1、2020 年 5 月高考数学模拟试卷 一、选择题（共 10 小题） 1设集合 Ax|x|3，Bx|x2k，kZ，则 AB（ ） A0，2 B2，2 C2，0，2 D2，1，0，1，2 2若复数 z 满足 z i1+i，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函数中，值域为 R 且区间（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx3 Byx|x| Cyx1 D 4抛物线 x24y 的准线方程为（ ） Ax1 Bx1 Cy1 Dy1 5在ABC 中，若 a：b：c4：5：6，则其最大内角的余弦值为（ ） A B C D 6设 a30.2，blog32，c
2、log0.23，则（ ） Aacb Babc Cbca Dbac 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A6 B4 C3 D2 8若圆 x2+y24x+2y+a0 与 x 轴，y 轴均有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（，1 B（，0 C0，+） D5，+） 9若向量 与 不共线，则“ ”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10设函数 f（x）（x1）ex若关于 x 的不等式 f（x）ax1 有且仅有一个整数解， 则正数 a 的取值范围是（ ） A（0，e B（0，e2 C ， D ， 二、填空题：本大题共 5
3、 小题，每小题 5 分，共 25 分 11设平面向量 ， ， ， 满足 ，则 | 12若双曲线 经过点（2，0），则该双曲线渐近线的方程为 13设函数 f（x）sin2x+2cos2x，则函数 f（x）的最小正周期为 ；若对于任意 xR， 都有 f（x）m 成立，则实数 m 的最小值为 14甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖在比赛结果揭晓之前， 四人的猜测如下表， 其中 “” 表示猜测某人获奖， “” 表示猜测某人未获奖， 而 “” 则表示对某人是否获奖未发表意见已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定 的，那么两名获奖者是 ， 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测
4、 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 15在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB4，E，F， H 分别是棱 PB， BC， PD 的中点， 对于平面 EFH 截四棱锥 PABCD 所得的截面多边形， 有以下三个结论： 截面的面积等于 ； 截面是一个五边形； 截面只与四棱锥 PABCD 四条侧棱中的三条相交 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 16如图，在几何体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，DE平面 ABCD，DE BF，且 DE2BF2 （）求证
5、：平面 BCF平面 ADE； （）求钝二面角 DAEF 的余弦值 17从前 n 项和 ，anan+13，a611 且 2an+1an+an+2这三个 条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答 在数列an中，a11，_，其中 nN* （）求an的通项公式； （）若 a1，an，am成等比数列，其中 m，nN*，且 mn1，求 m 的最小值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子 在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为 8 组：0.486，0.536），0.536，0.586）， 0.836，0.886）
6、加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于 0.736 的种子定为“A 级”，发芽率低于 0.736 但不低于 0.636 的种子定为“B 级”，发芽率低于 0.636 的种子定为“C 级” （）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别 为 20 元、15 元、10 元某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花 费 X 元，以频率为概率，求 X 的分布列和数学期望； （）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来
7、的 1.1 倍，那 么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方 差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明） 19已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 F，点 A（a，0），且|AF| 1 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 F 的直线 l（不与 x 轴重合）交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别与直线 x4 交于点 P，Q，求PFQ 的大小 20设函数 f（x）aex+cosx，其中 aR （）已知函数 f（x）为偶函数，求 a 的值； （）若 a1，证明：当 x0 时，f（x）2； （）若 f（x）在区间0，内有两个不同的零
8、点，求 a 的取值范围 21设 N 为正整数，区间 Ikak，ak+1（其中 akR，k1，2，N）同时满足下列两个 条件： 对任意 x0，100，存在 k 使得 xIk； 对任意 k1， 2， ， N， 存在 x0， 100， 使得 xIi（其中 i1， 2， ， k1， k+1， ， N） （）判断 ak（k1，2，N）能否等于 k1 或 ；（结论不需要证明） （）求 N 的最小值； （）研究 N 是否存在最大值，若存在，求出 N 的最大值；若不在在，说明理由 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1设集
9、合 Ax|x|3，Bx|x2k，kZ，则 AB（ ） A0，2 B2，2 C2，0，2 D2，1，0，1，2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x|3x|3x3， Bx|x2k，kZ， AB2，0，2 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2若复数 z 满足 z i1+i，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由 z i1+i，得 z ， 在复平面内 z 对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限 故选：
10、A 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算化简， 考查复数的代数表示法及其几何意义， 是基础题 3下列函数中，值域为 R 且区间（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx3 Byx|x| Cyx1 D 【分析】容易看出选项 A，C 的函数在（0，+）都是减函数，选项 D 的函数的值域不 是 R，从而判断选项 A，C，D 都错误，只能选 B 解：yx3，yx1在（0，+）上都单调递减， 的值域不是 R， yx|x| 的值域为 R，且在（0，+）上单调递增 故选：B 【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，二次函数的值域及单调性，反比例函数、 幂函数和 yx3的单调性的判断，考查了计算能力，属于基础
11、题 4抛物线 x24y 的准线方程为（ ） Ax1 Bx1 Cy1 Dy1 【分析】 先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p4， 再直接代入即可求出其 准线方程 解：因为抛物线的标准方程为：x24y，焦点在 y 轴上； 所以：2p4，即 p2， 所以： 1， 准线方程 y1， 故选：D 【点评】本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所 在位置 5在ABC 中，若 a：b：c4：5：6，则其最大内角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】根据三边之比表示出 a，b，c，得到 c 对的角最大，利用余弦定理即可求出 cosC 的值 解：根据题意得：a4k，b
12、5k，c6k，k0，且最大角为 C， cosC 故选：A 【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题 6设 a30.2，blog32，clog0.23，则（ ） Aacb Babc Cbca Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解：30.2301，a1， log31log32log331，0b1， log0.23log0.210，c0， abc， 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A6 B4 C3 D2 【分析】首先
13、把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，底面为直角梯形，高 为 2 如图所示： 所以：V 故选：D 【点评】 本题考查的知识要点： 三视图和几何体之间的转换， 几何体的体积公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8若圆 x2+y24x+2y+a0 与 x 轴，y 轴均有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（，1 B（，0 C0，+） D5，+） 【分析】若圆与 x，y 轴都有公共点，则圆心到 x，y 轴的距离小于等于半径即可 解：圆 x2+y24x+2y+a0（x2）2+（y+1）25a； 圆
14、心（2，1），r ； 圆与 x，y 轴都有公共点； a1； 故选：A 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用圆心和坐标轴的关系是解决本题的关 键 9若向量 与 不共线，则“ ”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 ，化为： 0，根据已知条件即可判断出结论 解： ，化为： 0， 向量 与 不共线，“ ” 0 反之不成立，可能 0 ”是“ ”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 10设函数 f（x）（x1）ex若关于 x 的不等式 f（x）
15、ax1 有且仅有一个整数解， 则正数 a 的取值范围是（ ） A（0，e B（0，e2 C ， D ， 【分析】要使不等式 f（x）ax1 有且仅有一个整数解，则只需有且仅有一个整数 x， 使得 f（x）的图象在直线 yax1 的下方，利用导数研究 f（x），进而作出函数 f（x） 的图象及直线 yax1 的图象，由图象观察可得出关于 a 的不等式组，解该不等式组即 可得到正数 a 的取值范围 解：f（x）ex+（x1）exxex，易知函数 f（x）在（，0）上单调递减，在（0， +）上单调递增， 且 x时，f（x）0，x+时，f（x）+，且 f（1）0，f（0）1，f（2） e2， 作出函数
16、 yf（x）以及直线 yax1 的图象如下图所示， 由图可知， 要使不等式 f （x） ax1 有且仅有一个整数解， 则只需有且仅有一个整数解， 使得 f（x）的图象在直线 yax1 的下方， 注意到函数 f （x） 与直线 yax1 均过 （0， 1） ， 则只需 ， 解得 故选：D 【点评】本题考查不等式的整数解个数问题，考查利用导数研究函数的性质，考查转化 思想及数形结合思想，属于中档题 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11设平面向量 ， ， ， 满足 ，则 | 2 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，根据求向量的模的方法，属于基础题 解：平面向量 ， ，
17、 ， 满足 ， 则 k40，故有 k4， 则 | 2 ， 故答案为：2 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题 12 若双曲线 经过点 （2， 0） ， 则该双曲线渐近线的方程为 y2x 【分析】利用双曲线经过的点，求出 a，然后求解双曲线的渐近线方程 解：双曲线 经过点（2，0），可得 a2，所以双曲线方程为：双曲 线 ，所以双曲线的渐近线方程为：y2x 故答案为：y2x 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 13设函数 f（x）sin2x+2cos2x，则函数 f（x）的最小正周期为 ；若对于任意 xR， 都有 f（x）m 成立，则实数 m 的最
18、小值为 1 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期公式，以及最值性质求出 f（x） 的最大值即可 解：f（x）sin2x+2cos2xsin2x+cos2x+11 sin（2x ）， 则 f（x）的最小正周期 T ， 当 sin（2x ）1 时，f（x）取得最大值 1 ， 若对于任意 xR，都有 f（x）m 成立， 则 m1 ， 即实数 m 的最小值为 1 ， 故答案为：1 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函 数的周期性和最值性是解决本题的关键难度不大 14甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖在比赛结果揭晓之前， 四人的猜
19、测如下表， 其中 “” 表示猜测某人获奖， “” 表示猜测某人未获奖， 而 “” 则表示对某人是否获奖未发表意见已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定 的，那么两名获奖者是 乙 ， 丁 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 【分析】根据题意可得，分别假设甲的猜测正确，丙的猜测正确，即可求出答案 解：假设甲的猜测正确，那么甲丁获奖，乙丙不获奖，则乙丙丁的猜想就是错误，与四 个人中有且只有两个人的猜测是完全正确矛盾，故甲的猜测不完全正确； 假设丙的猜测正确，那么乙丁获奖，甲丙不获奖，则乙的猜想就是正确，丁的猜想不完 全正确，符合题意， 故答案为：乙，丁 【点
20、评】本题考查合情推理的运用，此类题目常用的手段是假设法，抓住题干中的条件 进行推理，推理所得的结果如果不互相矛盾，则假设成立，反之，不成立 15在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB4，E，F， H 分别是棱 PB， BC， PD 的中点， 对于平面 EFH 截四棱锥 PABCD 所得的截面多边形， 有以下三个结论： 截面的面积等于 ； 截面是一个五边形； 截面只与四棱锥 PABCD 四条侧棱中的三条相交 其中，所有正确结论的序号是 【分析】直接利用平面的性质及的应用求出截面为五边形，进一步利用梯形的面积公式 求出截面的面积 解：在四棱锥 PABCD
21、中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB4，E， F，H 分别是棱 PB，BC，PD 的中点， 如图所示： 所以 ， 由于 AC 与 BD 相交于 O，取点 N 为 AP 的中点， 所以 ONPC， 点 F， G， M 为 BC 和 OC 和 NP 的中点， 所以 GM由于 ， 解得 MG ， 由于 EF 为PBC 的中位线，所以 EF ， 由于 FG ， 所以 四边形 ， 所以截面面积为 四边形 ，故错误 如图所示截面是一个五边形；正确 截面只与四棱锥 PABCD 四条侧棱中的 PA，PB，PD 三条相交，故正确 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：平面的性质的应用，截
22、面面积的求法及应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 16如图，在几何体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，DE平面 ABCD，DE BF，且 DE2BF2 （）求证：平面 BCF平面 ADE； （）求钝二面角 DAEF 的余弦值 【分析】（） 只需证明 BF平面 ADE BC平面 ADE 即可证明平面 BCF平面 ADE （）建立空间直角坐标系，确定平面 ADE、平面 AEF 的一个法向量，利用向量的夹角 公式，即可求得结论 【解答】 解：（）因为 D
23、EBF，DE平面 ADE，BF平面 ADE， 所以 BF平面 ADE 同理，得 BC平面 ADE 又因为 BCBFB，BC平面 BCF，BF平面 BCF， 所以平面 BCF平面 ADE （）由 DE平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形， 得 DA，DC，DE 两两垂直，故分别以 DA，DC，DE 为 x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间 直角坐标系， 则 D（0，0，0），E（0，0，2），F（2，2，1），A（2，0，0）， 所以 ， ， ， ， ， 设平面 AEF 的法向量 n（x，y，z）， 由 ， ，得 ， ， 令 y1，得 n（2，1，2） 平面 DAE 的法向量 m（0，1，0
24、） 设钝二面角 DAEF 的平面角为 ， 则 ， ， 所以 ， 即钝二面角 DAEF 的余弦值为 【点评】本题考查面面平行的判定，考查面面垂直的性质，考查面面角，考查向量知识 的运用，考查学生分析解决问题的能力 17从前 n 项和 ，anan+13，a611 且 2an+1an+an+2这三个 条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答 在数列an中，a11，_，其中 nN* （）求an的通项公式； （）若 a1，an，am成等比数列，其中 m，nN*，且 mn1，求 m 的最小值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】本题第（）题选择条件的方案时当 n1 时有 a1S1
25、，代入可解出 p 的值， 得到 Sn的表达式，再利用公式 anSnSn1进行计算可发现数列an是等差数列，即可 计算出数列an的通项公式；选择条件的方案根据条件及等差数列的定义即可判断出 数列an是以 3 为公差的等差数列，进一步计算即可得到数列an的通项公式；选择条件 的方案时利用等差中项判别法判断出数列an是等差数列，再根据 a11 及 a611 计 算出公差，即可得到数列an的通项公式 第（）题先根据三个方案都判别出数列an是等差数列，以及第（）题计算出的数 列an的通项公式计算出 an， am的表达式， 再根据等比中项的性质列出关于 m、 n 的算式， 并转化成用 n 表示 m 的性质
26、，然后用二次函数的方法计算出在 nN*，且 n1 情况下 m 的最小值 解：方案一：选择条件 （） 由题意，当 n1 时，a11S112+p，解得 p0， 则 Snn2，nN* 当 n2 时，由 Snn2，得 ， anSnSn1n2（n1）22n1（n2）， 经检验，a11 符合上式， （）依题意，由 a1，an，am成等比数列，可得 ， 即（2n1）21（2m1）， 化简，得 ， m，n 是大于 1 的正整数，且 mn， 当 n2 时，m 有最小值 5 方案二：选择条件 （）依题意，由 anan+13，可得 an+1an3， 故数列an是以 1 为首项，3 为公差的等差数列， （）依题意，由
27、 a1，an，am成等比数列，可得 ， 即（3n2）21（3m2）， 化简，得 ， m，n 是大于 1 的正整数，且 mn， 当 n2 时，m 取到最小值 6 方案三：选择条件 （）依题意，由 2an+1an+an+2，可得 an+1anan+2an+1， 故数列an是等差数列， 又a11，a6a1+5d1+5d11，即 d2， （）依题意，由 a1，an，am成等比数列，可得 ， 即（2n1）21（2m1）， 化简，得 ， m，n 是大于 1 的正整数，且 mn， 当 n2 时，m 有最小值 5 【点评】本题主要考查等差数列的判别及计算，等比中项的问题考查了转化与化归思 想，函数思想，方程思
28、想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 18某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子 在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为 8 组：0.486，0.536），0.536，0.586）， 0.836，0.886）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于 0.736 的种子定为“A 级”，发芽率低于 0.736 但不低于 0.636 的种子定为“B 级”，发芽率低于 0.636 的种子定为“C 级” （）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （）该花卉企业销售花种，且每份“A
29、 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别 为 20 元、15 元、10 元某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花 费 X 元，以频率为概率，求 X 的分布列和数学期望； （）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的 1.1 倍，那 么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方 差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明） 【分析】（）先由频率分布直方图中的数据，频率和为 1 算出 a 的值，再求出是“C 级”种子的概率，然后根据对立事件的概率，即可求得不是“C 级”种子的概率； （）先根据频率分
30、布直方图依次求出种子是“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨的 概率，X 的可能取值为 20，25，30，35，40，然后由独立事件的概率逐一求出每个 X 的 取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望； （）根据方差的意义与性质即可作出判断 解： （） 设事件 M 为： “从这些康乃馨种子中随机抽取一种， 且该种子不是 C 级种子” ， 由图表，得（0.4+1.2+a+4.0+6.0+4.4+1.2+0.4）0.051，解得 a2.4 由图表，知“C 级”种子的频率为（0.4+1.2+2.4）0.050.2， 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为 0.2
31、事件 M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是 C 级种子”为对立事 件， 事件 M 的概率 P（M）10.20.8 （）由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为（4.4+1.2+0.4）0.05 0.3， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为（4.0+6.0）0.050.5， 恰好是“C 级”的概率为（0.4+1.2+2.4）0.050.2 而随机变量 X 的可能取值有 20，25，30，35，40， P（X20）0.20.20.04， P（X25）0.20.5+0.50.20.2， P（X30）0.50.5+0.30.2+0.20.30.37， P（X35）0.30.5
32、+0.50.30.3， P（X40）0.30.30.09 所以 X 的分布列为： X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 故数学期望 E（X）200.04+250.2+300.37+350.3+400.0931 （）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了 【点评】本题考查频率分布直方图、对立事件的概率、独立事件的概率、离散型随机变 量的分布列与期望、方差的含义等知识点，有一定的综合性，但难度不算大，考查学生 灵活运用知识的能力和对数据的分析能力，属于基础题 19已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 F，点 A（a，0），且|AF
33、| 1 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 F 的直线 l（不与 x 轴重合）交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别与直线 x4 交于点 P，Q，求PFQ 的大小 【分析】（）由题意得 ， ， 求出 a，c，然后求解 b，即可得到椭圆方程 （）当直线 l 的斜率不存在时，验证 ，即PFQ90当直线 l 的斜率存 在时，设 l：yk（x1），其中 k0联立 ， ，得（4k 2+3）x28k2x+4k2 120由题意，知0 恒成立，设 M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结 合直线 MA 的方程为 求出 ， ， 利用向量的数量积，转化求解即可 解：（）由题意得 ， ， 解得
34、 a2，c1， 从而 ， 所以椭圆 C 的方程为 （）当直线 l 的斜率不存在时，有 ， ， ， ，P（4，3），Q（4，3）， F（1，0）， 则 ， ， ， ，故 ，即PFQ90 当直线 l 的斜率存在时，设 l：yk（x1），其中 k0 联立 ， ，得（4k 2+3）x28k2x+4k2120 由题意，知0 恒成立， 设 M（x1，y1），N（x2，y2 ），则 ， 直线 MA 的方程为 令 x4，得 ，即 ， 同理可得 ， 所以 ， ， ， 因为 0， 所以PFQ90 综上，PFQ90 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想 以及计算能力，是难题
35、20设函数 f（x）aex+cosx，其中 a一、选择题 （）已知函数 f（x）为偶函数，求 a 的值； （）若 a1，证明：当 x0 时，f（x）2； （）若 f（x）在区间0，内有两个不同的零点，求 a 的取值范围 【分析】（）函数 f（x）为偶函数，通过 f（）f（），求解 a0 （）f（x）exsinx，判断函数的单调性，推出结果 （）由 f（x）aex+cosx0，得 构造函数，利用函数的导数判断函数的单 调性，求解函数的极值，然后求解 a 的取值范围 解：（）函数 f（x）为偶函数， 所以 f（）f（），即 ae1ae1， 解得 a0 验证知 a0 符合题意 （）证明；f（x）ex
36、sinx， 由 x0，得 ex1，sinx1，1， 则 f（x）exsinx0，即 f（x）在（0，+）上为增函数 故 f（x）f（0）2，即 f（x）2 （）由 f（x）aex+cosx0，得 设函数 ，x0， 则 令 h（x）0，得 随着 x 变化，h（x）与 h（x）的变化情况如下表所示： x ， ， h（x） + 0 h（x） 极大值 所以 h（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减 又因为 h（0）1，h（）e， ， 所以当 ， 时，方程 在区间0，内有两个不同解，且在区间 ， 与 ， 上各有一个解 即所求实数 a 的取值范围为 ， 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性
37、以及函数的极值的求法，函数的奇 偶性的应用，是中档题 21设 N 为正整数，区间 Ikak，ak+1（其中 akR，k1，2，N）同时满足下列两个 条件： 对任意 x0，100，存在 k 使得 xIk； 对任意 k1， 2， ， N， 存在 x0， 100， 使得 xIi（其中 i1， 2， ， k1， k+1， ， N） （）判断 ak（k1，2，N）能否等于 k1 或 ；（结论不需要证明） （）求 N 的最小值； （）研究 N 是否存在最大值，若存在，求出 N 的最大值；若不在在，说明理由 【分析】（）ak可以等于 k1，但 ak不能等于 ， （） 记 ba 为区间a，b的长度，可求区间0
38、，100的长度为 100，Ik的长度为 1由 ， 得 N100， 结合 I10， 1， I21， 2， ， I10099， 100显然满足条件， 可 求 N 的最小值 （）首先，由题意利用反证法证明 N200进而给出 N200 存在的例子，可知 N 的 最大值存在，且为 200 解：（）ak可以等于 k1，但 ak不能等于 ， （） 记 ba 为区间a，b的长度， 则区间0，100的长度为 100，Ik的长度为 1 由，得 N100， 又因为 I10，1，I21，2，I10099，100显然满足条件， 所以 N 的最小值为 100 （）N 的最大值存在，且为 200 解答如下： （1）首先，证
39、明 N200 由，得 I1，I2，IN互不相同，且对于任意 k，Ik0，100 不妨设 a1a2an 如果 a20，那么对于条件，当 k1 时，不存在 x0，100，使得 xIi（i2，3， N） 这与题意不符，故 a20， 如果 ak+1ak1+1，那么 IkIk1Ik+1， 这与条件中“存在 x0，100，使得 xIi（i1，2，k1，k+1，N）”矛盾， 故 ak+1ak1+1 所以 a4a2+11，a6a4+12，a200a198+199， 则 a200+1100 故 I1I2I2000，100 若存在 I201，这与条件中“存在 x0，100，使得 xIi（i1，2，200）”矛盾， 所以 N200， （2）给出 N200 存在的例子 令 ，其中 k1，2，200，即 a1，a2，a200为等差数列，公 差 由 d1，知 IkIk+1，则易得 ， ， 所以 I1，I2，I200满足条件 又公差 ， 所以 ， （i1， 2， ， k1， k+1， N） （注： 为 区间 Ik的中点对应的数）， 所以 I1，I2，I200满足条件 综合（1）（2）可知 N 的最大值存在，且为 200 【点评】本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了反证法的应用以及等差数列的 性质的应用，难度较大，属于难题
