1、2020 年 4 月高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题 1已知复数 z34i，则复数的模为|z|（ ） A3 B4 Ci D5 2 已知某班级部分同学某次数学联合诊断测成绩的茎叶图如图所示， 则其中位数为 （ ） A94 B92 C91 D86 3已知等差数列an的首项 a11，公差 d1，则 a4等于（ ） A2 B0 C1 D2 4一元二次不等式（2x3）（x+1）0 的解集为（ ） Ax|1x Bx|x 或 x1 Cx| x1 Dx|x1 或 x 5已知平行四边形 ABCD 中，向量 （3，7）， （2，3），则向量 的坐标为 （ ） A15 B27 C（5，4） D（1，10） 6一
2、个球的表面积是 16，那么这个球的体积为（ ） A B C16 D24 7二项式（x2）5展开式中 x 的系数为（ ） A5 B16 C80 D80 8“x3”是“x23x0”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 9若 m0，n0 且 m+n0，则下列不等式中成立的是（ ） Anmnm Bnmmn Cmnmn Dmnnm 10在ABC 中，BC7，AC4 ，AB ，则ABC 的最小角为（ ） A B C D 二、填空题（共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分） 11设集合 A1，3，5，B3，4，5，则集合 AB 12已知等比数列an的公比 q
3、3，a427，则首项 a1 13若 sin ，则 cos2 14已知过原点的直线 l 与圆 C：x2+y26x+50 相交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中 点坐标为 D（2， ），则弦长|AB| 15 已知定义在 R 上的函数 f （x） 满足 f （x） f （x+2） ， 当 x （0， 2时， f （x） 2x+log2x， 则 f（2020） 三、解答题（共 5 个小题，每小题 15 分，共 75 分） 16从 7 名男学生和 5 名女学生中随机选出 2 名去参加社区志愿活动， （1）一共有多少种选法？ （2）求选出的学生恰好男、女各 1 名的概率 17已知函数 f（x） si
4、n2x+cos2x，xR （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求函数 f（x）在 x ， 的最值 18已知函数 f（x）xlnx （1）求函数 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）求函数 f（x）的极值 19如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PA平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PD 的中 点，且 PAAD （）求证：AF平面 PEC； （）求证：平面 PEC平面 PCD 20已知椭圆 C： ，ab0 的离心率 e ，长轴长是短轴长的 2 倍 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设经过点 A（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N若点 B 的坐标为 （0，
5、1），且 BMBN，求直线 l 的方程 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，只有一个是正确选项.） 1已知复数 z34i，则复数的模为|z|（ ） A3 B4 Ci D5 【分析】利用复数的模的计算公式即可得出 解：复数 z34i，则复数的模为|z| 5 故选：D 【点评】本题考查了复数的模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2 已知某班级部分同学某次数学联合诊断测成绩的茎叶图如图所示， 则其中位数为 （ ） A94 B92 C91 D86 【分析】由茎叶图把数从小到大排列，易找中位数 解：由茎叶图可知，17 个数据从小到大排列依次为：76，79，
6、81，83，86，86，87，91， 92，94，95，96，98，99，101，103，114 则中位数为 92， 故选：B 【点评】本题考查茎叶图，中位数的概念，属于基础题 3已知等差数列an的首项 a11，公差 d1，则 a4等于（ ） A2 B0 C1 D2 【分析】利用通项公式即可得出 解：a11，公差 d1，则 a41312 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4一元二次不等式（2x3）（x+1）0 的解集为（ ） Ax|1x Bx|x 或 x1 Cx| x1 Dx|x1 或 x 【分析】根据不等式对应方程的解，写出不等式的解集 解
7、：不等式（2x3）（x+1）0 对应方程的解为 和1， 所以不等式的解集为x|x1，x 故选：B 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法问题，是基础题 5已知平行四边形 ABCD 中，向量 （3，7）， （2，3），则向量 的坐标为 （ ） A15 B27 C（5，4） D（1，10） 【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出 ，然后带入坐标即可 解：根据向量加法的平行四边形法则， ， ， ， 故选：D 【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量坐标的加法运算，考查了计算能 力，属于基础题 6一个球的表面积是 16，那么这个球的体积为（ ） A B C16 D24 【分析】通过球的表
8、面积求出球的半径，然后求出球的体积 解： 一个球的表面积是 16， 所以球的半径为： 2； 那么这个球的体积为： 故选：B 【点评】本题是基础题，考查球的表面积、体积的计算，考查计算能力，公式的应用， 送分题 7二项式（x2）5展开式中 x 的系数为（ ） A5 B16 C80 D80 【分析】二项式（x2）5展开式中 x 的项为 ，即可得出 解：二项式（x2）5展开式中 x 的项为 80x， 因此系数为 80 故选：C 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8“x3”是“x23x0”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必
9、要条件 【分析】由 x23x0，解得 x0，3，即可判断出关系 解：由 x23x0，解得 x0，3， “x3”是“x23x0”的充分不必要条件 故选：C 【点评】本题考查了方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 9若 m0，n0 且 m+n0，则下列不等式中成立的是（ ） Anmnm Bnmmn Cmnmn Dmnnm 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出 解：n0，n0n； m+n0，mn，nm； mnnm 故正确答案为 D 故选：D 【点评】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键 10在ABC 中，BC7，AC4 ，AB ，则ABC 的最小角为（ ） A B
10、 C D 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解 解：a7，b4 ，c ， ABC 中，由三角形中大边对大角可得 C 为最小角，由余弦定理可得 1349+482 74 cosC，解得 cosC ， C 故选：B 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 二、填空题（共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分） 11设集合 A1，3，5，B3，4，5，则集合 AB 3，5 【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可 解：A1，3，5，B3，4，5， AB3，5 故答案为：3，5 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 12已知等比数列an的公比
11、q3，a427，则首项 a1 1 【分析】利用等比数列通项公式能求出首项 a1 解：等比数列an的公比 q3，a427， 27， 解得首项 a11 故答案为：1 【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 13若 sin ，则 cos2 【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于 sin 的式子，将 sin 的值代 入即可求出值 解：因为 sin ， 所以 cos212sin212 故答案为： 【点评】 通常， 在高考题中， 三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置， 是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出
12、现，会而不对的状况所以， 在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面这样才能熟练 驾驭三角函数题 14已知过原点的直线 l 与圆 C：x2+y26x+50 相交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中 点坐标为 D（2， ），则弦长|AB| 2 【分析】根据题意，由圆的方程分析可得圆心与半径，求出|CD|的值，由勾股定理分析 可得答案 解：根据题意，圆 C：x2+y26x+50，其标准方程为（x3）2+y24，则圆 C 的圆心 C （3，0），半径 r2； 线段 AB 的中点坐标为 D（2， ），则|CD| ， 则|AB|2 2； 故答案为：2 【点评】本题考查直线与圆的位
13、置关系，涉及弦长的计算，属于基础题、 15 已知定义在 R 上的函数 f （x） 满足 f （x） f （x+2） ， 当 x （0， 2时， f （x） 2x+log2x， 则 f（2020） 5 【分析】根据题意，分析可得 f（x+4）f（x+2）f（x），即函数是周期为 4 的周期 函数，据此可得 f（2020）f（0+5054）f（0）f（2），结合函数的解析式分析 可得答案 解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x）f（x+2），则有 f（x+4）f（x+2）f（x）， 即函数是周期为 4 的周期函数， 则 f（2020）f（0+5054）f（0）f（2）， 当 x（0，2时，f（x
14、）2x+log2x，则 f（2）22+log225， 故有 f（2020）f（0）f（2）5； 故答案为：5 【点评】本题考查函数周期性的判断以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题 三、解答题（共 5 个小题，每小题 15 分，共 75 分） 16从 7 名男学生和 5 名女学生中随机选出 2 名去参加社区志愿活动， （1）一共有多少种选法？ （2）求选出的学生恰好男、女各 1 名的概率 【分析】（1）直接用组合数公式作 （2）找出选出的学生恰好男、女各 1 名的选法，相比即可 解：（1）从 12 名学生中随机选出 2 名同学有 C 66 种方法 （2）选出的学生恰好男、女各 1 名有 C C
15、 35 种方法， 则选出的学生恰好男、女各 1 名的概率 P 【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题 17已知函数 f（x） sin2x+cos2x，xR （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求函数 f（x）在 x ， 的最值 【分析】 （1） 直接利用三角函数关系式的恒等变换， 把函数的关系式变形成正弦型函数， 进一步求出函数的最小正周期 （2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值 解：函数 f（x） sin2x+cos2x，2sin（2x ） （1）根据函数的解析式可知，函数的最小正周期为 T （2）由于 x ， ，所以 ， 当 2x 时，即 x 时函数的最小值
16、为 当 2x 时，即 x 时，函数的最大值为 212 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18已知函数 f（x）xlnx （1）求函数 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）求函数 f（x）的极值 【分析】（1）先对 f（x）求导数，然后求出切点处的函数值、导数值，利用直线方程的 点斜式，写出切线方程； （2）对函数求导数，求出导数的零点，判断导数零点左右两侧的符号，确定极大（小） 值点和极值 解：（1）f（1）0，所以切点为（1，1）， 又 ，kf（1）0， 所以切线方程为：y10（
17、x1），即 y1 （2）函数 f（x）的定义域为（0，+）， 令 0 得 x1， 当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）递减；x（1，+）时，f（x）0，f（x）递 增 所以函数 f（x）在 x1 处取得极小值 f（1）1ln11，无极大值 【点评】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数极值的方法步骤属于中档题 19如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PA平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PD 的中 点，且 PAAD （）求证：AF平面 PEC； （）求证：平面 PEC平面 PCD 【分析】（）取 PC 的中点 G，连结 FG、EG，AFEG 又 EG平面 PCE，AF平面 PCE
18、，AF平面 PCE； （）由（）得 EGAF，只需证明 AF面 PDC，即可得到平面 PEC平面 PCD 【解答】证明：（）取 PC 的中点 G，连结 FG、EG， FG 为CDP 的中位线，FGCD，FG CD 四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点，AECD，AE CD FGAE，FGAE，四边形 AEGF 是平行四边形， AFEG 又 EG平面 PCE，AF平面 PCE， AF平面 PCE； （）PAADAFPD PA平面 ABCD，PACD， 又因为 CDAB，APABA，CD面 APD CDAF，且 PDCDD，AF面 PDC 由（）得 EGAF，EG面 PDC 又 EG平面
19、 PCE，平面 PEC平面 PCD 【点评】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题 20已知椭圆 C： ，ab0 的离心率 e ，长轴长是短轴长的 2 倍 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设经过点 A（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N若点 B 的坐标为 （0，1），且 BMBN，求直线 l 的方程 【分析】（1）由题意列关于 a，b，c 的方程组，解得 a2，b1，则椭圆方程可求； （2）当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时，不合题意；设直线 l：xmy+1，联立直线方 程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合向量数量积为 0，列式求得 m 值，则直线方程 可求 解：（1）由题意， ，解得 a2，b1 椭圆 C 的方程为： ； （2）当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时，不合题意； 设直线 l：xmy+1 联立 ，得（4+m 2）y2+2my30 16m2+480 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 ， BMBN， 即 ， ， （m 2+1）y 1y2+（m1）（y1+y2） +20 整理得：3m22m50， 解得：m1 或 m 则直线 l 的方程为：x+y10 或 3x5y30 【点评】 本题考查椭圆方程的求法， 考查直线与椭圆的位置关系的应用， 考查计算能力， 是中档题
