1、2020 年浙江省宁波市北仑区中考数学模拟试卷（年浙江省宁波市北仑区中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）2020 的倒数是（ ） A B C2020 D2020 2 （4 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 3 （4 分）如图所示，该几何体的左视图是（ ） A B C D 4 （4 分）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（ ） A中心对称图形 B轴对称图形 C既是轴对称图形又是中心对称图形 D既不是轴对称图形又不是中心对称图形
2、5 （4 分）为了防控输入性“新冠肺炎” ，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从 内科 3 位骨干医师中（含有甲）抽调 2 人组成则甲一定会被抽调到防控小组的概率是 （ ） A B C D 6 （4 分）明代大数学家程大位著算法统宗一书中，记载了这样一道数学题： “八万三 千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问都多少能完成？”用现代的话说就是： 有 83000 根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管 3 个或笔套 5 个，怎样安排笔管和笔套的 短竹的数量， 使制成的 1 个笔管与 1 个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为 x 根， 用于制作笔套的短竹数为 y 根，则可列方程为（ ）
3、A B C D 7 （4 分）如图，要焊接一个等腰三角形钢架，钢架的底角为 35，高 CD 长为 3 米，则斜 梁 AC 的长为（ ）米 A B C3sin35 D 8 （4 分）已知函数 y，下列说法： 函数图象分布在第一、三象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 若 A（x1，y1） 、B（x2，y2）两点在该图象上，且 x1+x20，则 y1y2， 其中说法正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 9 （4 分）八个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线 l 将 这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线 l 的解析式为（ ） Ayx Byx Cy
4、x Dyx 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长 AB8，E 为平面内一动点，且 AE4，F 为 CD 上 一点，CF2，连接 EF，ED，则 2EF+ED 的最小值为（ ） A12 B12 C12 D10 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）计算的结果 12 （5 分）当前，新冠状性肺炎疫情已波及全世界 200 多个国家和地区截止 2020 年 5 月 12 日 14：00，全球确诊人数累计已达 4175216 人如表是各大洲的确诊人数，则这组数 据的中位数是 地区 亚洲 欧洲 非洲 大洋洲 北美洲 南美洲
5、其他 现有确诊 （人） 279660 823853 40950 1300 1101631 190967 48 13 （5 分）若一元二次方程 x22mx+m20 的一根为 x1，则 m 的值为 14 （5 分）如图，在平面坐标系中，点 A 是函数 y图象上的点，过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B，点 C 在 y 轴上，则ABC 的面积为 15 （5 分）如图，有一条长度为 1 的线段 EF，其端点 E、F 分别在边长为 3 的正方形 ABCD 的四边上滑动当 EF 绕着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点 M 形成的路径所围成的 图形面积是 16（5 分） 一只电子跳蚤在第一象限及
6、x 轴、 y 轴上跳动， 在第一秒钟， 它从原点跳动到 （0， 1） ，然后按图中箭头所示方向跳动，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时电子跳蚤所 在位置的坐标是 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 （2）先化简： （1），再从1x2 的范围内选取一个合适的整数 作为 x 的值代入求值 18 （8 分）教育局为了了解初一学生参加社会实践活动的天数，随机抽查本市部分初一学 生参加社会实践活动的天数， 并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图 （如图） 请 你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）
7、这次共抽取 名学生进行统计调查，补全条形图； （2）a ，该扇形所对圆心角的度数为 ； （3） 如果该市有初一学生 20000 人， 请你估计 “活动时间不少于 5 天” 的大约有多少人？ 19 （8 分）如图，在 55 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如（0，1） 、B （2，1） 、C（3，3）都是格点，现仅用无刻度的直尺在网格中做如下操作： （1）直接写出点 A 关于点 B 旋转 180后对应点 M 的坐标 ； （2）画出线段 BE，使 BEAC，其中 E 是格点，并写出点 E 的坐标 ； （3）找格点 F，使EAFCAB，画出EAF，并写出点 F 的坐标 20（10 分）
8、为加快城乡对接， 建设全域美丽乡村， 某地区对 A、 B 两地间的公路进行改建 如 图，A、B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现 开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC80 千米，A45，B30 （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米） （参考数据：1.41，1.73） 21 （10 分）如图，ABC 中，C90，BD 平分ABC，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，O 恰好经过点 D （
9、1）求证：直线 AC 是O 的切线； （2）若A30，O 的半径是 2，求线段 CD 的长 22 （10 分）为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是 40 元超市规定每盒售价不得少于 45 元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试写出每天的销售利润 P（元）与每盒涨价 x（元）之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当每盒涨价为多少元时，每天的销售利润 P 最大？最大利润是多少？ （3）如果超市想要每天获得不低于 6000 元的利润，求 x 的取值范围 23
10、（12 分）如图，已知二次函数的图象过点 O（0，0） ，A（8，4） ，与 x 轴交于另一点 B， 且对称轴是直线 x3 （1）求该二次函数的解析式； （2）若 M 是 OB 上的一点，作 MNAB 交 OA 于 N，当ANM 面积最大时，求 MN 的 长； （3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQx 轴与抛物线交于 Q过 A 作 ACx 轴于 C，当以 O，P，Q 为顶点的三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标 24 （14 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABa，ABC60，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，AFCD，垂足为 F （1）连接 EF，用等式表示
11、线段 EF 与 EC 的数量关系，并说明理由； （2）连接 BF，过点 A 作 AKBF，垂足为 K，求 BK 的长（用含 a 的代数式表示） ； （3）延长线段 CB 到 G，延长线段 DC 到 H，且 BGCH，连接 AG、GH、AH 判断AGH 的形状，并说明理由； 若 a2，SADH（3+） ，求 sinGAB 的值 2020 年浙江省宁波市北仑区中考数学模拟试卷（年浙江省宁波市北仑区中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）2020 的倒数是（
12、 ） A B C2020 D2020 【分析】根据倒数的概念解答 【解答】解：2020 的倒数是， 故选：B 2 （4 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案 【解答】解：由在实数范围内有意义，得 1x0 解得 x1， 故选：C 3 （4 分）如图所示，该几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：根据题意得：几何体的左视图为 故选：D 4 （4 分）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（ ） A中心对称图形 B轴对称图形 C既是轴对称图形又是中
13、心对称图形 D既不是轴对称图形又不是中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形 能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心轴 对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直 线（成轴）对称即可判断 【解答】解：根据中心对称图形的概念和轴对称图形的概念可知： 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形， 所以 A 选项正确 故选：A 5 （4 分）为了防控输入性“新冠肺炎” ，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决
14、定从 内科 3 位骨干医师中（含有甲）抽调 2 人组成则甲一定会被抽调到防控小组的概率是 （ ） A B C D 【分析】先求出从内科 3 位骨干医师中抽调 2 人的所有可能情况，再求出甲被抽调到防 控小组的可能，根据概率公式计算即可 【解答】解：设 3 位骨干医师有甲、乙、丙三人， 全部可能为甲乙、甲丙、乙丙三种， 其中甲被抽调到防控小组的可能有两种， P（甲一定会被抽调到防控小组的概率）， 故选：C 6 （4 分）明代大数学家程大位著算法统宗一书中，记载了这样一道数学题： “八万三 千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问都多少能完成？”用现代的话说就是： 有 83000 根短竹，每根
15、短竹可制成毛笔的笔管 3 个或笔套 5 个，怎样安排笔管和笔套的 短竹的数量， 使制成的 1 个笔管与 1 个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为 x 根， 用于制作笔套的短竹数为 y 根，则可列方程为（ ） A B C D 【分析】由用于生产笔管和笔套的短竹的数量结合生产的笔管总数笔套的总数，即可 得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：依题意，得： 故选：B 7 （4 分）如图，要焊接一个等腰三角形钢架，钢架的底角为 35，高 CD 长为 3 米，则斜 梁 AC 的长为（ ）米 A B C3sin35 D 【分析】利用锐角三角函数关系分别得出 AC 的长即可 【解答】解
16、：因为等腰三角形钢架，钢架的底角为 35，高 CD 长为 3 米， 所以 AC， 故选：D 8 （4 分）已知函数 y，下列说法： 函数图象分布在第一、三象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 若 A（x1，y1） 、B（x2，y2）两点在该图象上，且 x1+x20，则 y1y2， 其中说法正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是 否正确，从而可以解答本题 【解答】解：函数 y， 该函数图象在第一、二象限，故错误； 当函数图象在第一象限内时，y 随 x 的增大而减小，当函数图象在第二象限内时，y 随 x
17、的增大而增大，故错误； 若 A（x1，y1） 、B（x2，y2）两点在该图象上，且 x1+x20，则 y1y2，故正确； 故选：B 9 （4 分）八个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线 l 将 这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线 l 的解析式为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】设直线 l 和八个正方形的最上面交点为 A，过 A 作 ABOB 于 B，B 过 A 作 AC OC 于 C， 易知 OB3， 利用三角形的面积公式和已知条件求出 A 的坐标即可得到该直 线 l 的解析式 【解答】解：设直线 l 和八个正方形的最上面交点为 A，过 A
18、 作 ABOB 于 B，B 过 A 作 ACOC 于 C， 正方形的边长为 1， OB3， 经过原点的一条直线 l 将这八个正方形分成面积相等的两部分， SAOB4+15， OBAB5， AB， OC， 由此可知直线 l 经过（，3） ， 设直线方程为 ykx， 则 3k， k， 直线 l 解析式为 yx， 故选：D 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长 AB8，E 为平面内一动点，且 AE4，F 为 CD 上 一点，CF2，连接 EF，ED，则 2EF+ED 的最小值为（ ） A12 B12 C12 D10 【分析】 如图， 当点 E 运动到点 E时， 在 AD 边上取 AH2，
19、证明DAEEAH， 根据 2EF+ED 的最小值为 2HF 的值，再根据勾股定理即可求解 【解答】解：如图，当点 E 运动到点 E时， 在 AD 边上取 AH2， AEAE4， AE：AH2：1， AD8， AD：AE8：42：1， AD：AEAE：AH， DAEEAH， DAEEAH， DE：EH2：1， 即 DE2EH， 2EF+ED2EF+ED2EF+2EH2HF， 2EF+ED 的最小值即为 2HF 的值， DHADAH6， DFDCCF6， 在 RtDHF 中，根据勾股定理，得 HF6， 2HF12 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
20、共 30 分）分） 11 （5 分）计算的结果 2 【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案 【解答】解： 42 2 故答案为：2 12 （5 分）当前，新冠状性肺炎疫情已波及全世界 200 多个国家和地区截止 2020 年 5 月 12 日 14：00，全球确诊人数累计已达 4175216 人如表是各大洲的确诊人数，则这组数 据的中位数是 190967 地区 亚洲 欧洲 非洲 大洋洲 北美洲 南美洲 其他 现有确诊 （人） 279660 823853 40950 1300 1101631 190967 48 【分析】将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解可得 【解答】 解： 将这组
21、数据重新排列为 48、 1300、 40950、 190967、 279660、 823853、 1101631， 则这组数据的中位数为 190967， 故答案为：190967 13 （5 分）若一元二次方程 x22mx+m20 的一根为 x1，则 m 的值为 1 【分析】把 x1 代入 x22mx+m20 得 1+2m+m20，然后解关于 m 的方程即可 【解答】解：把 x1 代入 x22mx+m20 得 1+2m+m20， 解得 m1m21， 即 m 的值为1 故答案为1 14 （5 分）如图，在平面坐标系中，点 A 是函数 y图象上的点，过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B，点
22、C 在 y 轴上，则ABC 的面积为 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 xy3，根据三角形的面积公式计算， 得到答案 【解答】解：设点 A 的坐标为（x、y） ， 点 A 是函数 y图象上， xy3， 则ABC 的面积xy， 故答案为： 15 （5 分）如图，有一条长度为 1 的线段 EF，其端点 E、F 分别在边长为 3 的正方形 ABCD 的四边上滑动当 EF 绕着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点 M 形成的路径所围成的 图形面积是 9 【分析】先分析点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上的情况，根据直角三角形的性质得到 BM EF，根据圆的面积公式、正方形的面积公式计
23、算即可 【解答】解：当点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上时，连接 BM， 在 RtEBF 中，B90，点 M 是 EF 的中点， BMEF， 点 M 的轨迹是以 B 为圆心、以为半径的圆弧， 圆面的面积（）2， 当 E、F 在同一条边上时，点 M 也在这条边上， EF 的中点 M 形成的路径所围成的图形面积3249， 故答案为：9 16（5 分） 一只电子跳蚤在第一象限及 x 轴、 y 轴上跳动， 在第一秒钟， 它从原点跳动到 （0， 1） ，然后按图中箭头所示方向跳动，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时电子跳蚤所 在位置的坐标是 （4，44） 【分析】根据题目中所给的跳蚤运动
24、的特点找出规律，得到答案 【解答】解：由图可得， （0，1）表示 112秒后跳蚤所在位置； （0，2）表示 8（2+1）21 秒后跳蚤所在位置； （0，3）表示 932秒后跳蚤所在位置； （0，4）表示 24（4+1）21 秒后跳蚤所在位置； （0，44）表示（44+1）212024 秒后跳蚤所在位置， 则（4，44）表示第 2020 秒后跳蚤所在位置 故答案为： （4，44） 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 （2）先化简： （1），再从1x2 的范围内选取一个合适的整数 作为 x 的值代入求值 【分
25、析】 （1）分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案； （2）直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简，再得出符合题意的 x 的值，代入求出答案 【解答】解： （1）， 解得：x3， 解得：x1， 不等式组的解集为：1x3； 如图所示： ； （2） （1） ， 1x2， x 的取值有：1，0，1，2， x20 且 x10 且 x+10， x1 且 x2， x0 时，原式 18 （8 分）教育局为了了解初一学生参加社会实践活动的天数，随机抽查本市部分初一学 生参加社会实践活动的天数， 并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图 （如图） 请 你根据图中提供的信息，回答下列
26、问题： （1）这次共抽取 200 名学生进行统计调查，补全条形图； （2）a 25% ，该扇形所对圆心角的度数为 90 ； （3） 如果该市有初一学生 20000 人， 请你估计 “活动时间不少于 5 天” 的大约有多少人？ 【分析】 （1）根据参加实践活动 3 天的学生人数和所占的百分比，可以求得本次调查的 学生人数，然后即可计算出参加实践活动 6 天的学生人数，从而可以将条形统计图补充 完整； （2）根据（1）中的结果，可以求得 a 的值丙计算出该扇形所对圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出“活动时间不少于 5 天”的大约有多少人 【解答】解： （1）本次抽查的学生有：20
27、10%200（名） ， 故答案为：200， 参加社会实践活动 6 天的学生有 2002030604050（名） ， 补全的条形统计图如图所示； （2）a50200100%25%， 36025%90， 故答案为：25%，90； （3）20000（30%+25%+20%）15000（人） ， 答： “活动时间不少于 5 天”的大约有 15000 人 19 （8 分）如图，在 55 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如（0，1） 、B （2，1） 、C（3，3）都是格点，现仅用无刻度的直尺在网格中做如下操作： （1）直接写出点 A 关于点 B 旋转 180后对应点 M 的坐标 （4，1）
28、； （2）画出线段 BE，使 BEAC，其中 E 是格点，并写出点 E 的坐标 （0，4） ； （3）找格点 F，使EAFCAB，画出EAF，并写出点 F 的坐标 （2，4） 【分析】 （1）根据旋转的性质即可写出点 A 关于点 B 旋转 180后对应点 M 的坐标； （2）根据网格即可画出线段 BE，使 BEAC，其中 E 是格点，并能写出点 E 的坐标； （3）根据网格即可找格点 F，使EAFCAB，画出EAF，并写出点 F 的坐标 【解答】解：如图， （1）点 M 的坐标（4，1） ； （2）BE 即为所求， 点 E 的坐标（0，4） ； （3）点 F 即为所求， 点 F 的坐标（2，4
29、） 故答案为： （4，1） ， （0，4） ， （2，4） 20（10 分） 为加快城乡对接， 建设全域美丽乡村， 某地区对 A、 B 两地间的公路进行改建 如 图，A、B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现 开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC80 千米，A45，B30 （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米） （参考数据：1.41，1.73） 【分析】 （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走的距离为 AC+B
30、C 的长，利用角的正 弦值和余弦值即可算出 （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地要走的距离为 AB 的长，汽车从 A 地到 B 地比原来 少走的路程为 AC+BCAB 的长，利用角的余弦值和正切值即可算出 【解答】解： （1）如图，过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D， ABCD，sin30，BC80 千米， CDBCsin308040（千米） ，AC40（千米） ， AC+BC80+401.4140+80136.4（千米） 开通隧道前，汽车从地到地大约要走 136.4 千米 （2）cos30，BC80 千米， BDBCcos308040（千米） ， tan45，CD40（千米）
31、 ， AD40（千米） ， ABAD+BD40+4040+401.73109.2（千米） 汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为： AC+BCAB136.4109.227.2（千米） 开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走 27.2 千米 21 （10 分）如图，ABC 中，C90，BD 平分ABC，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，O 恰好经过点 D （1）求证：直线 AC 是O 的切线； （2）若A30，O 的半径是 2，求线段 CD 的长 【分析】 （1）连接 OD，欲证明 AC 是O 的切线，只要证明 ODAC 即可； （2）求出 AB，
32、BC 长，可得出DBC30，设 DCx，则 DB2x，可得 x2+94 x2， 解方程即可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OD BD 平分ABC， DBCDBA， ODOB， ODBDBA， ODBDBC， ODBC， ODAC90， 直线 AC 是O 的切线； （2）解：在 RtADO 中，A30， AO2DO4， AB4+26， BC3， 在 RtBCD 中， ABC903060， DBCDBA30， 设 DCx，则 DB2x， DC2+BC2BD2， x2+94x2，解之得，x CD 22 （10 分）为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是 40 元超
33、市规定每盒售价不得少于 45 元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）试写出每天的销售利润 P（元）与每盒涨价 x（元）之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当每盒涨价为多少元时，每天的销售利润 P 最大？最大利润是多少？ （3）如果超市想要每天获得不低于 6000 元的利润，求 x 的取值范围 【分析】 （1）根据“当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒”即可得出每天的销售利润 P（元）与每盒涨价 x（元）之间的 函数关系式；
34、 （2）根据利润1 盒月饼所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题 解答； （3）先由（2）中所求得的 P 与 x 的函数关系式，每天销售月饼的利润不低于 6000 元， 求出 x 的取值范围 【解答】解： （1）由题意得，p（45+x40） （70020x）20x2+600x+3500（0x 35） ； （2）p（45+x40） （70020x）20x2+600x+350020（x15）2+8000， x0，a200， 当 x15 时，P最大值8000 元， 即当每盒售价涨价 15 元时，每天销售的利润 P（元）最大，最大利润是 8000 元； （3）由题意，得20（x15）2+
35、80006000， 解得 x15，x225 抛物线 P20（x15）2+8000 的开口向下， 当 5x25 时，每天销售月饼的利润不低于 6000 元的利润 23 （12 分）如图，已知二次函数的图象过点 O（0，0） ，A（8，4） ，与 x 轴交于另一点 B， 且对称轴是直线 x3 （1）求该二次函数的解析式； （2）若 M 是 OB 上的一点，作 MNAB 交 OA 于 N，当ANM 面积最大时，求 MN 的 长； （3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQx 轴与抛物线交于 Q过 A 作 ACx 轴于 C，当以 O，P，Q 为顶点的三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求
36、P 点的坐标 【分析】 （1）抛物线过原点，对称轴是直线 x3，则 B 点坐标为（6，0） ，进而求解； （2）SAMNSAOMSNOM，进而求解； （3）分PQOCOA、PQOCAO 两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）抛物线过原点，对称轴是直线 x3， B 点坐标为（6，0） ， 设抛物线解析式为 yax（x6） ， 把 A（8，4）代入得 a824，解得 a， 抛物线解析式为 yx（x6） ， 即 yx2x； （2）设 M（t，0） ， 设直线 OA 的表达式为：ykx，将点 A 的坐标代入上式并解得：k， 故直线 OA 的解析式为 yx， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，
37、 把 B（6，0） ，A（8，4）代入得：，解得：， 直线 AB 的解析式为 y2x12， MNAB， 设直线 MN 的解析式为 y2x+n， 把 M（t，0）代入得 2t+n0，解得 n2t， 直线 MN 的解析式为 y2x2t， 解方程组，解得：，则 N（t，t） ， SAMNSAOMSNOM4tttt2+2t（t3）2+3， 当 t3 时，SAMN有最大值 3，此时 M 点坐标为（3，0） ； 则点 N（4，2） ， MN； （3）设 Q（m，m2m） ， OPQACO， 当时，PQOCOA，即， PQ2PO，即|m2m|2|m|， 解方程m2m2m 得 m10（舍去） ，m214，此时
38、 P 点坐标为（14，0） ； 解方程m2m2m 得 m10（舍去） ，m22，此时 P 点坐标为（2，0） ； 当时，PQOCAO，即， PQPO，即|m2m|m|， 解方程m2mm 得 m10（舍去） ，m28（舍去） ； 解方程m2mm 得 m10（舍去） ，m24，此时 P 点坐标为（4，0） ； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（2，0）或（4，0） 24 （14 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABa，ABC60，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，AFCD，垂足为 F （1）连接 EF，用等式表示线段 EF 与 EC 的数量关系，并说明理由； （2）连接 BF，过点 A 作
39、AKBF，垂足为 K，求 BK 的长（用含 a 的代数式表示） ； （3）延长线段 CB 到 G，延长线段 DC 到 H，且 BGCH，连接 AG、GH、AH 判断AGH 的形状，并说明理由； 若 a2，SADH（3+） ，求 sinGAB 的值 【分析】 （1） 证明AEBAFD （AAS） ， 则 AEAF； 再证明EAF60， 即可求解； （2）证明BAF90，在 RtABF 中，计算 tanABF，在 RtABK 中，BK ABcosABF，即可求解； （3）证明ABGACH（SAS） ，GAH60，即可求解； 由 SADH （3+） ， 求得 DH1， 证明AFH 为等腰直角三角形，
40、 即可求解 【解答】解：在菱形 ABCD 中，ABC60，则ABC、ACD 为两个边长为 a 的等 边三角形 （1）如图 1，ABAD，ABEADF，ADFAEB90， AEBAFD（AAS） ， AEAF， 在等边ABC 中，AEBC， AE 是BAC 的角平分线，故BAE30， 同理DAF30， ABC60，则BAD120， EAFBADBAEDAF120303060， AEF 为等边三角形； 在等边三角形 ABC 中，AEABsinABCaEFAF，BEECa， EFEC； （2）如图 1，BAFBADFAD90， 在 RtABF 中，tanABF，则 cosABF， 在 RtABK 中，BKABcosABFaa； （3）如图 2，连接 AC， BGCH，ABAC， 又ABG180ABC120，ACH180ACD120ABG， ABGACH（SAS） ， AGAH，GABHAC， GAHGAB+BAHHAC+BAHBAC60， AGH 为等边三角形； 如图 2，过点 C 作 CMAH 于点 M， SADHAFDH2DH（3+） ， 解得：DH1， CHDHCD121， HFDHFDAF， AFH 为等腰直角三角形，则AHC45， 在 RtCHM 中，sinMHCsin45， 故 CM， 在 RtACM 中，sinHCMsinGAB， 故 sinGAB
