A1 BE 中， ， ，所以 在梯形 BCDE 中， 设点 C 到平面 A1BE 的距离为 h， 因为 三棱锥 三棱锥 ， 所以 ，解得 即点 C 到平面 A1BE 的距离为 【点评】本题考查了空间位置关系、线面与面面垂直的判定与性质定理、空
34、间距离、等 积变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20已知点 A（2，0），椭圆 C： 的离心率为 ，F 和 B 分别是椭圆 C 的左焦点和上顶点，且ABF 的面积为 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 A 的直线 l 与 C 相交于 P，Q 两点，当 时，求直线 1 的方程 【分析】（）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a，b，c 的关系，解方 程可得 a，b，进而得到椭圆的方程； （）设过点 A 的直线 l 的方程设为 xmy+2，联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式 大于 0，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得 m，进而得到所求直线方 程 解：（）由题意可
35、得 e ，F（c，0），B（0，b），A（2，0），可得 （2+c）b ，即 b（2+c）3，又 a 2b2c2，解得 a ，bc1， 则椭圆的方程为 y 21； （）设过点 A 的直线 l 的方程设为 xmy+2，联立椭圆方程 x2+2y22， 可得（2+m2）y2+4my+20，16m242（2+m2）8m2160，即 m22， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），可得 y1+y2 ，y1y2 ， 由 ， 即 x1x2+y1y2 （my1+2） （my2+2） +y1y2 （m 2+1） y 1y2+2m （y1+y2） +4 ， 即有（m2+1） 2m（ ）+4 ，化为 m 242，
36、 则 m2，可得直线 l 的方程为 x2y20 或 x+2y20 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理， 以及向量数量积的坐标表示，同时考查化简运算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）ex+ax，a一、选择题，其中 e 为自然对数的底数 （）讨论 f（x）单调性； （）当 a3 时，设函数 g（x）f（x）m（mR）存在两个零点 x1，x2（x1x2）， 求证： 【分析】 （）求出原函数的导函数，f（x）ex+a，可得当 a0 时， （x）在（， +） 上单调递增； 当 a0 时， 求出导函数的零点， 由导函数的零点对函数定义域分段， 根据导函数的符号
37、判断函数的单调性； （） 由题意知 g （x） ex3xm， 可得 ， 整理变形得到 ， 结 合 x1 x2， 故 ， 把原 命 题 转 化为 证 ，即 ，令 ux1x20，故只需 证（u2）eu+u+20 即可然后利用导数求最值证明 【解答】（）解：f（x）ex+a， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，得 xln（a）， 当 x（，ln（a）时，f（x）0，当 x（，+）时，f（x）0， f（x）在（，ln（a）上单调递减，在（ln（a），+）上单调递增； （）证明：由题意知 g（x）ex3xm， 由 ，得 ， 两式相减得 ， x1x2
38、，故 ， 要证 ，只需证 ， 两边同除以 ，得 ， 令 ux1x20，故只需证（u2）eu+u+20 即可 令 G（u）（u2）eu+u+2，G（u）（u1）eu+1， 令 h（u）（u1）eu+1，h（u）ueu， 当 u（，0）时，h（u）0，故 h（u）在（，0）上单调递减， 故 h（u）h（0）0，故 G（u）在（，0）上单调递增， 故 G（u）G（0）0， 故原命题得证 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明函数不等式，考查数 学转化思想方法，属难题 （二）选考题选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴
39、，建立极坐标系，曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），曲线 C2的参数方程为 ， （ 为参数），曲线 C1，C2交于 A、B 两点 （）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普通方程； （）已知 P 点的直角坐标为（ ， ），求|PA| |PB|的值 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果 解：（）曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），转换为直角坐标方程为 ，转换为极坐标方程为 曲线 C2的参数方程为 ， （ 为参数），转换为直角坐标方程为 （）把曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），
40、代入 ，得到： ， 所以|PA| |PB| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23函数 f（x）|2x1|+|x+2| （）求函数 f（x）的最小值； （）若 f（x）的最小值为 M，a+2b2M（a0，b0），求证： 【分析】（）将函数化为分段函数的形式，利用函数的性质即可求得最小值； （）由（）可知（a+1）+（2b+1）7，再利用基本不等式即可得证 解：（） ， ， ， ， 易知，当 时，函数 f（x）取得最小值，且最小值为 ； （）证明：由（）可知， ，则 a+2b5， （a+1）+（2b+1）7， ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号 【点评】本题考查含绝对值的函数最值求法，考查基本不等式的运用，考查推理能力及运算 能力，属于基础题
